4.3.1 等比数列的概念(第2课时)
素养目标
学科素养
1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质．
2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点)
3．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.
1.数学运算； 2．逻辑推理
情境导学
一组有趣的对话，折了38次的纸，最后一次的厚度可是一个庞大的数字哦！
1．等比数列的性质
(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m ·
a n . (2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n
}，????
??
1a
n 仍为等比数列．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)在等比数列{a n }中，若a m a n ＝a p a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×)
(2)若数列{a n }，{b n }都是等比数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等比数列．(×) (3)若数列{a n }是等比数列，则{λa n }也是等比数列．(×)
2．等比数列性质的应用
一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a ，aq ，aq 2或a
q ，a ，aq ，此时公
比为q ；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3(公比为q )，当四个数均为正(负)数时，可设为a q 3，a
q
，aq ，aq 3(公比为q 2)．
(1)在等比数列{a n }中，若a 1＝1
9
，a 4＝3，则该数列前五项的积为__1__.
(2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
D 解析：当下标成等差数列时，对应的项成等比数列． 2．在等比数列{a n }中，若a 2a 8＝9，则a 3a 7＝( ) A ．3 B ．±3 C ．9
D ．±9
C 解析：∵2＋8＝3＋7，∴a 3a 7＝a 2a 8＝9.
3．在等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11＝( ) A ．48 B ．72 C ．144
D ．192
D 解析：∵a 6a 7a 8
a 3a 4a 5＝q 9＝8(q 为公比)，
∴a 9a 10a 11＝a 6a 7a 8q 9＝24×8＝192.
4．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．
43 解析：因为a 4a 6＝a 25，所以a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313.因为a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，所以log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43
. 5．在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.
b 9a 8 解析：因为a 19＋a 20＝a 9q 10＋a 10q 10＝(a 9＋a 10)q 10＝aq 10＝b ，所以q 10＝b a ，a 99＋a 100＝q 90(a 9＋a 10)＝a ????b a 9＝b 9
a 8.
【例1】(1)在等比数列{a n }中，若a 3＝1
2
，a 9＝2，则a 15＝________.
(2)已知公比为q 的等比数列{a n }，a 5＋a 9＝q ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为________． (3)在等比数列{a n }中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20
a 10等于________．
(1)8 (2)1 (3)32或2
3
解析：(1)∵a 3a 15＝a 2
9，∴a 15＝a 29a 3＝22
1
2
＝8.
(2)∵a 5＋a 9＝q ，∴a 4＋a 8＝1，
∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝1.
(3)设公比为q .
∵a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，
∴????? a 4＝2，a 14＝3或?????
a 4＝3，a 14＝2，
∴q 10＝a 14a 4＝32或2
3，
∴a 20a 10＝q 10＝32或2
3
.
等比数列的常用性质：
(1)设{a n }为等比数列，m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a 2p .
(2)若{a n }为等比数列，m ，n ∈N *，则a m a n ＝q m －n .
(3)若{a n }为等比数列，则数列{a 2n }为等比数列．
(4)若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则数列????
??1a n 是公比为1
q 的等比数列．
(5)等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为q k ＋
1.
在等比数列{a n }中，a 2＋a 5＝18，a 3·a 4＝45，求a n .
解：设等比数列{a n }的公比为q .
根据题意，得????
?
a 2a 5＝a 3a 4＝45，a 2＋a 5＝18，
解得????? a 2＝3，a 5＝15或?????
a 2＝15，
a 5＝3.
∴q ＝513或q ＝5－13
.
∴a n ＝3×5n －23或a n ＝3×55－n 3
.
【例2】2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a 和25a ，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%. (1)哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？ 解：(1)由题意可得
16a (1＋25%)n －
1＝25a (1－20%)n －
1， 解得n ＝2，
故到2019年两林场木材的总存量相等．
(2)令n ＝5，则a 5＝16a ????544
＋25a ????454<2(16a ＋25a )， 故到2021年不能翻一番．
一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．
一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)．
45 解析：3分钟后占据内存22 KB ，两个3分钟后占据内存23 KB ，三个3分钟后占据内存24 KB ，……，n 个3分钟后占据内存为2n ＋
1 KB ．令2n ＋
1＝64×210＝216，得n ＝15.所以
15×3＝45(分钟)，故开机后45分钟，该病毒占据内存64 MB ．
探究题1 已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．2
D ．－2
A 解析：∵a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴a 22＝a 1a 5＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3.
探究题2 已知等比数列{a n }，各项都是正数，且a 1，1
2a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )
A ．3＋2 2
B ．1－ 2
C ．1＋ 2
D ．3－2 2 A 解析：∵a 1，1
2a 3,2a 2成等差数列，
∴a 3＝a 1＋2a 2.
∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，即q 2－2q －1＝0， ∴q ＝1±2.
∵a n >0，∴q ＝1＋ 2.
∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝(a 7＋a 8)q 2a 7＋a 8
＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 探究题3 有四个实数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，前三个数之积为27，中间两个数之和为9，求这四个数．
解：(方法一)设前三个数分别为a
q ，a ，aq (a ≠0)，则第四个数为2aq －a .
由题意得?????
a q ·a ·qa ＝27，a ＋aq ＝9，
解得?????
a ＝3，
q ＝2，
∴这四个数分别为3
2
，3,6,9.
(方法二)设后三个数分别为a －d ，a ，a ＋d (a ≠0)，则第一个数为(a －d )2
a
.
由题意得?????
(a －d )2a (a －d )a ＝27，
a －d ＋a ＝9，
化简得????? a －d ＝3，2a －d ＝9，解得?????
a ＝6，d ＝3，
∴这四个数分别为3
2
，3,6,9.
(方法三)设前三个数分别为a ，aq ，aq 2(a ≠0)，则第四个数应为2aq 2－aq .
由题意得?
????
a ·
aq ·aq 2＝27，aq ＋aq 2＝9，
化简得?????
aq ＝3，aq (1＋q )＝9，解得??
???
a ＝3
2，q ＝2，
∴这四个数分别为3
2
，3,6,9.
探究题4 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这三个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．
解：由题意，这三个数成等差数列，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .∵a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，
∴a ＝2，即三个数分别为2－d,2,2＋d .
①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )， 解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )， 解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则有22＝(2＋d )(2－d )， 解得d ＝0(舍去)．
综上可知，这三个数是－4,2,8或8,2，－4.
探究题5 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；
(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .
解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1， 可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，
两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又∵a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，
故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n －
1.
(2)设{b n }的公差为d ，
由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d . 又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，
由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10. ∵等差数列{b n }的各项为正， ∴d >0， ∴d ＝2，∴b 1＝3.
∴T n ＝3n ＋n (n －1)
2
×2＝n 2＋2n .
巧设等差数列、等比数列的方法：
(1)若三个数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d ；若三个数成等比数列，常设成a
q ，a ，aq
或a ，aq ，aq 2(a ≠0，q ≠0)．
(2)若四个数成等比数列，可设为a
q
，a ，aq ，aq 2(a ≠0，q ≠0)．
等差数列{a n }中，a 4＝10且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .
由a 3，a 6，a 10成等比数列得，a 3a 10＝a 26， 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2， 整理得10d 2－10d ＝0， 解得d ＝0或d ＝1.
当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；
当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， S 20＝20a 1＋20×192
d ＝20×7＋190＝330.
因此，S 20＝200或S 20＝330.
1．在等比数列{a n }中，a 3＝－9，a 7＝－1，则a 5的值为( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3
D ．不存在
C 解析：a 25＝a 3·a 7＝9，所以a 5＝－3或a 5＝3(舍去)． 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 8＝( ) A ．243 B ．128 C ．81
D ．64
B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，
∴q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝63＝2，∴a 1＋a 2＝3a 1＝3，即a 1＝1，
∴a 8＝a 1q 7＝128.
3．等比数列{a n }不具有单调性，且a 5是a 4和3a 3的等差中项，则数列{a n }的公比q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2
D ．－3 A 解析：∵a 5是a 4和3a 3的等差中项，∴2a 5＝a 4＋3a 3，得2a 1q 4＝a 1q 3＋3a 1q 2，解得q ＝
3
2或q ＝－1.又等比数列{a n }不具有单调性，故q ＝－1.故选A ．
4．等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝1
2(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，
则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ≥Q B ．P D ．P >Q D 解析： P ＝1 2(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 6，Q ＝log 0.5a 3＋a 92≤log 0.5a 3a 9＝ log 0.5a 6 (当且仅当a 3＝a 9时取等号)． ∵{a n }各项均为正数且q ≠1，∴a 3≠a 9， ∴Q 5．设{a n }是等比数列，a 1＝1，a 3＝3 4a 2.求{a n }的通项公式． 解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 3a 2＝3 4. 因为a 1＝1，所以a n ＝????34n －1 . 1．等比数列的性质及其应用 一方面，等比数列的性质要与等差数列的性质对比记忆，加深理解并作区分；另一方面，等比数列一般运算量大，巧用等比数列的性质，减少计算量这一点很重要． 2．等比数列各项之间可由公比建立关系，在三个(四个)数成等比数列问题中，应注意灵活设项． 课时分层作业(八) 等比数列的概念(第2课时) (60分钟 110分) 基础对点练 基础考点 分组训练 知识点1 等比数列的性质 1．(5分)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，若a 2a m ＝4，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 B 解析：∵公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，∴a 5a 6＝a 4a 7＝4. ∵a 2·a m ＝4，∴2＋m ＝5＋6＝11，解得m ＝9.故选B ． 2．(5分)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A ．12 B ． 22 C ． 2 D ．2 B 解析：∵a 3a 9＝a 26，∴a 6＝2a 5，∴q ＝ 2. ∵a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝ 2 2 . 3．(5分)在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于( ) A ．－213 B ．213 C ．26 D ．－26 A 解析：a 1·a 2·…·a 13＝(a 7)13＝(－2)13＝－213. 知识点2 等比数列的实际应用 4．(5分)一张报纸的厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为( ) A ．8a ，18b B ．64a ，1 64b C ．128a ，1 128 b D ．256a ，1 256 b C 解析：对折后，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和1 2， ∴对折7次后的厚度为27·a ＝128a ， 面积为????127·b ＝b 128 . 5．(5分)某工厂去年产值为a ，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ？( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 C 解析：由题意知每年的产值构成以1.1a 为首项，公比为1.1的等比数列，则a n ＝a ·1.1n . ∴a ·1.1n >2a .∵1.17<2,1.18>2，∴n ＝8. 知识点3 等比数列的综合应用 6．(5分)已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 均不为零，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则 a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 D 解析：∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8， ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， ∴d 2＝a 1d . 又d ≠0，a 1≠0，∴d ＝a 1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1≠0， ∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝a 1＋5a 1＋9a 12a 1＋3a 1 ＝3.故选D ． 7．(5分)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则数列{a n }前6项的和为( ) A ．－20 B ．－18 C ．－16 D ．－14 B 解析：∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1·a 4. ∴(a 1＋4)2＝a 1·(a 1＋6)．∴a 1＝－8. ∴S 6＝6×(－8)＋6×5×22 ＝－18. 8．(5分)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1 3(a 5＋a 7＋ a 9)的值为( ) A ．－5 B ．－15 C ．5 D ．15 A 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1， ∴log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，∴log 3 a n ＋1 a n ＝1， ∴a n ＋1a n ＝3，∴{a n }是等比数列，公比为3. ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[(a 2＋a 4＋a 6)·q 3]＝log 13 (9×27)＝－5. 9．(5分)已知数列{a n }是公比为2的等比数列，满足a 6＝a 2a 10.设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 9＝2a 7，则S 17＝( ) A ．34 B ．39 C ．51 D ．68 D 解析：∵a 6＝a 2a 10＝a 26 ， ∴a 6＝1.∴a 7＝2a 6＝2. ∴b 9＝4.∴S 17＝17(b 1＋b 17)2 ＝17b 9＝17×4＝68. 能力提升练 能力考点 拓展提升 10.(5分)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠±1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 C 解析：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝q 10＝a 11， ∴m ＝11. 11．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．84 C ．72 D ．189 B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 1＋a 3＝4a 2，即12＋3q 2＝4×3q ，解得q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3×(22＋23＋24)＝84. 12．(5分)(多选)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则( ) A ．q 2＝3 B ．a 32＝4 C ．a 4a 6＝2 3 D ．n ＝14 BD 解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a 32＝ 4，a 35＝12，AC 不正确． 又a n －1a n a n ＋1＝a 31 q 3n － 3＝324， 因此q 3n － 6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.故选BD ． 13.(5分)已知数列{a n }是等比数列，且a 3＋a 5＝18，a 9＋a 11＝144，则a 6＋a 8＝ ________. ±362 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 9＋a 11a 3＋a 5＝q 6＝14418＝8， ∴q 3＝±2 2. ∴a 6＋a 8＝(a 3＋a 5)·q 3＝18×(±22)＝±36 2. 14.(5分)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列， 且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________. 16 解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 2 7＝0，b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝ b 27＝16. 15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－1 8 ，且a 2，a 4，a 3成等差数 列，求a 1. 解：设{a n }的公比为q (q ≠1)， ∵a 1a 2a 3＝a 32＝－18，∴a 2＝－1 2 . ∵a 2，a 4，a 3成等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 3. ∴2×????－12·q 2＝－12＋???? －12·q ， 解得q ＝－1 2或q ＝1(舍)． ∴a 1＝a 2 q ＝1. 16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－3 2 ，求这 四个数． 解：设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，则????? a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，解得????? a ＝－18，q ＝－4或????? a ＝8，q ＝－14. 故所求四个数依次为－18，12，－2,8或8，－2，12，－1 8 . 17.(10分)已知数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (1)求证：当0 (2)若对任意k ∈N *，都有a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，求q 的值． (1)证明：∵a n ＝q n － 1， ∴a n ＋1－a n ＝q n －q n －1＝q n － 1(q －1)． 当0 1>0，q －1<0， ∴a n ＋1－a n <0， ∴{a n }为递减数列． (2)解：∵a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列， ∴2a k ＋2＝a k ＋a k ＋1. ∴2q k ＋ 1－(q k － 1＋q k )＝0， 即q k －1·(2q 2－q －1)＝0. ∵q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12 . 18.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，且b n ＝a n ＋1－ 2a n . (1)求证：数列{b n }是等比数列． (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得 S n ＋2－S n ＋1＝4(a n ＋1－a n )，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2. 当n ＝1时，由S 2＝4a 1＋2得a 2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3， ∴{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)解：由(1)知等比数列{b n }中，首项b 1＝3，公比q ＝2， ∴a n ＋1－2a n ＝3×2n － 1，则a n ＋12 n ＋1－a n 2n ＝34， ∴因此数列???? ??a n 2n 是首项为12，公差为3 4的等差数列， ∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －1 4， ∴a n ＝(3n －1)·2n － 2. 等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。 解：等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1） 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求： （1）求n n b a , （2）解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m )1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥ 新课标下高中数学概念教学的实践与思考 广东东莞实验中学黄芳芳523120 新一轮课程改革把培养人的创新能力放在重要位置, 重视知识传授的过程,强调各科目在学生个性发展、提高素质和健全人格上的作用。数学教学是实现这一教育目的的重要途径之一,而数学概念是数学思维的细胞,是形成数学知识体系的基本要素,是数学基础知识的核心。所以,数学概念教学是数学教学工作中的一项重要内容,是新课标下“人人学有用的数学”的前提，是提高中学数学教学质量的关键。 一、高中数学课程标准对概念教学的要求 高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点,注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。 二、当前高中数学概念教学中存在的问题 长期以来, 由于受应试教育的影响,不少教师重解题、轻概念,造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看做一个名词而已,概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆,而没有看到像函数、向量这样的概念, 本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法。一节“概念课”教完了,也就完成了它的历史使命,剩下的是赶紧解题,造成学生对概念含糊不清，一知半解，不能很好地理解和运用概念,严重影响了学生的解题质量。在新课程理念下，研究和实践与之相适应的高中数学概念教学的范式与方法成为当务之需。那么，作为教师应如何进行数学概念的教学呢？笔者从以下几个方面作了努力与探索,收到了一定的效果 三、新课标下高中数学概念课的教学 新课标下教师要更新教学理念,重视概念课教学；正确选择教学方法,改进概念课的教学过程;精心设计问题情景,激发学生的学习兴趣;倡导学生自主探索，合作交流,优化学生的学习方式；引导学生重视概念的学习,提高应用概念解决问题的能力。 １. 重视数学概念引入的方法 新课标指出：概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程．因此引入数学概念就要以具体的典型材料和实例为基础,揭示概念形成的实际背景,要创设好的问题情境,帮助学生完成由材料感知到理性认识的过渡,并引导学生把背景材料与原有认知结构建立实质性联系． 1.1 从实际生活中,引入新概念 新课标强调“数学教学要紧密联系学生的生活实际”．在数学概念的引入上，尽可能地选取学生日常生活中熟悉的事例．并且注意选取事例不在于数量的多少,关键是要贴近学生的认识经历，能够反映概念的本质特征。 案例1:数列极限的概念引入,从学生熟悉的砍木棍引入：战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》中有这样一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．意思是说:一根一尺长的木棍,每天砍去一半，这样可以无限制的进行下去.让学生将每天剩余的木棍长度和已砍去的木棍长度写成两个数列,并把它们的各项标在数轴上,引导学生归纳两个数列的共同点特征：(1)都是无穷数列；（２）随着项数的无限增大，数列的项无限趋近于一个常数.从而引出数列极限的定义。 1.2 在体验数学概念产生的过程中引入概念 数学概念的引入,应从实际出发,创设情景，提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强 （第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 高中数学概念课教学 摘要培养创新精神和实践能力是目前我国教育改革，实施素质教育的重要任务之一，它要求我们在日常教学中持之以恒地认真钻研教材，合理创设问题情景，加强思维训练，并积极探索规律，改进教学方法，优化教学过程。笔者在高中数学概念教学中，发现教师若能充分重视数学概念的教学，在概念教学中恰当的把握好传授知识与增长能力的关系，充分尊重学生在学习过程中的主体体验、主动积极的思维和情感活动，才能循序渐进地引导学生在体验中感悟、在体验中创造、在体验中提高数学素养，帮助学生认识、理解、体验和掌握数学概念，促使其能运用数学概念灵活处理相关的数学问题。发展学生学会学习、学会思考、学会提问和开拓创新的能力。 关键词数学概念认识掌握拓展应用 数学是自然的，数学是清楚的。任何数学概念都有它产生的背景，考察它的来龙去脉，我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大量实例分析分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。才能是学生初步掌握概念。因此，概念教学的环节应包括概念的引入——概念的形成——概括概念——明确概念——应用概念—— 形成认知。传统的教法教师经常包办到家，口若悬河，常使学生感到枯燥无味，对数学课提不起兴趣，致使不少学生概念模糊，从而影响对数学内容的后续学习。数学概念是学习数学知识的基础，是 培养数学能力的前提。如何搞好数学概念课的教学呢? 一、让学生在亲自感知、体验教学中认识概念 学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义，作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。我们着重谈一下从实际问题引入，通过创设实验活动，培养学生动手操作能力，让他们在亲自体验实践中形成数学概念。如在椭圆概念教学中，可要求学生事先准备两个小图钉和一条长度为定长细线，将细线两端分别固定在图板上不同两点a 和b ，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动所得图形。提问思考讨论：(1)椭圆上的点有何特征？(2)当细线长等于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(3)当细线长小于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(4)请同学总结，完善椭圆定义。这样的设计，不是教师机械的讲解、学生被动的接受的过程，而是学生通过数学实验，在不断思考和探索中得到新发现，获得新知识，从而体验数学概念的发生、形成和发展的过程，，一方面有利于增强学生上数学课兴趣，感受过程给他们带来的快乐，另一方面有利于学生充分了解概念由来，方便记忆。 二、寻找新旧概念之间联系，形成系统化，进一步掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系，如平面角与空间角、映射与函数、平行线段与平行向量、等差数列与等比数列等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。 数学课的基本课型 一、关于数学基本课型 （一）数学概念课 概念具有确定研究对象和任务的作用。数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁形成学科体系。数学概念不仅是建立理论系统的中心环节，同时也是提高解决问题的前提。因此，概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。它是以“事实学习”为中心内容的课型。 我们认为，通过概念教学，力求让学生明了以下几点： 第一，这个概念讨论的对象是什么？有何背景？其来龙去脉如何？学习这个概念有什么意义？它们与过去学过的概念有什么联系？ 第二，概念中有哪些补充规定或限制条件？这些规定和限制条件的确切含义又是什么？ 第三，概念的名称、进行表述时的术语有什么特点？与日常生活用语比较，与其他概念、术语比较，有没有容易混淆的地方？应当如何强调这些区别？ 第四，这个概念有没有重要的等价说法？为什么等价？应用时应如何处理这个等价转换？第五，根据概念中的条件和规定，可以归纳出哪些基本的性质？这些性质又分别由概念中的哪些因素（或条件）所决定？它们在应用中起什么作用？能否派生出一些数学思想方法？由于数学概念是抽象的，因此在教学时要研究引入概念的途径和方法。一定要坚持从学生的认识水平出发，通过一定数量日常生活或生产实际的感性材料来引入，力求做到从感知到理解。还要注意在引用实例时一定要抓住概念的本质特征，着力揭示概念的本质属性。 人类的认识活动是一个特殊的心理过程，智力不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。在教学时要从面向全体学生出发，从不同的角度，设计不同的方式，使学生对概念作辩证的分析，进而认识概念的本质属性。例如选择一些简单的巩固练习来辨认、识别，帮助学生掌握概念的外延和内涵；通过变式或变式图形，深化对概念的理解；通过新旧概念的对比，分析概念的矛盾运动。抓住概念之间的联系与区别来形成正确的概念。有些存在种属关系的概念，常分散在各单元出现，在教学进行到一定阶段，应适时归类整理，形成系统和网络，以求巩固、深化、发展和运用。 （二）数学命题课 表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和表示数的句子的关系统称为数学命题。定义、公理、定理、推论、公式都是符合客观实际的真命题。数学命题的教学是获得新知的必由之路，也是提高数学素养的基础。因此，它是数学课的又一重要基本课型。通过命题教学，使学生学会判断命题的真伪，学会推理论证的方法，从中加深学生对数学思想方法的理解和运用。培养数学语言能力、逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力，培养数学思维的特有品质。 在进行命题教学时，首先要重视指导学生区分命题的条件与结论。其次要引导学生探索由条件到结论转化的证明思路。由于数学证明常会用证明一个等效的命题来代替原命题的真实性，因而还要注意引导学生在证明过程中如何进行命题的转换，一定要展示完整的思维过程，并要注意命题转换时的等价性。特别通过一个阶段的教学后，要及时归纳和小结证明的手段和方法。使学生掌握演绎法的原理和步骤，逐步掌握综合法、分析法、反证法等证明方法（高中还有数学归纳法）。 命题课教学还要注意： 第一，对基本问题，要详细讲解，认真作图，教学语言要准确，论证要严格，书写要规范， 2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； 第50炼 等比数列性质 一、基础知识 1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比 注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列 2、等比数列通项公式：11n n a a q -=?，也可以为：n m n m a a q -=? 3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有 2a b b a c b c =?= （2）若{}n a 为等比数列，则n N * ?∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+?= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q -= - 可变形为：()1111111 n n n a q a a S q q q q -= = ----，设11a k q =-，可得：n n S k q k =?- 5、由等比数列生成的新等比数列 （1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}n a λ （λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ?? ???? 为等比数列 ③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{} n a 为等比数列 按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业 第1讲等差数列与等比数列 高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下. 真题感悟 1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则() A.a n＝2n－5 B.a n＝3n－10 C.S n＝2n2－8n D.S n＝1 2n 2－2n 2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音 的频率为( ) A.32f B.3 22f C.1225f D.1227f 3.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝ ________. 4.(2019·全国Ⅱ卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和. 考 点 整 合 1.等差数列 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)求和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2 d ； (3)性质： ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ； ③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)； (2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ； (3)性质： ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·q n －m ； ③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列. 新课标下如何进行高中数学概念教学 发表时间：2011-01-26T17:01:56.810Z 来源：《少年智力开发报》2010年第9期供稿作者：杨昆 [导读] 如何在这一要求下进行数学概念教学？我认为抓好概念教学是提高数学教学质量的最关键的一环。 贵州省平塘民族中学杨昆 教师应该准确地提示概念的内涵与外延，使学生深刻理解概念，并在解决各类问题时灵活应用数学概念是新课标下数学概念的教学要求。因此正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提。如何在这一要求下进行数学概念教学？我认为抓好概念教学是提高数学教学质量的最关键的一环。下面我从引入概念、解析概念、巩固概念三个方面谈谈对概念教学。 一、引入概念 概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程．因此引入数学概念就要以具体的典型材料和实例为基础，揭示概念形成的实际背景，要创设好的问题情境，帮助学生完成由材料感知到理性认识的过渡，并引导学生把背景材料与原有认知结构建立实质性联系．下面介绍几种引入数学概念的方法： 1.从实际生活中，引入新概念。 新课标强调“数学教学要紧密联系学生的生活实际”．在数学概念的引入上，尽可能地选取学生日常生活中熟悉的事例． 2.创设问题情境，引入新概念。 教师要善于恰当地创设趣味性、探索性的问题情境，激发学生概念学习的兴趣，使学生能够从问题分析中，归纳和抽象出概念的本质特征，这样形成的概念才容易被学生理解和接受。 3. 从最近概念引入新概念。 数学概念具有很强的系统性。数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。公理化体系就是这种系统性的最高反映。教学中充分利用学生头脑中已有的知识与相关的经验引入概念，使相应的具体经验升华为理性认识，不仅能使学生准确地理解概念的形式定义，而且有利于建立起关于概念的恰当心理表征。使学生对知识的积累变成对知识的融合。 二、解析概念 生动恰当的引入概念，只是概念教学的第一步，，要使学生真正掌握新概念，还必须多角度、多方位的解析概念。对概念理解不深刻，解题时就会出现这样或那样的错误，要正确而深刻地理解一个概念并不是一件容易的事，教师要根据学生的知识结构和能力特点，从多方面着手，适当地引导学生正确地分析解剖概念，充分认识概念的科学性，抓住概念的本质。因此，教师要充分利用概念课，培养学生的能力，训练学生的思维，使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学的理论基础，又是进行再认识的工具。为此，我们可以从以下几个方面努力，加深对概念的理解。 1.用数学符号语言解析概念。数学教学体现了数学语言的特点，数学语言无非是文字叙述、符号表示、图形表示三者之间的转换，当然要会三者的翻译，同时更重要的是强调符号感。引进数学符号以后，应当引导学生把符号与它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的概念及其本质特征。事实上，如果概念的符号能够与概念的实质内容建立起内在联系，那么，符号的掌握可以提高学生的抽象能力、概括能力。数学中的逻辑推理关键就在于能够合理、恰当地应用符号，而这又要依靠对符号的实质意义的把握。在概念学习中，形式地掌握符号而不懂得符号的本质涵义的情况是经常发生的，这时符号将使知识学习产生困难，导致数学推理的错误。 2.用图形语言解析概念。数与形的结合是使学生正确理解和深刻体会概念的好方法，数形结合妙用无穷，教学中凡是“数”与“形”能够结合起来讲的，一定要尽量结合起来讲。 3.逆向分析，加深对概念的理解。人的思维是可逆的，但必须有意识地去培养这种逆向思维活动的能力。对某些概念还应从多方面设问并思考。 4.讲清数学概念之内涵和外延，沟通知识的内在联系。概念反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵，又称涵义。适合于概念所指的对象的全体，叫做这个概念的外延，又称范围。 5.揭示概念与概念之间的区别与联系,使新概念与已有认知结构中的有关概念建立联系,把新概念纳入到已有概念体系中,同化新概念。教学中，应将相近、相反或容易混淆的概念放到一块来对比讲解，从定义、图形、性质等各方面进行分析对比，从而正确理解把握概念.。 三、巩固概念 学生认识和形成概念，理解和掌握之后，巩固概念是一个不可缺少的环节。巩固的主要手段是多练习、多运用，只有这样才能沟通概念、定理、法则、性质、公式之间的内存联系。我们可以选择概念性、典型性的习题，加强概念本质的理解，使学生最终理解和掌握数学思想方法。例如，当学习完“向量的坐标”这一概念之后，进行向量的坐标运算，提出问题：已知平行四边形ABCD的三个顶点ABC的坐标分别是(1,2),(2,4),(0,2),试求顶点D的坐标。学生展开充分的讨论，不少学生运用平面解析几何中学过的知识（如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等），结合平行四边形的性质，提出了各种不同的解法，有的学生应用共线向量的概念给出了解法，还有一些学生运用所学过向量坐标的概念，把点D的坐标和向量CD的坐标联系起来，巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生巩固概念。 总之，在中学数学概念的教学中，只要针对学生实际和概念的具体特点，注重引入，加强分析，重视训练，辅以灵活多样的教法，使学生准确地理解和掌握概念，才能更好地完成数学概念的教学任务，从而有效地提高数学教学质量。 . 1.2.1 函数的概念（第一课时） 班级 姓名 时间 制作人： 课题 函数的概念 课 型 新 授 课 知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系 的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素 及函数符号的深刻含义. 能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽 学习目标 重 点 难 点 学法指导 象、归纳概括的能力；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想 情感目标——探究过程中，强化学生参与意识，激发学生观察、分析、探求 的兴趣和热情；体会由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、 相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；逐渐形成善于提出问题的习惯， 学会数学表达和交流，发展数学应用意识；感受数学的抽象性和简洁美渗， 透数学思想和文化. 函数的概念、函数的三要素 函数概念及符号 y = f ( x ) 的理解 ⑴先自学课本 15～18 页，尝试完成课本例题和练习题。 ⑵找准自学中存在的问题，以备课堂内解决。 一．知识链接： 1、在初中我们学习了哪几种基本初等函数？ 一次函数，二次函数，反比例函数 2、在初中学习阶段，函数的定义是如何表述的？ 在一个变化过程中，有两个变量x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值和它 对应，那么就说 x 是 y 的函数， y 叫自变量． 3、由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数 y=x 与函数 y = x 2 表示同一个函 x 数吗？ （学生思考、小组讨论） 教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这 就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书） 二、新课探究： 1.实例感受： 实例一：一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹 距地面的高度 h （单位： m ）随时间 t （单位： s ）变化的规律是： y = 130t - 5t 2． 思考 1：（１）. t 的范围是什么？ h 的范围是什么？ （２）. t 和 h 有什么关系？这个关系有什么特点？ （实例一由师生共同完成） 事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高， 1 对高中数学概念教学的一点想法 发表时间：2009-07-07T11:16:12.733Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2009年第10期供稿作者：王仙 [导读] 随着新课改的深入实施，高中数学概念教学受到了前所未有的重视。 摘要：随着新课改的深入实施，高中数学概念教学受到了前所未有的重视。本文结合实例探讨了怎样才能更有效地进行概念教学以及相应的教学方法。 关键词：概念教学；课堂教学；理解；概括 作者简介：王仙，任教于浙江省衢州高级中学。 长期以来,由于受应试教育的影响,不少教师在教学中重解题、轻概念,造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看作一个名词而已,认为概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆。而没有看到像函数、向量这样的概念,本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法。一节“概念课”教完了,也就完成了它的历史使命,剩下的是赶紧解题,造成学生对概念含糊不清,一知半解,不能很好地理解和运用概念,严重影响了学生的解题质量。另一方面,新教材有的地方对概念教学的要求是知道就行,需要某个概念时,就在旁边用小字给出,这样过高的估计了学生的理解能力,也是造成学生不会解题的一个原因。那么如何搞好新课标下数学概念课的教学呢? 一、正确地理解概念 我国从20世纪50年代以来，中学数学教学大纲虽经历多次修订，但都有一个共同的指导思想，这就是搞好三基。并强调指出，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。而当前我国数学教学中的突出问题，恰好是把掌握数学基础，即数学概念的正确理解，给忽视了。一方面是教材低估了学生的理解能力，为了“减负”，淡化甚至回避一些较难理解的基本概念；另一方面，“题海战术”式的应试策略，使教师没有充分的时间和精力去钻研如何使学生深入理解基本的数学概念。说是为了减负，其实南辕北辙，老师、学生的压力都增加了。 其实我们知道，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能掌握各种法则、定理、公式，从而也就不能进行计算和论证。因此，讲清概念，使学生正确地理解概念，对于提高数学教学质量具有重要的意义。鉴于此，教师们都渐渐地开始重视概念的教学。 在较长的一段时间里，概念教学搞“一个定义三项注意”，不讲概念产生的背景，也不经历概念的概括过程，仅从“逻辑意义”列举“概念要素”和“注意事项”，忽视“概念所反映的数学思想方法”，导致学生难以达成对概念的实质性理解，无法形成相应的“心理意义”。 没有“过程”的教学，因为缺乏数学思想方法为纽带，概念间的关系无法认识，概念间的联系难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性。 用例题教学替代概念的概括过程，认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。结果不仅“事倍功半”，而且“功能僵化”--面对新情境时无法“透过现象看本质，难以实现概念的正确、有效应用，质量效益都无保障。那么怎样才能有效地进行概念教学呢？ 二、对不同的概念，要采取不同的方法 有的只需在例题教学中实施概念教学。比如：相关关系的概念是描述性的，不必追求形式化上的严格。建议采用案例教学法。对比函数关系，重点突出相关关系的两个本质特征在：关联性和不确定性。关联性是指当一个变量变化时，伴随另一个变量有一定的变化趋势；不确定性是指当一个变量取定值时，与之相关的变量的取值仍具有随机性。因为有关联性，才有研究的必要性。因为其不确定性，从少量的变量观测值，很难估计误差的大小，因此必须对变量进行大量的观测。但每个观测值都有一定误差，为了消除误差的影响，揭示变量间的本质联系，就必须要用统计分析方法。 有的先介绍概念产生的背景，然后通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，提炼出本质属性。如：“异面直线”概念的教学，可以在长方体模型或图形中（或现有的教室中），引导学生找到既不相交也不平行的两条直线，直接给出像这样的两条直线叫“异面直线”。然后画出一些看起来是异面直线其实不是异面直线的图，以完善异面直线的概念。再给出简明、准确、严谨的定义。最后让学生在各种模型中找出、找准所有的异面直线，以体验概念的发生发展过程。 有的要联系其它概念，借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学。比如：导数是微积分的一个核心概念，它有着极其丰富的背景和广泛的应用。高等数学里，导数定义为自变量的改变量趋于零时，函数的改变量和相应的自变量的改变量之比的极限（倘若存在），涉及有限到无限的辩证思想，这样的数学概念是比较抽象的，这与初等数学在知识内容、思想方法等方面有较大的跨度，加上学生刚接触导数概念，所以往往把导数作为一种运算规则来记忆，却没有理解导数概念的内涵和基本思想。建议（1）导数教学前要加强变化率的实例分析； (2)利用多媒体的直观性，帮助学生理解动态无限趋近的思想；（3）利用APOS理论指导导数概念教学。 有的在情景设计、意义建构、例题讲解、课堂小结整个教学环节中实施，比如“函数”一课。我们知道函数是一个核心概念，函数思想是一种核心的数学思想方法。衢州高级中学何豪明老师是用三个实例（以解析式、图象、表格三种形式给出）设计情景，以小组讨论的形式让学生自己归纳出函数概念及三要素，又用四个例题层层深入地加深对概念的理解。整堂课紧紧围绕函数概念和思想方法进行教学，上出“简约”而“深刻”的效果。 概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较，分析，综合，概括，判断，抽象等一系列思维活动，逐步认识到它的本质属性以后才形成的。数学概念也不例外。因此，数学概念的产生和发展，人们对数学概念的认识都要经历由实践，认识，再实践，再认识的不断深化的过程。学生要形成、理解和掌握基本的数学概念也是一个十分复杂的认识过程，这就决定了对较难理解的数学概念的教学不能一步到位，而是要分阶段进行。 三、在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别,有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数值对应起来:另一种是高中给出的定义,是从集合、对应的观点出发, 《新课标下高中数学概念教学的实践与研究》 课题开题报告 浙江温州第二十二中学高洪武325000 一、课题提出的背景及现实意义 新一轮课程改革已经在全国部分省市如火如荼地开展，为了进一步扩大普通高中新课程实验范围，教育部决定从2006年秋季起，福建、浙江、辽宁和安徽4省将全面进入普通高中新课程实验。这将意味着我省教师将真正意义上进入新课程教学的实践与研究了。作为高中数学教师，理所当然将在这一实验过程中扮演着重要的角色。在新课程理念下，对构建数学理论大厦的数学概念如何实施教学是摆在每一位老师面前的一个严峻的课题。 高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。长期以来，由于受应试教育的影响，不少数学教师重解题、轻概念造成数学解题与概念脱节、学生对概念含混不清，一知半解，不能很好地理解和运用概念。数学课堂变成了教师进行学生解题技能培训的场所；而学生成了解题的机器，整天机械地按照老师灌输的“程序”进行简单的重复劳作。严重影响了学生思维的发展，能力的提高。这与新课程大力倡导的培养学生探究能力与创新精神已严重背离。那么在新课标下如何才能帮助学生更好、更加深刻地理解数学概念；如何才能灵活地应用数学概念解决数学问题，我想关键的环节还是在于教师如何实施数学概念教学，为此“新课标下高中数学概念教学的实践与研究”课题在这样的背景下应运而生。 二、国内外关于同类课题的研究综述和课题研究的理论依据 1.国内外关于同类课题的研究综述： 国内外关于数学概念教学理论研究是比较多的，对于一些概念课授课方法也是有研究的。但是那些理论的得出和经验的总结都是特定教育环境下的产物；而对于今天所推进的新课程实验（特别是在我国刚刚开始实施阶段），高中数学概念教学理论研究还几乎是一片空白。对于实践研究就更不足为谈了。 2. 课题研究的理论依据: 2-1 一般来说，数学概念要经历感知、理解、保持和应用四种心理过程。数学概念教学主要依据有如下理论： （1）联结理论、媒介理论：联结理论把概念的掌握过程解释为各种特征的重叠过程，尤如用照相机拍摄下来的事物在底片上的重叠，能够冲洗出照片一样。即接受外界刺激然后做出相应的反应。而媒介理论认为内部过程存在一种媒介因素，并用它来解释复杂的人类行动。 （2）同化、顺应理论：皮亚杰认为，概念的掌握过程无非是经历了一个同化与顺应的过程；所谓同化，就是把新概念、新知识接纳入到一个已知的认知结构中去；所谓顺应，就是当原有的认知结构不能纳入新概念时，必须改变已有的认知结构，以适应新概念。 （3）假设理论：假设理论不同于联结理论把概念掌握的过程看成是一个消极被动的过程，并认为学生掌握概念是一个积极制造概念的过程。所谓积极制造概念的过程，就是根据事实进行抽象、推理、概括、提出假设，并将这一假设应用于日后遇到的事例中加以检验的 第一章集合与函数概念 §1．1集合 1.1.1集合的含义与表示（第一课时） 教学目标：1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题 问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？ 问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。 归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。 复习问题 x-< 问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。（II）讲授新课 1．集合含义 通过以上实例，指出： （1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。 （2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征 由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性： 设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ； 若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32?A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } （3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。 3.常见数集的专用符号 （III ）课堂练习 （IV ）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
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