三角形四心竞赛训练题1
一、填空题
1、三角形的三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的 心；三个角的平分线的交点叫做三角形的 心；三条中线的交点叫做三角形的 心；三条高线的交点叫做三角形的 心。
2、在△ABC 中，∠A=40o，为△ABC 的内心，则∠BOC ＝ 度。
3、圆的外切正三角形的边长是圆内接三角形的边长的 倍。
4、已知三角形三边长分别为3、4、5，则其内切圆半径为 。
5、设△ABC 的垂心为H ，则∠BHC ＋∠BAC= 度。
二、解答题
6、如图1，△ABC 中，AD 为BC 边的高线，点O 为△ABC 的外心，求
证：∠BAO=∠DAC 。
7、求证：三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于中线长的2
3。
8、如图2，Rt △ABC 的内切圆⊙O 和斜边BC 的切点为T ，求证：
ABC
BT TC S ??=。
9、如图3，已知△ABC 的内心为I ，△BCI 的外心为D ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。
10、如图4，已知△ABC 的内切圆和BC 相切于D ，求证：△ABD 、△ACD 的内
切圆相切。
11、如图5，设△ABC 的垂心为H ，并且直线AH 和外接圆及边BC 的交点分别为E 、D ，求证：HD=DE 。 12、如图6，△ABC 的垂心为H ，外心O 到边BC 的距离为OM ，求证：AH=2OM 。
13、如图7，△ABC 的垂心为H ，外心为O ，若∠A ＝60o；求证：三直线HO 、AB 、AC 所作成的△APQ 是正三角形。
14、如图8，△ABC 的垂心H ，若垂足三角形DEF 的外接圆和HC 的交点为G ，求证：HG=CG 。 15、设从△ABC 的外接圆的圆心O 向BC 边作垂线OD ，求证：∠BOD=∠A 或者∠BOD+∠A=180o
16、如图9，△ABC 中，∠A=2∠B ，由顶点C 作∠A 的平分线AD 的垂线CF ，垂足为F ，求证：CF 经过△ABC 的外心。
17、如图10，设过△ABC 的内心I 作BC 的平行线和AB 、AC 分别交于D 、E 、M 是BC 的中点，求证：∠DME 是钝角。
重内垂外A 卷
(1)
(5)
(2)
I
(3)
C B
A (4)
D C B A (6)M O H D
C B
A (7)(9)
F E
D C B
A (10)D (8)
H G
F E C B A
一、填空题
1、外；内；重；垂；
2、110(提示：试证∠BOC ＝90o＋
12
∠A)
3、2(提示：连结外切正三角形与圆的3个切点得内接正三角形，再证圆的所有内接正三角形全等)
4、1(提示：此三角形是直角三角形，用切线长定理或面积法可得；面积公式12S pr
=，
p 为三角形周长，r 为内切圆半径)
5、180；(提示：将∠BHC 转化成它的对顶角) 二、解答题
6、证明：如图，过O 点作OE ⊥AB 于E 点，连结OB ， ∵OE ⊥AB 于E ，∴AE ＝EB 。
∵OE ＝OE ，OA=OB ，∴△OAE ≌△OBE ，
∴∠1＝12∠AOB
∵∠C ＝
12
∠AOB(同弧所对的圆周角是圆心角的一半)
∴∠1＝∠C
∵AD ⊥BD 于D ，∴∠C+∠DAC=90o ∵∠1+∠BAO=90o∴∠BAO=∠DAC
7、已知：如图，△ABC 中，中线AD 与中线BE 交于点M ，连结CM 并延长交AB 于F ；求证：AF ＝FB ，AM ＝
23
AD
证明：延长MD 到G ，使DG ＝MD ，连结BG 、CG ， ∵BD ＝DC ，MD ＝DG ，∴四边形BMCG 是平行四边形。 ∴BM ∥GC 即ME ∥GC ∵AE ＝EC ∴AM ＝MC ＝
23
AD
∵CM ∥BG 即MF ∥BG ∴AF ＝FB
8、证明：如图，设AB 切⊙O 于E ，AC 切⊙O 于F ，连结OE 、OF 、OT ∵⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为T 、E 、F ， ∴BT ＝BE 、AE ＝AF 、CF ＝CT ∴BT ＝12
(BC ＋BA －AC)
CT ＝
12 (CA ＋CB －AB)
∴1[()][()]4
B T
C T B C B A A C B C B A C A ?=
+---
＝221
[()]4
B C B A A C --＝2221
[(2)]4
B C A B A C A B A C -+-?
∵222
BC AB AC =+，∴12
A B C
B T
C T A B A C S ??=
?=
9、证明：如图，连结BD 、ID 、CD 、AI ∵D 为△BIC 的外心，
∴DB ＝DI ＝DC ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4。 ∵I 为△ABC 的内心， ∴∠1＋∠2＝180o－
12
(∠ABC ＋∠ACB)
1
O E D
C
B
A G
M F E D
C
B
A
F
T E O
C
B
A
4
32
1D
I
C
B
A
＝180o－(90o－
12
∠A)＝90o＋
12
∠BAC
∴∠BDC ＝360o－2(∠1＋∠2)＝360o－180o－∠BAC ＝180o－∠BAC ∴∠BAC ＋∠BDC ＝180o ∴A 、B 、C 、D 四点共圆。
10、证明：如图，设△ABC 的内切圆和AC 、AB 的切点分别为E 、F ，△ABD 的内切圆和AD 的切点为K 。
∴2AK ＝AB ＋AD －BD
又∵AB －BD ＝AB －BF ＝AF
∴2AK ＝AD ＋AF
同理，若△ACD 的内切圆和AD 的切点为'K ，则
2'AK AD AE =+ ∵AF ＝AE ∴'AK AK =
∴△ACD 、△ABD 的内切圆相切。 11、证明：如图，连结BE
∵BF ⊥AC 于F ，∴∠1＋∠C ＝90o ∵AE ⊥BC 于D ，∴∠2＋∠E ＝90o。 ∵∠C ＝∠E(同弧所对圆周角相等)
∴∠1＝∠2
∵∠HDB ＝∠EDB ＝90o，BD ＝BD ，∴△BDH ≌△BDE ，∴HD ＝DE 12、证明：如图，连结DC 、AD 。 ∵BD 为⊙O 的直径，∴DC ⊥BC 。 ∵OM ⊥BC 于M ，BO ＝OD
∴OM ∥DC 且OM ＝
12
DC
∵△AH ⊥BC ，∴AH ∥DC ∵CH ⊥AB ，DA ⊥AB ∴CH ∥AD
∴四边形AHCD 为平行四边形。 ∴AH ＝DC ∴AH ＝2OM
13、证明：如图，连结OA 、AH 过O 点作OM ⊥BC 于D 交⊙O 于M ，连结MH 。
∵∠BAC ＝60o∴ BC
是⊙O 周长的1
3 易证OD ＝DM
又∵AH ＝2OD(上题已证) ∴AH ＝OM
∵AH ⊥BC ，OM ⊥BC
∴AH ∥OM ， BM
M C = ∴四边形AOMH 为平行四边形。
∵AO ＝OM ，∴四边形AOMH 为菱形，∴AM ⊥PQ ∵∠PAM ＝∠CAM ＝30o ∴△PAQ 为等边三角形。
14、证明：如图，连结DG 、DE 、DF 、EF
∵CF ⊥AB 于F ，AD ⊥BC 于D ，∴∠BFC ＋∠BDH ＝180o∴B 、F 、H 、D 四点共圆。
∴∠2＝∠3
同理可证A 、E 、D 、B 四点共圆，∴∠1＝∠3∴∠1＝∠2
'K F E
D K C B A
21H
F E
D
C B A
O M H
H D
C
B A M
O P Q
H D C
B
A 5
G
4
3
21
H
F
E
D
C
B A
同理可证∠4＝∠5(注：∠4为∠EFC ，∠5为∠CFD) ∴∠HDG ＝∠1＋∠EDG ＝∠2＋∠4＝∠2＋∠5 ∵∠DHG ＝∠2＋∠5，∴∠HDG ＝∠DHG ∴HG ＝GD ∵∠HDC ＝90o∴∠GDC ＝∠GCD ∴GC ＝GD ∴HG ＝GC
15、证明：如图，连结OC ∵OD ⊥BC 于D ∴易证∠BOD ＝12
∠BOC
∵∠A ＝
12
∠BOC ∴∠A ＝∠BOD
2)如图，在 BM
C 在任取一点P ，连结BP 、CP ；仿1)可得∠BO
D ＝∠P ∵∠P ＋∠A ＝180o∴∠BOD ＋∠A ＝180o
16、证明：如图(9)，作△ABC 的外接圆，令∠A 的平分线和圆周的交点为D ，若由C 作AD 的垂线和圆周交于E ，和AD 交于F ，
∴∠AFC ＝90o，
∴易证
AE D C +＝半圆周。
∵AD 为∠BAC 的平分线，∠B ＝
12
∠BAC
∴ BD
DC AC == ∴
AE AC +＝半圆周 ∴EC 是外接圆的直径，即CE 过△ABC 的外心。
17、证明：如图，连结BI 、CI 。 ∵BI 平分∠ABC ，DE ∥BC ∴∠1＝∠2＝∠3，∴DB ＝DI 同理EC ＝IE ∴DE ＝BD ＋EC
设AM 和DE 的交点为N ，则N 是DE 的中点(易证)。设过N 作与DB 、EC 平行的两直线和BC 的交点分别为F 、G 则NF ＝DB ，NG ＝EC ，
∴NF ＋NG ＝BD ＋EC ＝DE 易证NF ＋NG>2NM ∴DE>2MN
又∵N 是DE 的中点∴∠DME 是钝角。
(9)
F
E
D C
B A
O
D
C
B
A
P
M
O
D
C
B
A
32
1
G I N M F E D C B A
N M F E G C
B
A
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 [ OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂 足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理⊥，⊥ ?O 为ABC ?的垂心 : （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b c 、 分别为 方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ ∴ c b a bc ++= （b c +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a B C D
全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线
三角形四心竞赛训练题1 一、填空题 1、三角形的三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的 心；三个角的平分线的交点叫做三角形的 心；三条中线的交点叫做三角形的 心；三条高线的交点叫做三角形的 心。 2、在△ABC 中，∠A=40o，为△ABC 的内心，则∠BOC ＝ 度。 3、圆的外切正三角形的边长是圆内接三角形的边长的 倍。 4、已知三角形三边长分别为3、4、5，则其内切圆半径为 。 5、设△ABC 的垂心为H ，则∠BHC ＋∠BAC= 度。 二、解答题 6、如图1，△ABC 中，AD 为BC 边的高线，点O 为△ABC 的外心，求 证：∠BAO=∠DAC 。 7、求证：三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于中线长的2 3。 8、如图2，Rt △ABC 的内切圆⊙O 和斜边BC 的切点为T ，求证： ABC BT TC S ??=。 9、如图3，已知△ABC 的内心为I ，△BCI 的外心为D ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。 10、如图4，已知△ABC 的内切圆和BC 相切于D ，求证：△ABD 、△ACD 的内 切圆相切。 11、如图5，设△ABC 的垂心为H ，并且直线AH 和外接圆及边BC 的交点分别为E 、D ，求证：HD=DE 。 12、如图6，△ABC 的垂心为H ，外心O 到边BC 的距离为OM ，求证：AH=2OM 。 13、如图7，△ABC 的垂心为H ，外心为O ，若∠A ＝60o；求证：三直线HO 、AB 、AC 所作成的△APQ 是正三角形。 14、如图8，△ABC 的垂心H ，若垂足三角形DEF 的外接圆和HC 的交点为G ，求证：HG=CG 。 15、设从△ABC 的外接圆的圆心O 向BC 边作垂线OD ，求证：∠BOD=∠A 或者∠BOD+∠A=180o 16、如图9，△ABC 中，∠A=2∠B ，由顶点C 作∠A 的平分线AD 的垂线CF ，垂足为F ，求证：CF 经过△ABC 的外心。 17、如图10，设过△ABC 的内心I 作BC 的平行线和AB 、AC 分别交于D 、E 、M 是BC 的中点，求证：∠DME 是钝角。 重内垂外A 卷 (1) (5) (2) I (3) C B A (4) D C B A (6)M O H D C B A (7)(9) F E D C B A (10)D (8) H G F E C B A
三角形的四心习题及解析 一、单选题 1. （ ）△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，G 为△ABC 的重心，则△GAB 面积：△GBC 面 积：△GAC 面积＝ (Ａ) 1：2：3(Ｂ) 1：3：2 (Ｃ) 2：1：3(Ｄ) 1：1：1。 答案：(Ｄ) 解析：∵G 为△ABC 的重心 ∴△GAB 面积：△GBC 面积：△GAC 面积＝1：1：1 2. （ ）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，两腰上的中线相交与G ，若∠BGC ＝90°，且BC ＝ 22，则BE 的长为多少？ (Ａ) 2 (Ｂ) 22(Ｃ) 3 (Ｄ) 4。 答案：(Ｃ) 解析：∵AB ＝AC ，且 G 为△ABC 的 重心 ∴BE ＝CD ∴BG ＝CG 又∵∠BGC ＝90°，BC ＝2 2 ∴BG ＝ 2 BC ＝ 2 22＝2 ∴BE ＝ BG 23 ＝2 3×2＝3 3. （ ）如图，等腰△ABC 中，?A B ＝?A C ＝13，?B D ＝?C D ＝5，O 为△ABC 的外心，则 ?O D ＝ ？ (Ａ) 24117(Ｂ)24119(Ｃ)24121(Ｄ)24 123 。 答案：(Ｂ) 解析：∵△ABC 为等腰三角形，∴?A D ⊥?B C ， AD ＝ 2 2513－＝12，连接 ?O B ，令 ?O D ＝x , 则?O B ＝?O A ＝?A D －?O D ＝12 －x
（12－x ）2＝x 2＋52 ? x ＝ 24 119 故选(Ｂ) 4. （ ）如图，D 、E 分別为?A B 、?A C 中点，?B E 、?C D 交于 F ，若斜线部分的面积为 7 ，则 △ACD 的面积为多少？ (Ａ) 21(Ｂ) 24(Ｃ) 28(Ｄ) 35。 答案：(Ａ) 解析：连接 ?B C ，则△BDF ＝ 61△ABC 而△ACD ＝2 1 △ABC △ACD ＝3×7＝21 平方公分 故选(Ａ) 5. （ ）直角三角形 ABC 中，∠A ＝90°，O 为外心，G 为重心，若?A C ＝6，?A B ＝8，则 ?O G ＝？ (Ａ) 32(Ｂ)34(Ｃ)35(Ｄ)3 7。 答案：(Ｃ) 解析：?B C ＝ 2286＋＝10 ?O C ＝?O A ＝5 ?O G ＝315?＝3 5 故选(Ｃ) 6. （ ）如图，△ABC 中，?A B ＝8，?A C ＝6，?B C ＝10，M 为 ?B C 中点，则 ?A M ＝？ (Ａ) 25(Ｂ)35(Ｃ)3 10 (Ｄ) 5。 答案：(Ｄ) 解析：△ABC 直角三角形 ∴M 为外心，?B M ＝?M C ＝?A M ＝ 2 10 ＝5 故选(Ｄ) 7. （ ）由尺规作图得知正三角形的外心、內心、重心均在同一点，请问正三角形外接圆 的面积是內接圆面积的几倍？ (Ａ) 2(Ｂ)3(Ｃ) 2 3 (Ｄ) 4。 答案：(Ｄ)
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D
三角形四心讲义(学生版) 【知识展示】 1、外心 三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。△ABC 的外心一般用字母O 表示，它具有如下性质： (1)外心到三顶点等距，即OA =OB =OC 。(2)AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。2、内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。△ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质： (1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 (2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D ，则D 与顶点B 、C 、内心I 等距(即D 为△BCI 的外心)。 (3)∠BIC =90o+ 21∠A ，∠CIA =90o+21∠B ，∠AIB =90o+2 1∠C 。3、垂心三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。△ABC 的垂心一般用字母H 表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，CH ⊥AB 。 (2)若H 在△ABC 内，且AH 、BH 、CH 分别与对边相交于D 、E 、F ，则A 、F 、H 、E ；B 、D 、H 、F ； C 、E 、H 、 D ；B 、C 、 E 、 F ；C 、A 、F 、D ；A 、B 、D 、E 共六组四点共圆。 (3)△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。 (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。 4、重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心。△ABC 的重心一般用字母G 表示，它有如下的性质： (1)顶点与重心G 的连线必平分对边。 (2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。 (3)ABC AGB CGA BGC S S S S ????===3 1。5、三角形各心间的联系 ①外心、垂心、内心之间具有变通性 如图，对于非直角三角形ABC ，三边垂直平分线交于一点O ，则O 是△ABC 的外心。由于D ，E ，F 是各边中点，我们称由三角形三边中点所组成的三角形 叫中位三角形，则△DEF 是△ABC 的中位三角形，因此，O 是中位三角形△DEF 的垂心，而△MNP 是△DEF 的垂足三角形，所以O 是△MNP 的内心。 ②垂心、外心，重心的共线性(欧拉线) 如图，H 是△ABC 的垂心，O 是△ABC 的外心，连OH 与中线AM 交于G 。由 △OGM ∽△HGA 得AH OM AG GM GH OG ==。作MF ∥CH 交BH 于F ，作FE ∥HA 交AB 于E ，连OE ，则E 是AB 的中点，四边形EFMO 是平行四边形，所以EF =OM 。 ∵EF = 21AH ，∴OM =21AH ，即2 1=AG GM ，G 是△ABC 的重心。因此，O ，G ，H 三点共线。
三角形四心竞赛讲义 一、“四心”分类讨论 (1) 1、外心 (1) 2、内心 (3) 3、垂心 (6) 4、重心 (8) 5、外心与内心 (11) 6、重心与内心 (11) 7、外心与垂心 (12) 8、外心与重心 (14) 9、垂心与内心 (14) 10、垂心、重心、外心 (15) 旁心 (16) 二、“四心”的联想 (17) 1、由内心、重心性质产生的联想 (17) 2、重心的巧用 (19) 3、三角形“四心”与一组面积公式 (21) 三角形各心间的联系 (26) 与三角形的心有关的几何命题的证明 (27) 三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。02、03、04、05连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。 一、“四心”分类讨论 1、外心 三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。△ABC的
外心一般用字母O 表示，它具有如下性质： (1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC 。 (2)∠A=AOB C AOC B BOC ∠=∠∠=∠∠2 1,21,21。 如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是 圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。下面我们举例说明。 例1证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心． 已知：△ABC 中，XX ′，YY ′，ZZ ′分别是BC ，AC ，AB 边的垂直平分线，求证：XX ′，YY ′，ZZ ′相交于一点(图3－111)． 分析先证XX ′，YY ′交于一点O ，再证O 点必在ZZ ′上即可． 证因为XX ′，YY ′分别是△ABC 的BC 边与AC 边的中垂线，所以XX ′，YY ′必相交于一点，设为O(否则，XX ′∥YY ′，那么∠C 必等于180°，这是不可能的)．因为OB=OC ，OC=OA ，所以OB=OA ，所以O 点必在AB 的垂直平分线ZZ ′上，所以XX ′，YY ′，ZZ ′相交于一点． 说明由于O 点与△ABC 的三个顶点A ，B ，C 距离相等，所以以O 点为圆心，以OA 长为半径作圆，此圆必过A ，B ，C 三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O 点称为三角形的外心． 例2、如图9-1所示，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与点A 、P 、Q 四点共 圆。 分析一、O 是外心，作△ABC 的外接圆⊙O ，并作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OP 、OQ 。易知OE=OF ，BE=AF ，从而Rt △OPF ≌Rt △OQE ，于是∠P=∠Q ，从而O 、A 、P 、Q 四点共圆。 图9-1F E A C O B Q P Y 'X 'Z ' 3-111 O Z Y X C B A
数学竞赛讲义第一节 一．高中数学竞赛介绍 一试 考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。 加试（二试） 考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。 二．答题策略 保证1试所有知识点都练习过的基础上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。 三．考试知识点 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数及周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。 ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列及组合，简单的组合恒等式。 一元n次方程（多项式）根的个数，根及系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。 3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。
G E F D C B A I C B A 第24讲 三角形的四心 几何是数学中的这样一部分，其中视觉思维占主导地位， 几何直觉是增强数学理解力的有效途径，而且他可以使人增加 勇气，提高修养。 ------阿蒂亚 知识纵横 重心、外心、内心、垂心统称为三角形的“四心”，由于三角形的四心处在特殊的位置上，因而它们是具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的基础。 （1）重心 三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。 如图，设G 是ABC ?的重心，则 ① ;2 1 ===GC GF GB GE GA GD ②.3 1 ABC ABG AGC BGC S S S S ????=== （2）外心 三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心。 如图，设O 是ABC ?的外心，则 ①;OC OB OA == ②,2,2ABC AOC BAC BOC ∠=∠∠=∠ .2ACB AOB ∠=∠ （2）内心
O C B A H F E D C B A O E D C B A 三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心。 如图，设O 是ABC ?的内心，则 ①I 到三角形各边距离相等； ②,21 90,2190B CIA A BIC O O ∠+=∠∠+ =∠ . 2 1 90C AIB O ∠+=∠ （3）垂心 三角形三边的高所在直线的交点叫三角形的垂心。 如图，设H 是ABC ?的垂心，则 ①;,,AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥ ②;;;F E C B D H E C F H D B E H F A 、、、；、、、、、、、、、 E D B A D F A C 、、、、、、;共六组四点共圆。 例题求解 【例1】如图，ABC ?中，c AB b AC a BC ===,,．若BC AC 、上的中线 （第19届江苏省竞赛题） 思路点拨 设，y OE x OD ==,则由重心性质有；y BO x AO 2,2==建立y x 、的方程组。 【例2】已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，111C B A 、、分别是点I 关于边AB CA BC 、、的
第十九讲三角形的四心 【趣题引路】 你知道欧拉线吗?欧拉线是欧拉发现的.欧拉(1707-1783),瑞士数学家,?变分法的奠基人,复变函数论的先驱者,理论流体力学的创始人,受学于贝努利家族.著作浩如烟海.几乎每一个数学分支都可见到他的名字.如多面体的欧拉定理,?空间解析几何的欧拉变换公式,四方方程的欧拉解法,数论中的欧拉函数,?微分方程中的欧拉方程,等等.他在数论和微分方程等方面有重大成就,?在天文学和物理学等方面也有很大贡献,对航海和弹道研究起了一定作用 . 初等几何中的欧拉线.欧拉线定理的内容是:三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍,且三角形的外心、重心、垂心共线.你会证明这个定理吗? 证明 (1)连BO交圆于E,则BE是直径, 如图1,BO=OE,做OD⊥BC?于点D,?则BD=DC. ∴OD//1 2 EC.∵BE是直径. ∴CE⊥BC,EA⊥AB.∴CE∥AH.AE∥CH,AHCE是平行四边形. ∴AH//EC,∴AH=2OD; （1）（2） (2)△ABC中,AE为高,H为垂心,O为外心如图2. OD⊥BC于点D,连AD交HO于G′. ∵AH//2OD,∴△AHG′∽△DOG′. ∴AG′=2G′D. 又∵AD是中线, ∴G′与△ABC重心重合. ∴三角形的外心,重心,?垂心三点共线. 即H、G′、O共线.
【知识延伸】 三角形的四心,指的是外心、内心、重心、垂心.?由于三角形的四心处在特殊的位置上,因而它们具有独特的性质.这些是解与四心相关问题的基础. 外心是三角形外接圆的圆心,它是三角形各边中垂线的交点.若O 为锐角△ABC?的外心,则有(1):∠BOC=2∠BAC,或∠BOC=360°-2∠A;(2)OA=OB=OC. 内心是三角形三条内角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心.如I 是△ABC?的内心.则有: (1)∠BIC=90°+ 1 2 ∠A; (2)内切圆半径与半周长的积为三角形面积; (3)?内心I 到△ABC 的三边距离相等; (4)若延长AI 交△ABC 的外接圆于点E,则EI=EB=EC. (5)?在Rt △ABC 中,斜边为c,内切圆半径为r,两直角边分别为a 、b,则r=1 2 (a+b+c). 重心是三角形三条中线的交点,设G 是△ABC 的重心,则有: (1)重心G?分每条中线为2:1; (2)S △BCG =S △CAG =S △ABC ; (3)若AD 是△ABC 的BC 边上的中线,?则有AD 2= 1 2 (AB 2+AC 2- BC 2).这就是中线长公式.(称斯台沃特定理). 垂心是三角形三条高所在直线的交点,?常利用它构造相似三角形及判定四点共圆. 例1 已知G 、L 、H 分别是△ABC 的重心,内心,垂心,且AB>AC,则关系式: 甲: S △AGB > S △AGC ;乙: S △ALB > S △ALC ; 丙: S △ABC = S △AHC + S △BHC + S △AHC . 其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析 如图3,若G 为△ABC 的重心.由重心的性质知, S △AGB = S △AGC . (3) (4) 如图4 ,若L 为△ABC 的内心,设三角形内切圆半径为r, 则S △ALC = 12AB ·r. S △ALC =1 2 AC ·r.
三角形“四心”概念及性质 （学生填表时，教师巡视，看到有的学生不会填“四心”位置，启发他们多画几个不同形状的三角形试试，让学生会从特殊到一般的思想方法。） 师：三角形的重心有什么性质？ 生甲：分中线为1:2。 生乙：分中线为3:1。
师：应当把重心看成中线的内分点，即顶点到重心与重心到对边中点的距离之比是2:1。三角形的垂心性质，课本上没有明确提出过，不必填上。但如果题中有两条以上的高线，就应想到“四点共圆”。如图1，H是垂心，有几组四点共圆？（学生回答略。） 师：外心与内心各有什么性质？（学生回答略。） [通过上述问题的讨论，让学生从对比中认识点到点的距离与点直线距离的区别，从而更好地理解概念，加深印象。] （教师在黑板上画一个直角三角形，一个钝角三角形，让学生上黑板作垂心，然后归纳总结。） 师：锐角三角形的垂心必在形内，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点。 [通过实际画图，强化垂心可能在形外的情况，练一遍胜过背几遍。] 师：至于外心，请同学们课后用同样的方法画几个不同形状的三角形来验证结论的正确性。 上面，我们归纳了“四心”中每个“心”与三角形的相对位置关系。下面，我们再考虑“四心”在同一三角形中的位置有什么关系？先考虑在等腰三角形中“四心”的位置关系。 生：都在同一条直线上。 师：在哪一条直线上？ 生：在底边上的中线或底边上的高或顶角的平分线上。 师：对！三线合一，“四心”在三角形的对称轴上。 师：等边三角形的“四心”位置又有什么关系呢？ 生：都重合成一个点了。
师：这“四心”共点，这个点叫什么名称？ 生：“中心”， 师：等边三角形叫做正三角形。正三角形的重心、内心、垂心、外心重合成一个点，就是正三角形的“中心”。“中心”是正多边形所特有的，不是正多边形就没有中心。因此三角形中只有等边三角形才有中心，其他三角形都没有中心。 [把课本中学过的几个“心”都串起来了，揭示出其内在的联系，让学生能够系统地掌握知识。] 二、练习 师：我们先做下面的练习：已知三角形的三边长分别为5、12、13，那么垂心到外心的距离是多少？ 生：6.5。 师：怎么得到的？ 生：如图2，因为已知三角形是直角三角形，外心是斜边的中点，垂心是直角顶点，所以，此两“心”距离是斜边中点到顶点的距离，利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，便可得出已知三角形的垂心到外心的距离为 。 师：为什么已知三角形是直角三角形呢？ 生甲：根据勾股定理得出。 师：对不对？ （生甲一时回答不出。）
学科: 奥数 教学内容：三角形的四心 【内容综述】 三角形的四心，指的是三角形的垂心。重心、内心、外心，它们的性质在几何证明与计算中具有重要的作用。 （1）三角形的垂心是指三条高线的交点。垂心常用字母H来表示。 （2）三角形的垂心是指三条中线的交点。重心常用字母G来表示。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍。 （3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点。内心常用字母I来表示。内心到三边的距离相等。 （4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示。外心到三角形三个顶点的距离相等。 【例题分析】 ★★★例1 已知G为△ABC的重心，不过三角形顶点的直线L过G点，从A、B、C三点向直线L引垂线AO， BE，CF，O，E，F为垂足。 求证：AO=BE+CF。 思路直接证AO=BE+CF比较困难。可考虑连AG延长交BC于D，过D 作于H，则可知DH为梯形BCFE的中位线，问题即可得证。 证明如图3-15-1所示，连AG并延长交BC于D。 ∵G是重心，BD=DC。 过D 点作于H， 又 ∴DH为梯形BCFE的中位线， 又∵△AOG∽△DHG, 即 因此，AO=BE+CF。
★★★例2 如图3-15-2， I 为△ABC的内心，且I，D，C，E在同一圆周上，若DE=1，试求ID和IE之长。 思路分析由I，D，C，E四点共圆可知，又由Ｉ为△ABC的 内心知故可求得这时问题即可解决。 解∵I， D， C， E共圆， 又∵I为△ABC的内心。 从而知 连CI则∵I, D, C, E 共圆。 因而ID=IE。 在△DIE中， 即由余弦定理解得 ★★★例3 已知△ABC的重心G和内心O的连线GO//BC，求证AB+CA=2BC。
三角形四心 1、三角形外心： 三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。 三角形的三条垂直平分线必交于一点 已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O 求证：O点在BC的垂直平分线上 证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO ∵EO垂直平分AC，∴AO=CO ∴BO=CO 即O点在BC的垂直平分线上 三角形的外心的性质： 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 =OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA △ABC=abc/4R 2、三角形的内心： 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形三条角平分线必交于一点 证明 己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC 求证：OC平分∠ACB 证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F ∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF ∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB 性质： 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r =2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． +∠B/2 +∠C/2 ∠AOC = 90 ° +∠A/2 ∠BOA = 90 ° 5.∠BOC = 90 ° △=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 3、三角形的垂心： 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 三角形的三条高必交于一点 已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁， ∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等） ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =90° ∴△AEO∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90°∴∠ACF+∠BAC=90°∴CF⊥AB 三角形的垂心的性质：
三角形“四心”定义与性质 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心 定义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。?ABC 的重心一般用字母O 表示。 性质： 1.外心到三顶点等距，即OA =OB =OC 。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边，即OD ⊥BC, OE ⊥AC, OF ⊥AB . 3. ∠A = 1 ∠BOC, ∠B = 2 1 ∠AOC, ∠C = 2 1 ∠AOB 。 2 二、三角形的内心 定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。?ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质： 性质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 1 2.三角形的面积＝?三角形的周长?内切圆的半径． 2 3.AE =AF ,BF =BD, C D =CE ； AE +BF +CD =三角形的周长的一半。 4. ∠BIC = 90 +1 ∠A, ∠CIA = 90 + 1 ∠B ，∠AIB = 90 + 1 ∠C 。 2 2 2 三、三角形的垂心 定义：三角形三条高的交点叫重心。?ABC 的重心一般用字母H 表示。性质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AH ⊥BC, BH ⊥AC, CH ⊥AB 。 2.△ABH 的垂心为C ，△ BHC 的 垂心为A ，△ ACH 的垂心为B 。
+ = + = + 四、三角形的“重心”： 定 义：三角形三条中线的交点叫重心。 ?ABC 的重心一般用字母G 表示。 性 质： 1. 顶点与重心G 的连线必平分对边。 2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2 倍。即GA = 2GD , GB = 2GE , GC = 2GF 3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即 x G = x A + x B + x C , y 3 G = y A + y B + y C . 3 4. 向量性质：（1） GA + GB + GC = 0 ； 1 （2） = (PA + PB + PC ) ，5. 3 S ?BGC = S ?CGA = S ?AGB = 1 S 3 ?ABC 。 五、三角形“四心”的向量形式： 结论1：若点O 为?ABC 所在的平面内一点，满足? O = ? O = ? O ， 则点O 为?ABC 的垂心。 2 2 2 2 2 2 结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足OA BC OB CA OC AB ， 则点O 为?ABC 的垂心。 结论3：若点G 满足GA + GB + GC = 0 ，则点G 为?ABC 的重心。 1 结论4：若点G 为?ABC 所在的平面内一点，满足= 则点G 为?ABC 的重心。 (OA + OB + OC ) ， 3 结论5：若点 I 为?ABC 所在的平面内一点，并且满足 a ? IA + b ? IB + c ? IC = 0 （其中 a , b , c 为三角形的三边），则点 I 为△ABC 的内心。 结论6：若点O 为?ABC 所在的平面内一点，满足 (OA + OB ) ? BA = (OB + OC ) ? CB = (OC + OA ) ? AC ，则点O 为?ABC 的外心。 结论 7：设∈ (0,+∞) ，则向量 AP = (| AB | + AC | AC | ) ，则动点 P 的轨迹过?ABC 的内心。
2020年初中数学竞赛讲义：三角形 的五心 一、重心 (1) 二、垂心 (2) 三、内心 (4) 四、外心 (7) 五、旁心 (9) 第1 页共10 页
第 1 页 共 10 页 一、 重心 1. （2007年全国初中数学联赛1试）设K 是ABC △内任意一点，KAB △、 KBC △、KCA △的重心分别为D 、E 、F ，则:DEF ABC S S △△的值为（ ） A ．19 B ． 29 C ． 49 D ． 23 【难度】 ★★ 【解析】 A ， 分别延长KD 、KE 、KF ，与ABC △的三边A B 、B C 、CA 交于点M 、N 、P ，由于 D 、 E 、 F 分别为KAB △、KBC △、KCA △的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以1 4 MNP ABC S S =△△． 易证DEF △∽MNP △，且相似比为2:3， 所以22()3DEF MNP S S =△△4194ABC S =?△1 9 ABC S =△． 所以:DEF S △1 9 ABC S = △．故选A ． 2. （1998年全国初中数学联赛2试）已知P 为平行四边形ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证： ⑴P ，Q ，O 三点在一条直线上； ⑵2PQ OQ =． 【难度】 ★★★ 【解析】 证明：如图，连接PO ，设PO 与AN DM ，分别交于点Q '，Q ''． 在PAC △中，∵AO OC PN NC ==，， ∴Q '为重心，2PQ OQ ''''=． 这样Q Q '''=，并且Q Q '''， 就是AN DM ，的交点Q ． 故P Q O ，，在一条直线上，且2PQ OQ =． 3. （1992年全国初中数学联赛1试）若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰 上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于__________． N M Q P O D C B A Q''Q'N M Q P O D C B A
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故C tan B tan A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是心ABC ?的充要条件是 | CB || CA || BC || BA |AC | AB |=- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?心的充要条件可以写成：0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的心(是BAC ∠的角平分线 所在直线)； 二． 例 (一) ．将平面向量与三角形心结合考查 例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+ +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ）
三角形的四心 三角形的四心，指的是三角形的垂心。重心、内心、外心，它们的性质在几何证明与计算中具有重要的作用。 （1）三角形的垂心是指三条高线的交点。垂心常用字母H来表示。 （2）三角形的垂心是指三条中线的交点。重心常用字母G来表示。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍。 （3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点。内心常用字母I来表示。内心到三边的距离相等。 （4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示。外心到三角形三个顶点的距离相等。 例1已知G为△ABC的重心，不过三角形顶点的直线L过G点，从A、B、C三点向直线L引垂线AO， BE，CF，O，E，F为垂足。 求证：AO=BE+CF。 思路直接证AO=BE+CF比较困难。可考虑连AG延长交BC于D，过D作 于H，则可知DH为梯形BCFE的中位线，问题即可得证。 证明如图3-15-1所示，连AG并延长交BC于D。 ∵G是重心，BD=DC。 过D点作于H， 又 ∴DH为梯形BCFE的中位线， 又∵△AOG∽△DHG, 即 因此，AO=BE+CF。 例2如图3-15-2， I 为△ABC的内心，且I，D，C，E在同一圆周上，若DE=1，试求ID和IE之长。 思路分析由I，D，C，E四点共圆可知，又由Ｉ为△ABC 的内心知故可求得这时问题即可解决。
解∵I， D， C， E共圆， 又∵I为△ABC的内心。 从而知 连CI则∵I, D, C, E 共圆。 因而ID=IE。 在△DIE中， 即由余弦定理解得 例3已知△ABC的重心G和内心O的连线GO//BC，求证AB+CA=2BC。 思路1 由于题设中有内心O的条件，所以可考虑利用三角形内角平分线定理证之。 证明1 如图3-15-3，连AG， AO并延长交BC于M，T，连CO，则AG为中线，AO 和CO分别为的平分线。 又∵CO是∠ACB的平分线， 得CA=2CT。 同理可证AB=2BT。 ∴AB+CA=2（BT+CT）=2BC。 思路2 也可以考虑利用面积公式证明。 证明2 如图3-15-4所示，作中线AM和高AH，则AM过G，又过G作 于D。 ∵GO//BC，∴GD等于△ABC的内切圆半径r, 于是从而
高中数学竞赛讲义（七） ──解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各 边长，为半周长。 1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。 推论1：△ABC的面积为S△ABC= 推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由 正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C= -A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin( -a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于 cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。 2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=（1） 【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，
所以c2=AD2+p2-2AD·pcos① 同理b2=AD2+q2-2AD·qcos，② 因为ADB+ADC=， 所以cos ADB+cos ADC=0， 所以q×①+p×②得 qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2= 注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式 （2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 所以S△ABC= 二、方法与例题 1．面积法。 例 1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足 ，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是 【证明】P，Q，R共线 (α+β)=uwsinα+vwsinβ ，得证。 2．正弦定理的应用。 例2 如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。 求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。