数列知识点总结
一、等差数列与等比数列
等差数列 等比数列
定义 1+n a -n a =d
n
n a a 1
+=q(q ≠0) 通项公式 n a =1a +（n-1）d
n a =1a 1-n q (q ≠0) 递推公式 n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d
n a =1-n a q n a =m a m n q -
中项
A=2
b
a + 推广：A=2a k n k n a +-+（n,k
∈N +
;n>k>0）
ab G =2。推广：G=k n k n a a +-±（n,k ∈N + ;n>k>0）。任意两数a 、c 不一定
有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个
前n 项和
n S =2
n
（1a +n a ）
n S =n 1a +2
)
1(n -n d
n S =q q a n --11()1
n S =q
q a a n --11
性质
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，
232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；
（3）若三个成等差数列，可设为
a d a a d -+，，
（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则
21
21
m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2
n S an bn
⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d=
n
m a n
m --a (m ≠n)
(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列
（1）若m n p q +=+，则
m
n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q 二、求数列通项公式的方法
1、通项公式法：等差数列、等比数列
2、涉及前ｎ项和S n 求通项公式，利用a n 与S n 的基本关系式来求。即
例1、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且2
n n S =,求通项n a . 例2、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且n n a 32S -=,求通项n a 3、已知递推公式，求通项公式。
⎩⎨
⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n
（1）叠加法：递推关系式形如()n f a a n 1n =-+型
例3、已知数列｛n a ｝中，1a 1=，n a a n 1n =-+，求通项n a 练习1、在数列｛n a ｝中，3a 1=，n
n 1n 2a a +=+，求通项n a
（2）叠乘法：递推关系式形如
型 例4、在数列｛n a ｝中，1a 1=， ，求通项n a 练习2、在数列｛n a ｝中，3a 1=，n
n 1n 2a a ∙=+，求通项n a （3）构造等比数列：递推关系式形如B Aa a n 1n +=+(A,B 均为常数，A ≠1,B ≠0) 例5、已知数列｛n a ｝满足4a 1=，2a 3a 1n n -=-，求通项n a 练习3、已知数列｛n a ｝满足3a 1=，3a 2a n 1n +=+，求通项n a （4）倒数法
例6、在数列{a n }中，已知1a 1=, ,求数列的通项n a
四、求数列的前n 项和的方法
1、利用常用求和公式求和： 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n
n
2、错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列 .[例1] 求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和. [例2] 求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
3、倒序相加法：数列｛n a ｝的第m 项与倒数第m 项的和相等。即：
1m n m 1n 2n 1a a a a a a +--+==+=+ [例3] 求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2++⋅⋅⋅+++的值 [例4] 函数()x f 对任R x ∈都有()()2
1
x 1f x f =-+，求： ()()1f n 1n f n 2f n 1f 0f +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+ 4、分组求和法：主要用于求数列{a n +b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列
()n f a a n
1n =+n 1
n a 1
n n
a +=+2
a a 2a n n
1n +=+
[例5] 求数列： ,2
1
n ,,813,412,211n ++++的前n 项和
[例6] 求和：()()()()
n a 3a 2a 1a n
3
2
-++-+-+-
5、裂项相消法：通项分解 （1）111)1(1+-=+=
n n n n a n （2）)k n 1n 1(k 1)k n (n 1a n +-=+=
（3）n 1n n 1n 1a n -+=++=
（4）)n k n (k
1
n k n 1a n -+=++=
[例7] 在数列{a n }中，1
n n
1n 21n 1a n ++
++++=
，又1n n n a a 2b +∙=，求数列{b n }的前n 项的和. [例8] 已知正项数列{a n }满足1a 1=且()
*n 21
n 2N n 1a a ∈=-+
（Ⅰ）求数列{a n }的前n 项的和 （Ⅱ）令1
n n n a a 1
b ++=
，求数列{b n }的前n 项的和n T
五、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题
：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨
⎧≤≥+0
1m m a a 的项数m 使得m s 取最大值.
(2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+00
1
m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。
一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=
.. 一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫 做这个数列的通项公式，即af(n) n. 3.递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项 a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)， n1 那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列a n中，a11,a n2a n1，其中 n a n2a n1是数列a n的递推公式. 4.数列的前n项和与通项的公式 ①S n a1a2a；②n S(n1) 1 a n. SS(n2) nn1 5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n. ②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n. ③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,. ④常数数列:例如:6,6,6,6,??. ⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N. ⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a 使得a n M. n 1、已知 n * a2(nN) n n156 ，则在数列{} a的最大项为__（答： n 1 25 ）； 2、数列{} a的通项为 n an a n，其中a,b均为正数，则a n与a n1的大小关系为___（答： bn1 aa n1）； n 2 3、已知数列{a}中，a是递增数列，求实数的取值范 围（答：3）； ann，且{}nnn 4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n) 1 *得到的数列{} a满足a n1a n(nN)，则该函数的图象是（）（答：A） n
数学数列部分知识点梳理 一数列的概念 1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ?? ?≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。前n 项和公式2 ) (1n n a a n S += 或d n n na S n )1(2 1 1-+ =. 2）等差中项：b a A +=2。 3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 4）等差数列的性质： ⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2 (a ,b 是常数， 0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+； ⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则? ?? ???n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n n a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶； 当项数为)(12+∈-N n n ，则n n S S a S S n 1 ,-= =-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则 （ 是常数）是公差为 的等差数列； (8)设， ， ， 则有； (9) 是等差数列的前项和，则 ； (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为 ，前项和为，则 ①． 为等差数列，公差为 ；
高三必修五数学第二章数列的概念与简单表示法知识点 高三人教版必修五数学第二章数列的概念与简单表示法知识点 1．数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项. (1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列. (2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…. (4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n. (5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合. 2．数列的分类 (1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列. (2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列. 3．数列的通项公式 数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，
人教版高二数学必修5第二章等比数列知识 点 同学们新学期学习一定注意知识点的积累，为此查字典数学网整理了数学必修5第二章等比数列知识点，希望帮助大家学习。 等比数列是说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)，等比数列a1 0。其中an中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。 公式介绍编辑 (1)通项公式： (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：(2)等比中项： 若 ，那么 为 等比中项。 记n=a1a2…an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1。 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比中项定义：从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。 等比中项公式： 或者 (3)无穷递缩等比数列各项和公式： 无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。 (4)由等比数列组成的新的等比数列的公比： {an}是公比为q的等比数列 1.若A=a1+a2+……+an B=an+1+……+a2n C=a2n+1+ (3) 则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n 2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2 B=a2+a5+a8+……+a3n-1 C=a3+a6+a9+……+a3n 则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q 性质 (1)若m、n、p、qN*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。 (2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。 (3)若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab(G0)”。
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫 这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… （3）数列的函数特征与图象表示： 4 5 6 7 8 9 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322 +=n s n ，求数列}{n a 的通项公式 二、等差数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，124971 16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670
高中数学必修五数列知识点总结归纳 数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。下面肖博老师给大家分享高中数学必修五数列知识点总结。 一、数列的概念和简单表示法 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数． 二、等差数列 1.理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系． 三、等比数列 1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系． 四．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义 ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类 (3)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 五．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式. 1．辨明两个易误点 (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关． (2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
高中数学数列知识点归纳 摘要： 一、数列的概念与分类 1.数列的定义 2.等差数列与等比数列 3.几何数列与调和数列 二、数列的性质与运算 1.数列的项与公比 2.数列的求和公式 3.数列的性质及其应用 三、数列的递推关系式 1.递推关系式的定义 2.常见的递推关系式 3.递推关系式的应用 四、数列的通项公式 1.通项公式的定义 2.常见的通项公式 3.求解通项公式的方法 五、数列的极限与无穷级数 1.数列的极限 2.无穷级数的概念与性质
3.级数的收敛性与发散性 正文： 高中数学的数列知识点是数学学习中的一个重要部分，它涉及到数列的概念、分类、性质、运算、递推关系式、通项公式以及极限和无穷级数等内容。 首先，我们要了解数列的概念与分类。数列是一组按照一定规律排列的数字，可以用来描述事物的发展和变化规律。根据数列中相邻两项的关系，数列可以分为等差数列和等比数列。等差数列是相邻两项之差相等的数列，而等比数列是相邻两项之比相等的数列。此外，还有几何数列和调和数列等特殊类型的数列。 其次，我们要掌握数列的性质与运算。数列的项是指数列中的每一个数字，而公比是指等比数列中相邻两项的比。数列的求和公式是计算数列和的重要工具，而数列的性质如单调性、有界性等则是解决数列相关问题的关键。 递推关系式是描述数列的一种方法，它是指用一个已知项和其后的项的关系式来表示数列。掌握常见的递推关系式，如等差数列的通项公式、等比数列的通项公式等，有助于我们更好地理解数列的规律。 数列的通项公式是指能够表示数列中任意一项的公式。求解通项公式是数列学习中的难点，需要我们灵活运用数学方法。 最后，我们要了解数列的极限与无穷级数。数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的值趋于一个确定的值。无穷级数是指一个数列的所有项按照一定的方式排列组成的级数。理解级数的收敛性与发散性，有助于我们更好地把握数列的性质。 总的来说，高中数学的数列知识点繁多且重要，需要我们认真学习并掌
数列高中知识点归纳总结 数列是高中数学中常见的概念之一，而且在很多数学问题中都扮演 着重要的角色。它们不仅在学习上具有重要性，而且在实际应用中也 起着关键作用。本文将对数列的基本概念、性质和常见类型进行归纳 总结，以帮助读者更好地理解和应用数列。 一、基本概念 1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一组数。 2. 通项：数列中的每一项都称为通项，通常用字母a、b、c等表示。 3. 公式：数列的通项可以通过一个数学公式来表示。 4. 首项与公差：等差数列中，首项是数列中的第一项，公差是指相 邻两项之间的差值。 二、等差数列 1. 定义：等差数列是指数列中相邻两项之间具有相等差值的数列。 2. 通项公式：等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其 中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。 3. 性质： a. 两项和公式：等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)。
b. 通项求和公式：等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a1 + an)n/2。 三、等比数列 1. 定义：等比数列是指数列中相邻两项之间具有相等比值的数列。 2. 通项公式：等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。 3. 性质： a. 两项和公式：等比数列的前n项和Sn（r ≠ 0）可以表示为Sn = (a1(r^n - 1))/(r - 1)。 b. 无穷项和公式：等比数列的无穷项和S∞（|r| < 1）可以表示为S∞ = a1/(1 - r)。 四、特殊数列 1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列，常用符号表示为1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 2. 等差-等比数列：等差-等比数列是指其每一项都是等差数列和等比数列的项之积的数列。 3. 平方数列：平方数列是由完全平方数组成的数列，常用符号表示为1, 4, 9, 16, 25, ... 4. 级数数列：级数数列是指其每一项都是前一项与对应的阶乘之积的数列。
数列知识点总结 一、等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 定义 1+n a -n a =d n n a a 1 +=q(q ≠0) 通项公式 n a =1a +（n-1）d n a =1a 1-n q (q ≠0) 递推公式 n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d n a =1-n a q n a =m a m n q - 中项 A=2 b a + 推广：A=2a k n k n a +-+（n,k ∈N + ;n>k>0） ab G =2。推广：G=k n k n a a +-±（n,k ∈N + ;n>k>0）。任意两数a 、c 不一定 有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个 前n 项和 n S =2 n （1a +n a ） n S =n 1a +2 ) 1(n -n d n S =q q a n --11()1 n S =q q a a n --11 性质 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列， 232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为 a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2 n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d= n m a n m --a (m ≠n) (7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列 （1）若m n p q +=+，则 m n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q 二、求数列通项公式的方法 1、通项公式法：等差数列、等比数列 2、涉及前ｎ项和S n 求通项公式，利用a n 与S n 的基本关系式来求。即 例1、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且2 n n S =,求通项n a . 例2、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且n n a 32S -=,求通项n a 3、 4、已知递推公式，求通项公式。 ⎩⎨⎧≥-===-) 2() 1(111n s s n a s a n n n
数列知识点总结 数列的概念与简单表示法 知识点一、数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，所以数列的一般形式可以写成： ,,,,,,321 n a a a a 简记为{}n a 。项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。 1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列； 4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列； 知识点二、通项公式 如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 知识点三、数列的前n 项和 1.数列的前n 项和的定义：我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即n n a a a S +++= 21。 2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,1 1n S S n S a n n n
等差数列 知识点一、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 知识点二、等差中项 有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时A 叫做b a 与的等差中项。 1.根据等差中项的定义：b A a ,,是等差数列，则2b a A +=；反之，若2 b a A +=，则 b A a ,,是等差数列。 2.在等差数列{}n a 中，任取相邻的三项() * +-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11，则n a 是1-n a 与1+n a 的 等差中项；反之，n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切* ∈≥N n n ,2均成立，则数列{}n a 是 等差数列。 因此，数列{}n a 是等差数列⇔),2(211* +-∈≥+=N n n a a a n n n 。 3.若数列{}n a 是等差数列，且p+q=s+t,则t s q p a a a a +=+。（p,q,s,t ∈N * ） 知识点三、等差数列的通项公式 1.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，其中1a 为首项，d 为公差。 等差数列的通项公式的推导方法： 累加法：因为{}n a 是等差数列，所以 d a a d a a d a a d a a n n =-=-=-=--1342312, ,,, 等号两边分别相加，得d n a a n )1(1-=-，所以d n a a n )1(1-+=。 2.等差数列的应用：已知等差数列中任意两项),(,* ∈N m n a a m n ， ⎪⎩⎪ ⎨⎧-+=--=⇒-=-⇒⎩⎨ ⎧-+=-+=d m n a a m n a a d d m n a a d m a a d n a a m n m n m n m n )()()1()1(11
必修⑤ 第二章 数列 知识总结 一、 等差数列 1．等差数列定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数 列的项；数列可以看作一个定义域为正整数集 N ( 或它的有限子集 {1,2,L ,n} 的函数当 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 . 它的图像是一群孤立的点 . 它具有如下特征： a n 1 a n d , 或 a n 2 a n 1 a n 1 a n (n N ) 注意： （ 1）证明数列 { a n } 是等差数列的五种基本方法（③④⑤大多用在客观题上） ： ①利用定义：证明 a n 1 a n d （ 常数 ） ②利用中项性质：证明 2a n a n 1 a n 2 (n N ) ③通项公式法： a n pn q （ p 、q 为常数） { a n } 为等差数列 ④前 n 项和公式法： S n An 2 Bn （A 、B 为常数） { a n } 为等差数列 ⑤ { a n } 成等比数列且 a n {lg a n } 为等差数列 （ 2）证明数列 a n 不是等差数列的常用方法：找反例 .(如验证前三项不成等差数列 ) . （ 3）若 a n 1 a n n, a 1 a, n N ，则 { a n } 不是等差数列 ,求 a n 可用累加法 a n (a n a n 1 ) (a n 1 a n 2 ) L (a 2 a 1 ) a 1, n ≥ 2. 2．通项公式及其变式 a n a 1 (n 1)d dn (a 1 d) 变式： ① a n a m (n m) d ② a 1 a n (n 1)d ③ d a n a m ④d a n a m （联想点列 (n, a n ) 所在直线的斜 率） n m n m 3．前 n 项和公式及其变式 n(a 1 a n ) na 1 1 n( n 1)d ； S n 2 1 n(n 2 变式 : ① S n a n n 1)d 联想 : a n 是以 a n 为首项 , d 为公差的等差数列 . d n 2 2 d )n ② S n (a 1 ③ S n 2 2 d (n 1) a 1 S n 是以 a 1 为首项 d 为公差的等差数列 n 2 联想： n , 2 ④ S n a 1 2 a n a 1 a 2 L a n 联想：算术平均数 n n 4．等差中项 若 a, b, c 成等差数列，则 b 称 a 与 c 的等差中项，且 b a c ． a n 2 5．重要性质 (等差数列 中 )
一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项 1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ， 那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中 12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知* 2()156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答： n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）
高中数学必修5数列知识点总结 ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。 ②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。 ③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 1.等差数列通项公式 an=a1+(n-1)d n=1时a1=S1 n≥2时an=Sn-Sn-1 an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 2.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。 有关系：A=(a+b)÷2 3.前n项和 倒序相加法推导前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+·····+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1 =an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n 个)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2 Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2) 亦可得 a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n an=2sn÷n-a1 有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 4.等差数列性质 一、任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N* 三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq 四、对任意的k∈N*，有 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。 1.等比中项