2.4 等比数列
第1课时等比数列
学习目标核心素养
1.理解等比数列的定义(重点).
2.掌握等比数列的通项公式及其
应用(重点、难点).
3.熟练掌握等比数列的判定方
法(易错点)．
1.通过等比数列的通项公式及等比中项
的学习及应用，体现了数学运算素养.
2.借助等比数列的判定与证明，培养逻
辑推理素养.
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常
数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
a n＋1
a n＝q(q为常数，q≠0，n∈N
*)．
思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？
[提示]不能．
2．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab．
思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
[提示]不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．
3．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1．这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1
q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列{a 1
q ·q n }中的各项的点是函数y ＝a 1
q ·q x 的图象上的孤立点．
思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法．
当n >2时，a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2a 1＝q ，
∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2…a n －1a n －2·a n
a n －1
＝a 1·q n －1.
1．2＋3和2－3的等比中项是( )
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．2 C [设2＋3和2－3的等比中项为a ， 则a 2＝(2＋3)(2－3)＝1.即a ＝±1.] 2．下列数列为等比数列的序号是________．
①2，22，3×22；②1a ，1a 2，1a 3，1a 4，1
a 5(a ≠0)；③s －1，(s －1)2，(s －1)3，(s －1)4，(s －1)5；④0，0，0，0，0.
② [222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a ，公比为1
a 的等比数列；③中，当s ＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]
3．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝1
4，则公比q ＝________． 1
2 [由定义知a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝a 5a 4
＝q ，则a 2＝a 1q ＝2，①
a 5＝a 4q ＝a 3q 2＝a 2q 3＝a 1q 4＝1
4，② 所以②÷①得q 3＝18，所以q ＝1
2.]
4．在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________． －729 [由等比数列定义知a 7a 6
＝a 6a 5
＝a 5
a 4
＝q .
所以a 5＝a 4q ＝27×(－3)＝－81， a 6＝a 5q ＝－81×(－3)＝243， a 7＝a 6q ＝243×(－3)＝－729.]
等比数列的通项公式及应用
n (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . [解] (1)由等比数列的通项公式得， a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ， 那么???a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，
解得???q ＝2，a 1＝5.
所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1.
1．等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
1．在等比数列{a n }中，
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a 5； (2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n . [解] (1)∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5， q ＝a 2
a 1
＝－3，∴a 5＝405.
(2)因为???a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6
，所以???a 1q 3＝2， ①
a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝3
4，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝1
2， 所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53
.
等比中项
【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 1＝1
8，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A ．±4 B ．4 C ．±14 D ．1
4
(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项． 思路探究：(1)用定义求等比中项． (2)证明(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)即可．
(1)A [由a n ＝18·2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4.] (2)[证明] b 是a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零， 又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，
(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)，即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．
等比中项应用的三点注意
(1)由等比中项的定义可知G a ＝b
G ?G 2＝ab ?G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．
2．若1，a ，3成等差数列，1，b ，4成等比数列，则a
b 的值为( ) A ．±12 B ．1
2 C ．1 D ．±1 D [由题知2a ＝1＋3， ∴a ＝2.
由b 2＝4得b ＝±2， ∴a b ＝±1.]
3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
B [∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·
(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4.]
等比数列的判断与证明
1．若数列{a n }是等比数列，易知有a n ＋1
a n
＝q (q 为常数，且q ≠0)或a 2
n ＋1＝a n ·
a n ＋2
(a n ≠0，n ∈N *)成立．反之，能说明数列{a n }是等比数列吗？
[提示] 能．若数列{a n }满足a n ＋1
a n
＝q (q 为常数，q ≠0)或a 2
n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠
0，n ∈N *)都能说明{a n }是等比数列．
2．若数列{a n}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为a n＝a1·q n－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{a n}是等比数列吗？
[提示]能．根据等比数列的定义可知．
【例3】已知数列的前n项和为S n＝2n＋a，试判断{a n}是否是等比数列．思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合a n＝S n－S n－1
(n≥2)？需要检验吗？
[解]a n＝S n－S n－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时a n＋1
a n＝
2n
2n－1
＝2；
当n＝1时，a n＋1
a n＝
a2
a1＝
2
2＋a
.
故当a＝－1时，数列{a n}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{a n}不是等比数列．
1．(变条件)将例题中的条件“S n＝2n＋a”变为“S n＝2－a n”．求证数列{a n}是等比数列．
[证明]∵S n＝2－a n，
∴S n
＋1
＝2－a n＋1，
∴a n
＋1
＝S n＋1－S n＝(2－a n＋1)－(2－a n)＝a n－a n＋1，
∴a n
＋1＝
1
2a n.
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.
又由a n
＋1＝
1
2a n知a n≠0，
∴a n＋1
a n＝
1
2，
∴{a n}是等比数列．
2．(变条件，变结论)将例题中的条件“S n＝2n＋a”变为“a1＝1，a n＋1＝2a n ＋1”证明数列{a n＋1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式．[解]因为a n＋1＝2a n＋1，
所以a n
＋1
＋1＝2(a n＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，
从而a n ＋1≠0. 所以
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝2(n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}是等比数列． 所以{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·2n
－1
＝2n ，即a n ＝2n －1.
判断一个数列{a n }是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n
＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为
常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列．
(2)等比中项法：对于数列{a n }，若a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2且a n ≠0，则数列{a n }是等比数列．
(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列．
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：a n ＋1
a n
＝q (q 为与n 无关的常数且不为零)．
(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *
)．
2．两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
1．判断正误
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．
( ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．
( )
(3)常数列一定为等比数列． ( ) (4)任何两个数都有等比中项． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
2．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( ) A ．±12 B ．±2 C.1
2 D ．－2 D [因为a 5
a 2
＝q 3＝－8，故q ＝－2.]
3．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________．
4n －1 [由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以通项公式a n ＝4n －1.] 4．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝? ????
12a n
，求证数
列{b n }是等比数列，并求其通项公式．
[解] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，
于是b n ＝? ???
?
123－n
.而
b n
b n －1
＝? ????123－n ? ????124－n ＝? ??
??12－1＝2.
∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.
课时分层作业(十三) 等比数列
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( ) A ．等差数列
B ．既是等差数列又是等比数列
C ．等比数列
D ．既不是等差数列也不是等比数列 A [由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)， ∴log 2b 2＝log 2ac ， 即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ，
∴log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列．]
2．等比数列{a n } 中，a 3＝12，a 2＋a 4＝30，则a 10的值为( ) A ．3×10－
5
B ．3×29
C ．128
D ．3×2－5或3×29
D [设公比为q ，则
12
q
＋12q ＝30， ∴2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝1
2，
∴a 10＝a 3·q 7
＝12·27
或12·? ??
??127， 即3×29或3×2－5.]
3．已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．±6
D ．±12
C [a ＝1＋22＝32，
b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.]
4．已知一等比数列的前三项依次为x ，2x ＋2，3x ＋3，那么－131
2是此数列的( )
A ．第2项
B ．第4项
C ．第6项
D ．第8项 B [由(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)解得x ＝－1(舍)或x ＝－4，
∴首项为－4，公比为3
2.
∴由－4×? ??
??32n －1
＝－1312，解得n ＝4.]
5．在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1
D ．1或2
B [根据题意，代入公式???a 1q 2＋a 1q 3＝4，
a 1q ＝2，
解得：???a 1＝2，q ＝1或???a 1＝－1，
q ＝－2.]
二、填空题
6．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝________．
1 [设等比数列{a n }的公比为q ，由已知条件得a 25＝4·a 25q 4
，
∴q 4
＝14，q 2
＝12，
∴a 3＝a 1q 2＝2×1
2＝1.]
7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________． 3×2n －3
[由已知得a 10a 3＝a 1q 9a 1
q 2＝q 7
＝128＝27，故q ＝2.
所以a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3·q n －3＝3×2n －3.]
8．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5＝________． 27 [由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9， ∴q 2＝9，∴q ＝3(q ＝－3舍)， ∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.] 三、解答题
9．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝8
27. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)－16
81是否为该数列的项？若是，为第几项？ [解] (1)因为2a n ＝3a n ＋1，
所以a n ＋1a n ＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，
所以
a 21?
????235＝? ??
??233
，由于各项均为负， 故a 1＝－32，a n ＝－? ??
??23n －2
.
(2)设a n ＝－1681，则－1681＝－? ????23n －2，? ????23n －2＝? ????234
，n ＝6，所以－1681是该
数列的项，为第6项．
10．数列{a n }，{b n }满足下列条件：a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1
2，b n ＝a n ＋
1－a n .
(1)求证：{b n }是等比数列； (2)求{b n }的通项公式．
[解] (1)[证明] ∵2a n ＋2＝a n ＋a n ＋1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a n ＋a n ＋1
2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝－1
2.
∴{b n }是等比数列．
(2)∵b 1＝a 2－a 1＝1，公比q ＝－1
2， ∴b n ＝1×? ????－12n －1＝? ??
??－12n －1
.
[能力提升练]
1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，1
2a 3，2a 2成等差数列，则
a 6＋a 7a 8＋a 9等于( )
A ．2＋1
B ．3＋2 2
C ．3－2 2
D ．22－3
C [设等比数列{a n }的公比为q ， 由于a 1，1
2a 3，2a 2成等差数列， 则2? ??
??
12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，
所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q . 由于a 1≠0，
所以q 2＝1＋2q ，解得 q ＝1±2. 又等比数列{a n }中各项都是正数， 所以q >0，所以q ＝1＋ 2.
所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1（1＋2）2
＝3－2 2.]
2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1 C ．12
D ．18
C [法一：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 2
4＝4(a 4－1)， ∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1
＝21
4
＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝1
2，故选C.
法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)， 将a 1＝1
4代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0， 解得q ＝2，
∴a 2＝a 1q ＝1
2，故选C.]
3．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．
23
－1 [∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7， ∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.① 又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.② 由①②解得a 1＝2
3，d ＝－1.]
4．设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． 64 [设等比数列{a n }的公比为q ，
∴???a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5????a 1＋a 1q 2＝10，
a 1q ＋a 1q 3
＝5，解得?????a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝? ????12（－3）＋（－2）＋…＋（n －4）
＝? ??
??121
2n （n －7） ＝? ????1212??????? ????n －722－494，当n ＝3或4时， 12??????
?
????n －722－494取到最小值－6， 此时? ????1212??????
? ????n －722－494取到最大值26，所以a 1a 2…a n 的最大值为64.] 5．已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，求常数p . [解] 因为数列{c n ＋1－pc n }为等比数列， 所以(c n ＋1－pc n )2＝(c n －pc n －1)(c n ＋2－pc n ＋1)， 将c n ＝2n ＋3n 代入上式得，
[2n ＋1＋3n ＋1－p (2n ＋3n )]2＝[2n ＋2＋3n ＋2－p (2n ＋1＋3n ＋1)]·[2n ＋3n －p (2n －1＋3n －
1
)]，
整理得1
6(2－p )(3－p )·2n ·3n ＝0， 解得p ＝2或p ＝3.
等比数列的定义教案 内 容： 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义； 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型：新授课 课时安排：1课时教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点：等比数列通项公式的探求。 教具准备：多媒体课件 教学过程： （一）复习导入 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？ （二）探索新知 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）－2，1，4，7，10，13，16，19，…（２）8，16，32，64，128，256，… （３）1，1，1，1，1，1，1，… （４）1，2，4，8，16，…263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠， 3.递推公式：1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 （1） 等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0； （3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 3．等比数列的通项公式： 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,
高中数学《等比数列的前n项和（第一课时）》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比
2. 4等比数列 第1课时等比数列的概念及通项公式 1?通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2?掌握等比中项的概念并 会应用. 3?掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 预冃案*自建迸习j 研读? M ?営 试 新知提炼 1.等比数列的定义 (1) 从第2项起 条件 (2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 结论这个数列就叫做等比数列 有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q M 0)表示2?等比数列的通项公式 门―1 a n = aq 1. 3. 等比中项 若a、G、b成等比数列，称G为a, b的等比中项且G= ± ab. ■自我尝试‘ 1?判断(正确的打“V”，错误的打“x”) (1) 数列1,—1, 1, - 1，…是等比数列.() (2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. () ⑶等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. () (4) 常数列一定为等比数列.() (5) 任何两个数都有等比中项. () 答案：(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x 2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于（） A. 6 B. 3x 2n—1 3. 4与9的等比中项为()
A . 6 B . - 6 =1, C . 2 x 3n — 1 D . 6n 答案：C
A . 6 B . - 6 =1, C . i6 D . 36 答案： C 11 1 4. 等比数列一 10-而，一 而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案：10 5. ______________________________________________ 在等比数列｛a n ｝中，已知a n = 4n 3 , 贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________ 1 答案：1 4 探究案讲练互普 探究点一等比数列的通项公式 H 在等比数列｛a n ｝中， (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n . (2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1，求 n. a 4= ag 3, ［解］(1)因为 6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以 a 1q 6= 8,② ② 3， 由①，得43 = 4,从而q = - 4,而a 1q 3 = 2, n — 1 又a n = 1，所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6. 方祛归纳 于是a 1 = q 3= M 2' 2n -5 所以 a n = a 1q n -1 = 2 3 a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ① ⑵因为 2 5 ② 1 由①，得q =P 从而 a 1 = 32.
课题第2.4 等比数列（第一课时）教案香河一中秦淑霞 教学目标 1、知识与技能：（1）、掌握等比数列的定义； （2）、理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； （3）、运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 2、过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念，通过对等比数列定义和通项公式探 求，引导学生运用观察、类比、分析、归纳的推理方法，提高学生的逻辑 思维能力，培养学生良好的思维品质。 3、情感、态度与价值观：培养积极动脑的学习作风，培养团结协作，互相帮助的集体观念。通过实例使学生体会到数学来源于生活，应用于生活，培养数学的应用意识。体会等比，等差数列的相似美及结构美。 教学重点和难点： 本节重点是等比数列定义、通项公式的探求及运用。 本节难点是等比数列通项公式的探求。 教学方法:比较式教学法与问题引导式教学法相结合。 教学过程：一、复习回顾：回顾等差数列的定义，通项公式.（学生回答） 二、新课 合作探究:（一）、等比数列的定义 探究1：写出课本48—49页的4个实例模型(见多媒体课件)所对应的数列，并分析它们有什么共同特点？（师生互动：在教师的引导下学生回答出对应数列，学生找出这些数列的共性） (1) 1,2,4, 8,16,--- , 8 1 , 4 1 , 2 1 ,1)2( (3)1, 202,203,204,205--- (4) 1000(1+1.98%),1000(1+1.98%)2,1000(1+1.98)3,1000(1+1.98%)4--- 共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数（即这些数列从第二项起每一项与前一项的比都相等） 1、你能类比等差数列的定义试着写出等比数列的定义并试着用符号语言描述吗？．（学生活动） 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（0 ≠ q） 符号语言() 4,3,2 1 = = - n q a a n n（教师肯定学生的成果） 师：知道了等比数列的定义下面我们对等比数列的概念进行更深一步的探讨？（学生活动：小组讨论） 讨论：（1）等比数列} { n a的各项能等于0吗？为什么？公比q能等于0吗？ （2）既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？ 展示成果：（1）根据等比数列定义，等比数列的首相和公比都不等于0，因为等比数列
等比数列 （第二课时） 教学目标： 进一步熟悉等比数列的有关性质 教学重点： 等比数列的性质 教学过程 一、复习引入： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）， 即：1-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ) 0(11 1≠??=-q a q a a n n ， ) 0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛ n a ｝成等比数列?n n a a 1 +=q （+ ∈N n ,q ≠0） 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、等比数列的有关性质： 通过类比等差数列得到： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a = 三、 例1：已知无穷数列 ,10 ,10,10,105 152 51 50 -n ， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
证：（1） 51 5 251 1 1010 10== ---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2） 10 110 10 101 5 451 5 = == -+-+n n n n a a ，即：5 10 1+= n n a a （3）5 2 5 1 5 110 10 10 -+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1， ∴? ?? ? ?? ∈--+5 1n 5 2 1010 q p ，（第1-+q p 项） 例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么：1221=q a ，① 18 3 1=q a ， ② 由②÷①可得第2 3=q ③ 把③代入①可得8 3 16121==∴= q a a a 答：这个数列的第1项与第2项是3 16和8. 例3：已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ?是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1;{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a ) () (21111 211121111 2 11 1 1与即为与---?????? .) ()(211 2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n == ??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列. 例4：在等比数列 {}n a 中，2 2 -=a ， 54 5=a ，求 8 a ， 解： 1458 2 54 542 553 58-=-? =? ==a a a q a a
2.3 等比数列导学案（1） 学习目标：1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列 2 ??掌握等比数列的通项公式并能简单应用 ； 重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推 导及应用。 一、温故知新 什么叫等差数列？通项公式是什么 ？什么叫等差中项？ 二、探求新知 1、研究下面三个数列并回答问题 1 1 1 ① 1、2、4、8…；② 1、-1、1、-1 …③ 1、 、一、 —— 2 4 8 问题1: 上面数列都是等差数列吗？ 问题2:以上数列后项与前项的比有何特点？ 2、 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 _____ 项起，每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数，那 么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 _________ ，通常用字母 ________ 表示。 3、 等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列 a n ，的公比为q 方法1：（归纳法） 4、等比数列的通项公式 a n 玄1 a 「a 2 a 1_， a 3 a ?q a 1 ，a 4 a 3 q a 1 a n a n 1 q a 1 a o 根据等比数列的定义，可以得到— a 3 -- ? a 4 -- ? a n -- ? ? 一以上共有 a 1 a 2 a 3 a n 1 式，把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得 __________ ，即 a 1 a 2 a 3 a 1 ，即得到等比数列的通项公式。 方法2:（累乘法） a 2 a 3 a 4 a n 1
三、通过预习掌握的知识点 1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 ?这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表 1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数 (q) 2 隐含：任一项a n 0且q 0 3 q= 1时，｛a n ｝为常数。 2、 等比数列的通项公式 1: ___________________________ . 3、 等比数列的通项公式 2: ___________________________ . 4、 等比中项：若 a.b.c 成等比数列。贝U . 5、既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 四、预习检查： 1.判断下列数列是否为等比数列 (1) 2,2,2,2，…； (2) -1,1,2,4,8 , ; ⑶ Ig3,lg6,lg12,…; (4) 1 2 3 a ,a ,a n 7 a J ； (5) 已知数列 a n 的通项公式为 a n 3 2n 。 (6) 已知数列 a n 的通项公式为 a n n 3 2.已知数列1,24,-8,16?…它的公比是 ,通项公式是 3. 已知数列 1 — 1 1 1 - -- … 则一 1 是它的第 项。 2 4 8 128 4. 一个等比数列的第 9项是4 ，公比是一1 ,求它的第1项 9 3 5. 一个等比数列的第 2项是10，第3项是20,求它的第1项与第4项 示(q z 0),即: a n =q (q* 0) a n 1 ｛an ｝成等比数列 a n 1 =q ( n a n N ,q *0)
4.3.1 等比数列的概念(第2课时) 素养目标 学科素养 1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质． 2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点) 3．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题. 1.数学运算； 2．逻辑推理 情境导学 一组有趣的对话，折了38次的纸，最后一次的厚度可是一个庞大的数字哦！ 1．等比数列的性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m · a n . (2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n }，???? ?? 1a n 仍为等比数列． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)在等比数列{a n }中，若a m a n ＝a p a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×) (2)若数列{a n }，{b n }都是等比数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等比数列．(×) (3)若数列{a n }是等比数列，则{λa n }也是等比数列．(×)
2．等比数列性质的应用 一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a ，aq ，aq 2或a q ，a ，aq ，此时公 比为q ；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3(公比为q )，当四个数均为正(负)数时，可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3(公比为q 2)． (1)在等比数列{a n }中，若a 1＝1 9 ，a 4＝3，则该数列前五项的积为__1__. (2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
《等比数列》第1课时教学设计 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）
等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维
课题：3.4 等比数列（二） 教学目的： 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.深刻理解等比中项概念. 3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学重点：等比中项的理解与应用 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同
一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即： 1 -n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， )0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、讲解新课： 1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号） 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=?=?=2， 反之，若G 2=ab ,则G b a G =，即a ,G ,b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab （a ·b ≠0） 2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --?==k p p q a a q a a 221-+=?n m n m q a a a ，22 1-+=?k p k p q a a a 则k p n m a a a a = 3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 4．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0 《等比数列 (第一课时)》教学设计 一、教学任务和目标 （一）教学任务分析：通过观察、分析、归纳、猜想、类比等思维活动，展示等比数列概念的形成与指数函数的对应等的深化过程；体会研究等比数列通项公式简单归纳方法：特殊到一般的过程。（二）教学目标 知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。 过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到一般的数学思想，培养观察、分析、归纳、猜想、概括等思维能力。 情感、态度与价值观：培养勇于探索、大胆尝试与创新的精神，养成科学、良好的学习习惯和品质。 （三）教学重、难点 教学重点：等比数列概念的形成与深化，等比数列通项公式的推导与应用 教学难点：等比数列概念的深化，等比数列的判定、证明和应用二、教法与学法 （一）教学方法分析：本节课是《等比数列》第一课时，核心任务是概念的本质理解，而概念教学应注重概念的形成过程，引导学生主动探索、发现、类比和归纳，因此本节课采用教为主导、学为主体、 练为主线的教学方法，培养学生的学习热情，发挥学生的主动性和创造性。 （二）学法分析：一方面，学生领会数学概念学习的一般过程，并主动探索概念的形成；另一方面，由于等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，因此，学生可以将类比等差数列的概念形成和拓展过程，来构建等比数列的知识系统。 三、教学过程 （一）复习引新 等差数列与等比数列的内容平行，因此类比法是本节课学生学习过程中采用的主要数学方法。学生已经学习过等差数列相关内容和思想方法，因此本节课先复习等差数列知识点，为类比思想的应用提供基础。 问题1：等差数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 问题2：等差数列的通项公式是什么？如何推导该公式？ 等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+- 推广公式：()n m a a n m d =+- 推导过程：方法一：不完全归纳法：归纳、猜想。 方法二：累加法 问题3：等差数列的通项公式与相应的一次函数解析式之间有何 《等比数列》教学设计（共2课时） 第一课时 1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片） 情境1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，,2,2,2432 ……，632 （1） 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… （2） 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,8 1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究，找出规律： 学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,2 1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2 《等比数列的概念》教案 【教学目标】 知识目标：正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比数列在生活中的应用。 能力目标：通过对等比数列概念的归纳，培养学生严密的思维习惯；通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维能力并进一步培养学生善于思考，解决问题的能力。 情感目标：培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，实事求是的科学态度，调动学生的积极情感，主动参与学习，感受数学文化。 【教学重点】 等比数列定义的归纳及运用。 【教学难点】 正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列是否为等比数列 【教学手段】 多媒体辅助教学 【教学方法】 启发式和讨论式相结合,类比教学. 【课前准备】 制作多媒体课件，准备一张白纸,游标卡尺。 【教学过程】 【导入】 复习回顾：等差数列的定义。 创设问题情境，三个实例激发学生学习兴趣。 1． 利用游标卡尺测量一张纸的厚度.得数列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0) 2． 一辆汽车的售价约15万元,年折旧率约为10%,计算该车5年后的价值。得到数列 15 ,15×0.9 ,15×0.92 ,15×0.93 ,…，15×0.95。 3． 复利存款问题，月利率5%，计算10000元存入银行1年后的本利和。得到数列10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.0512. 学生探究三个数列的共同点，引出等比数列的定义。 【新课讲授】 由学生根据共同点及等差数列定义,自己归纳等比数列的定义，再由老师分析定义中的关键词句,并启发学生自己发现等比数列各项的限制条件：等比数列各项均不为零，公比不为零。 ? 等差数列: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用d 表示.数学表达式： a n+1-a n =d ? 等比数列: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用q 表示. 数学表达式： 知晓定义的基础上，带领学生看书p29页，书上前面出现的关于等比数列的实 例。让学生了解等比数列在实际生活中的应用很广泛，要认真学好。 q a a n n =+1 2.3 等比数列导学案（1） 学习目标：1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列 2 ??掌握等比数列的通项公式并能简单应用 ； 重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推 导及应用。 一、温故知新 什么叫等差数列？通项公式是什么 ？什么叫等差中项？ 二、探求新知 1、研究下面三个数列并回答问题 1 1 1 ① 1、2、4、8…；② 1、-1、1、-1 …③ 1、 、一、 —— 2 4 8 问题1: 上面数列都是等差数列吗？ 问题2:以上数列后项与前项的比有何特点？ 2、 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 _____ 项起，每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数，那 么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 _________ ，通常用字母 ________ 表示。 3、 等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列 a n ，的公比为q 方法1：（归纳法） 4、等比数列的通项公式 a n 玄1 a 「a 2 a 1_， a 3 a ?q a 1 ，a 4 a 3q a 1 a n a n 1q a 1 a o 根据等比数列的定义，可以得到— a 3 ---- ? a 4 ---- ? a n ---- ? ? 一以上共有 a 1 a 2 a 3 a n 1 式，把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得 __________ ，即 a 1 a 2 a 3 a 1 ，即得到等比数列的通项公式。 方法2:（累乘法） a 2 a 3 a 4 a n 1 三、通过预习掌握的知识点 1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 ?这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表 1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数 (q) 2 隐含：任一项a n 0且q 0 3 q= 1时，｛a n ｝为常数。 2、 等比数列的通项公式 1: _________________________ . 3、 等比数列的通项公式 2: _________________________ . 4、 等比中项：若 a.b.c 成等比数列。贝U . 5、既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 四、预习检查： 1.判断下列数列是否为等比数列 (1) 2,2,2,2，…； (2) -1,1,2,4,8 , ; ⑶ Ig3,lg6,lg12,…; (4) 1 2 3 a ,a ,a n 7 a J ； (5) 已知数列 a n 的通项公式为 a n 3 2n 。 (6) 已知数列 a n 的通项公式为 a n n 3 2.已知数列1,24,-8,16?…它的公比是 ,通项公式是 3. 已知数列 1 — 1 1 1 --- --- ? … 则一 1 是它的第 项。 2 4 8 128 4. 一个等比数列的第 9项是4，公比是一1 ,求它的第1项 9 3 5. 一个等比数列的第 2项是10，第3项是20,求它的第1项与第4项 示(q z 0),即: a n =q (q* 0) a n 1 ｛an ｝成等比数列 a n 1 =q ( n a n N ,q *0) 2.4 等比数列 第1课时等比数列 学习目标核心素养 1.理解等比数列的定义(重点). 2.掌握等比数列的通项公式及其 应用(重点、难点). 3.熟练掌握等比数列的判定方 法(易错点)． 1.通过等比数列的通项公式及等比中项 的学习及应用，体现了数学运算素养. 2.借助等比数列的判定与证明，培养逻 辑推理素养. 1．等比数列的概念 (1)文字语言： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常 数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． (2)符号语言： a n＋1 a n＝q(q为常数，q≠0，n∈N *)． 思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示]不能． 2．等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列． (2)结论：G叫做a，b的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝ab． 思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ [提示]不一定，如数列0，0，5就不是等比数列． 3．等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1．这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比． 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1 q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列{a 1 q ·q n }中的各项的点是函数y ＝a 1 q ·q x 的图象上的孤立点． 思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法． 当n >2时，a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2a 1＝q ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2…a n －1a n －2·a n a n －1 ＝a 1·q n －1. 1．2＋3和2－3的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．2 C [设2＋3和2－3的等比中项为a ， 则a 2＝(2＋3)(2－3)＝1.即a ＝±1.] 2．下列数列为等比数列的序号是________． ①2，22，3×22；②1a ，1a 2，1a 3，1a 4，1 a 5(a ≠0)；③s －1，(s －1)2，(s －1)3，(s －1)4，(s －1)5；④0，0，0，0，0. ② [222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a ，公比为1 a 的等比数列；③中，当s ＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．] 3．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝1 4，则公比q ＝________． 1 2 [由定义知a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝a 5a 4 ＝q ，则a 2＝a 1q ＝2，① 2.4.1等比数列第一课时教案 教者:刘永祥;授课班级:高二（20）班 教学目标 知识目标:1等比数列的定义；2、等比数列的通项公式 能力目标：1、明确等比数列的定义.2、理解掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3会解决知道1,,,n a a q n 中的三个求另一个的问题 情感态度价值观;培养学生积极动脑，明辨是非的学习作风，掌握取其精华、去其糟粕的能力。体会等比、等差数列的相似美和结构美 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学重点：1、等比数列概念的理解与并掌握2、等比数列通项公式的推导。 教学难点：等比数列通项公式的推导及应用。 教学过程： （一）复习回顾 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 （二）复习引入 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）63 1,2,4,8,16,...,2。（２）111 1,,,,...;248 （３）231,20,20,20...; （４）231.0198,1.0198,1.0198... 结论从第二项起每一项与前一项的比是同一个常数。 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等 比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1 (2)n n a q n a -=≥ 思考：（1）等比数列中有为0的项吗?;(2)公比为1的数列是什么数列？ （3）既是等差数列又是等比数列的数列是什么数列？ (4)常数列是等比数列吗？ 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数q; (2)隐含：任一项0n a ≠且0q ≠；（3）当1q =时，数列{}n a 为常数列 （4）既是等差数列又是等比数列的数列：非零常数列 3．等比数列的通项公式： 方法一：（不完全归纳法）由定义得： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===；234311()a a q a q q a q ===；……； )0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 当1n =时，等式也成立，即对一切*∈N n 成立。 方法二：（累乘法）由定义式可得： (1)n -个等式21a q a =，32 a q a =，……，1 n n a q a -=， 若将上述1n -个等式相乘，便可得： 11 342312--=???n n n q a a a a a a a a Λ， 即：11-?=n n q a a （n ≥2） 当1n =时，左边=1a ，右边=1a ，所以等式成立， ∴等比数列通项公式为：111(0)n n a a q a q -=??≠． ４．等比数列的通项公式的推广：1(0)n m n m a a q a q -=??≠ （三）．例题解析： 例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项、第2《等比数列》第一课时教学设计
等比数列教案经典
等比数列的概念教案
等比数列第一课时导学案
19-20版 第2章 2.4 第1课时 等比数列
(完整版)刘永祥等比数列第一课时教案
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