第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用
学习目标:1.掌握等比数列前n 项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点).
[自 主 预 习·探 新 知]
1.等比数列前n 项和的变式
当公比q ≠1时,等比数列的前n 项和公式是S n =a 1
-q
n
1-q
,它可以变形为S n =-a 1
1-q
·q
n
+
a 11-q ,设A =a 1
1-q
,上式可写成S n =-Aq n
+A .由此可见,非常数列的等比数列的前n 项和S n
是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比
q =1时,因为a 1≠0,所以S n =na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数).
思考:在数列{a n }中,a n +1=ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n =3n -1
+k ,则实数k 的取值是什
么?
[提示] 由题{a n }是等比数列, ∴3n
的系数与常数项互为相反数, 而3n
的系数为13,∴k =-13.
2.等比数列前n 项和的性质
性质一:若S n 表示数列{a n }的前n 项和,且S n =Aq n
-A (Aq ≠0,q ≠±1),则数列{a n }是等比数列.
性质二:若数列{a n }是公比为q 的等比数列,则 ①在等比数列中,若项数为2n (n ∈N *
),则S 偶
S 奇
=q . ②S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列.
思考:在等比数列{a n }中,若a 1+a 2=20,a 3+a 4=40,如何求S 6的值? [提示] S 2=20,S 4-S 2=40,∴S 6-S 4=80,∴S 6=S 4+80=S 2+40+80=140.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)等比数列{a n }共2n 项,其中奇数项的和为240,偶数项的和为120,则该等比数列的公比
q =2.( )
(2)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =a ·3
n -1
-1,则a =1.( )
(3)若数列{a n }为等比数列,则a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6也成等比数列.( ) (4)若S n 为等比数列的前n 项和,则S 3,S 6,S 9成等比数列.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
提示:(1)
S 偶S 奇=q =120240=12;(2)由等比数列前n 项和的特点知1
3
a =1得a =3;(4)由S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等比数列知(4)错误.
2.已知数列{a n }为等比数列,且前n 项和S 3=3,S 6=27,则公比q =________. 2 [q 3
=
S 6-S 3S 3=27-3
3
=8,所以q =2.] 3.若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +1
3
,则{a n }的通项公式是a n =________.
【导学号:91432227】
(-2)
n -1
[当n =1时,S 1=23a 1+1
3
,所以a 1=1.
当n ≥2时,a n =S n -S n -1=23a n +13-? ????2
3a n -1+13
=23(a n -a n -1),所以a n =-2a n -1,即a n
a n -1=-2, 所以{a n }是以1为首项的等比数列,其公比为-2, 所以a n =1×(-2)
n -1
,即a n =(-2)
n -1
.]
4.设数列{a n },{b n }都是等差数列,若a 1+b 1=7,a 3+b 3=21,则a 5+b 5=________. 35 [设两等差数列组成的和数列为{c n },由题意知新数列仍为等差数列且c 1=7,c 3=21,则c 5=2c 3-c 1=2×21-7=35,即a 5+b 5=35.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
等比数列前n 项和公式的函数特征应用
已知数列{a n }的前n 项和S n =a n
-1(a 是不为零且不等于1的常数),则数列
{a n }( )
【导学号:91432228】
A .一定是等差数列
B .一定是等比数列
C .是等差数列或等比数列
D .既非等差数列,也非等比数列 B [当n ≥2时,
a n =S n -S n -1=(a -1)·a n -1;
当n =1时,a 1=a -1,满足上式. ∴a n =(a -1)·a n -1
,n ∈N *
.
∴
a n +1
a n
=a ,
∴数列{a n }是等比数列.] )
已知)若数列q n
-,其中跟踪训练1.若{a n }是等比数列,且前n 项和为S n =3n -1
+t ,则t =________.
-1
3 [显然q ≠1, 此时应有S n =A (q n
-1), 又S n =13·3n
+t ,
∴t =-1
3
.]
等比数列前n 项和性质的应用
[探究问题]
1.在等差数列中,我们知道S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…仍组成等差数列.在等比数列{a n }中,若连续m 项的和不等于0,那么S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…仍组成等比数列吗?为什么?
提示:S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…仍组成等比数列. ∵在等比数列{a n }中有a m +n =a m q n
, ∴S m =a 1+a 2+…+a m ,
S 2m -S m =a m +1+a m +2+…+a 2m =a 1q m +a 2q m +…+a m q m =(a 1+a 2+…+a m )q m =S m ·q m .
同理S 3m -S 2m =S m ·q 2m
,…,
在S m ≠0时,S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…,仍组成等比数列.
2.若数列{a n }为项数为偶数的等比数列,且S 奇=a 1+a 3+a 5+…,S 偶=a 2+a 4+a 6+…,那么
S 偶
S 奇
等于何值? 提示:由等比数列的通项公式可知
S 偶S 奇=S 奇·q S 奇
=q .
(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,S 2=7,S 6=91,则S 4为( ) A .28 B .32 C .21 D .28或-21
(2)等比数列{a n }中,公比q =3,S 80=32,则a 2+a 4+a 6+…+a 80=________
【导学号:91432229】
思路探究:(1)由S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列求解.
(2)利用
S 偶
S 奇
=q ,及S 2n =S 奇+S 偶求解. (1)A (2)24 [(1)∵{a n }为等比数列, ∴S 2,S 4-S 2,S 6-S 4也为等比数列, 即7,S 4-7,91-S 4成等比数列,
∴(S 4-7)2
=7(91-S 4),解得S 4=28或S 4=-21. ∵S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+a 2+a 1q 2
+a 2q 2
=(a 1+a 2)(1+q 2
)=S 2(1+q 2
)>S 2,∴S 4=28. (2)设S 1=a 2+a 4+a 6+…+a 80,
S 2=a 1+a 3+a 5+…+a 79.则S 1
S 2
=q =3,即S 1=3S 2.
又S 1+S 2=S 80=32,∴4
3S 1=32,解得S 1=24.
即a 2+a 4+a 6+…+a 80=24.]
母题探究:1.(变条件)将例题(1)中的条件“S 2=7,S 6=91”改为“正数等比数列中S n =2,
S 3n =14”求S 4n 的值.
[解] 设S 2n =x ,S 4n =y ,则2,x -2,14-x ,y -14成等比数列,所以
?
????
x -
2
=
-x ,
-x
2
=x -y -,
所以???
??
x =6,y =30
或???
?
?
x =-4,y =-40
(舍去),所以S 4n =30.
2.(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q =3,S 80=32”变为“项数为偶数的等比数列,它的偶数项之和是奇数项之和的12,又它的首项为12,且中间两项的和为3
128
”求此等比数列的项数.
[解] 设等比数列为{a n },项数为2n ,一个项数为2n 的等比数列中,S 偶S 奇=q .则q =1
2
, 又a n 和a n +1为中间两项,则a n +a n +1=3128,即a 1q n -1+a 1q n
=3128,
又a 1=12,q =1
2
,
∴12·? ????
12n -1
+12·? ????12n
=3128?12·? ????12n -1
·? ????1+12=3
128
?n =6. ∴项数为2n =12. 则此等比数列的项数为12.
分组求和法
已知数列{a n }构成一个新数列:a 1,(a 2-a 1),…,(a n -a n -1),…此数列是首
项为1,公比为1
3
的等比数列.
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
思路探究:通过观察,不难发现,新数列的前n 项和恰为a n ,这样即可将问题转化为首项为1,公比为1
3
的等比数
列的前n 项和,数列{a n }的通项公式求出后,计算其前n 项和S n 就容易多了. [解] (1)a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)
=1+13+? ????132
+…+? ??
??13n -1
=32??????1-? ????13n
.
(2)S n =a 1+a 2+a 3+…a n
=32? ????1-13+32??????1-? ????132
+…+32????
??1
-? ????13n
=32n -34????
??1-? ????13n
=34(2n -1)+14? ????13n -1
.
- 等比数列及前n 项和练习题1 一、选择题 1、32+和32-的等比中项是 ( ) A. 1 B. 1- C. 1± D. 2 2、在等比数列{}n a 中,已知30,341515=-=+a a a a ,则3a = ( ) A. 8 B. -8 C. 8± D. 16 3、等比数列{}n a 中,72=S ,916=S ,则4S 等于( ) A. 28 B. 28或21- C. 21- D. 49 ] 5、在等比数列{}n a 中,55,551==S a ,则公比q 等于 ( ) A. 4 B. 2 C. 2- D. 2-或4 6、已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = A. 21 B. 2 2 C. 2 7、已知数列{n a }为等比数列,n S 是它的前n 项和,若2· a a 31=2a ,且4a 与72a 的等差中项为54 ,则S 5= A .35 B .33 C .31 D .29 8、已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2等于 ( ) ^ (A )-4 (B )-6 (C )-8 (D )-10 9、等比数列{}n a 中,===+q a a a a 则,8,63232( ) A .2 B .2 1 C .2或2 1 D .-2或2 1- 10、在等比数列{a n }中,S 4=1,S 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20的值是( ) A 、14 B 、16 C 、18 D 、20 二、填空题: 11、已知在等比数列{}n a 中,各项均为正数,且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 12、在等比数列{}n a 中,已知,2,1654321-=++=++a a a a a a 则该数列
等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系. 【知识通关】 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用 字母q 表示,定义的数学表达式为a n +1a n =q (n ∈N *,q 为非零常数). (2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项?a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab . 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1=a m q n -m . (2)前n 项和公式: S n =??? na 1(q = 1),a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1). [常用结论] 1.在等比数列{a n }中,若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k . 2.若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),???? ??1a n ,{a 2n },{a n ·b n },???? ??a n b n 仍然是等比数列. 3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n ,其中当公比为-1时,n 为偶数时除外. 【基础自测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( ) (2)G 为a ,b 的等比中项?G 2=ab .( ) (3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),前n项和为80,其中 最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,求a和q. 解:由S n=80,S2n=6560,故q≠1 ∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前n项中最大项为an. ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q-1 ⑤ 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 证∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1q n-1 S2n=S n+(a1q n+a1q n+1+...+a1q2n-1)
=S n+q n(a1+a1q+...+a1q n-1)=S n+q n S n=S n(1+q n) 类似地,可得S3n=S n(1+q n+q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 分析设等比数列为{a n},公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q2,首项分别为a1,a1q. 解设项数为2n(n∈N*),因为a1=1,由已知可得q≠1. 即公比为2,项数为8. 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时,对公比q要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
课时教案
一、复习提问 回顾等比数列定义,通项公式 (1)等比数列定义:(, (2)等比数列通项公式: (3)等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法。二、问题引入: 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨: 问题:如何求等比数列的前n项和公式 回顾:等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 (1) (2) (1)+(2)得:
探究:等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导? 学生讨论分析,得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾:等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导? 根据等比数列的定义: 变形: 具体: …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式,学生不难发现:由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。 (1) (2) 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
当q=1时, 当时, 学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式: 当时, 四.知识整合: 1.等比数列的前n项和公式: 当q=1时, 当时, 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑与两种情况。 ⑵当时,等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量,四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量, , 五个量中“知三求二”(方程思想)。 3.等比数列前n项和公式推导方法:错位相减法。
6.3等比数列及其前n 项和 考情分析 高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解 答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查 基础知识 1、等比数列的判定:(1)定义法:*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数,(2)等比中项法:2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且(3)通项公式法:*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数,(4)1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 (5)若{},{}n n a b 均为等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和,则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠;;;公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---,相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比;由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质 (1)通项公式:①11n n a a q -=②n m n m a q a -= (2)前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? (3)下脚标性质:若m+n=p+q ,则m n p q a a a a = (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成,,a a aq q ,若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ,方便计算 注意事项