第五章相交线与平行线单元试卷（培优篇）（Word 版 含解析）
一、选择题
1．如图，A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ．则下列说法正确的是（ ）
A ．AC=BP
B ．△AB
C 的周长等于△BCP 的周长 C ．△ABC 的面积等于△ABP 的面积
D ．△ABC 的面积等于△PBC 的面积
2．如图，DE 经过点A ，DE ∥BC ，下列说法错误的是（ ）
A ．∠DA
B ＝∠EAC
B ．∠EA
C ＝∠C C ．∠EAB+∠B ＝180°
D ．∠DAB ＝∠B
3．下列说法中，正确的有（ ）
①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； ③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．下列命题中，正确的是（ ）
A ．两个直角三角形一定相似
B ．两个矩形一定相似
C ．两个等边三角形一定相似
D ．两个菱形一定相似 5．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点
E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点
F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线E
G 交B
H 于点G ，若100DEH ?∠=，则BEG ∠的度数是（ ）
A ．30?
B ．40?
C ．50?
D ．60?
6．已知∠A 的两边与∠B 的两边互相平行，且∠A=20°，则∠B 的度数为（ ）. A ．20° B ．80° C ．160° D ．20°或160°
7．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，DE 交AB 于E ，若AB ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ）
A ．BD ⊥AC
B ．∠A ＝∠EDA
C ．2A
D ＝BC D ．B
E ＝ED
8．下列说法中,错误的有( )
①若a 与c 相交,b 与c 相交,则a 与b 相交;
②若a∥b,b∥c,那么a∥c;
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种.
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
9．下列图中的“笑脸”，由如图平移得到的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知，//AB CD ，且2CD AB =，ABE △和CDE △的面积分别为2和8，则ACE △的面积是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（ ）
A ．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离
B ．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠
C ．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程
D ．直角三角形中任意一条直角边的长度都比
斜边短
12．下列命题是真命题的是（ ）
A ．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B ．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C ．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D ．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0 二、填空题
13．如图， 已知//AB CF ，//CF DE ， 90BCD ∠=?，则D B ∠-∠=_________
14．已知∠ABC=70?，点D为BC边上一点，过点D作DP//AB，若∠PBD=1
2
∠ABC，则
∠DPB=_____?.
15．两个角的两边分别平行,一个角是50°,那么另一个角是__________.
16．探究题：
(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；
(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；
(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有______对．(用含n的式子表示)
17．如图,点A、B为定点,直线l∥AB,P是直线l上一动点，对于下列各值:①线段AB的长；
②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的度数，其中不会随点P的移动而变化的是(填写所有正确结论的序号)______________.
18．如图，直线a∥b∥c，直角∠BAC的顶点A在直线b上，两边分别与直线a，c相交于点B，C，则∠1＋∠2的度数是___________．
19．如图，已知AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；
20．如图，//AB CD ，BD 平分ABC ∠，:4:1C DBA ∠∠=，则CDB ∠=______．
三、解答题
21．（感知）如图①，AB ∥CD ，点E 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、BE ，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC ；
（探究）当点E 在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°； （应用）点E 、F 、G 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、EF 、FG 和CG ，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
22．已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 相交于点E ．
（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，
①若∠ABC =50o，∠ADC =70o，求∠BED 的度数；
②请直接写出∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系；
（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，试猜想∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系，并说明理由．
23．（1）问题发现
如图①，直线AB ∥CD ，E 是AB 与AD 之间的一点，连接BE ，CE ，可以发现∠B +∠C ＝∠BEC ．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （ ）
∴∠C ＝∠CEF ．（ ）
∵EF ∥AB ，∴∠B ＝∠BEF （同理），
∴∠B +∠C ＝ （等量代换）
即∠B +∠C ＝∠BEC ．
（2）拓展探究
如果点E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B +∠C ＝360°﹣∠BEC ． （3）解决问题
如图③，AB ∥DC ，∠C ＝120°，∠AEC ＝80°，则∠A ＝ ．（之间写出结论，不用写计算过程）
24．(1)如图1，已知任意ABC ?，过点C 作//DE AB ，求证：
180A B ACB ∠+∠+∠=?；
(2)如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F ；
(3)如图3，//,119,AB CD CDE GF ∠=?交DEB ∠的角平分线EF 于点
,150F AGF ∠=?，求F ∠的度数．
25．如图1，//,AB CD 直线MN 分别交AB CD 、于点,E F BEF ∠、与EFD ∠的角平分线交于点P EP ，与CD 交于点G GH EG ⊥,交MN 于H ．
（1）求证：
// ;PF GH （2）如图2，连接PH K ,为GH 上一动点，PHK HPK PO ∠=∠,平分EPK ∠交MN 于,Q 则HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
26．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是a °/秒，灯B 转动的速度是b °/秒，且a 、b 满足|a ﹣3b|+（a+b ﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ ∥MN ，且∠BAN ＝45°．
（1）求a 、b 的值；
（2）若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前，若射出的光束交于点C ，过C 作CD ⊥AC 交PQ 于点D ，则在转动过程中，∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
27．如图1．已知直线AB ED ．点C 为AB ，ED 内部的一个动点，连接CB ，CD ，作ABC ∠的平分线交直线ED 于点E ，作CDE ∠的平分线交直线BA 于点A ，BE 和DA 交于点F ．
（1）若180FDC ABC ∠+∠=?，猜想AD 和BC 的位置关系，并证明；
（2）如图2，在（1）的基础上连接CF ，则在点C 的运动过程中，当满足CF AB ∥且
32
CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数． 28．如图1，直线AB 与直线OC 交于点O ，()090BOC αα∠=?<<．小明将一个含30的直角三角板PQD 如图1所示放置，使顶点P 落在直线AB 上，过点Q 作直线MN AB 交直线OC 于点H (点H 在Q 左侧)．
（1）若PD OC ∥，45NQD ∠=?，则α=__________?．
（2）若PQH ∠的角平分线交直线AB 于点E ，如图2．
①当QE OC ∥，60α=?时，求证：OC PD ． ②小明将三角板保持PD OC ∥并向左平移，运动过程中，PEQ ∠=__________．(用α
表示)．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．
【详解】
解：∵A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ， 根据平行线之间的距离相等可得：△ABC 与△PBC 是同底等高的三角形，
故△ABC 的面积等于△PBC 的面积．
故选D ．
【点睛】
本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．
2．A
解析：A
【分析】
根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补逐一判断可得．
【详解】
解：∵DE ∥BC ，
∴∠DAB＝∠ABC（两直线平行，内错角相等），A选项错误、D选项正确；
∠EAC＝∠C（两直线平行，内错角相等），B选项正确；
∠EAB+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补），C选项正确；
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补．3．D
解析：D
【解析】
分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．
详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
③等腰三角形的两底角相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
故选D．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．
4．C
解析：C
【分析】
利用反例可分析排除判断．
【详解】
解：等腰直角三角形和非等腰直角三角形显然不相似，故A错误；
正方形和长方形都是矩形，显然不相似，故B错误；
内角分别是60°，120°，60°，120°的菱形和内角分别是80°，100°，80°，100°的菱形显然不相似，故D错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．B
解析：B
【分析】
AD∥BC，∠D=∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．
【详解】
解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，
而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，
∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，
在△AEF中，
在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°
故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
故选：B．
【点睛】
此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-
2β=180°，题目难度较大．
6．D
解析：D
【解析】试题分析：如图，∵∠A=20°，∠A的两边分别和∠B的两边平行，
∴∠B和∠A可能相等也可能互补，
即∠B的度数是20°或160°，
故选：D.
7．C
解析：C
【解析】
试题分析：BD是△ABC的角平分线， AB＝BC，则BD是AC边上的高及中线，所以
∠ABD＝∠DBC ,BD⊥AC，2AD=AC, ∠A＝∠BCA；因为DE∥BC，所以∠EDA＝∠BCA,
∠EDB＝∠DBC，所以∠A＝∠EDA, ∠ABD＝∠EDB，所以BE＝ED。所以A、B、D正确，C 错误。
8．B
解析：B
【解析】①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交或平行，故本小题错误；
②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；根据平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么两条直线也互相平行，上面说法正确；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故正确；
④在平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种，故不正确.
因此只有②③正确.
故选：B.
9．D
解析：D
【分析】
根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
【详解】
解：A 、B 、C 都是由旋转得到的，D 是由平移得到的．
故选：D ．
【点睛】
本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
10．B
解析：B
【分析】
利用平行线间的距离相等可知ABC 与ACD △的高相等，底边之比等于面积之比，设ACE △的面积为x ，建立方程即可求解．
【详解】
∵//AB CD
∴ABC 与ACD △的高相等
∵2CD AB =
∴=2ACD ABC S S
设ACE △的面积为x ，则=8+=+ACD CDE ACE S
S S x ，=2+=+ABC ABE ACE S S S x ∴()822+=+x x
解得4x =
∴=4ACE S
故选B ．
【点睛】
本题考查平行线间的距离问题，由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等，从而建立方程是解题的关键．
11．C
解析：C
垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．据此逐个分析即可.
【详解】
解：A．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离，运用“垂线段最短”这一性质；
B．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠，运用“垂线段最短”这一性质；
C．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程，运用“两点之间，线段最短”这一性质；
D．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短，运用“垂线段最短”这一性质；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
12．A
解析：A
【分析】
根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．
【详解】
A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
故选A．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．二、填空题
13．90°
【分析】
根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小
【详解】
∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠
解析：90°
根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小
【详解】
∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠FCD+∠D=180°
∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化简得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)
∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°
∴∠D―∠B=90°
故答案为：90°
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．
14．35或75
【解析】
分析：根据题意，分为点P在∠ABC的内部和外部两种情况，由平行线的性质求解.
详解：如图，当P点在∠ABC的内部时，
∵PD∥AB
∴∠P=∠ABP
∵∠PBD=∠ABC，∠A
解析：35或75
【解析】
分析：根据题意，分为点P在∠ABC的内部和外部两种情况，由平行线的性质求解.
详解：如图，当P点在∠ABC的内部时，
∵PD∥AB
∴∠P=∠ABP
∵∠PBD=1
2
∠ABC，∠ABC=70
∴∠PBD=35°
∴∠ABP=∠ABC-∠PBD=35°.
当点P在∠ABC的外部时，
∵∠PBD=1
2
∠ABC，∠ABC=70
∴∠PBD=35°
∴∠ABP=∠ABC+∠DPB=105°
∵PD∥AB
∴∠DPB+∠ABP=180°
∴∠DPB=75°.
故答案为：35或75.
点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是明确P点的位置，分两种情况进行求解. 15．130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是
解析：130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是130°或50°．
故答案为：130°或50°．
16．(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)
【解析】
试题分析：根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都
解析：(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)
【解析】
试题分析：根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置
的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．
试题解析：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有 2对．
（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有 12对，内错角有 6对，同旁内角有 6对．
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n（n-1）对，内错角有 n（n-1）对，同旁内角有n（n-1）对，
点睛：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
17．①③
【分析】
求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．
【详解】
解：∵A、B为定点，
∴AB长
解析：①③
【分析】
求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．
【详解】
解：∵A、B为定点，
∴AB长为定值，
∴①正确；
∵点A，B为定点，直线l∥AB，
∴P到AB的距离为定值，故△APB的面积不变，
∴③正确；
当P点移动时，PA+PB的长发生变化，
∴△PAB的周长发生变化，
∴②错误；
当P点移动时，∠APB发生变化，
∴④错误；
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记
定理是解题的关键．
18．270°
【分析】
根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，
∵a∥b，
∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，
∵
解析：270°
【分析】
根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，
∵a∥b，
∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，
∵b∥c
∴∠2+∠4=180°，则∠4=180°-∠2，
∵∠BAC是直角，
∴∠3+∠4=180°-∠1+180°-∠2，
∴90°=360°-（∠1+∠2），
∴∠1+∠2=270°．
故答案为：270°
【点睛】
本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
19．62
【详解】
∵，，
∴∠BOC=90°-28°=62°
∵∠BOC=∠AOD
∴∠AOD=62°.
解析：62
【详解】
∵OE AB ⊥，28EOC ∠=，
∴∠BOC=90°-28°=62°
∵∠BOC=∠AOD
∴∠AOD=62°.
20．30°
【分析】
先由AB//CD 得到∠CDB=∠ABD ，∠C+∠ABC=180?,设出∠ABD=x°，依据“平分，”列出方程，求出∠ABD 即可解决问题．
【详解】
∵AB//CD
∴∠ABD=x°
解析：30°
【分析】
先由AB//CD 得到∠CDB=∠ABD ，∠C+∠ABC=180?,设出∠ABD=x°，依据“BD 平分ABC ∠，:4:1C DBA ∠∠=”列出方程，求出∠ABD 即可解决问题．
【详解】
∵AB//CD
∴∠ABD=x°，∠ABD ，∠C+∠ABC=180?,
BD 平分ABC ∠，
∴∠ABD=∠CBD
∵:4:1C DBA ∠∠=，
∴4C DBA ∠=∠
设∠ABD=x°，则∠CBD=x°，∠C=4x°，
∴2x°+4x°=180°,解得，x=30
∴∠ABD=30°，
∴∠CDB=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，求出∠ABD=30°是解此题的关键．
三、解答题
21．【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.
【分析】
感知：如图①，过点E 作EF ∥AB ．利用平行线的性质即可解决问题；
探究：如图2中，作EG ∥AB ，利用平行线的性质即可解决问题；
应用：作FH ∥AB ，利用平行线的性质即可解决问题；
【详解】
解：理由如下，
【感知】
过E点作EF//AB
∵AB//CD
∴EF//CD
∵AB//CD
∴∠BAE=∠AEF
∵EF//CD
∴∠CEF=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.
【探究】
过E点作AB//EG.
∵AB//CD
∴EG//CD
∵AB//CD
∴∠BAE+∠AEG=180°
∵EG//CD
∴∠CEG+∠DCE=180°
∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°
【应用】
过点F作FH∥AB.
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°
故答案为396°.
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
22．（1）①∠BED=60o；②∠BED=1
2
∠ABC+
1
2
∠ADC；（2）∠BED=180o-
1 2∠ABC+
1
2
∠ADC，理由见解析．
【分析】
（1）①过点E作EF∥AB，然后说明AB∥CD∥EF，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；
②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．
（2）过点E作EF∥AB，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．
【详解】
（1）①如图1，过点E作EF∥AB．
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABC=50o，∠ADC=70o
∴∠ABE=1
2∠ABC=15025
2
?=
°°，
∠EDC=1
2∠ADC=17035
2
??=?，
∴∠BEF=25o，∠DEF=35o，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25o+35o=60o；
②∵AB∥CD
∴AB ∥CD ∥EF
∴∠ABE=∠BEF=12∠ABC ，∠EDC=∠DEF=12
∠ADC ；． ∴∠BED=∠BEF +∠DEF =
12∠ABC+12∠ADC ∴∠BED=12∠ABC+12
∠ADC （2）如图2，过点E 作EF ∥AB ．
∵AB ∥CD
∴AB ∥CD ∥EF
∴∠EDC=∠DEF ，
∵∠ABE+∠BEF=180o，
∴∠BEF=180o-∠ABE ．
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，
∴∠ABE=12∠ABC ，∠DEF=12
∠ADC ， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180o-12∠ABC+12
∠ADC ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．
23．（1）平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF +∠CEF ；（2）证明见解析；（3）20°．
【分析】
（1）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可；
（2）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可；
（3）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
（1）证明：如图①，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C＝∠CEF．（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF+∠CEF；（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，
∴∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；
（3）解：如图③，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF＝180°，∠A＝∠BEF，
∵∠C＝120°，∠AEC＝80°，
∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEF＝80°﹣60°＝20°，
∴∠A＝∠AEF＝20°．
故答案为：20°．
第五章相交线与平行线 5.1相交线 [教学目标] 1. 通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理表达能力。 2. 了解邻补角、对顶角以及同位角，内错角，同旁内角，能找出图形中的这些角，理解并能运用它解决一些简单问题。 [教学重难点] 重点:邻补角与对顶角，垂线与及同位角，内错角，同旁内角的概念。 难点:理解对顶角相等的性质的探索，垂线的画法。 考点知识 1.邻补角：有一个公共的顶点，有一条公共的边，另外一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角。两条直线相交有4对邻补角。 对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。两条直线相交，有2对对顶角；对顶角相等。 ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2.垂线： ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 C 符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O O A B D
⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3.垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB 所有线段中最短的一条。 5.同位角：两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同位角。如图中∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 内错角：两个角都在两直线之间，并且在第三条直线的两旁，这样的一对角叫做内错角。如图中∠3与∠5，∠4与∠6. 同旁内角：两个角都在两直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中∠3与∠6，∠4与∠5. 经典例题 例1．如图所示，AB和CD交于点O，∠AOE=? 90，则∠AOC与∠BOD是，∠AOC与∠AOD是，∠AOC与∠DOE C A O B D E ?P A B O
初一下数学寒假培优训练一（余角、补角以及三线八角、平行线的判定） 一、考点讲解： 1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． 2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角． 3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 4．互为余角的有关性质：① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠ 2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2=90○ ，∠1+∠ 3= 90○ ，则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○ 则∠A 、∠B 互补，反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A+∠B ＝ 180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○ ，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C ． 6．对顶角的性质：对顶角相等． 项目 定义 性质 图形 互余角 两个角和等于?90（直角） ?=∠+∠9021 同角或等角的余角相等 互补角 两个角和等于?180（平角） ?=∠+∠18021 同角或等角的补角相等 对顶角 两直线相交而成的一个角两边 分别是另一角两边反向延长线 对顶角相等 21∠=∠ 三、经典例题题剖析： 例1．已知一个角的余角比它的补角的13 5 还少?4，求这个角。 例2．如图所示，AOB 是一条直线，?=∠?=∠90,90DOE AOC ，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？ 例3.如图l －2－1，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∠ 1＝15○ 30’，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠2 =45○ B ．∠1=∠3 C ．∠AO D 与∠1互为补角 D ．∠1的余角等于75○ 30′ 解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识． 四、巩固练习： 1．_______的余角相等，_______的补角相等． 2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○ ，∠3=__ 3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角 B ．一个角的补角一定比这个角大 C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D ．相等的角一定互余 4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○ ，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ） 1 2 1 2 1 2 A B E O C D 1 2 3 4
第五章相交线与平行线单元试卷综合测试卷（word含答案） 一、选择题 1．下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是（） A．平行四边形的两组对边分别平行 B．矩形的对角线相等 C．四边相等的四边形是菱形 D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和 2．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若 ∠AGE=32°，则∠GHC等于（） A．112°B．110°C．108°D．106° 3．如图所示，下列说法不正确的是（） A．∠1和∠2是同旁内角B．∠1和∠3是对顶角 C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是内错角 4．如图，OC是∠AOB的平分线，直线l∥OB．若∠1＝50°，则∠2的大小为（） A．50°B．60°C．65°D．80° 5．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 6．如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）
A ．αβγ++ B ．βγα+- C ．180αγβ?--+ D ．180αβγ?++- 7．三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ） A ．0，1，3 B ．0，2，3 C ．0，1，2，3 D ．0，1，2 8．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ） A ．∠1＝50°，∠2＝40° B ．∠1＝50°，∠2＝50° C ．∠1＝∠2＝45° D ．∠1＝40°，∠2＝40° 9．能说明命题“若a ＞b ，则3a ＞2b “为假命题的反例为（ ） A ．a ＝3，b ＝2 B ．a ＝﹣2，b ＝﹣3 C ．a ＝2，b ＝3 D ．a ＝﹣3，b ＝﹣2 10．甲，乙两位同学用尺规作“过直线l 外一点C 作直线l 的垂线”时，第一步两位同学都以C 为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l 于D ， E 两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE 的平分线所在的直线，乙同学作DE 的中垂线．则下列说法正确的是（ ） A ．只有甲的画法正确 B ．只有乙的画法正确 C ．甲，乙的画法都正确 D ．甲，乙的画法都不正确 11．如图，直线//a b ，直线AB AC ⊥，若150∠=，则2∠=（ ） A ．50 B ．45 C ．40 D ．30 12．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 13．已知直线AB ∥CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转
相交线与平行线单元测 试卷一 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
《 相交线与平行线》单元测试卷 （一） 班级 姓名 座号 成绩 一、选择题：（每小题3分，共30分。） 1．下列说法中错误．． 的个数是（ ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。 （4）不相交的两条直线叫做平行线。 （5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．下列所示的四个图形 中，1∠和2∠是同位．．角． 的是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 3．如右图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断．．． CD AB //（ ） A. 43∠=∠ B. 21∠=∠ C. DCE D ∠=∠ D. 180=∠+∠ACD D 4．一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） 21 ② 1 2 ③ 1 2 ④ E D C B A 432 1
A. 第一次向左拐 30，第二次向右拐 30 B. 第一次向右拐 50，第二次向左拐 130 C. 第一次向右拐 50，第二次向右拐 130 D. 第一次向左拐 50，第二次向左拐 130 5．两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确．． 的是（ ） A. 同位角相等，但内错角不相等 B. 同位角不相等，但同旁内角互补 C. 内错角相等，且同旁内角不互补 D. 同位角相等，且同旁内角互补 6．下列说法中，正确．． 的是（ ） A. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动。 B. 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变。 C. “相等的角是对顶角”是一个真命题。 D. “直角都相等”是一个假命题。 7．如右图所示，已知BC AC ⊥ ，AB CD ⊥，垂足分别是C 、D ，那么以下线段大小的比较必定成立．．．． 的是（ ） A. AD CD > B. BC AC < C. BD BC > D. BD CD < 8．如右图，CD AB //，且 25=∠A ， 45=∠C ，则E ∠的度数是（ ） A. 60 B. 70 C. 110 D. 80 9．在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 10. 如右图所示，BE 平分ABC ∠，BC DE //，图中相等的角共有（ ） D C B A E D C B A E D A
第五章 相交线和平行线 【知识框架图】 平移 判定 性质 同位角,内错角,同旁内角 点到直线的距离 垂线及其性质 对顶角相等邻补角,对顶角平行公理 两三条条 直直线线被所第截两线条相直交 平行 相交 平线 面的 内位两置条关直系 【知识要点】 1、相交线：两条直线有唯一 公共点 时，它们的位置关系就叫相交。两相交直线所构成的四个角中有 2 对对顶角，有 4对邻补角。 （1）邻补角：两个角是邻补角的条件有① 有公共顶点 ；② 一条公共边 ；③ 另不一边互为反向延长线 。性质有 邻补角互补；若两个互为邻补角的角相等，则这两个角一定是 90 度。 （2）对顶角：两个角是对顶角的条件有① 有公共顶点 ；② 两边互为反向延长线 。性质有 对顶角相等 。此类问题常常用方程思想列方程来解决。 2、垂线： ⑴定义：如果两条直线相交所构成的角中有一个角是 直角，就叫这两条直线互相垂直，其中一条就是另一条的垂线。过一点．．．（包括线上和线外两种情况）作已知直线的垂线 有且只有一 条。 如图0，因为直线AB ⊥CD 于O ，（O 叫 垂足 ），所以∠ AOC =∠ BOC =∠BOD =∠ AOD = 90 °。反之，因为∠ AOC= 90 °(或∠ BOC=
90 °或∠BOD= 90 °或∠ AOD = 90 °），所以AB⊥CD。 回忆并操作：如何过三角形（特别是钝角三角形）的顶点作对边的垂线。 ⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称成为垂线段最短。举例：跳远成绩的测量、从河流引水的水渠的挖掘等。 ⑶点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线段的距离 3、三线八角：两条直线被第三条直线所截，必将构成八个角，其中两个角之间的位置关系分为三种情况：同位角、内错角、同旁内角。同位角成“F”形；内错角成“Z”形或“N”形，同旁内角成”C”形。每一种角之间必须要有平行线为前提才有相等或互补的数量关系，否则其数量关系并不成立。 如找出图中的三线八角，能否确定它们之间的相等或互补的数量关系？（不能） （学会图形的分解）: 对同位角 12对邻补角 6对内错角 6对对项角 对同旁内角 4、平行线 ⑴同一平面内，两条永不相交（即没有交点）的直线的位置关系叫互相平行，其中一条叫另一条的平行线。同一平面内，两条直线的位置关系 图 0 O D C B A E B
人教版七年级下册第5章相交线与平行线 培优训练（四） 1．如图，若∠1＝∠2，∠A＝∠3．则可以推出AC∥DE．请完成下面的推理过程：因为∠1＝∠2，所以AB∥ 所以∠A＝∠4 又因为∠A＝∠3，所以∠3＝∠ 所以AC∥DE 2．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2+∠3＝180° （1）证明：AD∥EF． （2）若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数． 3．如图，AB∥CD，AB＝CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠BAE＝∠DCF．（1）求证：AE＝CF； （2）连结AF、EC，若AE＝AF，试猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的结论．
4．【问题原型】 如图①，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，则∠M＝∠B+∠D，小明解决上述问题的过程如下： 如图②，过点M作MN∥AB 则∠B＝（） ∵AB∥CD，（已知） MN∥AB（辅助线的做法） ∴MN∥CD（） ∴∠＝∠D（） ∴∠B+∠D＝∠BMD 请完成小明上面的过程． 【问题迁移】 如图③，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，猜想∠M、∠B、∠D之间有怎样的数量关系，并加以说明． 【推广应用】 （1）如图④，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N，∠M＝96°，则∠N＝°； （2）如图⑤，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，∠ABM的平分线与∠CDM
的平分线交于点N，∠N＝25°，则∠M＝°； （3）如图⑥，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠G＝78°，∠F＝64°，∠E＝64°，则∠M＝°． 5．感知：如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠P、∠A、∠C满足的数量关系是． 探究：如图②，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则∠APC、∠A、∠C满足的数量关系是． 请补全以下证明过程： 证明：如图③，过点P作PQ∥AB ∴∠A＝ ∵AB∥CD，PQ∥AB ∴∥CD ∴∠C＝∠ ∵∠APC＝∠﹣∠ ∴∠APC＝ 应用：（1）如图④，为北斗七星的位置图，如图⑤，将北斗七星分别标为A、B、C、D、
第五章相交线与平行线单元试卷测试卷附答案 一、选择题 1．在同一坐标平面内，图象不可能．．． 由函数2 21y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ） A ．22(1)1y x =+- B ．223y x =+ C ．221y x =-- D ．2 112 y x = - 2．下列命题是真命题的是（ ） A ．直角三角形中两个锐角互补 B ．相等的角是对顶角 C ．同旁内角互补，两直线平行 D ．若a b =，则a b = 3．如图，已知直线a ∥b ，∠1=100°，则∠2等于（ ） A ．80° B ．60° C ．100° D ．70° 4．如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥AB 交直线a 于点C ，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ） A ．115° B ．65° C ．35° D ．25° 5．如图，AB CD ∥，154FGB ∠?＝，FG 平分EFD ∠，则AEF ∠的度数等于 （ ）． A ．26° B ．52° C ．54° D ．77° 6．下列命题中，假命题的个数为（ ） （1）“是任意实数，”是必然事件； （2）抛物线 的对称轴是直线； （3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为； （4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生； （5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票一定有1张会中奖；
（6）函数 与轴必有两个交点． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，DE 交AB 于E ，若AB ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ） A ．BD ⊥AC B ．∠A ＝∠EDA C ．2A D ＝BC D ．B E ＝ED 8．如图，直线a ∥b ，则∠A 的度数是（ ） A ．28° B ．31° C ．39° D ．42° 9．如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a//b ，若∠1=55°，则∠2等于（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．125° 10．下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（ ） A ．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离 B ．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠 C ．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程 D ．直角三角形中任意一条直角边的长度都比 斜边短 11．如图，直线//a b ，直线AB AC ⊥，若150∠=，则2∠=（ ） A ．50 B ．45 C ．40 D ．30 12．下列说法中不正确的个数为（ ）． ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直． ②有且只有一条直线垂直于已知直线． ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
相交线与平行线经典测试题及解析 一、选择题 1．如图，在下列四组条件中，不能判断AB∥CD的是（） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180° 【答案】A 【解析】 【分析】 根据各选项中各角的关系，利用平行线的判定定理，分别分析判断AB、CD是否平行即可． 【详解】 A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A不能判断； B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故B能判断； C、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C能判断； D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故D能判断， 故选A． 【点睛】 本题考查了平行线的判定．掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 2．如图所示，有下列五种说法：①∠1和∠4是同位角；②∠3和∠5是内错角；③∠2和∠6旁内角；④∠5和∠2是同位角；⑤<1和∠3是同旁内角；其中正确的是（） A．①②③④B．①②③④C．①②③④⑤D．①②④⑤ 【答案】D 【解析】 如图，
①∠1和∠4是直线AC和直线BC被直线AB截得的同位角，所以①正确； ②∠3和∠5是直线BC和直线AB被直线AC截得的内错角，所以②正确； ③∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线CB截得的内错角，所以③错误； ④∠5和∠2是直线AC和直线BC被直线AB截得的同位角，所以④正确； ⑤∠1和∠3是直线BC和直线AB被直线AC截得的同旁内角，所以⑤正确. 故答案选D. 点睛： （1）准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清两角是由哪两条直线被哪条直线截得，这其中的关键是辨别出截线，在截线的两旁的是内错角，在截线的同旁的为同位角或同旁内角； （2）辨别截线方法：先找出两角的边所在直线，公共直线即是截线. 3．如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（） A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360° C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180° 【答案】D 【解析】 试题解析：如图，作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∵EF∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°， ∵EF∥CD， ∴∠γ=∠DEF， 而∠AEF+∠DEF=∠β，
第五章相交线与平行线单元试卷专题练习（word 版 一、选择题 1．如果A ∠与B 的两边分别平行，A ∠比B 的3倍少36，则A ∠的度数是( ) A ．18 B ．126 C ．18或126 D ．以上都不对 2．如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，FG 平分∠EFD ，EG ⊥FG 于点G ，若∠CFN ＝110°，则∠BEG ＝( ) A ．20° B ．25° C ．35° D ．40° 3．如图，AB ∥CD ，∠B ＝20°，∠D ＝40°，则∠BED 为（ ） A ．20° B ．30° C ．60° D ．40° 4．如图所示，若AB ∥EF ，用含α、β、γ的式子表示x ，应为（ ） A ．αβγ++ B ．βγα+- C ．180αγβ?--+ D ．180αβγ?++- 5．如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，其中AB ⊥CD ，∠1：∠2=3:6，则∠EOD = （ ）
A ．120° B ．130° C ．60° D ．150° 6．下列语句是命题的是 ( ) （1）两点之间，线段最短；（2）如果两个角的和是180度，那么这两个角互补；（3）请画出两条互相平行的直线；（4）一个锐角与一个钝角互补吗? A ．（1）（2） B ．（3）（4） C ．（2）（3） D ．（1）（4） 7．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ） A ．∠1＝50°，∠2＝40° B ．∠1＝50°，∠2＝50° C ．∠1＝∠2＝45° D ．∠1＝40°，∠2＝40° 8．如图，直线a ，b 被直线c 所截，则1∠与2∠是（ ） A ．同位角 B ．内错角 C ．同旁内角 D ．对顶角 9．如图，下列条件中，不能判断直线a ∥b 的是（ ） A ．∠1＝∠3 B ．∠2＝∠3 C ．∠4＝∠5 D ．∠2+∠4＝180° 10．（2017?十堰）如图，AB ∥DE ，FG ⊥BC 于F ，∠CDE=40°，则∠FGB=（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 11．如图所示，下列条件能判断a ∥b 的有（ ）
A 七年级数学：相交线与平行线 培优复习 例题精讲 例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。 解：∵ a ∥b ， ∴ ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义) ∴ ∠1＝∠2 (等式性质) 则 3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142° ∴ ∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。 例2．已知：如图(2)， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B -∠D=24°，求∠GEF 的度数。 解：∵AB ∥EF ∥CD ∴∠B=∠BEF ，∠DEF=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质） ∵∠B -∠D=24°（已知） 图(2) ∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG 平分∠BEF （已知） ∴∠GEF= 2 1 ∠BEF=30°（角平分线定义） 例3．如图（3），已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。 解：过E 作EF ∥AB ∵ AB ∥CD （已知） ∴ EF ∥CD （平行公理） ∴ ∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠DEB=∠DEF -∠BEF ∴ ∠DEB =∠D -∠B=30° 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。 图（3） 例4．平面上n 条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解：2条直线产生1个交点， G
相交线与平行线 提高练习 一、选择题： 1.在数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.如图所示，内错角共有( ) A.4对 B.6对 C.8对 D.10对 C B A D 4 3 2 1A E C D B 3.一副三角扳按如图4方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大54°，则∠1＝（ ） A.18° B.54° C.72° D.70° 4.如图，能判断直线AB ∥CD 的条件是（ ） A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180 o D.∠3+∠4=180 o 5.如图，点E 在BC 的延长线上，在下列四个条件中，不能判定AB ∥CD 的是( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠DCE C.∠3=∠4 D.∠D+∠DAB=180° 6.如图3，若AB ∥CD ，则图中相等的内错角是（ ） A ．∠1与∠5，∠2与∠6; B ．∠3与∠7，∠4与∠8; C ．∠2与∠6，∠3与∠7; D ．∠1与∠5，∠4与∠ 8 7.如图a ∥b ，M ，N 分别在a,b 上，P 为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3= （ ）。 A.180° B.270° C.360° D.540° 8.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o ，那么∠2的度数是（ ） A.32o B.58o C.68o D.60o 9.如图，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．60°
第五章 相交线与平行线复习 5.1.1相交线（详见课本第2页） 1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个 点， 那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点. 如图1所示，直线AB 与直线CD 相交于点O. 2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延长线， 那么这两个角叫做对顶角. 如图2所示，∠1与∠ 3、∠2与∠4都是对顶角. 3、对顶角的性质：对顶角 . 4、邻补角的概念：如果把一个角的一边 延长，这条反向延长线与这个 角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角. 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°. 5.1.2垂线（详见课本第3-5页） 1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，就说这两条直线互相 ， 其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 . 2、垂线的性质 （1）（垂直公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点， 有且只有 条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有 条直线与已知直线 . （2）（垂直推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 即垂线段最 . 3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 线段的长度，叫做点到直线的 如图5所示，l 的垂线段PO 的长度叫做点P 到 直线l 的距离. 4、 垂线的画法（工具：三角板或量角器） 画法指点：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上， ⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， ⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线. 5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第6-7页） 1、三线八角 两条直线被第 条直线所截形成 个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图5，直线b a ,被直线l 所截 ①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方，叫做 角（位置相同）同位角是“F ”型 ②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内），叫做 角（位置在内且交错）内 错角是“Z ”型 ③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做 角. 同旁内角是“U ”型 2、如何判别三线八角 图形补全. 如上图6 5.2.1平行线（详见课本第11-12页） 1、 平行线的概念：在同一平面内，不 的两条直线叫做平行线 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴ ；⑵（通常把 的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： A B C D 1 4 3 21A B C D O 图2 O D C B A 图1 图5 21 O C B A 图3 图4 E
七年级数学：相交线与平行线培优复习 例题精讲 例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3 的度数。 解：∵a∥b，l ∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） 3 ∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义) 4 ∴∠1＝∠2 (等式性质) 2 b 则3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142° ∴∠3＝180°-∠1＝38°图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。 例2．已知：如图(2)，AB∥EF∥CD，EG 平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF 的度数。 A B 解：∵AB∥EF∥CD ∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） E F 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° C D ∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质） ∵∠B-∠D=24°（已知）图 (2) ∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG 平分∠BEF（已知） 1 ∴∠GEF= 2 ∠BEF=30°（角平分线定义） 例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。 C D 解：过E 作EF∥AB ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥CD（平行公理） B ∴∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等） ∵∠DEB=∠DEF-∠BEF E ∴∠DEB =∠D-∠B=30° 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。 图（3）
第五章相交线与平行线单元测试卷 姓名 班级考号 一、填空题（共9小题，每题3分，共27分） 1．同一平面内，两条直线的位置关系是． 2．把“等角的补角相等”写成“如果……，那么……”形式． 3．如图，如图，要从小河引水到村庄A ，请设计并作出一最佳路线，理由是：__________． 4．如图，∠1和∠3是直线、被直线所截得到的角； ∠3和∠2是直线、被直线所截得到的角； 5．如图，用吸管吸易拉罐内的饮料时， 1101＝∠，则＝2∠（易拉罐的上下底面互相平行） 6．如图，∠1=70０，a ∥b 则∠2=_____________， 7．一棵小树生长时与地面所成的角为80°，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么∠2等于°． 8．猜谜语：（打本章两个几何名称）剩下十分钱：；斗牛． 9．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的比是7：11，则这两个角分别为． 二、选择题题（共5小题，每题3分，共15分） 10．如图，∠１＝６２°，若m ∥n ，则∠２的度数为（ ） （Ａ）１１８° （Ｂ）２８° （Ｃ）６２° （Ｄ）３８° 11．如图，直线m 、n 相交，则∠１与∠２的位置关系为（ ） （Ａ）邻补角 （Ｂ）内错角 （Ｃ）同旁内角 （Ｄ）对顶角 12．下面的每组图形中，右面的平移后可以得到左面的是（ ） A ． B ． C ． D ． 13．下列说法中不正确的是（ ） 1 2 m n 2 3 4 n m 1 2 1第（ 6）题b a 1 280° 第题 第8题 2 1 图①第（5）题A 第3题 第4题 第5题
A ．垂线是直线 B ．互为邻补角的两个角的平分线一定垂直 C ．过一个已知点有且只有一条直线与已知直线垂直 D ．直线外一点与直线上各点连线中垂线最短 14．下面推理正确的是（ ） A ． //,//,a b b c ∴//c d B ．∵//,//,a c b d ∴//c d C ．∵//,//a b a c ∴//b c D ．∵//,//a b c d ，∴//a c 三、解答题（共58分） 15.按要求作图（每小题5分，共10分） （1）已知点P 、Q 分别在∠AOB 的边OA ，OB 上. ① 作直线PQ ， ② 过点P 作 OB 的垂线， ③ 过点Q 作OA 的平行线. （2）将字母A 按箭头所指的方向,平移3㎝ 作出平移后的图形 16.推理填空：（10分） 如图： ① 若∠1=∠2，则∥（ ） 若∠DAB+∠ABC =1800 ，则∥（ ） ②当∥时，∠ C+∠ABC=1800 （ ） 当∥时，∠3=∠C（ ） 17.如图，直线a 、b 被直线c 所截，且a ∥b , 若∠1=118°求∠2为多少度?（10分） 18.如图，已知：21∠∠＝， 50＝D ∠，求B ∠的度数。（10 分） H G 2 1 E D C B A 32 1 D C B A
初中数学相交线与平行线经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，已知//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置（30PNG ∠=?），若75EMB ∠=?，则PNM ∠的度数是（） A ．30° B ．45? C ．60? D ．75? 【答案】B 【解析】 【分析】 根据75EMB ∠=?，可以计算75END ∠=?（两直线平行，同位角相等），又由75END PNM PNG ∠=∠+∠=?，30PNG ∠=?从而得到PNM ∠的度数. 【详解】 解：∵//AB CD ， ∴75EMB EFD ∠=∠=?（两直线平行，同位角相等）， 又∵30PNG ∠=?，75END PNM PNG ∠=∠+∠=?， ∴753045PNM END PNG ∠=∠-∠=?-?=?， 故答案为B. 【点睛】 本题主要考查了两直线平行的性质. 牢记知识点: 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补； 2．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 【答案】D 【解析】 【分析】 根据折叠的知识和直线平行判定即可解答. 【详解】
解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC ， 又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得 ∠2=∠DBC ， 又因为∠2+∠ABC=180°， 所以∠EBC+∠2=180°， 即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°. 可求出∠2=70°. 【点睛】 掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键. 3．如图，下列能判定AB ∥CD 的条件有几个（ ） （1）12∠=∠ （2）34∠=∠（3）5B ∠=∠ （4）180B BCD ∠+∠=?． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的判定逐一判定即可. 【详解】 因为12∠=∠，所有AD ∥BC ，故（1）错误. 因为34∠=∠，所以AB ∥CD ，故（2）正确. 因为5B ∠=∠，所以AB ∥CD ，故（3）正确. 因为180B BCD ∠+∠=?，所以AB ∥CD ，故（4）正确. 所以共有3个正确条件. 故选B 【点睛】 本题考查的是平行线的判定，找准两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角、同旁内角、内错角是关键.
D C B A F E D C B A 相交线与平行线 培优专题练习 典型例题： 例1．下列说法正确的有( ) ①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例2．如图所示,下列说法不正确的是( ) A.点B 到AC 的垂线段是线段AB; B.点C 到AB 的垂线段是线段AC C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段; D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 例3.一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130° C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐 130° 例4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？ 例5.如图所示，∠BOD=45°，那么不大于90°的角有个，它们的度数之和是． 例6.如图是山西省某古宅大院窗棂图案：图形构成10×21的长方形，空格与实木的宽度均为1，那么，这种窗户的透光率（即空格面积与全部面积之比）是多少？
A B 1 E F 2 C P D G F E D C B A 12l 3 l 2l 1 O 3 4 l 3 l 2l 1 1 2 x z y A B C F D E 例7.如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少？ 例8.如图，若AB//EF ，∠C= 90°，求x+y-z 度数。 巩固提高： 1．如图,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG ?平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_______. 2.下列说法正确的有( ) ①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3．光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之 间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°， ∠3=75°，则∠2= （ ） A ．50° B ．55° C ． 66° D ．65° 4. 如图，把长方形纸片沿EF 折叠，使D ， C 分别落在D '，C '的位置，若65EFB =∠， 则AED '∠等于（ ）Ａ．50 Ｂ．55 Ｃ．60 Ｄ．65 5．如图，直线 l 1 、l 2、l 3交于O 点，图中出现了几对对顶角，若n 条直线相交呢？ 6. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.
全章测试(一) 一、选择题 1．在同一平面内，如果两条直线不重合，那么它们( )． (A)平行 (B)相交 (C)相交、垂直 (D)平行或相交 2．如果两条平行线被第三条直线所截，那么其中一组同位角的角平分线( )． (A)垂直 (B)相交 (C)平行 (D)不能确定 3．已知：OA ⊥OC ，∠AOB ∶∠AOC ＝2∶3，则∠BOC 的度数为( )． (A)30° (B)60° (C)150° (D)30°或150° 4．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )． (A)110° (B)115° (C)120° (D)125° 5．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论： (1)∠1＝∠2； (2)∠3＝∠4； (3)∠2＋∠4＝90°； (4)∠4＋∠5＝180° 其中正确的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6．下列说法中，正确的是( )． (A)不相交的两条直线是平行线． (B)过一点有且只有一条直线与已知直线平行． (C)从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离． (D)在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直． 7．∠1和∠2是两条直线l 1，l 2被第三条直线l 3所截的同旁内角，如果l 1∥l 2，那么必有 ( )． (A)∠1＝∠2 (B)∠1＋∠2＝90° (C) o 9022 1121=∠+ ∠ (D)∠1是钝角，∠2是锐角 8．如下图，AB ∥DE ，那么∠BCD ＝( )．
(A)∠2－∠1 (B)∠1＋∠2 (C)180°＋∠1－∠2 (D)180°＋∠2－2∠1 9．如图，在下列条件中：①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4；④∠BAD＋∠ABC＝180°，能判定AB∥CD的有( )． (A)3个(B)2个 (C)1个(D)0个 10．在5×5的方格纸中，将图1中的图形N平移后的位置如图2中所示，那么正确的平移方法是( ) 图1图2 (A)先向下移动1格，再向左移动1格 (B)先向下移动1格，再向左移动2格 (C)先向下移动2格，再向左移动1格 (D)先向下移动2格，再向左移动2格 二、填空题 11．如图，已知直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，∠1＝25°，则∠2＝______°，∠3＝______°，∠4＝______°. 12．如图，已知直线AB、CD相交于O，如果∠AOC＝2x°，∠BOC＝(x＋y＋9)°，∠BOD＝(y＋4)°，则∠AOD的度数为______． 13．如图直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2的度数是______． 14．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP与∠EFD的平分线相交于点P，且∠EFD＝60°，EP⊥FP，则∠BEP＝______度．