第2课时等比数列的性质
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式．
2.熟悉等比数列的有关性质．
3.系统了解等比数列的判断方法．
1．等比数列的第二通项公式
等比数列的通项公式为a n＝a1q n－1(n∈N*)，推广形式为a n＝a m q n－m(n，m∈N*)．
2．等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有a m a n＝a k a l.
(2)如果m＋n＝2k，则有a m·a n＝a2k.
(3)若m，n，p成等差数列，则a m，a n，a p成等比数列．
(4)在等比数列{a n}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·a n＝a2·a n－1＝a3·a n－2＝….
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q>1时，{a n}为递增数列．()
(2)当q＝1时，{a n}为常数列．()
(3){a n}是等比数列，若m＋n＝p，则a m·a n＝a p.()
(4)若等比数列{a n}的公比是q，则a n＝a m q m－n(m，n∈N*)．()
答案：(1)×(2)√(3)×(4)×
2．在等比数列{a n}中，a4＝6，则a2a6的值为()
A．4B．8
C．36 D．32
答案：C
3．在等比数列{a n}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为()
A．2 B．3
C．4 D．8
答案：A
4．等比数列{a n }中，若a 4＝3，a 6＝12，则a 2·a 8＝________． 答案：36
5．等比数列{a n }中，若a 5a 7a 9＝27，则a 7＝________． 答案：3
探究点一 等比数列性质的应用
(1)(2014·高考江苏卷)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，
则a 6的值是________．
(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________． [解析] (1)因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.
(2)法一：由等比中项的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013
，
所以
a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(
a 2a 8)3
＝()50
16
3
＝5
2.
法二：由等比数列的性质知a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9构成等比数列，所以(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9)＝(a 4a 5a 6)2，所以a 4a 5a 6＝±52，又数列{a n }各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2.
[答案] (1)4 (2)5 2
若本例(1)中条件“a 8＝a 6＋2a 4”改为“2a n ＋2＝7a n ＋1－3a n ”，其他条件不
变，试求a n .
解：因为2a n ＋2＝7a n ＋1－3a n ， 所以2a n q 2＝7a n q －3a n ，又a n >0， 所以2q 2－7q ＋3＝0， 解得q ＝3或q ＝1
2
，
当q ＝3时，a n ＝a 2×3n －
2＝1×3n －
2＝3n －
2.
当q ＝12
时，a n ＝a 2×????12n －2＝1×????12n －2＝22－n .
(1)在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，建立关于a 1，q 的方程组，
但这样解起来很麻烦．若能避开求a 1，q ，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了．
(2)在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件．
1.(1)(2016·揭阳检测)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则
a 2·a 5·a 8的值为( )
A ．16
B ．32
C ．48
D ．64
(2)已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝________． 解析：(1)由等比数列的性质可得a 1·a 9＝a 25＝16， 因为a n >0，所以a 5＝4，所以a 2·a 5·a 8＝a 35＝64. (2)由已知得a 10a 3＝a 1q 9a 1q 2＝q 7
＝128＝27，故q ＝2.
所以a n ＝a 1q n －
1＝a 1q 2·q n －
3＝a 3·q n －
3＝3×2n －
3.
答案：(1)D (2)3×2n －
3
探究点二 等比数列的设法与求解
已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等
差数列，它们的积是－80，则这四个数为______________．
[解析] 由题意设此四个数分别为b
q
，b ，bq ，a ，则b 3＝－8，解得b ＝－2，q 与a 可通
过解方程组?
????2bq ＝a ＋b ，
ab 2q ＝－80求出，
即为?????a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或?????a ＝－8，
b ＝－2，q ＝52，
所以此四个数为1，－2，4，10或－4
5，－2，－5，－8.
[答案] 1，－2，4，10或－4
5
，－2，－5，－8
几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为a
q
，a ，aq .
(2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a
q
，aq ，aq 3.
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3.
2.已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－3
2
，则这
三个数依次为________．
解析：设这三个数分别为a
q ，a ，aq ，
则?
????a 3
＝1，a ＋aq ＝－32，
解得a ＝1，q ＝－52
，
所以这三个数依次为－25，1，－5
2.
答案：－25，1，－5
2
探究点三 等差、等比数列的简单综合问题(规范解答)
(本题满分12分)已知等比数列{b n }与数列{a n }满足b n ＝3a n (n ∈N *)． (1)若a 8＋a 13＝m ，求b 1b 2…b 20；
(2)若b
3·b 5＝39，a 4＋a 6＝3，求b 1b 2…b n 的最大值． [解] (1)因为数列{b n }为等比数列， 则
b n
b n －1
＝3a n －a n －1＝q ， 所以a n －a n －1＝log 3q ，
所以数列{a n }是以log 3q 为公差的等差数列(q 为等比数列{b n }的公比)．(2分) 又a 8＋a 13＝m ，
所以b
1b 20＝3a 1·3a 20＝3a 1＋a 20＝3m ， b 2b 19＝3a 2·3a 19＝3a 2＋a 19＝3m ，…， b 10b 11＝3a 10·3a 11＝3a 10＋a 11＝3m ， (4分)
所以b 1b 2…b 20＝（b 1b 20）10
＝310m .
(6分)
(2)由b 3·b 5＝39，得a 3＋a 5＝9. 又a 4＋a 6＝3，所以d ＝－3，a 1＝27
2，
所以a n ＝27
2
＋(n －1)·(－3)．(8分)
于是a 1＋a n ＝272＋27
2＋3－3n ＝30－3n ，
所以b 1b 2…b n ＝(b 1b n )n 2＝(3a 1＋a n )n 2
＝ 3－3
2
（n 2－10n ）.
(10分)
应注意n ∈N *
所以，当n ＝5时，b 1b 2…b n 取得最大值3752
.(12分)
求解等差、等比数列综合问题的技巧
(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．
(2)发挥两个数列的基本量a 1(等差数列的首项)，d 或a 1(等比数列的首项)，q 的作用，并用好方程这一工具．
(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．
3.等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，
由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，a n ＝a 1q n －
1＝2n .
(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.
设数列{b n }的公差为d ，首项为b 1，则有?????b 1＋2d ＝8，
b 1＋4d ＝32.
解得?
????b 1＝－16，
d ＝12.
从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.
1．等比数列的“子数列”的特性 若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则
(1){a n }去掉前几项后余下的项仍组成公比为q 的等比数列．
(2)奇数项数列{a 2n －1}是公比为q 2的等比数列；偶数项数列{a 2n }是公比为q 2的等比数列． (3)若{k n }成等差数列且公差为d ，则{ak n }是公比为q d 的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列．
2．等比数列的单调性易误点
(1)易误认为数列{a n }的公比q >1时，为递增数列，公比q <1时，为递减数列． (2)当q >1，a 1>0或01，a 1<0或0
0时，等比数列{a n }是递减数列．
1．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 10＝( ) A ．16 B ．32 C ．64
D ．128
解析：选B.由等比数列的性质，知a 27＝a 3a 11＝16，又数列{a n }的各项都是正数，所以a 7＝4，a 10＝a 7×q 3＝4×23＝25.
2．(2015·高考全国卷Ⅱ改编)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则q ＝( )
A ．2
B ．1 C.12
D.18
解析：选A.因为 a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 24＝4(a 4－1)，
所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2. 又因为 q 3＝a 4a 1＝2
1
4＝8，
所以q ＝2.
3．在等比数列{a n }中，已知a 1>0，8a 2－a 5＝0，则数列{a n }为________数列．(填“递增”“递减”)
解析：由8a 2－a 5＝0，可知a 5
a 2＝q 3＝8，解得q ＝2.
又a 1>0，所以数列{a n }为递增数列． 答案：递增
4．已知数列{a n }成等比数列．
(1)若a 2＝4，a 5＝－1
2，求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值． 解：(1)由a 5＝a 2q 3，
得－1
2＝4·q 3，
所以q ＝－1
2.
a n ＝a 2q
n －2
＝4???
?－12n －2
＝(－1)n ·24－
n .
(2)由a 3a 5＝a 2
4，
得a 3a 4a 5＝a 34＝8，解得a 4＝2.
又因为a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，
所以a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.
[A 基础达标]
1．已知{a n }是公比为q 的等比数列，则这个数列的通项公式为( ) A ．a n ＝a 3q n －
2
B ．a n ＝a 3q n －
1
C ．a n ＝a 3q n －
3
D ．a n ＝a 3q n －
4
解析：选C.a 3q n －
3＝a 1·q 2·q n －
3＝a 1q n －
1＝a n .
2．(2016·日照检测)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( )
A ．3
B ．－3
C ．－13
D.13
解析：选D.{a n }是公比为正数的等比数列， 设公比为q (q >0)， 则a 2·a 6＝a 24＝9a 4，
所以a 4＝9，所以q 2＝a 4
a 2＝9，q ＝3，
所以a 1＝a 2q ＝1
3
.
3．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )
A ．等差数列
B ．以q 为公比的等比数列
C ．以q 2为公比的等比数列
D ．以2q 为公比的等比数列
解析：选C.因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2
为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．
4．在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11等于( ) A ．10 B ．25 C ．50
D ．75
解析：选B.法一：因为a 7·a 12＝a 8·a 11＝a 9·a 10＝5， 所以a 8·a 9·a 10·a 11＝52＝25.
法二：由已知得a 1q 6·a 1q 11＝a 21q 17
＝5，
所以a 8·a 9·a 10·a 11＝a 1q 7·a 1q 8·a 1q 9·a 1q 10＝a 41·q 34＝(a 21q 17)2＝25.
5．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6
a 16等于( )
A.32
B.23
C.16
D ．6
解析：选A.因为?????a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，
a 4＋a 14＝5，
解得?????a 4＝3，a 14＝2或?????a 4＝2，
a 14＝3.
又因为a n >a n ＋1，所以a 4＝3，a 14＝2. 所以a 6a 16＝a 4a 14＝32
.
6．已知{a n }为等比数列，a 2＝2，a 6＝162，则a 10＝________．
解析：法一：因为????
?a 2＝a 1q ＝2，a 6＝a 1
q 5
＝162， 所以q 4＝81，
所以a 10＝a 1q 9＝a 1q ·q 8＝2×812＝13 122. 法二：因为q 4＝a 6a 2＝162
2＝81，
所以a 10＝a 6q 4＝162×81＝13 122. 法三：因为{a n }为等比数列，所以a 2·a 10＝a 2
6，a 10＝a 26a 2＝1622
2
＝13 122.
答案：13 122
7．在等比数列{a n }中，各项均为正数，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________． 解析：因为a 6a 10＝a 28， a 3a 5＝a 24，
所以a 28＋a 24＝41.
又因为a 4a 8＝5， a n >0，
所以a 4＋a 8＝（a 4＋a 8）2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝51.
答案：51
8．在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． 解析：因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213， 又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29＝512. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8
q ＝256.
答案：256
9．在83和27
2之间插入三个数，使这5个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．
解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝8
3q 4，所以q 4
＝8116，所以q 2＝9
4
. 所以a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2
·a 1q
3
＝a 31·q 6
＝
????833×???
?943
＝63＝216.
法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝27
2，由题意知a 1，a 3，a 5也成
等比数列且a 3>0，
所以a 23
＝83×27
2
＝36，所以a 3＝6， 所以a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 3
3＝216.
10．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式．
解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 因为a 25＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，
所以?
????a 21·q 8＝a 1·q 9，①2（q 2
＋1）＝5q ，② 由①，得a 1＝q ， 由②，得q ＝2或q ＝12，
又数列{a n }为递增数列， 所以a 1＝q ＝2，所以a n ＝2n .
[B 能力提升]
1．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝( ) A ．11 B ．12 C ．14
D ．16
解析：选C.由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a n －1·a n ·a n ＋1＝a 31·q
3n
－3
＝324，因此q 3n －
6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，n ＝14，故选C.
2．已知项数相同的等比数列{a n }和{b n }，公比分别为q 1，q 2(q 1，q 2≠1)，则下列数列
①{3a n }；②????
??
2a n ；③{3a n }；④{2a n －3b n }；⑤{2a n ·3b n }中为等比数列的是________．
解析：在①中，3a n ＋1
3a n ＝q 1，是等比数列，故正确；在②中，2
a n ＋12a n
＝1q 1
，是等比数列，故
正确；在③中，令a n ＝2
n －1
，则数列{3a n }为3，32
，34
，…，因为323≠34
3
2，故不是等比数列，
故不正确；在④中，数列的项可能为零，故不是等比数列，故不正确；在⑤中，
2a n ＋1·3b n ＋1
2a n ·3b n ＝q 1·q 2是等比数列，故正确．
答案：①②⑤
3．已知数列{a n }中a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，a n >0，求其通项公式． 解：因为a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数，得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2. 令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2，即2(b n ＋1－2)＝b n －2.
令C n ＝b n －2，则C n ＋1＝1
2C n ，且a 1＝1，所以b 1＝0，C 1＝－2，
所以{C n }为等比数列，所以C n ＝－2????
12n －1
＝－22－
n .
所以b n ＝2－22－
n ，a n ＝22－22－
n .
4．(选做题)在公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，已知a 1＝1，且a 1＝b 1，
a 2＝
b 2，a 8＝b 3.
(1)求数列{a n }的公差d 和数列{b n }的公比q ；
(2)是否存在常数a ，b 使得对一切正整数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 和b ；若不存在，说明理由．
解：(1)由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3，
得?
????1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2， 解得?????q ＝6，d ＝5或?????q ＝1，d ＝0.? ????舍去?
???
?q ＝1，d ＝0.
(2)假设存在a ，b 使得a n ＝log a b n ＋b 成立， 即有1＋5(n －1)＝log a 6n －
1＋b .
整理，得(5－log a 6)n －(4＋b －log a 6)＝0. 因为a n ＝log a b n ＋b 对一切正整数n 恒成立，
所以?????5－log a 6＝0，4＋b －log a 6＝0，
所以a ＝56，b ＝1.
《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比
建筑材料的基本性质练习题 姓名成绩 一、名词解释（每小题4分，共12分） 1．材料的孔隙率： 2．堆积密度： 3．材料的比强度： 二、填空题（每空1分，共16分） 1．材料的吸湿性是指材料在（）的性质。材料的吸湿性大小用（）表示，吸水性大小用（）表示， 2．材料的抗冻性以材料在吸水饱和状态下所能抵抗的（）来表示。 3．水可以在材料表面展开，即材料表面可以被水浸润，这种性质称为（）。 4．材料地表观密度是指材料在（）状态下单位体积的质量。 5．材料的密度是指材料在（）状态下单位体积的质量； 6. 材料的耐水性是指材料在长期（）作用下，（）不显著降低的性 质，材料的耐水性可以用（）系数表示，其值=（）。 7．同种材料的孔隙率越小，其强度越高。孔隙率越大，材料的导热系数越（），其材料的绝热性越（） 8．抗渗性是指材料抵抗（）渗透性质，材料的抗渗性的好坏主要与材料（）和（）有关 三、单项选择题（每小题1分，共10分） 1．孔隙率增大，材料的________降低。 A、密度 B、表观密度 C、憎水性 D、抗冻性 2．材料在水中吸收水分的性质称为________。 A、吸水性 B、吸湿性 C、耐水性 D、渗透性 3．含水率为10%的湿砂220g，其中水的质量为________。 A、19.8g B、22g C、20g D、20.2g 4．材料的孔隙率增大时，其性质保持不变的是________。 A、表观密度 B、堆积密度 C、密度 D、强度 5．当材料的润湿边角θ为________时，称为憎水性材料。 A、>90° B、≤90° C、0° 6当材料的软化系数为________时，可以认为是耐水材料。 A、>0.85 B、<0.85 C、=0.75 7．颗粒材料的密度为ρ，表观密度为ρ0，堆积密度为ρ0′，则存在下列关系________。 A、ρ>ρ0′>ρ0 B、ρ0>ρ>ρ0′ C、ρ>ρ0>ρ0′ 8．含水率表示________ A 耐水性B吸水性 C 吸湿性D抗渗性 9．下列材料不是亲水性材料的是________ A 陶器B石材 C 木材D沥青 10 当孔隙率一定时，下列构造________吸水率大。 A 封闭大孔B封闭小孔C开口贯通大孔D开口贯通微孔 四、多项选择题（每小题4分，共8分） 1．下列性质属于力学性质的有________。 A、强度 B、硬度 C、弹性 D、脆性 2．下列材料中，属于复合材料的是________。 A、钢筋混凝土 B、沥青混凝土 C、建筑石油沥青 D、建筑塑料 五、是非判断题（每小题1分，共8分） 1.软化系数越大的材料，其耐水性能越差。( )
函数的基本性质练习题 、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。 1. (2010 浙江理)设函数的集合 P = < f (x) =log 2(x+a)+b a =- 丄0 1 1； y = _10l ］，则在同一直角坐标系中， P 中函数f(x)的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 A.关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称 3. (2010广东理)3 .若函数f (x ) =3x +3-x 与g (x ) =3x -3-x 的定义域均为 R ,则 (4)设f(x)为定义在R 上的奇函数，当 x > 0时，f(x)= 2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 1 5. (2010湖南理)8.用min ：a,bf 表示a, b 两数中的最小值。若函数f x = min x x ? t 的图像关于直线x=- 2 对称，则t 的值为 A. -2 B . 2 C . -1 D . 1 6??若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足 f(1)=1 , f(2)=2，则f(3)-f(4)= (A ) -1 (B) 1 (C) -2 (D) 2 7. (2009全国卷I 理)函数 f (x)的定义域为R ,若f(x ，1)与f(X-1)都是奇函数，则( ) A. f (x)是偶函数 Y-(X 2 -x j ：： f (X 2) -f (xj ：： ：(X 2 -x j ，下列结论正确的是 (A) 若 f(x) M ：1,g(xr M -2,则f(x) g(x) M ：2 1 1 2,0Rb7U ， 平面上点的集合 Q=g(x, y) (A ) 4 (B ) 6 (C ) 8 (D ) 10 2. (2010重庆理) 4x 1 2x 的图象 A. f (x)与g(x)与均为偶函数 B. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数 C. f (x)与g(x)与均为奇函数 D. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数 4. (2010山东理) B. f (x)是奇函数 C. f (x^f (x ■ 2) D. f (x ■ 3)是奇函数 8.对于正实数〉，记 M :.为满足下述条件的函数f ( x )构成的集合 一 X 1, x 2 ? R 且 X 2 > X 1 ,有
等比数列 （第二课时） 教学目标： 进一步熟悉等比数列的有关性质 教学重点： 等比数列的性质 教学过程 一、复习引入： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）， 即：1-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ) 0(11 1≠??=-q a q a a n n ， ) 0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛ n a ｝成等比数列?n n a a 1 +=q （+ ∈N n ,q ≠0） 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、等比数列的有关性质： 通过类比等差数列得到： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a = 三、 例1：已知无穷数列 ,10 ,10,10,105 152 51 50 -n ， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
证：（1） 51 5 251 1 1010 10== ---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2） 10 110 10 101 5 451 5 = == -+-+n n n n a a ，即：5 10 1+= n n a a （3）5 2 5 1 5 110 10 10 -+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1， ∴? ?? ? ?? ∈--+5 1n 5 2 1010 q p ，（第1-+q p 项） 例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么：1221=q a ，① 18 3 1=q a ， ② 由②÷①可得第2 3=q ③ 把③代入①可得8 3 16121==∴= q a a a 答：这个数列的第1项与第2项是3 16和8. 例3：已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ?是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1;{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a ) () (21111 211121111 2 11 1 1与即为与---?????? .) ()(211 2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n == ??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列. 例4：在等比数列 {}n a 中，2 2 -=a ， 54 5=a ，求 8 a ， 解： 1458 2 54 542 553 58-=-? =? ==a a a q a a
4.3.1 等比数列的概念(第2课时) 素养目标 学科素养 1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质． 2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点) 3．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题. 1.数学运算； 2．逻辑推理 情境导学 一组有趣的对话，折了38次的纸，最后一次的厚度可是一个庞大的数字哦！ 1．等比数列的性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m · a n . (2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n }，???? ?? 1a n 仍为等比数列． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)在等比数列{a n }中，若a m a n ＝a p a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×) (2)若数列{a n }，{b n }都是等比数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等比数列．(×) (3)若数列{a n }是等比数列，则{λa n }也是等比数列．(×)
2．等比数列性质的应用 一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a ，aq ，aq 2或a q ，a ，aq ，此时公 比为q ；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3(公比为q )，当四个数均为正(负)数时，可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3(公比为q 2)． (1)在等比数列{a n }中，若a 1＝1 9 ，a 4＝3，则该数列前五项的积为__1__. (2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
第二章材料的基本性质试题 一、单项选择题 1、材料的耐水性可用软化系数表示，软化系数是（） A.吸水率与含水率之比 B、材料饱水抗压强度与干燥抗压强度之比 C、材料受冻后的抗压强度与受冻前抗压强度之比 D、材料饱水弹性模量与干燥弹性模量之比 2、已知普通砖的密度为2.5g/cm3，表观密度为1800kg/cm3，则该砖的密实度为 ( ). A、0.85; B、0.73; C、 0.72 ; D、0.65 3、含水率为5％的砂220kg，将其干燥后的重量是（）kg。 A、209 B、209.5 C、210 D、211 4、当材料的润湿边角。为（）时，称为憎水性材料。 A、>90° B、<90° C、＝0° D、≥90° 5、用于吸声的材料，要求其具有（）孔隙的多孔结构材料，吸声效果最好。 A、大孔 B、内部连通而表面封死 C、封闭小孔 D、开口细孔 6、通常，材料的软化系数为（）时，可以认为是耐水的材料。 A、≥0.85 B、<0.85 C、>0.85 D、0.95 7、颗粒材料的密度为ρ，表观密度为，堆积密度为，则存在下列关系( ) A、ρ >> B 、>ρ> C、ρ>> D、 >ρ> 8、当材料的润湿边角为( )时，称为亲水性材料。 A、>90° B、<90° C、≤90° D、≥90° 9、材料在绝对密实状态下的体积为V，开口孔隙体积为V K，闭口孔隙体积为V B ，材料 在干燥状态下的质量为m,则材料的表观密度为ρ‘( )。 A、 m/V B、m/(V+V k ) C、m/(V+V k +V B ) D、m/(V+V B ) 10、将一批混凝土试件，经养护至此28天后分别测得其养护状态下的平均抗压强度为23Mpa，干燥状态下的平均抗压强度为25Mpa，吸水饱和状态下的平均抗压强度为22Mpa，则其软化系数为（）。 A、0.92 B、0.88 C、0.96 D、0.13 11、在100g含水率为3%的湿砂中，其中水的质量为（）。 A、3.0g B、2.5g C、3.3g D、2.9g 12、下列概念中，（）表明材料的耐水性。 A、质量吸水率 B、体积吸水率 C、孔隙水饱和系数 D、软化系数13、密度是指材料在（）单位体积的质量。 A、自然状态 B、绝对体积近似值 C、绝对密实状态 D、松散状态 14、经常位于水中或受潮严重的重要结构物的材料，其软化系数不宜小于（）。 A、0.75-0.80 B、0.70-0.85 C、0.85-0.90 D、0.90-0.95 15、某材料吸水饱和后的质量为20Kg，烘干到恒重时，质量为16Kg，则材料的（）。 A、质量吸水率为25% B、质量吸水率为20% C、体积吸水率为25% D、体积吸水率为20% 16、材料吸水后将材料的（）提高。 A、耐久性 B、强度和导热系数 C、密度 D、体积密度和导热系数 17、软化系数表明材料的（）。 A、抗渗性 B、抗冻性 C、耐水性 D、吸湿性 18、如材料的质量已知，求其体积密度时，测定的体积应为（）。 A、材料的密实体积 B、材料的密实体积与开口孔隙体积 C、材料的密实体积与闭口孔隙体积 D、材料的密实体积与开口及闭口体积 19、对于某一种材料来说，无论环境怎样变化，其（）都是一定值。 A、体积密度 B、密度 C、导热系数 D、平衡含水率 20、当材料的润湿边角θ为( )时，称为憎水性材料。 A、>90° B、≤90° C、0° 21、当材料的软化系数为( )时，可以认为是耐水材料。 A、>0.85 B、<0.85 C、≥0.85 D、≤0.85 22、材料的吸湿性用（）表示 A. 吸水率 B. 含水率 C .抗渗系数 D .软化系数 23、材料的吸水性用（）来表示。 A. 吸水率 B. 含水率 C .抗渗系数 D .软化系数 24、原材料品质完全相同的4组混凝土试件，它们的表观密度分别为2360、2400、2440及2480kg/m3，通常其强度最高的是表观密度为（）kg/m3的那一组。 A、2360 B、2400 C、2440 D、2480 25、材料在自然状态下，单位体积的质量称之为（）。 A、密度 B、相对密度 C、表观密度 D、堆积密度 26、材料吸水后，将使材料的（）提高。 A、耐久性 B、强度 C、保温 D、导热系数 27、亲水性材料的润湿边角θ（）。
2.5等比数列的前n 项和（第２课时）教案 ●学习目标 知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度. ●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式 ●教学难点 灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n 项和公式： 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n = 当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式② Ⅱ.讲授新课 例1、在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418 a =，求该数列的前10项和。 例2、等比数列{}n a 的前3项和为13，前6项和为364，求12S 。
例3、已知数列{}n a 的前n 项和2 15-=n n S ，求数列{}n a 的通项公式。{}n a 是否为等比数列？若是请证明。若不是请说明理由。 变式：若等比数列{}n a 的前n 项和a S n n +=3，则a 等于 （ ） A. 4- B. 2- C. 0 D. 1- 例4、数列{}n a 满足()212 1,111≥+==-n a a a n n 。 （1） 若2-=n n a b ，求证{}n b 为等比数列；（2）求{}n a 的通项公式。 Ⅲ.课堂练习 1、等比数列前n 项和为54，前n 2项和为60，则前n 3项和为 （ ） A. 54 B. 64 C. 3266 D. 3 260 2、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为 （ ）
等比数列的定义教案 内 容： 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义； 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型：新授课 课时安排：1课时教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点：等比数列通项公式的探求。 教具准备：多媒体课件 教学过程： （一）复习导入 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？ （二）探索新知 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）－2，1，4，7，10，13，16，19，…（２）8，16，32，64，128，256，… （３）1，1，1，1，1，1，1，… （４）1，2，4，8，16，…263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠， 3.递推公式：1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 （1） 等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0； （3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 3．等比数列的通项公式： 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,
函数的基本性质练习题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。 1．（2010浙江理）设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122 P f x x a b a b ??==++=-=-??? ? ， 平面上点的集合1 1(,),0,,1;1,0,122 Q x y x y ??==-=-??? ? ，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．． 经过Q 中两个点的函数的个数是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10 2. （2010重庆理）(5) 函数()41 2 x x f x +=的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 3. （2010广东理）3．若函数f （x ）=3x +3-x 与 g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则 A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数 B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数 C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数 D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 4. （2010山东理）（4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 5. （2010湖南理）8.用{}min ,a b 表示a ，b 两数中的最小值。若函数(){}min ||,||f x x x t =+的图像关于直线x=1 2 -对称，则t 的值为 A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．1 6. .若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)= （A ）-1 (B) 1 (C) -2 (D) 2 7. （2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( ) A.()f x 是偶函数 B.()f x 是奇函数 C.()(2)f x f x =+ D.(3)f x +是奇函数
2.3 等比数列导学案（1） 学习目标：1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列 2 ??掌握等比数列的通项公式并能简单应用 ； 重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推 导及应用。 一、温故知新 什么叫等差数列？通项公式是什么 ？什么叫等差中项？ 二、探求新知 1、研究下面三个数列并回答问题 1 1 1 ① 1、2、4、8…；② 1、-1、1、-1 …③ 1、 、一、 —— 2 4 8 问题1: 上面数列都是等差数列吗？ 问题2:以上数列后项与前项的比有何特点？ 2、 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 _____ 项起，每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数，那 么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 _________ ，通常用字母 ________ 表示。 3、 等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列 a n ，的公比为q 方法1：（归纳法） 4、等比数列的通项公式 a n 玄1 a 「a 2 a 1_， a 3 a ?q a 1 ，a 4 a 3 q a 1 a n a n 1 q a 1 a o 根据等比数列的定义，可以得到— a 3 -- ? a 4 -- ? a n -- ? ? 一以上共有 a 1 a 2 a 3 a n 1 式，把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得 __________ ，即 a 1 a 2 a 3 a 1 ，即得到等比数列的通项公式。 方法2:（累乘法） a 2 a 3 a 4 a n 1
三、通过预习掌握的知识点 1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 ?这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表 1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数 (q) 2 隐含：任一项a n 0且q 0 3 q= 1时，｛a n ｝为常数。 2、 等比数列的通项公式 1: ___________________________ . 3、 等比数列的通项公式 2: ___________________________ . 4、 等比中项：若 a.b.c 成等比数列。贝U . 5、既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 四、预习检查： 1.判断下列数列是否为等比数列 (1) 2,2,2,2，…； (2) -1,1,2,4,8 , ; ⑶ Ig3,lg6,lg12,…; (4) 1 2 3 a ,a ,a n 7 a J ； (5) 已知数列 a n 的通项公式为 a n 3 2n 。 (6) 已知数列 a n 的通项公式为 a n n 3 2.已知数列1,24,-8,16?…它的公比是 ,通项公式是 3. 已知数列 1 — 1 1 1 - -- … 则一 1 是它的第 项。 2 4 8 128 4. 一个等比数列的第 9项是4 ，公比是一1 ,求它的第1项 9 3 5. 一个等比数列的第 2项是10，第3项是20,求它的第1项与第4项 示(q z 0),即: a n =q (q* 0) a n 1 ｛an ｝成等比数列 a n 1 =q ( n a n N ,q *0)
课题：3.4 等比数列（二） 教学目的： 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.深刻理解等比中项概念. 3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学重点：等比中项的理解与应用 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同
一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即： 1 -n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， )0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、讲解新课： 1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号） 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=?=?=2， 反之，若G 2=ab ,则G b a G =，即a ,G ,b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab （a ·b ≠0） 2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --?==k p p q a a q a a 221-+=?n m n m q a a a ，22 1-+=?k p k p q a a a 则k p n m a a a a = 3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 4．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0 等比数列的前n 项和(第二课时) 【学习目标】 1．掌握等比数列与S n 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题． 2．掌握可以转化为等差或等比数列的数列求和问题． 3．会用等比数列的相关知识解决简单的实际应用问题． 【学习障碍】 1．由于对等比数列中各元素间的关系理解不够深刻，对等比数列的性质不够熟练，解 题时找不到解决问题的“巧”办法． 2．由于审视问题的高度不够，不会运用整体解决问题的策略． 3．有些数列本身不是等差或等比数列，但可以转化为等差或等比数列．学生常常苦于 找不到转化途径． 4．由于阅读理解能力较差，不能运用等比数列知识将实际问题转化为数学问题． 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 1．求数列的前n 项和S n ，一般有以下几种方法： (1)直接转化为等差数列或等比数列求和问题； (2)用等差数列或等比数列求和的倒序相加或错位相减求S n ； (3)拆项求和； (4)对通项进行分解或组合，将原数列化成若干个容易求和的数列． 2．数列应用题中常用的几个概念： (1)增长率：增加或提高的比值． (2)成本与利润：成本是指生产一种产品所需的全部费用，利润是指商品生产的盈利． (3)利率与存、贷款问题：利率是指利息和本金的比率；复利是指把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计利息；单利是指只按照本金计算利息．存款一般只计算单利， 贷款在通常情况下不计算复利． 3．等比数列的前n 项和公式的常见应用问题． (1)生产部门中有增长率的总产量问题．例如，第1年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为1＋r ．其中第n 年产量为a (1＋r )n － 1，且过n 年后总产量为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2…＋a (1＋r )n －1＝)1(1] )1(1[r r a n +-+-． (2)银行部门中利息按复利计算问题．例如，一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利算，则每月的a 元过n 个月后便成为a (1＋r )n 元，因此第二年年初可取款a (1 第二章 函数概念与基本初等函数 专题2 函数的基本性质（理科） 【三年高考】 1. 【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【答案】D 2.【2017北京，理5】已知函数1 ()3()3 x x f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】()()113333x x x x f x f x --????-=-=-=- ? ?????，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x ?? ??? 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 3.【2017山东，理15】若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 . ①()2x f x -= ②()3x f x -= ③()3f x x = ④()22f x x =+ 【答案】①④ 【解析】①()22x x x x e e f x e -??=?= ???在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33x x x x e e f x e -??=?= ???在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③()3x x e f x e x =?，令()3x g x e x =?，则()()32232x x x g x e x e x x e x '=?+?=+，∴当2x >-时， 《等比数列 (第一课时)》教学设计 一、教学任务和目标 （一）教学任务分析：通过观察、分析、归纳、猜想、类比等思维活动，展示等比数列概念的形成与指数函数的对应等的深化过程；体会研究等比数列通项公式简单归纳方法：特殊到一般的过程。（二）教学目标 知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。 过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到一般的数学思想，培养观察、分析、归纳、猜想、概括等思维能力。 情感、态度与价值观：培养勇于探索、大胆尝试与创新的精神，养成科学、良好的学习习惯和品质。 （三）教学重、难点 教学重点：等比数列概念的形成与深化，等比数列通项公式的推导与应用 教学难点：等比数列概念的深化，等比数列的判定、证明和应用二、教法与学法 （一）教学方法分析：本节课是《等比数列》第一课时，核心任务是概念的本质理解，而概念教学应注重概念的形成过程，引导学生主动探索、发现、类比和归纳，因此本节课采用教为主导、学为主体、 练为主线的教学方法，培养学生的学习热情，发挥学生的主动性和创造性。 （二）学法分析：一方面，学生领会数学概念学习的一般过程，并主动探索概念的形成；另一方面，由于等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，因此，学生可以将类比等差数列的概念形成和拓展过程，来构建等比数列的知识系统。 三、教学过程 （一）复习引新 等差数列与等比数列的内容平行，因此类比法是本节课学生学习过程中采用的主要数学方法。学生已经学习过等差数列相关内容和思想方法，因此本节课先复习等差数列知识点，为类比思想的应用提供基础。 问题1：等差数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 问题2：等差数列的通项公式是什么？如何推导该公式？ 等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+- 推广公式：()n m a a n m d =+- 推导过程：方法一：不完全归纳法：归纳、猜想。 方法二：累加法 问题3：等差数列的通项公式与相应的一次函数解析式之间有何 §1.3.2等比数列的前n项和（第二课时） 教学设计 一、教材分析 1、在教材中所处的地位和作用 《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养． 2、从学生的认知角度看 学生很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的应用进行类比，这是认知的有利因素．认知的不利因素有：本节公式的应用与等差数列前n项和公式的应用有着很大的不同，这对学生的思维定势是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错 3、学情分析 教学对象学习了必修1和必修4的高中生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨． 并且由于湖北省对教材的安排顺序，导致算法的内容学生没有学习，所以课本例3不能讲解. 4、教学重难点分析 教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 教学难点：灵活使用公式解决问题 这样确定重点，既能夯实“双基”，又凸现了掌握知识的三个层次：识记、理解和运用．而公式的运用又用到了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点． 二、教学目标分析 1、知识与技能目标; 掌握等比数列前n项和公式的的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．分析：这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求． 2、过程与方法目标： 通过对公式运用的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．分析：因为数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展． 3、情感态度与价值观目标： 通过对公式运用的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点． 三，教法分析 采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段． 利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优 等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力． 第2课时函数的奇偶性及周期性 一、知识梳理 1．函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函 数 关于y轴对称 奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇 函数 关于原点对称 具有奇偶性的必要不充分条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 常用结论 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝1 f（x） ，则T＝2a(a>0)． (3)若f (x ＋a )＝－1 f （x ） ，则T ＝2a (a >0)． 二、习题改编 1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2 sin x B ．y ＝x 2 cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x 解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B. 2．(必修4P46A 组T10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1) 时，f (x )＝? ????－4x 2 ＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ? ????32＝ ． 解析：由题意得，f ? ????32＝f ? ????－12＝－4×? ?? ??－122 ＋2＝1. 答案：1 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( ) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏 常见误区(1)利用奇偶性求解析式忽视定义域； (2)周期不能正确求出从而求不出结果． 1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝ ． 解析：当x <0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－ x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，所以f (x )＝x (1－x )． 答案：x (1－x )等比数列的前n项和(第二课时)
专题2.2 函数的基本性质-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(解析版)
《等比数列》第一课时教学设计
1.3.2等比数列前n项和(第2课时)教学设计
等比数列的前n项和(教学设计)
2021版第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的基本性质第2课时函数的奇偶性及周期性教案文新人教A版
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