相交线与平行线（综合）
1、如图1，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′的度数为 。
2、如图2，直线AB CD 、相交于点E ，DF AB ∥．若100AEC ∠=°，则D ∠等于 。
3、如图3，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°
，°，则3∠的度数等于 。
4、如图
4，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 。. 5、如图5，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。
6、如图6，已知AC ∥ED ，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED 的度数是 。
图4 图5 图6
7、如图7，AB ∥CD ，∠ABE ＝66°，∠D ＝54°，则∠E 的度数为_______________．
8、如图8，AB//CD,直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF,过点F 作FP ⊥EP,垂足为P ，若∠PEF=300
,则∠PFC=__________。
9、如图9，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= ．
10、如图10，已知//AE BD ，∠1=130o
，∠2=30o
，则∠C= ．
图7 图8 图9 图10
11. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）.
A 、平行线间的距离相等
B 、两点之间，线段最短
C 、垂线段最短
D 、两点确定一条直线
C
A
E B
F D
图2
E
D
B
C′
F
C
D ′ A
图1
1 2
3
图3 l 1 l 2
1
2 3
300 P
F
E
B
A C
D
A
B D
C
1 2
3 第12题
A
D
O
B
C
第15题
12. 如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）
A、同位角相等，两直线平行
B、内错角相等，两直线平行
C、同旁内角互补，两直线平行
D、两直线平行，同位角相等
13．一副三角扳按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大54°，则∠1＝（）
A、18°
B、54°
C、72°
D、70°
14. 下列命题：
①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；
②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；
③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；
④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直．其中正确的个数为（）．
A、4
B、3
C、2
D、1
15．如图，探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC经灯碗反射以后平行射出．如果图中ABO DCO
αβ
∠=∠=
，，则BOC
∠的度数为（）
A、β
α-
-
180B、β
α+C、)
(
2
1
β
α+D、)
(
900α
β-
+
16、如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37o，求∠D的度数．
17、如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），
刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，求∠1+∠2的度数。
18、图11，BE∥AO，∠1=∠2，OE⊥OA于点O，EH⊥CO于点H，那么∠5=∠6，为什么？
A B
C D
E
图（11）
H
O
C
E
B
A
6
5
4
3
2
1
第13
19、如图1，AB∥CD，EOF 是直线AB 、CD 间的一条折线. （1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO.
（2）如果将折一次改为折二次，如图-2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC 会满足怎样的关系，试说明你的结论.
1、已知：如图，AB ∥CD ，请你观察∠E 、∠B 、∠D 之间有什么关系， 并说明你所得的结论
2、如图所示，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝60°，∠CDE ＝140°，求∠BCD 的度数
3、如图，DE ∥CB ，试证明∠AED ＝∠A ＋∠B 。
A
B
C F
D E
O
图-1
A B
C F
D E
O
图-2 P
4、如图3个图中，均有AB ∥CD ，
（1）如图1，点P 为AB 、CD 间的一个折点，则∠1、∠2、∠3的关系是___________；
（2）如图2，在（1）的基础上增加一个折点，则∠1、∠2、∠3、∠4的关系是___________； （3）如图3，当AB 、CD 间有三个折点时，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是___________； （4）通过以上4题的探究，从中寻找规律，并解答，当AB 、CD 间有n 个折点时，则∠1、∠2、…… ∠n+2之间的关系是____________________________________。（n 为正整数）
3
、如图，DE ∥
CB
，试证明∠AED ＝∠A ＋∠B 。
4、如图3个图中，均有AB ∥CD ，
（1）如图1，点P 为AB 、CD 间的一个折点，则∠1、∠2、∠3的关系是___________；
（2）如图2，在（1）的基础上增加一个折点，则∠1、∠2、∠3、∠4的关系是___________； （3）如图3，当AB 、CD 间有三个折点时，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是___________； （4）通过以上4题的探究，从中寻找规律，并解答，当AB 、CD 间有n 个折点时，则∠1、∠2、…… ∠n+2之间的关系是____________________________________。（n 为正整数）
《相交线与平行线》培优综合训练一 1、如图，AB∥CD，EF分别交AB，CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G. 求∠1的度数. 2、已知：如图，CD⊥AB于D，DE∥BC，EF⊥AB于F，求证：∠FED＝∠BCD． 3、已知：如图∠1=∠2，∠A和∠F，请问∠C=∠D相等吗？试写出推理过程。 4、已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，EF经过点O且平行于BC，分别与AB，AC交于点 (1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数； 1 A E D C B F
(3)在第(2)问的条件下，若∠ABC和∠ACB邻补角的平分线交于点O，其他条件不变，请画出相应图形，并用а,β 的代数式表示∠BOC的度数． 5、已知：∠A=（90+x）°，∠B=（90﹣x）°，∠CED=90°，射线EF∥AC，2∠C﹣∠D=m° （1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． （2）如图1，当m=30°时，求∠C、∠D的度数． （3）如图2，求∠C、∠D的度数（用含m的代数式表示）
6、如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC,∠APB，∠PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立） （3）当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论,选择其中一种结论加以证明。
D B C A F E 平行线与相交线培优训练（已经修改，很好） 平行线的判定：⑴___________________（2）（3） 平行线的性质：⑴___________________（2）（3） 例题精讲 例1 ：如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2， 求证：∠C=90° 练习1．思考：两直线a，b被直线AB所截(如图1－18所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？” 练习2．如图所示，AA1∥BA2时，则 图1-24 规律：同一方向的所有角的和等于另 规律：所有角的和=（角的个数—1）× 练习3．如图已知，AB∥CD., AF CF分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，F是两条角平分线的交点；求证： 1 2 F AEC ∠=∠. 例2：求证：三角形内角之和等于180°
A 练习1． 求证：四边形内角和等于360° 2．证明：五边形内角和等于540° 例3： 如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ． 练习1．如图，已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。 练习2．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 练习3.已知AB //DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD . 例4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？ 练习1.甲驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130 C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° E D C B A
初一下数学寒假培优训练一（余角、补角以及三线八角、平行线的判定） 一、考点讲解： 1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． 2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角． 3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 4．互为余角的有关性质：① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠ 2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2=90○ ，∠1+∠ 3= 90○ ，则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○ 则∠A 、∠B 互补，反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A+∠B ＝ 180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○ ，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C ． 6．对顶角的性质：对顶角相等． 项目 定义 性质 图形 互余角 两个角和等于?90（直角） ?=∠+∠9021 同角或等角的余角相等 互补角 两个角和等于?180（平角） ?=∠+∠18021 同角或等角的补角相等 对顶角 两直线相交而成的一个角两边 分别是另一角两边反向延长线 对顶角相等 21∠=∠ 三、经典例题题剖析： 例1．已知一个角的余角比它的补角的13 5 还少?4，求这个角。 例2．如图所示，AOB 是一条直线，?=∠?=∠90,90DOE AOC ，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？ 例3.如图l －2－1，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∠ 1＝15○ 30’，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠2 =45○ B ．∠1=∠3 C ．∠AO D 与∠1互为补角 D ．∠1的余角等于75○ 30′ 解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识． 四、巩固练习： 1．_______的余角相等，_______的补角相等． 2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○ ，∠3=__ 3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角 B ．一个角的补角一定比这个角大 C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D ．相等的角一定互余 4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○ ，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ） 1 2 1 2 1 2 A B E O C D 1 2 3 4
相交线与平行线 一、知识框架 二、典型例题 1. 下列说法正确的有（B ） ①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角 2. 如图所示,下列说法不正确的是（D 3. 下列说法正确的有（C ） ①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 A.点B 到AC 的垂线段是线段 AB; B. 点C 到AB 的垂线段是线段 AC C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段；D. 线段BD 是点B 到AD 的垂线段 D
13交于0点，图中出现了几对对顶角，若 n 条直线相交呢? 答案：3对，n （n +1） 9.如图，在4 4的正方形网格中， 1, 2, 3的大小关系是 ②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线 ④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4?一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同, 这两次拐弯的角度可能是（ A ） A.第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐 50 C.第一次向右拐50°第二次向右拐130 ° D. 第一次向左拐 50 第二次向左拐 5 .如图，若 AC 丄BC 于C, CE U AB 于D,则下列结论必定成立 的是（ A. CD>AD B.ACvBC C. BC>BD D. CD 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 １.掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系; 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用． 经典·考题·赏析 【例１】如图,四边形AB ＣD 中，ＡＢ∥C Ｄ, ＢC ∥A Ｄ，∠Ａ【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行,内错角相等; 两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥ＣD BC ∥AD ∴∠A ＋∠Ｂ=1８０° ∠B +∠Ｃ=1８0°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝３８° ∴∠C ＝3８° 【变式题组】 ０1.如图,已知ＡD ∥ＢＣ,点E 在BD 的延长线上,若∠A ＤＥ＝155°，则∠ＤＢC 的度数为 ( ) Ａ.1５5° ?B ．50°? C .45° ?D .25° 02.（安徽)如图，直线l 1 ∥ ｌ2,∠1＝55°，∠２＝6５°,则∠3为( ) A ． 50° B ． 55° Ｃ. 60° Ｄ．65° 03.如图，已知ＦC ∥A Ｂ∥D Ｅ，∠α:∠D ：∠B ＝２: 3: 4, 试求∠α、∠Ｄ、∠B 的度数. 【例2】如图,已知AB ∥ＣＤ∥EF ，GC ⊥CF ,∠B ＝60°,∠EFC ＝45°,求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平 分线相结合,可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BC Ｄ ∠F ＝∠FC Ｄ(两条直线平行，内错角相等)又∵∠Ｂ＝60° ∠EFC =４5° ∴∠B ＣD =60° ∠F ＣD =4５° 又∵ＧＣ⊥CF ∴∠GCF ＝９0°(垂直定理） ∴∠GCD =9０°－４5°=４5° ∴∠B ＣＧ=6０°－45°＝15° 【变式题组】 E A F G D C B 第二章 相交线与平行线培优讲义 如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另 一条的相交线． 相交线的性质：两直线相交只有一个交点． 邻补角的概念： 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。 对顶角的概念及性质： （1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对 顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角. （2）对顶角的性质：对顶角相等。 垂线的概念及性质： （1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直 线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ” 4 3 2 1 D C B A （2）垂线的性质： ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 5.同位角、内错角、同旁内角的概念： ①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同 一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角. ②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分 别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角 ③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角. 看图识角： （1）“F ”型中的同位角.如图. （2）“Z ”字型中的内错角，如图. D C B A 876 54 321F E D C B A F M N D B F M N C A M N D B E M N E C A 平行线分线段成比例专题训练 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果 DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == 3. 平行的判定定理：如上图，如果有BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥BC 。 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求 证：111 c a b =+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，， 过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥， AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求 l 3 l 2l 1F E D C B A A B C D E E D C B A E D C B A F E D C B A F E D C B A 专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键．两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】(1) 如图①，AB∥DE，∠ABC＝0 80，∠CDE＝0 140，则∠BCD＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB∥CD，∠C＝0 115，∠A＝0 25，则∠E＝___________. （浙江省杭州市中考试题） D B 图② F E C A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB，CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有( )．A．4对B．8对 C．12对D．16对 （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． D E C A B 图1 H G F E D B C A 1 平行线复习 1、平行线的概念 例题：判断对错： 1）不相交的直线互相平行 2）不相交的线段互相平行3）不相交的射线互相平行 4）有公共点的直线一定不平行 5）过两点有且只有一条直线 6）在同一平面内两条不同的直线有且仅有一个公共点7）经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行 8）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 10）过任意一点可作已知直线的一条平行线 2、平行线的画法：一贴，二靠，三移，四画 3、同位角，内错角，同旁内角 例：分别判断下列各图中有几对同位角，内错角，同旁内角 第1图第2图第3图 4、平行线的判定；平行线的性质 例：1）如图要判断AB//CD，可以增加一个什么条件？ 2）如图，DH EG BC ∥∥，且DC EF ∥，那么图中和∠1相等的角的个数是多少 3) 将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，图中相互平行的线段有多少对？ E D C B A 5、问题探究——平行线间的折线问题 1）如图，AB//CD，探究∠B, ∠E, ∠D之间存在的关系 2）如图，AB//MN，探究∠B, ∠C, ∠D, ∠E，∠N之间存在的关系？ 3）通过1），2）你发现什么规律 4）如图，已知AB//CD，探究∠l，∠2，∠3之间存在的关系？如果再折两次呢？发现什么规律？ 5）如图，AB∥EF，∠C=90，则角、、存在什么样的关系 6) 如图，AB//CD，α β β α2 , ,= ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ =证明： D C B E A 7）如图 ，已知AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，140E ∠=?， 求BFD ∠的度数？ 6、问题探究——平行线与角平分线、垂直的问题 1）已知：OE 平分∠AOD ，AB ∥CD ， OF ⊥OE 于O ， 求证：∠FOB=2 1∠D 2）如图，AB ∥CD ，若EM 平分∠BEF ，FM 平分∠EFD ， EN 平分∠AEF ，则与∠BEM 互余的角有哪些 3）如图，AB//CD ，直线平分∠AOE ，求证∠2＝90°－2 1∠1 4）如图12，//AC BD ，//AB CD ，E ∠=∠1，F ∠=∠2，AE 交CF 于点O ， 试说明：CF AE ⊥. （第1题） O A B C D E （第2题） C D （第3题） D E D 平行线的判定与性质培优经典题（1） 知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质； ② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用； ③ 平行线的判定方法 、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交. 基础训练： 1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE . 2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD . 3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， 则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ . 4. 如图，直线AB 、CD 交于点O . （1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ; （第5题） E D （第7题）O A B C D F E （第6题） O A B C D E F B D A （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ . 5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍 大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE . 6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF . 7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ， 垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC . C B 8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 . 经典题型： 1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以 O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2） 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中 与∠1相等的角有（ ）对. A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 （西 宁市中 考题） 3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛题) 相交线与平行线（综合） 1、如图1，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′的度数为 。 2、如图2，直线AB CD 、相交于点E ，DF AB ∥．若100AEC ∠=°，则D ∠等于 。 3、如图3，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=° ，°，则3∠的度数等于 。 4、如图 4，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 。. 5、如图5，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。 6、如图6，已知AC ∥ED ，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED 的度数是 。 图4 图5 图6 7、如图7，AB ∥CD ，∠ABE ＝66°，∠D ＝54°，则∠E 的度数为_______________． 8、如图8，AB//CD,直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF,过点F 作FP ⊥EP,垂足为P ，若∠PEF=300 ,则∠PFC=__________。 9、如图9，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= ． 10、如图10，已知//AE BD ，∠1=130o ，∠2=30o ，则∠C= ． 图7 图8 图9 图10 11. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）. A 、平行线间的距离相等 B 、两点之间，线段最短 C 、垂线段最短 D 、两点确定一条直线 C A E B F D 图2 E D B C′ F C D ′ A 图1 1 2 3 图3 l 1 l 2 1 2 3 300 P F E B A C D A B D C 1 2 3 第12题 人教版七年级下册第5章相交线与平行线 培优训练（四） 1．如图，若∠1＝∠2，∠A＝∠3．则可以推出AC∥DE．请完成下面的推理过程：因为∠1＝∠2，所以AB∥ 所以∠A＝∠4 又因为∠A＝∠3，所以∠3＝∠ 所以AC∥DE 2．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2+∠3＝180° （1）证明：AD∥EF． （2）若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数． 3．如图，AB∥CD，AB＝CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠BAE＝∠DCF．（1）求证：AE＝CF； （2）连结AF、EC，若AE＝AF，试猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的结论． 4．【问题原型】 如图①，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，则∠M＝∠B+∠D，小明解决上述问题的过程如下： 如图②，过点M作MN∥AB 则∠B＝（） ∵AB∥CD，（已知） MN∥AB（辅助线的做法） ∴MN∥CD（） ∴∠＝∠D（） ∴∠B+∠D＝∠BMD 请完成小明上面的过程． 【问题迁移】 如图③，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，猜想∠M、∠B、∠D之间有怎样的数量关系，并加以说明． 【推广应用】 （1）如图④，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N，∠M＝96°，则∠N＝°； （2）如图⑤，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，∠ABM的平分线与∠CDM 的平分线交于点N，∠N＝25°，则∠M＝°； （3）如图⑥，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠G＝78°，∠F＝64°，∠E＝64°，则∠M＝°． 5．感知：如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠P、∠A、∠C满足的数量关系是． 探究：如图②，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则∠APC、∠A、∠C满足的数量关系是． 请补全以下证明过程： 证明：如图③，过点P作PQ∥AB ∴∠A＝ ∵AB∥CD，PQ∥AB ∴∥CD ∴∠C＝∠ ∵∠APC＝∠﹣∠ ∴∠APC＝ 应用：（1）如图④，为北斗七星的位置图，如图⑤，将北斗七星分别标为A、B、C、D、 相交线与平行线 一、知识要点 1、平面内两条直线的位置关系：相交或平行。 （1）相交线：如果两条直线有一个公共点，则称为两相交直线； （2）平行线：如果两条直线没有公共点，则称为平行直线。 2、两条直线的垂直：如果两条直线相交所成的角为直角，则称这两条直线互相垂直。 3、两条直线垂直的两个重要结论： （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。 4、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 5、两条直线平行的判定： （1）两直线没有公共点； （2）同时与第三条直线平行； （3）被第三条直线所截，同位角相等； （4）被第三条直线所截，内错角相等； （5）被第三条直线所截，同旁内角互补； （6）垂直于同一直线。 6、两平行直线被第三直线所截，有： （1）同位角相等；（2）内错角相等；（3）同旁内角互补。 例1、三条直线相交于一点，共可组成几对对顶角？若三条直线两两相交，但未必相交于一 点呢？一般地，n(n 2) 条直线两两相交，共可组成几对对顶角？ l1 l2 O l3 例2、10 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 例3、如图，平行直线EF、MN被相交直线AB、CD所截，请问图中有多少 对同旁内角？其中互补的有多少对？ 例4、有10 条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31 名交警，刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤，请你画出公路示意图. 例5、设a,b,c 为锐角三角形ABC的边长，而为对应边上的三条高线长，求证： h a +,h b+,h c＜a+b+c 例6、如图，直线a∥b，直线AB 交a 与b 于A，B，CA平分∠1， CB平分∠ 2 ， 求证：∠C=90° 例7、如图1，已知直线l 1∥l 2，直线l 3 和直线l 1、l 2 交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P 点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化？若点P 在C、D 两点的外侧运动时（P 点与点C、D 不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系 又是如何？ o o 例8、如图（1），∠ABC=120，∠BCD=85，ED, 求∠CDE的度数。 o o （2）∠ABC=25，∠BCD=30，AB‖ED,求∠CDE的度数。 o o （3）∠ABC=125，∠BCD=95，AB‖ED,求∠CDE的度数。 A A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 图1 平行线与相交线培优题型 1 已知：如图1，∠B 1＋∠B 2=∠A 1＋∠A 2＋∠A 3（即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和），求证：AA 1∥BA 3 （想一想：如果把例1的折线变成几条，且∠B ＋∠B 1＋∠B 2＋…＋∠B n =∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A n ，那么AA 1∥BA n 成立吗？若成立，试加以证明；若不成立，请说明理由。） 2, 如图2，已知AB ∥CD ，∠AFE=α，∠ECB=β，求证：∠E=α＋β－180°。 3, 已知，如图3，AB ∥CD ，BC ∥DE ，BF 平分∠ABC ，DG 平分∠EDC ， 求证：DG ⊥BF 。 4, 如图5，正方形ABCD 对角线AC 分成几段，以每一段为对角线作正方形，设这几个小正方形的周长之和为P ，正方形ABCD 的周长为L ，求证：P=L 。 A F B E D α β C 图2 A B G C D E 图3 A C D 5, 如图6，AB ∥ED ，α=∠A ＋∠E ，β=∠B ＋∠C ＋∠D ，求证：β=2α。 6,平面上有10条直线，且无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，试问：怎样安排才能办到？ 7,如图8，已知AB ∥CD ，被直线EF 所截交AB 、CD 于M 、N ，MP 平分∠EMB ，NQ 平分∠MND ，求证：MP ∥NQ 。 8,如图9，已知∠AB E ＋∠DEB=180°，∠1=∠2。求证：∠F=∠G 。 9,如图10 ，已知∠ADE=∠B ，∠1=∠2，GF ⊥AB ，求证：CD ⊥AB 。 图6 2 1 A B C F G D E 图9 B 图10 七年级数学：相交线与平行线 培优复习 例题精讲 例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。 解：∵ a ∥b ， ∴ ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义) ∴ ∠1＝∠2 (等式性质) 则 3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142° ∴ ∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。 例2．已知：如图(2)， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B -∠D=24°，求∠GEF 的度数。 解：∵AB ∥EF ∥CD ∴∠B=∠BEF ，∠DEF=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质） ∵∠B-∠D=24°（已知） 图(2) ∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG 平分∠BEF （已知） ∴∠GEF=21 ∠BEF=30°（角平分线定义） 例3．如图（3），已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。 解：过E 作EF ∥AB ∵ AB ∥CD （已知） ∴ EF ∥CD （平行公理） ∴ ∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠DEB=∠DEF -∠BEF ∴ ∠DEB =∠D -∠B=30° 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。 图（3） 3 2 l b 4 A 第五章 相交线与平行线培优专题训练 1．已知：如图， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B -∠D=24°，求∠GEF 的度数。 2．如图，已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。 解：过E 作EF ∥AB 3．如图，直线AB 与CD 相交于O ，EF ⊥AB 于F ，GH ⊥CD 于H ， 求证EF 与GH 必相交。 分析：欲证EF 与GH 相交，直接证很困难，可考虑用反证法。 证明：假设EF 与GH 不相交。 ∵ EF 、GH 是两条不同的直线 ∴ EF ∥GH ∵ EF ⊥AB ∴ GH ⊥AB 又因GH ⊥CD 故AB ∥CD (垂直于同一直线的两直线平行) 图（4） 这与已知AB 和CD 相交矛盾。 所以EF 与GH 不平行，即EF 与GH 必相交 评注：本题应用结论： (1) 垂直于同一条直线的两直线平行。 (2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线； 4．平面上n 条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解：2条直线产生 个交点， 第3条直线与前面2条均相交，增加 个交点，这时平面上3条直线共有 个交点； 第4条直线与前面3条均相交，增加 个交点，这时平面上4条直线共有 个交点； … 则 n 条直线共有交点个数： 。 G 5． 6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？ 解：6条不同的直线最多确定： 条直线，除去共线的3点中重合多 算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。 另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3× 3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条 评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=2 1 n(n-1) 6．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域； 3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域； 同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域； … ∴ 10条直线最多分成 个不同区域。 推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+ 21n(n+1)=2 1 (n 2+n+2)块不同的区域 思考：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 7．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 8．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 9．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条 10．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 11．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 相交线与平行线培优题(2) 一．选择题（共12小题） 1．如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2=（） A．56°B．66°C．24°D．34° 2．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100° D．102° 3．如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（） A．35°B．45°C．50°D．55° 第2题第三题第4题第5题 4如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为：A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠DFE C．∠1=∠AFD D．∠2=∠AFD 6．如图，与∠1是同旁内角的是（） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 7．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 8．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7 9．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（） A．85°B．70°C．75°D．60° 10．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（） A．65°B．115°C．125° D．130° 11．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（） A．65°B．55°C．45°D．35° 12．如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（） A．85°B．60°C．50°D．35° 二．填空题（共12小题） 13．如图，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，则∠2的大小是． 14．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BFA=34°，则∠DAE=度． 平行线与相交（初一A3）相交线 1．已知一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，求这个角的余角．2．如图所示，直线a，b，C两两相交，∠1=2∠3，∠2=80°，求∠4的度数． 3．如图，直线AB，CD相交于点O，且∠1=∠2． （1）指出∠1的对顶角； （2）若∠2和∠3的度数比是2：5，求∠4和∠AOC的度数． 4．如图，OA⊥OB，OB平分∠MON，若∠AON=120°，求∠AOM的度数． 5．如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O． （1）若∠1=∠2，求∠NOD； （2）若∠BOC=4∠1，求∠AOC与∠MOD． 6．如图，点O 为直线AB 上一点，OC 为一射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ． （1）若∠BOC=50°，试探究OE ，0F 的位置关系； （2）若∠BOC 为任意角α（0°＜α＜180°），（1）中OE ，OF 的位置关系是否仍成立？请说明理由．由此你发现什么规律？ 平行线 一．判断题 1．两条直线被第三条直线所截，只要同旁内角相等，则两条直线一定平行。（ ） 2．如图①，如果直线1l ⊥OB ，直线2l ⊥OA ，那么1l 与 2l 一定相交。（ ） 3．如图②，∵∠GMB=∠HND （已知）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）（ ） 二．填空：1题：如图 (3) ∵∠1=∠2，∴_______∥________（ ）。 ∵∠2=∠3，∴_______∥________（ ）。 2．如图④ ∵∠1=∠2，∴_______∥________（ ）。 ∵∠3=∠4，∴_______∥________（ ）。 初一下数学寒假培优训练一（余角、补角以及三线八角、平行线的判定） 一、考点讲解： 1余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角. 2. 补角：如果两个角的和是平角，那.么称这两个角互为补角. 3?对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角. 4.互为余角的有关性质：① / 1 + Z 2=90 °，则/ 1、/ 2互余.反过来，若/ 1,7 2互余.则/ 1 + Z 2=90°.②同角或等角的余角相等，如果/ I 十/ 2=90° , / 1 + / 3= 90 °，则/ 2= / 3 . 5?互为补角的有关性质：①若/ A +/B=180°则/ A 、/ B 互补，反过来，若/ A 、/ B 互补，则/ A+/ B = 180。.②同角或等角的补角相等.如果/ A + / C=18 0°，/ A+/ B=18 0 °，则/ B=/ C. 6.对顶角的性质：对顶角相等. 项目 定义 性质 图形 互余角 两个角和等于90 （直角） 1 2 90 冋角或等角的余角相等 互补角 两个角和等于180 （平角） 1 2 180 冋角或等角的补角相等 对顶角 两直线相交而成的一个角两边 分别是另一角两边反向延长线 对顶角相等 1 2 5 例1 .已知一个角的余角比它的补角的 还少4，求这个角。 13 例2.如图所示，AOB 是一条直线， AOC 90 , DOE 90，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相 例3.如图I — 2- 1，直线AB, CD 相交于点 0, OEL AB 于点0, OF 平分/ AOE / 1 = 15°30'则下列结论 中不正确的 是（ ） A ./ 2 =45 ° B . / 1 = / 3 C . / AO D 与/ 1 互为补角 D . / 1 的余角等于 75°30' 解：D 点拨：此题考查 了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识. 四、巩固练习： 1. ______ _________________ 的余角相等， 的补角相等. 2. / 1 和/2 互余，/ 2 和/ 3 互补，/ 仁63°,/ 3=__ 3. 下列说法中正确的是（ ）A .两个互补的角中必有一个是钝角 B .一个角的补角一定 比这个角大 C .互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D .相等的角一定互余 4. 轮船航行到 C 处测得小岛A 的方向为北偏东32。，那么从A 处观测到C 处的方向为（） 等的? C A O B 初一相交线平行线培优 一、单选题 1．（本题3分）如图,OA⊥OB,∠BOC=30°,OD平分∠AOC,则∠BOD的大小是() A. 20° B. 30° C. 40° D. 60° 2．（本题3分）如图为平面上五条直线L1，L2，L3，L4，L5相交的情形，根据图中标示的角度，判断下列叙述何者正确（） A. L1和L3平行，L2和L3平行 B. L1和L3平行，L2和L3不平行 C. L1和L3不平行，L2和L3平行 D. L1和L3不平行，L2和L3不平行 3．（本题3分）如图，将一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=50°，那 么∠2的度数是 ( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 30° 4．（本题3分）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论： ①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠4＝90o；④∠4+∠5＝180o． 其中正确的个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．（本题3分）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 6．（本题3分）如图，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E, AE⊥DE,∠1+∠2=90°,M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．∠F的度数为___________． A．120° B．135° C．150° D．不能确定二、填空题 7．（本题3分）100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角________对. 8．（本题3分）如图，a∥b，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4的度数是______度． 9．（本题3分）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将BMN沿MN翻折，得FMN，若MF AD，FN DC，则D 的度数为________. 10．（本题3分）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG=_______ 11．（本题4分）已知，如图，直线a∥b，则∠1、∠2、∠3、∠4之间的数量关系为__________________ 12．（本题4分）已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为___________s N M 2 1 F E D C B A新建-平行线的性质培优试题
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