数列的方法与题型总结
1 数列基本方法
1、求数列通项公式的一般方法（累乘法、累加法、迭代法）。目的都是为了消项。消去中间项，寻找末项和首项之间的关系。 1.1 累乘法：
例1、已知数列{}n a 满足113,2n n a a a +==，求数列{}n a 的通项公式。
解析：形如1n n a Aa +=，此类相邻两项等比的数列，都可以用累乘法解决。这就是我们学的等比数列。 变型1 已知数列{}n a 满足113,21n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。
解析：形如1n n a Aa B +=+的递推公式求通项，首先进行变型为1()n n a A a λλ++=+然后展开后与原递推公式类比，求出λ。
注意一：其实本题变形后即可构造新的等比数列，先求等比数列，再求原数列。
注意二：变型为我们新关系式后，用累乘法也可求出解，且此方法是基础方法。
变型2：已知数列{}n a 满足111,22n n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。
解析：此类乃是上述变型1的又一个变形，形如
1()n n a Aa f n +=+，首先进行变型为
1(1)(()n n a f n A a f n λλ+++=+），然后展开类比，求出λ。 1.2 累加法。
例1、已知数列{}n a 满足113,3n n a a a +==+，求数列
{}n a 的通项公式。
解析：形如1n n a a b +=+的这种邻项等差的数列，可用
累加法求通项。
变型1、已知数列{}n a 满足113,2n n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。
解析：形如1()n n a a f n +=+的这种邻项等差的数列，依然可以用累加法求通项。 1.3 迭代法
例：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，数列{}n b ，且11b a =，当2n ≥时，1n n b b a -=，求数列{}n b 的通项。 解析：多写几项找规律，将前一项逐渐一次代入，达到销项的目的。
注意：上述两种累加累乘法的题都可以用迭代法求解。
1.4 综合练习
例1、在数列{}n a 、{}n b 中，111,a b =，且
186,
n n n a a b +=- 164n n n b a b +=-，求,n n a b -，n a 和n b 。
解析：,n n a b -通过上述两等式相减得到,n n a b -的关系式，求解即可。
求n a ，n b ，将,n n a b -的通项公式代入上述两个等式找关系即可。 1.5 1
1
n n n S a S S -?
=?
-?
例：数列{}n a 中，22n S n n =+-，求n a 。 2、数列前n 项和。
数列求和的一般方法有：倒序相加法、错位相减法、裂
项相消法。
2.1倒序相加法。
例1、数列{}n a 通项为32n a n =+，求前n 项和n S 。 例2、若数列{}n a 的通项公式为41n a n =-，
12n
n a a a b n
+++=
，求数列n b 的前n 项和。
2.2 运用错位相减法。
例1、求12482n n S =+++++ 。 公比是2，所以2n n S S -错位相消。 2.3 裂项相消法。 例1、求数列2
1
{
}n n
+的前n 项和。 例2、
已知数列的前n 项和。
例3、已知数列{}n a 满足2
1n n n a a a +=+，
1(1)a a a =≠-，数列{}n b 满足1
1n n b a =
+，设11
n n a P a +=，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1n n aS P +=。
3、组合数列的求和。
两种类型：数列和构成新数列、数列积构成新数列。 数列和数列求和的分别求数列和，然后相加。 数列积数列求和的用n n kS S -。
3.1 求数列{526}n
n +-的前n 项和n S 。 3.2 求数列{2}n n 的前n 项的和n S 。
3.3 已知2111
22
n S n n =+，求通项公式n a 。
3.4 求和1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- 。 3.5 求数列(2)
{
2}2
n n n ++的前n 项和。 3.6 求2310
3519x x x x ++++ 。
3.7 数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=，求数列
2{
1}1
n
a n -+的前10项的和。 3.8 数列{}n a 中，11
1,
3n n
n a a a -==，求数列21122
{3}3
n
n n a ---的前10项和。
3.9 （1）122334(1)n n ?+?+?++?+
（2）123234345(1)(2)n n n ??+??+??++++
2 数列拓展
1、1()n n a a f n +-=问题。
1.1 在数列{}n a 中，111,4(2)n n a a a n n -==+≥，求n a 。 1.2在数列{}n a 中，111211,2)512n n n n
a na a n a a --+==≥-，求n a 。
1.3在数列{}n a 中，0n a >，且对任意的正整数n 有
11
()2n n n
S a a =
+，求通项公式。 1.4 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的正整数n 有1
3
62
n n n S a -=--
，求通项公式。 2、、
，…也成等差数列。
3、在等差数列
中，当项数为偶数时，，
；项数为奇数
时，，
（这里
即
）；。
例1、（1）在等差数列中，S 11＝22，则＝______（答：2）；
（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，
n S n ??????
232,,n n n n n
S S S S S --{}
n a 2n S S nd
=偶奇－*1
(2,)n
n S a n n N S a +=
≥∈奇
欧
21n -S S a -=奇偶中
21(21)n S n a -=-?中
a 中
n
a :(1):S S k k =+奇偶6a {}n a
偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）. 4、若等差数列、的前和分别为、，且
，则.
例1：设与{}是两个等差数列，它们的前项和
分别为和，若，那么___________
（答：
）
5、1()n
n a f n a -=问题。
此类问题解法单一，累乘法。 6、等比数列的性质：
6.1若是等比数列，且公比，则数列
，…也是等比数列。当，且
为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列.
6.2 .
6.3 在等比数列中，当项数为偶数时，
；项数为奇数时，.
6.4 形如可采用取倒数方法转化成为形式解决 7、几种数列求和
，，
. 3 数列习题
1
、设数列 2，则100是该数列中的（ ）
A 、第100项
B 、第1000项
C 、第10000项
D 、第10100项
2、已知数列{}n a
满足110,)n a a n N ++==∈，
则100a =（ ）
A 、0 B
C
、 D 、3 解析：多写几项找规律。 2、已知数列{}n a 满足
001211,(1)n n n a a a a a a a -==++++≥ ，则当1
n ≥时，n a =（ ）。 A 、2n
B 、
(1)2
n n + C 、12n - D 、21n
- 4、数列{}n a
的通项公式为)n a n N +=
∈，
若数列的前n 项和为10，则项数n 为（ ）。 A 、11 B 、121 C 、120 D 、119 解析：分母有理化
3、在数列{}n a 中，111
2,ln(1)n n a a a n
+==++，则 n a =（ ）。 A 、2ln
+n B 、2(1)ln n +-n C 、2ln n n +
D 、1ln n n ++
5、已知数列{}n a 中，1a b =（b 为任意常数），
11
(1,2,3)1
n n a n a +=-
=+ ，能使n a b =的n 项值是（ ）。
A 、14
B 、15
C 、16
D 、17 解析：周期规律 6、数列数列
6.1 已知数列：1213214321,,,,,,,,,1121231234
，依前10项的规律，这个数列的第2010项满足（ ） A 、20101010a <<
B 、
20101
110
a ≤< C 、2010110a ≤≤ D 、201010a >
6.2 已知数列2132143211,,,,,,,,,121231234 ，则
5
10
是此数列的（ ）。
A 、第50项
B 、第51项
C 、第52项
D 、第53项
{}n a {}n b n n A n B ()n
n
A f n
B =2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--21
21
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--{}n a n b n n S n T 3143
n n
S
n T n +=-n n
a b =62
87
n n --{}n a 1q ≠-232,,n n n n n S S S S S --1q =-n
232,,n n n n n S S S S S --m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+{}n a 2n S qS =偶奇
21n -1S a qS =+奇偶1
n
n n ma a pa q
+=
+1
11n n m m
a q a p
+=
+1
123(1)2
n n n ++++=+ 2221
12(1)(21)6
n n n n +++=
++ 33332
(1)123[
]2
n n n +++++=
6.3 已知整数数对按以下规律排成一列：（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），…，则第60个数对是（ ）。
A （10,1）
B （2,10）
C （5,7）
D （7,5） 7、类函数数列
7.1 若数列{}n a 的通项为1
n an
a bn =+，其中,a
b 均为正
数，则n a 与1n a +的大小关系为（ ）。
A 、n a >1n a +
B 、n a <1n a +
C 、n a =1n a +
D 、与n 的取值有关
解析：分离常数增减性
7.2 数列{}n a 是递增数列，且对任意n N +∈都有2n a n kn
=+成立，则实数k 的取值范围是（ ）。 A 、(3,)-+∞ B 、(2,)-+∞ C 、(1,)-+∞ D 、(0,)+∞ 7.3 已知数列
{}
n a 对任意的,p q N +∈满足
p q p a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）。 A 、﹣165 B 、﹣33 C 、﹣30 D 、﹣21 解析()()()f x y f x f y +=+
8、若11234(1)n n S n -=-+-++- ，则 21214k k k S S S -+++=（ ）。 A 、﹣1 B 、0 C 、1 D 、2
解析：分组规律
9、设{}n a 是首项为1的正数列，且
22
11(1)0(1
,2,3)n n n n n a na a a n +++-+== ，它的通项公式为n a = 。
10、数列{}n a 满足1(1)21,n n n a a n ++-=-则{}n a 的前60项和为 。
11、设1111
()2612(1)n S n N n n +=++
++∈+ ，且 123
4
n n S S ++=
，则n 的值是 。 12、2212()
n n n n a n -??
=???（为奇数）为偶数则20S = 。
13、已知数列{}n a
的通项),n a n N +=
∈则数
列{}n a 的前30项中，最大项是（ ）。
14、已知数列{}n a 中，11,a =，数列{}n b 中，10b =，当2n ≥时，111111
(2),(2)33
n n n n n n a a b b a b ----=+=+，求,n n a b 。
解析：a+b ，a-b
15、数列{}n a 中，11a =，且前n 项和2n n S n a =，求n a 和n S 。
16、已知数列{}n a ，定义其倒均数
12111
n
n a a a V n
+++= ，
（1） 已知数列{}n a 的倒均数是1
2
n n V +=
，求数列{}n a 的通项公式；
（2） 设等比数列{}n b 的首项﹣1，公比1
2
q =
，其倒数平均数为n T ，若存在正整数k ，使得当n k ≥时，
16n T <-恒成立，试求k 的最小值。
17、求和： （1）11111212312n
+
++++++++ （2）
222
1112141(2)1
n +++--- 18、已知数列{}n a 的首项13(0)a R R =≠，对任意自然
数n 都有
1
2(1)n n R
n n a a +=+-
（1）求n a
（2）若12n
n n
R b a a a = ，求数列{}n b 的前n 项和。
19、已知数列{}n a 中，111,21
n
n n a a a a +==+
（1）求数列{}n a 的通项公式
（2）若1352121
1,(1)(1)(1)
(1)
n n n n p b b b b a b -=+=++++ ，求证：
n P >20、已知数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，
11
212
n n a a n -=
+-，求n a 。 21、已知数列
{}
n a 满足
11a =，22113,226n n n a a a a n ++=--+=-
（1）设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式 （2）求n 为何值时，n a 最小。
4 等差数列习题
1、m n p q a a a a +=+定理
1.1 如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么
127a a a ++ =（ ）
A 、14
B 、21
C 、28
D 、35
解析：此类问题方法不唯一，可以直接应用等差的定义列方程（待定系数法）
1.2 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81126a a =+，则n S =（ ）。
A 、54
B 、45
C 、36
D 、27
1.3 已知等差数列{}n a 的公差d （0d ≠），且
36101332a a a a +++=，若8m a =，则m =（ ）。 A 、12 B 、8 C 、6 D 、4
1.4 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =（ ）。
A 、58
B 、88
C 、143
D 、176
1.5 在等差数列{}n a 中，若24681080a a a a a ++++=，则781
2
a a -
的值为（ ）。 A 、4 B 、6 C 、8 D 、10
1.6 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，则
258a a a ++= 。
2、2,,m m k m k a a a ++仍旧等差 2.1 已知等差数列
{}
n a 的公差是2，且123100
100a a a a
++++= ，
那
么
481a a a a ++++
等于（ ） A 、25 B 、50 C 、75 D 、100 3、232,,k k k k k S S S S S --是等差数列
3.1 等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前2m 项之和为100，则它的前3m 项之和为（ ） A 、130 B 、170 C 、210 D 、260 4、奇项和与偶像和推论
4.1 等差数列{}n a 共有2m 项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且2133m a a -=-，则该数列的公差d 为（ ）。
A 、3
B 、﹣3
C 、﹣2
D 、﹣1
4.2 若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为
,n n S T ，且
3221n n S n T n +=
+，则1215
a
b 的值是（ ）。 A 、
7159 B 、7058
C 、32
D 、54
4.3 若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为
,n n A B ，
且满足71427n n A n B n +=+，则1111a b 的值是（ ）。 A 、74 B 、32 C 、43 D 、78
71
4.4 若等差数列{}n a 的前m 项和为m S ，前n 项和为n S ，且22::m n S S m n =，则:m n a a = 。 5、几道典型题
5.1 在数列{}n a 中，若
1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥，则通项n a 是
（ ）。
A 、213n +
B 、23n +
C 、121
n - C 、132n -
解析：同时除以乘积
5.2 若方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组
成一个首项为1
4的等差数列，则m n -=（ ） A ．1 B 、34 C 、12 D 、3
8
解析：韦达定理
5.3 已知等差数列{}n a 的前
n 项和为n S ，
555,15a S ==，则数列11n n a a +??
????的前100项和为
（ ）。 A 、100101 B 、99101
C 、99100、
D 101
100
5.4 若在一个等差数列中，,n m S m S n ==，其中m n ≠，
则m n S += 。
5.5 等差数列的前n 项和为n S ，若738S S -=，则
10S = ，一般的，若()n m S S a n m -=>，则 n m S += 。
5.6 在等差数列{}n a 中，0n a >，且21384a a a ++=，则
310a S 的最大值是 。
6、几道大题
6.1 已知数列{}n a 中，115,221(2)n n n a a a n -==+-≥ （1）若数列2n n
a λ+??
?
???
为等差数列，则实数λ的值； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S
6.2 数列{}n a 满足13221(2),27n n n a a n a -=++≥= （1）求12,a a 的值
（2）是否存在一个实数t ，使得1
()2
n n n b a t =
+，且{}n b 为等差数列？
（3）求数列{}n a 的前n 项和。
6.3 已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=- （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列12n n a -??
?
???
的前n 项和。 6.4 已知数列{}n a 的首项13a =，通项公式n a 与前n 项和n S 之间满足12(2)n n n a S S n -=≥求数列{}n a 的通项公式。
5 等比数列习题
1、m n p q +=+类型 1.1 已知
{}
n a 是等比数列，且0n a >，
243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值为（ ）
A 、5
B 、10
C 、15
D 、20
1.2 已知{}n a 是等比数列，47562,8a a a a +==-，则
110a a +=（ ）
A 、7
B 、5
C 、﹣5
D 、﹣7
1.3 在等比数列{}n a 中，11,a =，公比1q ≠，若
12345m a a a a a a =，则m =（ ）
A 、9
B 、10
C 、11
D 、12
1.4在等比数列{}n a 中，11,a =，公比1q ≠，，第11项等于这个数列的前n 项之积，则n =（ ）。
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5 1.5 等比数列
{}
n a 中，11
317,2
a q ==-，记
123()n f n a a a a = ，则当()f n 最大时，n 的值为（ ） A 、7 B 、8 C 、9 D 、10
2、求和公式定义
2.1 已知数列{}n a 的前n 项和3n n S k =+，那么下述结论正确( )。
A 、k 为任意实数时，{}n a 是等比数列
B 、1k =-时，{}n a 是等比数列
C 、0k =时，{}n a 是等比数列
D 、{}n a 不可能是等比数列 2.2 23,,k k k k k S S S S S --成等比 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96
S
S =（ ）。 A 、2 B 、
73 C 、8
3
D 、3 2.3 设{}n a 是正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知2431,7,a a S ==则5S =（ ） A 、
152 B 、314 C 、334
D 、17
2 2.4 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若
12,,n n n S S S ++成等差数列，则q = 。
3、方法综合
3.1 在数列{}n a 中，若11a =，123(1),n n a a n +=+≥则该数列的通项n a = 。
3.2 已知等比数列{}n a 为递增数列，且2
510a a =，
212()5n n n a a a +++=，则数列{}n a 的通项公式
为 。
3.3 设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为
n S ，若224432,32S a S a =+=+，则q = 。
4、解答题：
4.1 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，142n n S a +=+。
（1）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （2）求数列{}n a 的通项公式。
4.2 设数列{}n a 是公比不为1的等比数列，前n 项和为
n S ，且534,,a a a 成等差数列。
（1）求数列的公比
（2）证明：对任意21,,,k k k k N S S S +++∈成等差数列。 4.3 已知数列
{}
n a 的前
n 项和为n S ，且
585,n n S n a n N +=--∈
（1）证明：{}1n a -是等比数列 （2）求数列{}n S 的通项公式。 4.4 等比数列
{}
n a 的各项均为正数，且
2
12326231,9a a a a a +==。
（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设31323l o g l o g l o g ,n n
b a a a =+++
求数列1n b ??
????
的前n 项和。 4.5 （1）已知数列{}n a ，其中23n n n a =+，且数列
{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p
（2）设{}{},n n b c 是公比不相等的两个等比数列，
n n n a b c =+，求证：数列{}n a 不是等比数列
4.7 已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且
114123232,54,a b b a a a b b ===++=+。
（1）求数列{}n b 的通项公式 （2）求数列{}n a 的前10项和。
4.8数列{}n a 中，11a =且14n n n a a +=，求前n 项和n S 。 4.9 设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列前n 项和，已知37S =，且1233,3,4a a a ++构成等差数列。 （1）求数列{}n a 的通项公式
（2）令31ln ,1,2,n n b a n +== ，求数列{}n b 的前n 项和。
6 数列综合习题
1、已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若
2312a a a =，
且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S =（ ） A 、35 B 、33 C 、31 D 、29
2、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ??
????
的前5项和为
（ ）。 A 、
158或5 B 、3116或5 C 、3116 D 、158
3、{}n a 是等差数列，2108,185a S ==，从{}n a 中依次取出第3项，第9项，第27项，….第3n 项，按原来的顺序排成一下新数列，则通项为（ ）。 A 、1
3
2n ++ B 、132n +- C 、32n + D 、32n -
4、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，……的第100项是 。
5、等差数列1,3,5,7,9,11，…..按如下方法分组：（1），（3,5），（7,9,11），（13,15,17,19）…….第n 组的n 个数的和是 。
6、已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则n
a n
的最小值为 。
7、已知数列{}n a 中，111,12n
n n
a a a a +==+，则6
a = 。
8、已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且1144442,27,10a b a b S b ==+=-= （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式 （2）记1121n n n n T a b a b a b -=++ ，求证
12210n n n T a b +=-+（解析：类似等差乘等比新数列
一般n n qT T -）
9、设数列{}n a 满足21
1233333
n n n a a a a -++++=
， （1）求数列通项
（2）设n n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和。 解析：方法同第八题
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
一三角函数 三角函数的题有两种考法，其中10%~20%的概率考解三角形，80%~90%的概率考三角函数本身。 1.解三角形 不管题目是什么，要明白，关于解三角形，只学了三个公式——正弦定理、余弦定理和面积公式。 所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。 2.三角函数 然后求解需要求的。套路一般是给一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域、值域、周期、频率、单调性等问题。 解决方法就是，首先利用“和差倍半”对式子进行化简。化简成：
掌握以上公式，足够了。 关于题型，见下图： 二立体几何 立体几何的相关题目，稍微复杂一些，可能会卡住一些人。 这个题目一般有2~3问，一般会考查某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，以及求二面角。 这类题目的解题方法有两种：空间向量法和传统法。这两种方法各有利弊。
向量法： 使用向量法的好处在于：没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。缺点就是计算量大，且容易出错。 使用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。其形式为AB=（a，b，c），然后进行后续证明与求解。 箭头指的是利用前面的方法求解。如果有些同学会觉得比较乱，以下为无箭头标注的图。
传统法： 在学立体几何的时候，有很多性质定理和判定定理。但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了上图中6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。 所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。
高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
1.集合基本运算，数轴应用 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x << 2.集合基本运算，二次函数应用 已知集合{} {}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A （ ） A ．]1,2[-- B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[ 3.集合基本运算，绝对值运算，指数运算 设集合{}{} ]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ，则=B A （ ） A.]2,0[ B. )3,1( C. )3,1[ D. )4,1( 4.集合基本性质，分类讨论法 已知集合A= {} 22,25,12a a a -+，且-3 ∈A ，求a 的值 5.集合基本性质，数组，子集数量公式n 2 .集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N ｝,则A 的非空真子集的个数为（ ） Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７ 6.集合基本性质，空集意识 已知集合A={x|2a-1≤x≤a+2}，集合B={x|1≤x≤5}，若A∩B=A，求实数a 的取值范围． 7.函数解析式，定义域，换元法，复合函数，单调性，根式和二次函数应用，数形结合法 已知x x x f 2)1(+=+，定义域为：x>0 （1）求f(x)的解析式，定义域及单调递增区间 （2）求(-1)f x 解析式，定义域及最小值
8.函数基本性质，整体思想，解方程组 设1()满足2()()2,f x f x f x x -=求)(x f 9.函数基本性质，一次函数，多层函数，对应系数法 若f [ f (x )]＝2x ＋3，求一次函数f (x )的解析式 10.不等式计算，穿针引线法 (1-x)(21)0(1)x x x +≥- 求x 取值范围 11.函数值域，反表示法，判别式法，二次函数应用，换元法，不等式法 求函数2241x y x +=-的值域 求函数2122 x y x x +=++的值域 求函数x x y 41332-+-=的值域 93(0)4y x x x =+> 12.函数值域，分类讨论，分段函数，数形结合，数轴应用 若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为 （A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8 13.函数单调性，对数函数性质，复合函数单调性（同增异减） 函数212 ()log (4)f x x =-的单调递增区间为 A.(0，)+∞ B.(-∞，0) C.(2，)+∞ D.(-∞，2)- 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+
高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每 一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： （1）．有限集含有有限个元素的集合 （2）．无限集含有无限个元素的集合 （3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B? A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
常见题型归类 第一章集合与函数概念 1.1集合 题型１集合与元素 题型2 集合的表示 题型3 空集与0 题型4 子集、真子集 题型5 集合运算 题型５.1 已知集合，求集合运算 题型5.2 已知集合运算,求集合 题型５.３已知集合运算,求参数 题型6 “二维”集合运算 题型６自定义的集合 1.2函数及其表示 题型1 映射概念 题型2 函数概念 题型3 同一函数 题型4 函数的表示 题型5 已知函数解析式求值 题型6 求解析式 题型７定义域 题型7．1 求函数的定义域 题型7.2 已知函数的定义域问题 题型8 值域 题型8．1 图像法求函数的值域 题型８.2 转化为二次函数，求函数的值域 题型8.３转化为反比例函数,求函数的值域 题型8.4 利用有界性,求函数的值域 题型８.5单调性法求函数的值域 题型8.6 判别式法求函数的值域
题型8．7 几何法求函数值域 题型9 已知函数值域，求系数 1.3函数的基本性质单调性 题型1 判断函数的单调区间 题型２已知函数的单调区间，求参数 题型3 已知函数的单调性,比较大小 题型4 已知函数的单调性，求范围 1.4函数的基本性质奇偶性 题型1 判断函数的奇偶性 题型2 已知函数的奇偶性，求解析式 题型3 已知函数的奇偶性，求参数 题型4 已知函数的奇偶性,求值或解集等 1.5函数的图像 题型1 函数图像 题型2 去绝对值作函数图像 题型3 利用图像变换作函数图像 题型4 已知函数解析式判断图像 题型5 研究函数性质作函数图像 题型6 函数图像的对称性 第二章基本初等函数 2.1指数函数 题型1 指数运算7 题型２指数函数概念 题型３指数函数型的定义域、值域 题型4 指数函数型恒过定点 题型5 单调性 题型6 奇偶性 题型７图像 题型８方程、不等式 ２.２对数函数
高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。 （a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较
4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念 题型２、集合间的基本关系 题型３、集合的运算 题型４、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型６、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围 题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型９、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型１3、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间） 题型１８、函数的周期性 题型１9、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系
题型21、二次方程ax2+ｂx+c=０（a≠0)的实根分布及条件题型２2、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型２3、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型２6、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型２８、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型３1、判断函数的图像 题型3２、函数图像的应用 题型３3、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型３6、函数与数列的综合 题型３7、函数与不等式的综合 题型３８、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型4０、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型4２、利用原函数与导函数的关系判断图像
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
2019极坐标与参数方程高考题型全归纳 一.题型部分 (一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数 方程的转化 1. 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ= 。 2. 参数方程： 直线参数方程：0 0cos () sin x x t t y y t θ θ =+?? =+?为参数 00(,) x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程： 圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ =+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆2 2221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θ θθ =??=?为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =?? =?为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=? =?为参数 (二)有关圆的题型 题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= ，算出d ，在与半径
比较。 题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= 第二步：判断直线与圆的位置关系 第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d = 题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式2 22 d r l -=，d 是圆心到直线的距离 延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 例如：在直角坐标系xOy 中，曲线1 C 的参数方程为()sin x y α αα?=?? =?? 为参数，以坐标原 点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
高中数学必修 2 知识点总结 第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE - A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD' 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥P - A'B'C'D'E' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P - A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全 等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一 点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 （1）定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 （2）画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 （3）直观图：斜二测画法 （4）斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 （5）用斜二测画法画岀长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 I （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，|为母线） 3）柱体、锥体、台体的体积公式
数学家高斯的故事 高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。 还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现： 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到： 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。 中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。 从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。 高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。
对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说：“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。”
高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是
排列组合 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解： 522 480A A A = 练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序 有多少种？ 解54 56A A 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两
个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然 后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三个位置甲乙丙 共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题: 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10 C 五.重排问题求幂策略 例5.、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节 目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87 六.环排问题线排策略 例6.、 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把 圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！ 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．
高中数学必修知识点总结 必修一 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B … 2、子集与真子集 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 > （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 （3）性质： 二、函数的有关概念 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． ☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ☆构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 2、补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数 ' 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。 补充三：抽象函数 3、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、配方法 4、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法 5、函数单调性
数学高考大题题型归纳必考题型例题
数学高考大题题型归纳必考题型例题 1数学高考大题题型有哪些 必做题： 1.三角函数或数列（必修4，必修5） 2.立体几何（必修2） 3.统计与概率（必修3和选修2-3） 4.解析几何（选修2-1） 5.函数与导数（必修1和选修2-2） 选做题： 1.平面几何证明（选修4-1） 2.坐标系与参数方程（选修4-4） 3.不等式（选修4-5） 2数学高考大题题型归纳 一、三角函数或数列 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 二、立体几何 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步