专题复习(三)网格作图题
1．(2016·合肥模拟)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)，按要求画出四边形AB1C1D1和四边形AB2C2D2.
(1)以A为旋转中心，将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB1C1D1；
(2)以A为位似中心，将四边形ABCD作位似变换，且放大到原来的两倍，得到四边形AB2C2D2.
2．(2016·蜀山区二模)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出B1点的坐标；
(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，写出B2点的坐标．
3．(2016·安徽二模)如图，已知A(2，3)，B(1，1)，C(4，1)是平面直角坐标系中的三点．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2；
(3)若△ABC中有一点P坐标为(x，y)，请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
(3)根据题意，可得P的对应点P2的坐标为(－x，y－3)．
4．(2016·芜湖模拟)如图，在9×7的小正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在网格的格点上．将△ABC向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到△A′B′C′.再将△ABC按一定规律依次旋转：第1次，将△ABC绕点B
绕点C 2顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2；第4次，将△A 2B 2C 2绕点B 2顺时针旋转90°得到△A 3B 2C 3，依次旋转下去．
(1)在网格中画出△A′B′C′和△A 2B 2C 2；
(2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好为△A′B′C′.
解：(1)△A′B′C′和△A 2B 2C 2的图象如图所示.
(2)通过画图可知，△ABC 至少在第8次旋转后得到△A′B′C′.
5.如图，△ABC 的三个顶点和点O 都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1.
(1)将△ABC 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；
(2)请画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2和△ABC 关于点O 成中心对称；
(3)在(1)、(2)中所得到的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成轴对称吗？若成轴对称，请画出对称轴；若不成轴对称，请说明理由．
解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1，即为所求．
(2)如图所示，△A 2B 2C 2，即为所求．
(3)如图所示，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成轴对称，直线a ，b 即为所求．
6．(2016·阜阳校级二模)如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点A ，B ，C 在小正方形的顶点上．将△ABC 向下平移2个单位得到△A 1B 1C 1，然后将△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 1.
(1)在网格中画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 1；
(2)计算线段AC 在变换到A 2C 1的过程中扫过区域的面积．(重叠部分不重复计算)
解：(1)如图，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 1为所作．
(2)线段AC 在变换到A 2C 1的过程中扫过区域的面积S ＝2×2＋90·π·（22）2
360
＝4＋2π.
7．(2016·昆明)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
(3)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)找出A关于x轴的对称点A′(1，－1)，连接BA′，与x轴交点即为P.如图所示，点P坐标为(2，0)．8．(2016·濉溪县模拟)如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，3)，B(－1，0)，C(4，0)．
(1)经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，请直接写出此时点C 的对应点C1坐标；(不必画出平移后的三角形)
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；
(3)以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的面积之比为1∶4，请你在网格内画出△AB2C2.
解：(1)∵经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，∴A点向下平移3个单位再向左平移3个单位，故C1坐标为(1，－3)．
(2)如图所示，△A′BC′即为所求，A′点的坐标为(－4，4)．
(3)如图所示，△AB2C2即为所示．
网格作图题 网格作图题是对图形变换的综合考查，在网格中可以同时考察平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换．此类题目属于图形的操作问题，在网格中进行图形变换的操作时，图形的每一个顶点都是关键点，可以将图形的变换操作转化为点的变换操作．此类题目属中档题，复习时注意联系即可． 1．(2015·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形格中，给出了△ABC(顶点是格线的交点)． (1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； (2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C2B2. 2．(2015·昆明二模)在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC和△A1B1C1成中心对称． (1)请在图中画出对称中心O； (2)在图中画出将△A1B1C1沿直线DE平移5格得到的△A2B2C2； (3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，需将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转，则至少要旋转________度．3．(2015·昆明西山区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)，B(－3，1)，C(－1，3)． (1)请按下列要求画图；
①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； ②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2. 在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标________． 4．(2015·贵港)如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(4，4)． (1)请按要求画图： ①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； ②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2. (2)请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标． 5．(2015·崇左)如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度得到的，且三个顶点的坐标分别为A1(1，1)，B1(4，2)，C1(3，4)． (1)请画出△ABC，并写出点A，B，C的坐标； (2)求出△AOA1的面积． 6．(2015·昆明盘龙区二模)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)． (1)请画出将△ABC先向左，再向下都平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； (2)请画出将△ABC绕O按逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2； (3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB并直接写出点P的坐标．7．(2013·海南)如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为
题型专项(六) 网格作图题 网格作图题是对图形变换的综合考查，在网格中可以同时考察平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换．此类题目属于图形的操作问题，在网格中进行图形变换的操作时，图形的每一个顶点都是关键点，可以将图形的变换操作转化为点的变换操作．此类题目属中档题，复习时注意练习即可． 1．(2016·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(3，－3)，C(0，－4)． (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1； (2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2. 解：(1)△A1B1C1如图所示． (2)△A2B2C2如图所示． 2．(2015·昆明二模)在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC和△A1B1C1成中心对称． (1)请在图中画出对称中心O； (2)在图中画出将△A1B1C1沿直线DE平移5格得到的△A2B2C2； (3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，需将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转，则至少要旋转90度． 解：(1)如图，点O即为所求． (2)如图，△A2B2C2即为所求． 3．(2015·昆明西山区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)，B(－3，1)，C(－1，3)． (1)请按下列要求画图： ①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； ②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2； (2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标(2，1)． 解：(1)①如图：△A1B1C1即为所求．②如图：△A2B2C2即为所求． 4．(2016·昆明模拟)在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4. (1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1； (2)若点B的坐标为(－3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A，C两点的坐标； (3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2，C2两点的坐标． 解：(1)△AB1C1如图所示． (2)如图所示，A(0，1)，C(－3，1)． (3)△A2B2C2如图所示，B2(3，－5)，C2(3，－1)． 5．(2016·龙东)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(－1，3)、(－4，1)、(－2，1)，先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是(1，2)，再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2. (1)画出△A1B1C1； (2)画出△A2B2C2； (3)求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达点A2的路径总长． 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求． (2)如图，△A2B2C2即为所求． (3)OA1＝42＋42＝42， 点A经过点A1到达A2的路径总长为52＋12＋90·π·42 180 ＝26＋22π. 6．(2016·昆明模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(－3，1)，C(－1，4)． (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π)． 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求． (2)如图所示，△A2BC2即为所示，
专题复习(三)网格作图题 1．(2016·合肥模拟)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)，按要求画出四边形AB1C1D1和四边形AB2C2D2. (1)以A为旋转中心，将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB1C1D1； (2)以A为位似中心，将四边形ABCD作位似变换，且放大到原来的两倍，得到四边形AB2C2D2. 2．(2016·蜀山区二模)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)． (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出B1点的坐标； (2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，写出B2点的坐标． 3．(2016·安徽二模)如图，已知A(2，3)，B(1，1)，C(4，1)是平面直角坐标系中的三点． (1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2； (3)若△ABC中有一点P坐标为(x，y)，请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标． 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求． (2)如图所示，△A2B2C2即为所求． (3)根据题意，可得P的对应点P2的坐标为(－x，y－3)． 4．(2016·芜湖模拟)如图，在9×7的小正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在网格的格点上．将△ABC向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到△A′B′C′.再将△ABC按一定规律依次旋转：第1次，将△ABC绕点B
中考网格作图题专项训练 一．填空题（共1小题） 1．（2006?烟台）正方形网格中，小格的顶点叫做格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形．小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等_________． 二．解答题（共17小题） 2．作图题，在网格中作图： ①过C点作线段CD，使CD∥AB． ②过C点作线段CE，使CE⊥AB． 3．作图题，在如图所示的网格图中，画出一个和图中三角形相似的三角形． 4．作图题： 如图，是一个边长为1的正方形网格，请在网格中画出一个边长为2，和3的三角形．（要求三角形的顶点在小格的顶点处）． 5．在如图的网格中作图： （1）过点C作直线AB的垂线； （2）过点C作直线AB的平行线．
6．基本作图（保留作图痕迹不写作法．）在网格中求作一个三角形A′B′C′，使它和已知△ABC相似，且相似比为1：2；并分别求出两个三角形的周长． 7．在如图所示的正方形网格中，已知线段AB，A、B均为格点． （1）请在网格中画出一个以AB为底边的等腰三角形ABC，且点C也为格点； （2）作出△ABC的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）． 8．正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上； ②连接三个格点，使之构成直角三角形． 小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并求出这个直角三角形的面积．（要求：三个网格中的直角三角形互不全等） 9．（2010?丰台区二模）在正方形网格中，小格的顶点叫做格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，使三个网格中的直角三角形互不全等，并分别求出这三个直角三角形的斜边长．
（第8题图） 选择题（每小题x 分，共y 分） （2011长春）8．如图，直线 l 1ABC 1 2 （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC ?中，分别以点A 和点B 为圆心，大于 1 2 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ?的周长为10，7AB =，则ABC ?的周长为（ ） D M N C A B 【答案】C 二、填空题（每小题x 分，共y 分） 〔2011南京市〕11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以 A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于 _______1 2 ____． （2011重庆市潼南县）19.（6分）画△ABC,使其两边为已知线段a 、b ，夹角为β. （要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不 写作法）. (第11题) B A M O B A C D 图2 图3
已知： 求作： 19. 已知：线段a 、b 、角β -------------1分 求作：△ABC 使边BC=a ，AC= b ，∠C=β ------------2分 画图（保留作图痕迹图略） --------------6分 （2011佛山）22、如图，一张纸上有线段AB ； （1）请用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗请说明作法（不作图）； （2011?宿迁市）28．（本题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝ 2 1 ，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ． （1）求AE 的长度； （2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由． 19题图a b β A B
2019-2020年中考数学总复习题型专项六网格作图题试题 网格作图题是对图形变换的综合考查，在网格中可以同时考察平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换．此类题目属于图形的操作问题，在网格中进行图形变换的操作时，图形的每一个顶点都是关键点，可以将图形的变换操作转化为点的变换操作．此类题目属中档题，复习时注意练习即可． 1．(2016·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(3，－3)，C(0，－4)． (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1； (2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2. 解：(1)△A1B1C1如图所示． (2)△A2B2C2如图所示． 2．(2015·昆明二模)在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC和△A1B1C1成中心对称． (1)请在图中画出对称中心O； (2)在图中画出将△A1B1C1沿直线DE平移5格得到的△A2B2C2； (3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，需将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转，则至少要旋转90度． 解：(1)如图，点O即为所求． (2)如图，△A2B2C2即为所求． 3．(2015·昆明西山区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)，B(－3，1)，C(－1，3)． (1)请按下列要求画图： ①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； ②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2； (2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标(2，1)． 解：(1)①如图：△A1B1C1即为所求．②如图：△A2B2C2即为所求． 4．(2016·昆明模拟)在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4. (1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1； (2)若点B的坐标为(－3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A，C两点的坐标；
全国100份试卷分类汇编 格点问题 1、（泰安）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC 上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（） A．（1.4，﹣1）B．（1.5，2）C．（1.6，1）D．（2.4，1） 考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移． 分析：根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标． 解答：解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1）， ∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1）， ∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2， ∴P2点的坐标为：（1.6，1）． 故选：C． 点评：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键． 2、（?宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（） A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）
考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质． 分析：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 解答：解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2． A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE， △CDE∽△ABC，故本选项不符合题意； B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE， △CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意； C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD， △EDC∽△ABC，故本选项不符合题意； D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE， △DCE∽△ABC，故本选项不符合题意； 故选B． 点评：本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键． 3、（广州市）在6×6方格中，将图2—①中的图形N平移后位置如图2—②所示，则图形N的平移方法中，正确的是（）
1. 如图，在直角坐标系中，A （0，4），C （3，0）． （1）①画出线段AC 关于y 轴对称线段AB ； ②将线段CA 绕点C 顺时针旋转一个角，得到对应线段CD ，使得AD ∥x 轴， 请画出线段CD ； （2）若直线y=kx 平分（1）中四边形ABCD 的面积，请直接写出实数k 的值． 2. 如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点A 、B 均在小正方形的顶点上． (1)在图中以AB 为一腰作等腰三角形ABC ，使得△ABC 一个顶角为钝角，点C 在小正方形顶 点上． (2)直接写出△ABC 的周长 3. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点均在格点上，A （－1,3），B （－３,１），C （０,１） （１）在网格内把△AB Ｃ以原点O 为位似中心放大，使放大前后对应边的比为１:２，画出位似图形△A 1B 1Ｃ1（所画△A 1B 1Ｃ1与△A B Ｃ在原点两侧） （２）写出A 1、B 1、Ｃ1的坐标. 4. 如图， 图1、图2分别是5×5的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A 、点B 、
A C B A B 点C的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个四边形ABCD，所画四边形ABCD 的顶点都在小正方形的顶点上，分别满足以下要求： （1）在图1的网格中，画一个对角相等四边形； （2）在图2中网格中，画一个面积为11四边形；． 图1 图2 5. 如图，在6 8 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上. （1）在图1中找一点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是凸四边形， 且∠ADC=∠ACB； （2）在图2中找一点E（点E在小正方形的顶点上），使四边形ABCE是凸四边形，且 ∠AEC=∠ABC；请直接写出四边形ABCE的面积. （图1）（图2） 答案
（第8题图） 选择题（每小题x 分，共y 分） （2011?长春）8．如图，直线l 1ABC 12 （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC ?中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ?的周长为10，7AB =，则ABC ?的周长为（ ） D M N C A B 【答案】C 二、填空题（每小题x 分，共y 分） 〔2011?南京市〕11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于 _______ 12____． （2011?重庆市潼南县）19.（6分）画△ABC,使其两边为已知线段a 、b ，夹角为β. （要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不 写作法）. (第11题) B A M O B A C D 图2 图3
已知： 求作： 19. 已知：线段a 、b 、角β -------------1分 求作：△ABC 使边BC=a ，AC= b ，∠C=β ------------2分 画图（保留作图痕迹图略） --------------6分 （2011?佛山）22、如图，一张纸上有线段AB ； （1）请用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗请说明作法（不作图）； （2011?宿迁市）28．（本题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝2 1，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ． （1）求AE 的长度； （2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接 AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由． 解：（1）在Rt △ABC 中，由AB ＝1，BC ＝ 21得 AC ＝22)21(1+＝25 ∵BC ＝CD ，AE ＝AD G F E D B A 19题图a b β A B
中考数学题型训练网格作图（四） 1．(2016·合肥模拟)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)，按要求画出四边形AB1C1D1和四边形AB2C2D2. (1)以A为旋转中心，将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB1C1D1； (2)以A为位似中心，将四边形ABCD作位似变换，且放大到原来的两倍，得到四边形AB2C2D2. 2．(2016·蜀山区二模)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)． (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出B1点的坐标； (2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，写出B2点的坐标． 3．(2016·安徽二模)如图，已知A(2，3)，B(1，1)，C(4，1)是平面直角坐标系中的三点． (1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2； (3)若△ABC中有一点P坐标为(x，y)，请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标． 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求． (2)如图所示，△A2B2C2即为所求． (3)根据题意，可得P的对应点P2的坐标为(－x，y－3)． 4．(2016·芜湖模拟)如图，在9×7的小正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在网格的格点上．将△ABC向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到△A′B′C′.再将△ABC按一定规律依次旋转：第1次，将△ABC绕点B 顺时针旋转90°得到△A1BC1；第2次，将△A1BC1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B1C2；第3次，将△A1B1C2
（第8题图） 选择题（每小题x 分，共y 分） （2011?长春）8．如图，直线l 1ABC 1 2 （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC ?中，分别以点A 和点B 为圆心，大于 1 2 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ?的周长为10，7AB =，则 ABC ?的周长为（ ） D M N C A B 【答案】C 二、填空题（每小题x 分，共y 分） 〔2011?南京市〕11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于_______1 2 ____． (第11题) B A M O B A C D 图2 图3
（2011?重庆市潼南县）19.（6分）画△ABC,使其两边为已知线段a 、b ，夹角为β. （要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不 写作法）. 已知： 求作： 19. 已知：线段a 、b 、角β -------------1分 求作：△ABC 使边BC=a ，AC= b ，∠C=β ------------2分 画图（保留作图痕迹图略） --------------6分 （2011?佛山）22、如图，一张纸上有线段AB ； （1）请用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗请说明作法（不作图）； 19题图 a b β A B
（2011?宿迁市）28．（本题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝ 2 1 ，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ． （1）求AE 的长度； （2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接 AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由． 解：（1）在Rt △ABC 中，由AB ＝1，BC ＝21得 AC ＝22)2 1(1+＝25 ∵BC ＝CD ，AE ＝AD ∴AE ＝AC －AD ＝ 2 1 5-． （2）∠EAG ＝36°，理由如下： ∵FA ＝FE ＝AB ＝1，AE ＝ 2 1 5- ∴ FA AE ＝215- ∴△FAE 是黄金三角形 ∴∠F ＝36°，∠AEF ＝72° ∵AE ＝AG ，FA ＝FE ∴∠FAE ＝∠FEA ＝∠AGE ∴△AEG ∽△FEA ∴∠EAG ＝∠F ＝36°． 1. （2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D 。 （1）以AB 边上一点O 为圆心，过A ，D 两点作⊙O （不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若（1）中的⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，AB=6，BD=32, 求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的图形面积。（结果保留根号和π） G F E D C B A （第28题）
A B C O x 2题图 y 福州市2012年中考数学专题复习——网格专题 整理人：汤宏量 一、圆的知识在网格中的应用 1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点R D 2．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)、B (为 ． 3．在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点、半径等于上的格点有 个． 4．请你在如图所示的10×10的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过121个格点中的 个格点． 二、锐角三角函数的知识在网格中的应用 5．在正方形网格中，ABC ?的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ） A ． 12 B ． 22 C ． 32 D ． 33 5题图 6题图 7题图 6．如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则A ∠tan 的值是 （ ） A ．56 B ．65 C ．3102 D ．10 103 7．如图，1∠的正切值等于 。 8.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)用签字笔．．． 画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ； (2)线段CD 的长为 ； (3)请你在ACD △的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 。 （4）若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 三、平移、旋转知识在网格中的应用 9．如图，在方格纸上△DEF 是由△ABC 绕定点P 顺时针旋转得到的。如果用（2,1）表示方格纸上A 点的位置，（1,2）表示B 点的位置，那么点P 的位置为（ ）。 A. (5,2) B. (2,5) C. (2,1) D. (1,2) 9题图 10题图 10.如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点的坐标分别为A （0,1），B （-1,1），C （-1,3）。 （1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点C 1的坐标； （2）画出△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标；， （3）将△A 2B 2C 2平移得到△ A 3B 3C 3，使点A 2的对应点是A 3，点B 2的对应点是B 3 ，点C 2的对应点是C 3（4，-1），在坐标系中画出△ A 3B 3C 3，并写出点A 3，B 3的坐标。 11.在小正方形组成的15×15的网络中，四边形ABCD 和四边形D C B A ''''的位置如图所示。 ⑴现把四边形ABCD 绕D 点按顺时针方向旋转900 ，画出相应的图形1111D C B A ， ⑵若四边形ABCD 平移后，与四边形D C B A ''''成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形2222D C B A M R Q 1题 A B C P 4题图 D F E C B A 8题 11题图
2014中考数学专题训练：网格专题 1. （2012宁夏）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是【B 】 A ．24.0 B ．62.8 C ．74.2 D ．113.0 2. （2012湖北）如图，△ABC 在平面直角坐标系中的第二象限内，顶点A 的坐标是(－2，3) ，先把△ABC 向右平移 4个单位长度得到△A 1B 1 C 1，再作△A 1B 1C 1关于x 轴的对称图形△A 2B 2C 2， 则顶点A 2的坐标是【 B 。 】 A ．(－3，2) B ．(2，－D ．(3，－1) 3. （2012湖北）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是【 B 】 A ． B ． C ． D ． 4. （2012 聊城）如图，在方格纸中，△ABC 经过变换得到△DEF ，正确的变换是【 B 】 A ．把△ABC 绕点C 逆时针方向旋转90°，再向下平移2格 B ．把△AB C 绕点C 顺时针方向旋转90°，再向下平移5格 C ．把△ABC 向下平移4格，再绕点C 逆时针方向旋转180° D ．把△ABC 向下平移5格，再绕点C 顺时针方向旋转180° 5. （2012浙江）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A ，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A 的横坐标仍是整数，则移动后点A 的坐标为 ▲ ．（﹣1，1），（﹣2，﹣2）。 6. （2012泰州）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这 些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ▲ ．2 7. （2012广东）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （3，2）、B （1，3）．△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 1OB 1．（直接填写答案） （1）点A 关于点O 中心对称的点的坐标为 ； （2）点A 1的坐标为 ； （3）在旋转过程中，点B 经过的路径为弧BB 1，那么弧BB 1的长为 ．
中考数学题型训练网 格作图
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 中考题型训练——网格作图 1.（07.云南）（6分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方 形）中完成下列各题：（1）作出格点△ABC 关于直线DE 对称的△A 1B 1C 1; (2)作出△A 1B 1C 1绕点B 1顺时针方向旋转90°后的△A 2B 1C 2；（3）求△A 2B 1C 2的周长； （第1题） （第２题） 2.（06.云南）（7分）在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都是1, △ABC 与 △A 1B 1C 1构成的图形是中心对称图形. (1)画出此中心对称图形的对称中心O; (2)画出将△A 1B 1C 1沿直线DE 方向向上平移５格得到的△A 2B ２C 2；（３）要使△A 2B ２C 2与△CC 1C 2重合，则△A 2B ２C 2绕点C 2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（不要求证明） ３．（05.云南）（7分）如图，梯形ABMN 是直角梯形.
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 (1)请在图中拼上一个直角梯形,使它与梯形ABMN 构成一个等腰梯形; (3)将补上的直角梯形以点M 为旋转中心,逆时针方向旋转180°,再向上平移一格,画出这个直角梯形(不要求写作法) （第3题） （第4题） 4.(07.安徽) △ABC 和点S 在平面直角坐标系中的位置如图所示: (1)将△ABC 向右平移4个单位得到△A 1B 1C 1,则点A 1 、B 1的坐标分别为 和 . （２）将△ABC 绕点S 按顺时针方向旋转90°,画出旋转后的图形. 5.(07.江苏)如图,网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度. (1)请在所给的网格内画出以线段AB,BC 为边的菱形ABCD; (2)填空:菱形ABCD 的面积等于 .
1、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点△ABC （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△A 1B 1C 1；（3分） (2)在DE 上画出点P ，使PC PB +1最小；（2分） （3）在DE 上画出点Q ，使QC QA +最小。（2分） 2、贵港市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A 、B 、C 的距离相等。 （1）若三所公寓A 、B 、C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用 点P 表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠BAC ＝56o，则∠BPC ＝ o. 3、已知，如图，角的两边上的两点M 、N ， 求作：点P ，使点P 到OA 、 OB 的距离相等， 且PM=PN （保留作图痕迹） · · A B O M N
4、如图，直线AB 和CD 是两条交叉的马路，E 、F 两点是两座乡镇，现要在∠BOD 的区域内建一农贸市场，使它到两条马路的距离相等，且到两乡镇的距离也相等，请你利用尺规作图找出此点。（保留作图痕迹，不要求写作法） 5、（1）请画出ABC △关于y 轴对称的A B C '''△ （其中A B C '''，，分别是A B C ，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出A B C '''，，三点的坐标： (_____)(_____)(_____)A B C '''，，． 6、某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由等腰三角形和正方形组成（个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案。 7、已知：△ABC 为等边三角形，Ｄ为AB 上任意一点，连结BD ． （1）在BD 左下方．．．，以BD 为一边作等边三角形BDE （尺规作图,保留作图痕迹,不写作法） （2）连结AE ，求证：CD ＝AE F B
初三尺规作图和网格作图专题
九年级数学 网格作图 1、如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为l 的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上． （1）△ABC 的面积等于 ； （2）请在如图所示的网格中， 用无刻度的直尺，过点A 画一条直线，交BC 于点D ，使△ABD 的面积等于△ADC 面积的2倍，写出画法并简要说明理由． 2、如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，点C B A ,,均在格点上. （1）AB 的长等于 ； （2）在ABC ?的内部有一点P ，满足3:2:1::=???PCA PBC PAB S S S ，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）
3、如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，A，E为格点，B，F为 小正方形边的中点，C为AE，BF的 延长线的交点． （Ⅰ）AE的长等 于； （Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）． 4、引例：若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上 的内接正方形，△ABC中，设BC=a，
AC=b ，AB=c ，各边上的高分别记为a h ，b h ，c h ，各边上的内接正方形的边长分别记为a x ，b x ，c x ． （1）模拟探究：如图，正方形EFGH 为△ABC 的BC 边上的内接正方形，求证：111a a a h x +=； （2）特殊应用：若∠BAC=90°，b x =c x =2，求 11b c +的 值； （3）拓展延伸：若△ABC 为锐角三角形，b ＜c ，请判断b x 与c x 的大小，并说明理由． 5、如图，将△ABC 放在每个小正方形 的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均 落在格点上． （Ⅰ）△ABC 的面积等于 （Ⅱ）若四边形DEFG 是△ABC 中所能包含的面
尺规作图 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： ①作射线AP； ②在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： ①分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同 线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； ②连接PQ交MN于O． 则点O就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ与ＭＮ有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： ①以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； ②分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； ③作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。 （请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法） 题目五：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法： ①作线段AB = c； ②以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心 a为半径作弧与前弧相交于C；
③ 连接AC ，BC 。 则△ABC 就是所求作的三角形。 题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m ，n, ∠α . 求作：△ABC ，使∠A=∠α ，AB=m ，AC=n. 作法： ① 作∠A=∠ α ； ② 在AB 上截取AB=m ,AC=n ； ③ 连接BC 。 则△ABC 就是所求作的三角形。 题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠ α ，∠ β ，线段m . 求作：△ABC ，使∠A=∠α ，∠B=∠ β ,AB=m. 作法： ① 作线段AB=m ； ② 在AB 的同旁作∠A=∠ α ，作∠B=∠ β ， ∠A 与∠B 的另一边相交于C 。 则△ABC 就是所求作的图形（三角形）。 一、尺规基本作图归纳 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作角的平分线； 4、作线段的中垂线； 5、已知三边,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形; 6、已知底边和底边上的高作等腰三角形； 7、过直线上一点作直线的垂线； 8、过直线外一点作直线的垂线. 例题： 1、如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定这个圆形零件的半径. 2、 如图:107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C 和D,现要修建一个货站P,使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论) 3、 三 条公路两 107国道 D A C A
1．(2015·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形格中，给出了△ABC(顶点是格线的交点)． (1)请画出△ABC关于直线l对 称的△A1B1C1； (2)将线段AC向左平移3个单 位，再向下平移5个单位，画 出平移得到的线段A2C2，并以它 为一边作一个格点△A2B2C2，使 A2B2＝C2B2. 2．(2015·昆明二模)在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC和△A1B1C1成中心对称． (1)请在图中画出对称中 心O； (2)在图中画出将△ A1B1C1沿直线DE平移5格 得到的△A2B2C2； (3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，需将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转，则至少要旋转________度． 3．(2015·昆明西山区一模) 如图，在平面直角坐标系中， 已知△ABC的三个顶点的坐 标分别为A(－4，3)，B(－3， 1)，C(－1，3)．(1)请按下 列要求画图； ①将△ABC先向右平移4个 单位长度，再向上平移2个 单位长度，得到△A1B1C1，画 出△A1B1C1； ②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2. 在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称， 请直接写出对称中心M 点的坐标________． 4．(2015·贵港)如图， 已知△ABC三个顶点的 坐标分别是A(1，3)， B(4，1)，C(4，4)．(1)①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； ②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2. (2)请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标． 5．(2015·昆明盘龙区二模)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)． (1)请画出将△ABC先向左，再 向下都平移5个单位长度后得 到的△A1B1C1； (2)请画出将△ABC绕O按逆时 针方向旋转90°后得到的△ A2B2C2； (3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB并直接写出点P的坐标． 6．(2013·海南)如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为(－5，1)、(－1，4)，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)画出△ABC关于y轴对称的 △A1B1C1； (2)画出△ABC关于原点O对称 的△A2B2C2； (3)画出△ABC绕着O逆时针旋 转90度得△A3B3C3，则旋转过 程中点C到点C3所经过的路径长________(保留π)． 7．(2015·南宁)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(－3，1)，C(－1，4)． (1)画出△ABC关于y轴对称的 △A1B1C1； (2)将△ABC绕着点B顺时针旋 转90°后得到△A2BC2，请在图 中画出△A2BC2，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积(结 果保留π)．