等比数列的前 项和(第2课时)

等比数列的前n 项和（第2课时）

一.等比数列前n 项和的证明问题

例1设{a n }是由正数组成的等比数列, S n 是其前n 项和,

证明: log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2

2>log 0.5S n ＋1.

【总结】本题关键是证明S n ·S n ＋2

二.等比数列前n 项和的实际应用

例2为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2010年开始出口,当年出口a 吨,以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2010年为第一年,设第n 年出口量为a n 吨,试求a n 的表达式;

(2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2010年最多出口多少吨? (保留一位小数)

参考数据: 0.910≈0.35. 【解答】

【总结】本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键,运算中往往要运用指数或对数不等式,常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算,对其结果要按照要求保留一定的精确度.

【变式2】

一个热气球在第一分钟上升了25m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m 吗? 【解答】

三.等差数列、等比数列的综合问题

例3设{a n }是等差数列,b n ＝????12a n ,已知:b 1＋b 2＋b 3＝218,b 1b 2b 3＝1

8,求等差数列的通项a n . .

【总结】(1)一般地,如果{a n}是等差数列,公差为d,且c n＝ca n(c>0且c≠1),那么数列{c n}是等比数列,公比q＝c d.

(2)一般地,如果{a n}是各项为正数的等比数列,公比为q,且c n＝log a a n(a>0且a≠1),那么数列{c n}为等差数列,公差d＝l og a q.

【变式3】在等比数列{a n}中,a n>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25,又a3与a5的等比中项为2.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设b n＝log2a n,数列{b n}的前n项和为S n,当S1

1＋

S2

2＋…＋

S n

n最大时,求n的值.

【课堂小结】

1.深刻理解等差(比)数列的性质,熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列的性质既有类似的部分,又有区别,要在应用中加强记忆.同样,用好其性质也会降低解题的运算量,从而减少错误.

2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解,在解方程时,仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.

3.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定a1与项数n的实际含义,同时要搞清是求a n还是求S n的问题.

一.等比数列前n项和的证明问题

例1设{a n}是由正数组成的等比数列, S n是其前n项和,

证明: log0.5S n＋log0.5S n＋2

2>log0.5S n＋1.

证明设{a n}的公比为q,由题设知a1>0,q>0,

当q＝1时, S n＝na1,从而S n·S n＋2－S2n＋1＝na1·(n＋2)a1－(n＋1)2a21＝－a21<0.

当q≠1时, S n＝a1(1－q n) 1－q,

从而S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝a 21(1－q n )(1－q n ＋

2)(1－q )2－a 21

(1－q n ＋

1)2(1－q )2

＝－a 21q n <0. 综上知, S n ·S n ＋2l og 0.5S 2n ＋1. 即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22

>log 0.5S n ＋1. 【变式1】已知等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别为S n , S 2n , S 3n ,求证: S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n

＋S 3n ).

证明方法一设此等比数列的公比为q ,首项为a 1, 当q ＝1时,则S n ＝na 1, S 2n ＝2na 1, S 3n ＝3na 1, S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21, S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21, ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).

当q ≠1时,则S n ＝a 11－q (1－q n ), S 2n ＝a 11－q (1－q 2n ), S 3n ＝a 1

1－q

(1－q 3n ),

∴S 2n ＋S 22n ＝????a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝????a 11－q 2·

(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n ). 又S n (S 2n ＋S 3n )＝???

?a 11－q 2·(1－q n )2·

(2＋2q n ＋q 2n ),

∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).

方法二根据等比数列性质,有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n ), S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ,∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n ), S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n ).∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ). 二.等比数列前n 项和的实际应用

例2为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2010年开始出口,当年出口a 吨,以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2010年为第一年,设第n 年出口量为a n 吨,试求a n 的表达式;

(2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2010年最多出口多少吨? (保留一位小数)

参考数据: 0.910≈0.35.

【解答】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a 1＝a ,公比q ＝1－10%＝0.9,

∴a n ＝a ·0.9n －

1 (n ≥1).

(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)

1－0.9

＝10a (1－0.910).

∵S 10≤80,∴10a (1－0.910)≤80,即a ≤8

1－0.910

,∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨.

【变式2】

一个热气球在第一分钟上升了25m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m 吗? 【解答】用an 表示热气球在第n 分钟上升的高度,由题意,

得a n ＋1＝45a n ,因此,数列{a n }是首项a 1＝25,公比q ＝4

5的等比数列. 热气球在前n 分钟内上升的总高度为:

S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q

＝25×????1－????45n 1－45

＝125×????1－????45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125m . 三.等差数列、等比数列的综合问题

例3设{a n }是等差数列,b n ＝????12a n ,已知:b 1＋b 2＋b 3＝218,b 1b 2b 3＝1

8

,求等差数列的通项a n .

【解答】设等差数列{a n }的公差为d ,则b n ＋1b n ＝????12a n ＋1

???

?12a n ＝???

?12a n ＋1－a n ＝????12d . ∴数列{b n }是等比数列,公比q ＝????12d .∴b 1b 2b 3＝b 32＝18,∴b 2＝12

. ∴???

b 1＋b 3＝178

b 1

·b 3

＝1

4

,解得????? b 1＝18b 3＝2或????? b 1＝2b 3＝18.当???

??

b 1＝18

b 3＝2

时,q 2＝16,∴q ＝4(q ＝－4<0舍去) 此时,b n ＝b 1q n －

1＝????18·4n －1＝22n －5.由b n ＝????125－2n ＝????12a n ,∴a n ＝5－2n . 当?????

b 1＝2b 3＝18

时,q 2＝116,∴q ＝1

4???

?q ＝－14<0舍去 此时,b n ＝b 1q n －1＝2·????14n －1＝????122n －3＝????12a n ,∴a n ＝2n －3. 综上所述,a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3. 【变式3】在等比数列{a n }中,a n >0 (n ∈N *),公比q ∈(0,1),且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25,又a 3与a 5的等比中项为2.

(1)求数列{a n }的通项公式;

(2)设b n ＝log 2a n ,数列{b n }的前n 项和为S n ,当S 11＋S 22＋…＋S n

n 最大时,求n 的值. 【解答】 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25,∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25, 又a n >0,∴a 3＋a 5＝5.又a 3与a 5的等比中项为2,∴a 3a 5＝4,

而q ∈(0,1),∴a 3>a 5,∴a 3＝4,a 5＝1.∴q ＝12,a 1＝16,∴a n ＝16×???

?12n －1＝25－n . (2)b n ＝log 2a n ＝5－n ,∴b n ＋1－b n ＝－1,

∴{b n }是以b 1＝4为首项,－1为公差的等差数列,∴S n ＝n (9－n )2,∴S n n ＝9－n

2,

∴当n ≤8时, S n n >0;当n ＝9时, S n n ＝0;当n >9时, S n

n <0.

∴当n ＝8或9时, S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n

n 最大. 【课时作业】 一.选择题

1.某厂去年产值为a ,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为( )

A.1.14a

B.1.15a

C.10(1.15－1)a

D.11(1.15－1)a 【解答】D

解析注意去年产值为a ,今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1). 2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1,则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )

A.(2n －1)2

B.1

2(2n －1)2

C.4n －1

D.1

3(4n －1) 【解答】D

解析易知{a n }为等比数列且a n ＝2n －

1.∴{a 2n }也是等比数列,a 21＝1,公比为4.

∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝1

3

(4n －1).

3.一弹性球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A.300米 B.299米 C.199米 D.166米 【解答】A

解析小球10次着地共经过100＋100＋50＋…＋100×????128＝2993964≈300.

4.若等比数列{a n }的公比q >0,且q ≠1,又a 1<0,那么( ) A.a 2＋a 6>a 3＋a 5 B.a 2＋a 6

C.a 2＋a 6＝a 3＋a 5

D.a 2＋a 6与a 3＋a 5的大小不确定 【解答】B

解析 (a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)＝a 1(q ＋q 5)－a 1(q 2＋q 4)＝a 1q (q 4－q 3－q ＋1) ＝a 1q (q －1)2(q 2＋q ＋1) ∵a 1<0,q >0且q ≠1,q 2＋q ＋1>0,∴a 1q (q －1)2(q 2＋q ＋1)<0,∴a 2＋a 6

5.用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…,依此类推,每一层都用去了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好砖用光,那么,共用去的砖块数为( )

A.1 022

B.1 024

C.1 026

D.1 028 【解答】A

解析设从上层到底层砖块分别为a 1,a 2,…,a 9,则a n ＝12S n ＋1,那么a n －1＝1

2S n －1＋1, (n ≥2),那么

a 1＝2,a n －a n －1＝1

2a n ,即a n ＝2a n －1,因此,每层砖块数构成以2为首项,以2为公比的等比数

列,∴S 9＝2(1－29)

1－2

＝210－2＝1 022.

二.填空题

6.若{a n }是等比数列,且前n 项和为S n ＝3n －

1＋t ,则t ＝______.

【解答】－1

3

解析显然q ≠1,此时应有S n ＝A (q n －1),又S n ＝13·3n ＋t ,∴t ＝－1

3.

7.如果b 是a ,c 的等差中项,y 是x 与z 的等比中项,且x ,y ,z 都是正数,则(b －c )log m x ＋(c －a )l og m y ＋(a －b )log m z ＝______. 【解答】0 解析∵a ,b ,c 成等差数列,设公差为d ,

则(b －c )l og m x ＋(c －a )l og m y ＋(a －b )log m z ＝－d log m x ＋2d log m y －d l og m z

＝d l og m y 2

xz ＝d l og m 1＝0.

8.等比数列{a n }的首项a 1＝511,公比q ＝1

2,记C n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ,则当C n 达到最大时,n 的值是______.

【解答】9

解析由a n ＝511×????1n －

1>1,解得n ≤9.

即a 1>a 2>…>a 9>1>a 10>a 11>….∴当n ＝9时, C n 最大. 三.解答题

9.已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,其中ak 1,a k 2,…,a k n 恰为等比数列,若k 1＝1,k 2＝5,k 3＝17,求k 1＋k 2＋…＋k n . 【解答】由题意知a 25＝a 1a 17,即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d ).

∵d ≠0,由此解得2d ＝a 1.公比q ＝a 5a 1

＝a 1＋4d a 1

＝3.∴ak n ＝a 1·3n －

1.

又ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n ＋12a 1,∴a 1·3n －1＝k n ＋12a 1,

∵a 1≠0,∴k n ＝2·3n －

1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2(1＋3＋…＋3n －

1)－n ＝3n －n －1.

10.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业,根据规

划,本年度投入800万元,以后每年投入比上年减少1

5,本年度当地旅游业收入估计为400万元,

由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1

4.

(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式; (2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入?

【解答】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800×???

?1－1

5万元,…, 第n 年投入为800×???

?1－1

n －1万元. ∴n 年内总投入为:a n ＝800＋800×????1－15＋…＋800×???

?1－15n －1 ＝800×?

???1＋45＋…＋????45n －1＝4 000×????1－????45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400×???

?1＋1

4万元,…,第n 年旅游业收入为400×???

?1＋1

4n －1万元,∴n 年内的旅游业总收入为: b n ＝400＋400×????1＋14＋…＋400×???

?1＋14n －1 ＝400×?

???1＋54＋…＋????54n －1＝1 600×????????54n －1. (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此:b n －a n >0,

即1 600×????????54n －1－4 000×????1－????45n >0, 化简得: 2????54n ＋5????4

5n －7>0, 设x ＝????45n ,则5x 2－7x ＋2>0,解得x <25

或x >1, ∵n ≥1,∴x ＝????45n <1,∴x >1(舍去),即????45n <25

,由此得n ≥5. ∴至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.

等比数列第一课时教案(汇编)

等比数列的定义教案 内 容： 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义； 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型：新授课 课时安排：1课时教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点：等比数列通项公式的探求。 教具准备：多媒体课件 教学过程： （一）复习导入 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？ （二）探索新知 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）－2，1，4，7，10，13，16，19，…（２）8，16，32，64，128，256，… （３）1，1，1，1，1，1，1，… （４）1，2，4，8，16，…263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠， 3.递推公式：1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 （1） 等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0； （3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 3．等比数列的通项公式： 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,

等比数列教学设计(共2课时)

《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比

第二章2.4第1课时等比数列的概念及通项公式

2. 4等比数列 第1课时等比数列的概念及通项公式 1?通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2?掌握等比中项的概念并 会应用. 3?掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 预冃案*自建迸习j 研读? M ?営 试 新知提炼 1.等比数列的定义 (1) 从第2项起 条件 (2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 结论这个数列就叫做等比数列 有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q M 0)表示2?等比数列的通项公式 门―1 a n = aq 1. 3. 等比中项 若a、G、b成等比数列，称G为a, b的等比中项且G= ± ab. ■自我尝试‘ 1?判断(正确的打“V”，错误的打“x”) (1) 数列1,—1, 1, - 1，…是等比数列.() (2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. () ⑶等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. () (4) 常数列一定为等比数列.() (5) 任何两个数都有等比中项. () 答案：(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x 2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于（） A. 6 B. 3x 2n—1 3. 4与9的等比中项为()

A . 6 B . - 6 =1, C . 2 x 3n — 1 D . 6n 答案：C

A . 6 B . - 6 =1, C . i6 D . 36 答案： C 11 1 4. 等比数列一 10-而，一 而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案：10 5. ______________________________________________ 在等比数列｛a n ｝中，已知a n = 4n 3 , 贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________ 1 答案：1 4 探究案讲练互普 探究点一等比数列的通项公式 H 在等比数列｛a n ｝中， (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n . (2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1，求 n. a 4= ag 3, ［解］(1)因为 6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以 a 1q 6= 8,② ② 3， 由①，得43 = 4,从而q = - 4,而a 1q 3 = 2, n — 1 又a n = 1，所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6. 方祛归纳 于是a 1 = q 3= M 2' 2n -5 所以 a n = a 1q n -1 = 2 3 a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ① ⑵因为 2 5 ② 1 由①，得q =P 从而 a 1 = 32.

北师大版高中数学必修5等比数列 第2课时

等比数列 （第二课时） 教学目标： 进一步熟悉等比数列的有关性质 教学重点： 等比数列的性质 教学过程 一、复习引入： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）， 即：1-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ) 0(11 1≠??=-q a q a a n n ， ) 0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛ n a ｝成等比数列?n n a a 1 +=q （+ ∈N n ,q ≠0） 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、等比数列的有关性质： 通过类比等差数列得到： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a = 三、 例1：已知无穷数列 ,10 ,10,10,105 152 51 50 -n ， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中

证：（1） 51 5 251 1 1010 10== ---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2） 10 110 10 101 5 451 5 = == -+-+n n n n a a ，即：5 10 1+= n n a a （3）5 2 5 1 5 110 10 10 -+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1， ∴? ?? ? ?? ∈--+5 1n 5 2 1010 q p ，（第1-+q p 项） 例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么：1221=q a ，① 18 3 1=q a ， ② 由②÷①可得第2 3=q ③ 把③代入①可得8 3 16121==∴= q a a a 答：这个数列的第1项与第2项是3 16和8. 例3：已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ?是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1;{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a ) () (21111 211121111 2 11 1 1与即为与---?????? .) ()(211 2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n == ??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列. 例4：在等比数列 {}n a 中，2 2 -=a ， 54 5=a ，求 8 a ， 解： 1458 2 54 542 553 58-=-? =? ==a a a q a a

等比数列第一课时导学案

2.3 等比数列导学案（1） 学习目标：1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列 2 ??掌握等比数列的通项公式并能简单应用 ； 重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推 导及应用。 一、温故知新 什么叫等差数列？通项公式是什么 ？什么叫等差中项？ 二、探求新知 1、研究下面三个数列并回答问题 1 1 1 ① 1、2、4、8…；② 1、-1、1、-1 …③ 1、 、一、 —— 2 4 8 问题1: 上面数列都是等差数列吗？ 问题2:以上数列后项与前项的比有何特点？ 2、 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 _____ 项起，每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数，那 么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 _________ ，通常用字母 ________ 表示。 3、 等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列 a n ，的公比为q 方法1：（归纳法） 4、等比数列的通项公式 a n 玄1 a 「a 2 a 1_， a 3 a ?q a 1 ，a 4 a 3 q a 1 a n a n 1 q a 1 a o 根据等比数列的定义，可以得到— a 3 -- ? a 4 -- ? a n -- ? ? 一以上共有 a 1 a 2 a 3 a n 1 式，把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得 __________ ，即 a 1 a 2 a 3 a 1 ，即得到等比数列的通项公式。 方法2:（累乘法） a 2 a 3 a 4 a n 1

三、通过预习掌握的知识点 1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 ?这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表 1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数 (q) 2 隐含：任一项a n 0且q 0 3 q= 1时，｛a n ｝为常数。 2、 等比数列的通项公式 1: ___________________________ . 3、 等比数列的通项公式 2: ___________________________ . 4、 等比中项：若 a.b.c 成等比数列。贝U . 5、既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 四、预习检查： 1.判断下列数列是否为等比数列 (1) 2,2,2,2，…； (2) -1,1,2,4,8 , ; ⑶ Ig3,lg6,lg12,…; (4) 1 2 3 a ,a ,a n 7 a J ； (5) 已知数列 a n 的通项公式为 a n 3 2n 。 (6) 已知数列 a n 的通项公式为 a n n 3 2.已知数列1,24,-8,16?…它的公比是 ,通项公式是 3. 已知数列 1 — 1 1 1 - -- … 则一 1 是它的第 项。 2 4 8 128 4. 一个等比数列的第 9项是4 ，公比是一1 ,求它的第1项 9 3 5. 一个等比数列的第 2项是10，第3项是20,求它的第1项与第4项 示(q z 0),即: a n =q (q* 0) a n 1 ｛an ｝成等比数列 a n 1 =q ( n a n N ,q *0)

【高中数学】第4章 4.3.1 等比数列的概念(第2课时)

4.3.1 等比数列的概念(第2课时) 素养目标 学科素养 1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质． 2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点) 3．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题. 1.数学运算； 2．逻辑推理 情境导学 一组有趣的对话，折了38次的纸，最后一次的厚度可是一个庞大的数字哦！ 1．等比数列的性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m · a n . (2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n }，???? ?? 1a n 仍为等比数列． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)在等比数列{a n }中，若a m a n ＝a p a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×) (2)若数列{a n }，{b n }都是等比数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等比数列．(×) (3)若数列{a n }是等比数列，则{λa n }也是等比数列．(×)

2．等比数列性质的应用 一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a ，aq ，aq 2或a q ，a ，aq ，此时公 比为q ；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3(公比为q )，当四个数均为正(负)数时，可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3(公比为q 2)． (1)在等比数列{a n }中，若a 1＝1 9 ，a 4＝3，则该数列前五项的积为__1__. (2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.

人教版数学高二-2.5等比数列的前n项和(第2课时)教案

2.5等比数列的前n 项和（第２课时）教案 ●学习目标 知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度. ●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式 ●教学难点 灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n 项和公式： 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n = 当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式② Ⅱ.讲授新课 例1、在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418 a =，求该数列的前10项和。 例2、等比数列{}n a 的前3项和为13，前6项和为364，求12S 。

例3、已知数列{}n a 的前n 项和2 15-=n n S ，求数列{}n a 的通项公式。{}n a 是否为等比数列？若是请证明。若不是请说明理由。 变式：若等比数列{}n a 的前n 项和a S n n +=3，则a 等于 （ ） A. 4- B. 2- C. 0 D. 1- 例4、数列{}n a 满足()212 1,111≥+==-n a a a n n 。 （1） 若2-=n n a b ，求证{}n b 为等比数列；（2）求{}n a 的通项公式。 Ⅲ.课堂练习 1、等比数列前n 项和为54，前n 2项和为60，则前n 3项和为 （ ） A. 54 B. 64 C. 3266 D. 3 260 2、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为 （ ）

《等比数列》第1课时教学设计

《等比数列》第1课时教学设计 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）

高中数学教案——等比数列 第二课时

课题：3.4 等比数列（二） 教学目的： 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.深刻理解等比中项概念. 3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学重点：等比中项的理解与应用 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同

一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即： 1 -n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， )0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、讲解新课： 1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号） 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=?=?=2， 反之，若G 2=ab ,则G b a G =，即a ,G ,b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab （a ·b ≠0） 2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --?==k p p q a a q a a 221-+=?n m n m q a a a ，22 1-+=?k p k p q a a a 则k p n m a a a a = 3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 4．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0

等比数列的前n项和(第二课时)

等比数列的前n 项和(第二课时) 【学习目标】 1．掌握等比数列与S n 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题． 2．掌握可以转化为等差或等比数列的数列求和问题． 3．会用等比数列的相关知识解决简单的实际应用问题． 【学习障碍】 1．由于对等比数列中各元素间的关系理解不够深刻，对等比数列的性质不够熟练，解 题时找不到解决问题的“巧”办法． 2．由于审视问题的高度不够，不会运用整体解决问题的策略． 3．有些数列本身不是等差或等比数列，但可以转化为等差或等比数列．学生常常苦于 找不到转化途径． 4．由于阅读理解能力较差，不能运用等比数列知识将实际问题转化为数学问题． 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 1．求数列的前n 项和S n ，一般有以下几种方法： (1)直接转化为等差数列或等比数列求和问题； (2)用等差数列或等比数列求和的倒序相加或错位相减求S n ； (3)拆项求和； (4)对通项进行分解或组合，将原数列化成若干个容易求和的数列． 2．数列应用题中常用的几个概念： (1)增长率：增加或提高的比值． (2)成本与利润：成本是指生产一种产品所需的全部费用，利润是指商品生产的盈利． (3)利率与存、贷款问题：利率是指利息和本金的比率；复利是指把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计利息；单利是指只按照本金计算利息．存款一般只计算单利， 贷款在通常情况下不计算复利． 3．等比数列的前n 项和公式的常见应用问题． (1)生产部门中有增长率的总产量问题．例如，第1年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为1＋r ．其中第n 年产量为a (1＋r )n － 1，且过n 年后总产量为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2…＋a (1＋r )n －1＝)1(1] )1(1[r r a n +-+-． (2)银行部门中利息按复利计算问题．例如，一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利算，则每月的a 元过n 个月后便成为a (1＋r )n 元，因此第二年年初可取款a (1

《等比数列》第一课时教学设计

《等比数列 (第一课时)》教学设计 一、教学任务和目标 （一）教学任务分析：通过观察、分析、归纳、猜想、类比等思维活动，展示等比数列概念的形成与指数函数的对应等的深化过程；体会研究等比数列通项公式简单归纳方法：特殊到一般的过程。（二）教学目标 知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。 过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到一般的数学思想，培养观察、分析、归纳、猜想、概括等思维能力。 情感、态度与价值观：培养勇于探索、大胆尝试与创新的精神，养成科学、良好的学习习惯和品质。 （三）教学重、难点 教学重点：等比数列概念的形成与深化，等比数列通项公式的推导与应用 教学难点：等比数列概念的深化，等比数列的判定、证明和应用二、教法与学法 （一）教学方法分析：本节课是《等比数列》第一课时，核心任务是概念的本质理解，而概念教学应注重概念的形成过程，引导学生主动探索、发现、类比和归纳，因此本节课采用教为主导、学为主体、

练为主线的教学方法，培养学生的学习热情，发挥学生的主动性和创造性。 （二）学法分析：一方面，学生领会数学概念学习的一般过程，并主动探索概念的形成；另一方面，由于等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，因此，学生可以将类比等差数列的概念形成和拓展过程，来构建等比数列的知识系统。 三、教学过程 （一）复习引新 等差数列与等比数列的内容平行，因此类比法是本节课学生学习过程中采用的主要数学方法。学生已经学习过等差数列相关内容和思想方法，因此本节课先复习等差数列知识点，为类比思想的应用提供基础。 问题1：等差数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 问题2：等差数列的通项公式是什么？如何推导该公式？ 等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+- 推广公式：()n m a a n m d =+- 推导过程：方法一：不完全归纳法：归纳、猜想。 方法二：累加法 问题3：等差数列的通项公式与相应的一次函数解析式之间有何

1.3.2等比数列前n项和(第2课时)教学设计

§1.3.2等比数列的前n项和（第二课时） 教学设计 一、教材分析 1、在教材中所处的地位和作用 《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养． 2、从学生的认知角度看 学生很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的应用进行类比，这是认知的有利因素．认知的不利因素有：本节公式的应用与等差数列前n项和公式的应用有着很大的不同，这对学生的思维定势是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错 3、学情分析 教学对象学习了必修1和必修4的高中生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨． 并且由于湖北省对教材的安排顺序，导致算法的内容学生没有学习，所以课本例3不能讲解. 4、教学重难点分析 教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 教学难点：灵活使用公式解决问题 这样确定重点，既能夯实“双基”，又凸现了掌握知识的三个层次：识记、理解和运用．而公式的运用又用到了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点． 二、教学目标分析 1、知识与技能目标; 掌握等比数列前n项和公式的的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．分析：这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求． 2、过程与方法目标： 通过对公式运用的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．分析：因为数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展． 3、情感态度与价值观目标： 通过对公式运用的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点． 三，教法分析 采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段． 利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优

等比数列的概念教案

《等比数列的概念》教案 【教学目标】 知识目标：正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比数列在生活中的应用。 能力目标：通过对等比数列概念的归纳，培养学生严密的思维习惯；通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维能力并进一步培养学生善于思考，解决问题的能力。 情感目标：培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，实事求是的科学态度，调动学生的积极情感，主动参与学习，感受数学文化。 【教学重点】 等比数列定义的归纳及运用。 【教学难点】 正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列是否为等比数列 【教学手段】 多媒体辅助教学 【教学方法】 启发式和讨论式相结合,类比教学. 【课前准备】 制作多媒体课件，准备一张白纸,游标卡尺。 【教学过程】 【导入】 复习回顾：等差数列的定义。 创设问题情境，三个实例激发学生学习兴趣。 1． 利用游标卡尺测量一张纸的厚度.得数列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0) 2． 一辆汽车的售价约15万元,年折旧率约为10%,计算该车5年后的价值。得到数列 15 ,15×0.9 ,15×0.92 ,15×0.93 ,…，15×0.95。 3． 复利存款问题，月利率5%，计算10000元存入银行1年后的本利和。得到数列10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.0512. 学生探究三个数列的共同点，引出等比数列的定义。 【新课讲授】 由学生根据共同点及等差数列定义,自己归纳等比数列的定义，再由老师分析定义中的关键词句,并启发学生自己发现等比数列各项的限制条件：等比数列各项均不为零，公比不为零。 ? 等差数列: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用d 表示.数学表达式： a n+1-a n =d ? 等比数列: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用q 表示. 数学表达式： 知晓定义的基础上，带领学生看书p29页，书上前面出现的关于等比数列的实 例。让学生了解等比数列在实际生活中的应用很广泛，要认真学好。 q a a n n =+1

等比数列的前n项和(教学设计)

等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．

19-20版 第2章 2.4 第1课时 等比数列

2.4 等比数列 第1课时等比数列 学习目标核心素养 1.理解等比数列的定义(重点). 2.掌握等比数列的通项公式及其 应用(重点、难点). 3.熟练掌握等比数列的判定方 法(易错点)． 1.通过等比数列的通项公式及等比中项 的学习及应用，体现了数学运算素养. 2.借助等比数列的判定与证明，培养逻 辑推理素养. 1．等比数列的概念 (1)文字语言： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常 数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． (2)符号语言： a n＋1 a n＝q(q为常数，q≠0，n∈N *)． 思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示]不能． 2．等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列． (2)结论：G叫做a，b的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝ab． 思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ [提示]不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．

3．等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1．这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比． 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1 q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列{a 1 q ·q n }中的各项的点是函数y ＝a 1 q ·q x 的图象上的孤立点． 思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法． 当n >2时，a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2a 1＝q ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2…a n －1a n －2·a n a n －1 ＝a 1·q n －1. 1．2＋3和2－3的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．2 C [设2＋3和2－3的等比中项为a ， 则a 2＝(2＋3)(2－3)＝1.即a ＝±1.] 2．下列数列为等比数列的序号是________． ①2，22，3×22；②1a ，1a 2，1a 3，1a 4，1 a 5(a ≠0)；③s －1，(s －1)2，(s －1)3，(s －1)4，(s －1)5；④0，0，0，0，0. ② [222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a ，公比为1 a 的等比数列；③中，当s ＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．] 3．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝1 4，则公比q ＝________． 1 2 [由定义知a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝a 5a 4 ＝q ，则a 2＝a 1q ＝2，①

(完整版)刘永祥等比数列第一课时教案

2.4.1等比数列第一课时教案 教者:刘永祥;授课班级:高二（20）班 教学目标 知识目标:1等比数列的定义；2、等比数列的通项公式 能力目标：1、明确等比数列的定义.2、理解掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3会解决知道1,,,n a a q n 中的三个求另一个的问题 情感态度价值观;培养学生积极动脑，明辨是非的学习作风，掌握取其精华、去其糟粕的能力。体会等比、等差数列的相似美和结构美 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学重点：1、等比数列概念的理解与并掌握2、等比数列通项公式的推导。 教学难点：等比数列通项公式的推导及应用。 教学过程： （一）复习回顾 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 （二）复习引入 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）63 1,2,4,8,16,...,2。（２）111 1,,,,...;248 （３）231,20,20,20...; （４）231.0198,1.0198,1.0198... 结论从第二项起每一项与前一项的比是同一个常数。 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等

比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1 (2)n n a q n a -=≥ 思考：（1）等比数列中有为0的项吗?;(2)公比为1的数列是什么数列？ （3）既是等差数列又是等比数列的数列是什么数列？ (4)常数列是等比数列吗？ 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数q; (2)隐含：任一项0n a ≠且0q ≠；（3）当1q =时，数列{}n a 为常数列 （4）既是等差数列又是等比数列的数列：非零常数列 3．等比数列的通项公式： 方法一：（不完全归纳法）由定义得： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===；234311()a a q a q q a q ===；……； )0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 当1n =时，等式也成立，即对一切*∈N n 成立。 方法二：（累乘法）由定义式可得： (1)n -个等式21a q a =，32 a q a =，……，1 n n a q a -=， 若将上述1n -个等式相乘，便可得： 11 342312--=???n n n q a a a a a a a a Λ， 即：11-?=n n q a a （n ≥2） 当1n =时，左边=1a ，右边=1a ，所以等式成立， ∴等比数列通项公式为：111(0)n n a a q a q -=??≠． ４．等比数列的通项公式的推广：1(0)n m n m a a q a q -=??≠ （三）．例题解析： 例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项、第2

《等比数列的前n项和》(第一课时)教学设计 教材分析

《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计 海南省洋浦中学周丽宇 一、教材分析 1.在教材中的地位与作用 在《数列》一章中，《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延，也是前面所学《函数》的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础，错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 2．教材编排与课时安排 提出问题→探究等比数列前n项和公式→公式运用→问题解决。 本节“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间为2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。 二、教学目标分析 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下： 【知识与技能】理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前n项和；二是已知前n 项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法的运用。 【过程与方法】感悟并理解公式的探求过程，感受公式探求过程所蕴涵的的思维方法，渗透类比思想、方程思想、分类讨论思想，优化思维品质，初步提高学生的数学问题意识和探究、分析与解决问题的能力。 【情感、态度与价值观】通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。 三、重、难点分析 【教学重点】等比数列前n项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。

等比数列教学设计(共2课时)复习过程

等比数列教学设计(共 2课时)

《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点：

第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。三、教法选择与学法指导：