三角形四心竞赛讲义
一、“四心”分类讨论 (1)
1、外心 (1)
2、内心 (3)
3、垂心 (6)
4、重心 (8)
5、外心与内心 (11)
6、重心与内心 (11)
7、外心与垂心 (12)
8、外心与重心 (14)
9、垂心与内心 (14)
10、垂心、重心、外心 (15)
旁心 (16)
二、“四心”的联想 (17)
1、由内心、重心性质产生的联想 (17)
2、重心的巧用 (19)
3、三角形“四心”与一组面积公式 (21)
三角形各心间的联系 (26)
与三角形的心有关的几何命题的证明 (27)
三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。02、03、04、05连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。
一、“四心”分类讨论
1、外心
三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。△ABC的
外心一般用字母O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC 。
(2)∠A=AOB C AOC B BOC ∠=∠∠=∠∠2
1,21,21。 如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是
圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。下面我们举例说明。
例1证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心． 已知：△ABC 中，XX ′，YY ′，ZZ ′分别是BC ，AC ，AB 边的垂直平分线，求证：XX ′，YY ′，ZZ ′相交于一点(图3－111)．
分析先证XX ′，YY ′交于一点O ，再证O 点必在ZZ ′上即可．
证因为XX ′，YY ′分别是△ABC 的BC 边与AC 边的中垂线，所以XX ′，YY ′必相交于一点，设为O(否则，XX ′∥YY ′，那么∠C 必等于180°，这是不可能的)．因为OB=OC ，OC=OA ，所以OB=OA ，所以O 点必在AB 的垂直平分线ZZ ′上，所以XX ′，YY ′，ZZ ′相交于一点．
说明由于O 点与△ABC 的三个顶点A ，B ，C 距离相等，所以以O 点为圆心，以OA 长为半径作圆，此圆必过A ，B ，C 三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O 点称为三角形的外心．
例2、如图9-1所示，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与点A 、P 、Q 四点共
圆。
分析一、O 是外心，作△ABC 的外接圆⊙O ，并作OE
⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OP 、OQ 。易知OE=OF ，BE=AF ，从而Rt △OPF ≌Rt △OQE ，于是∠P=∠Q ，从而O 、A 、P 、Q 四点共圆。
图9-1F E A C O B Q P Y 'X 'Z ' 3-111
O Z Y X C B A
分析二、延长BA 至G ，使AG=AP ，连接OP 、OA 、OG 、OQ ，并作OE ⊥AB 于E(图略)。利用△PAO ≌△PGO 和△QEO ≌△GEO 也可证得结论。
例3、如图9-2所示，在△ABC 的大边AB 上取AN=AC ，BM=BC ，点P 为△ABC 的内心，求证：∠MPN=∠A+∠B 。
分析、连接PA 、PB 、PC 及PM 、PN 。由已知易证△APC ≌△APN ，△BPC ≌△BPM 。从而△PC=PN ，PC=PM ，即PM=PN=PC 。故P 为△CMN 的外心，此时
有∠MPN=2∠MCN 。
而∠CAN=90o－21∠A ，∠BCM=90o－2
1∠B ， 故∠ACN+∠BCM=180o－21(∠A+∠B)，即 ∠MCN+∠ACB=180o－2
1(∠A+∠B)， 则∠MCN=(180o－∠ACB)－21(∠A+∠B) = 2
1(∠A+∠B)。 故∠MPN=2∠MCN=∠A+∠B 。
例4、AB 为半圆O 的直径，其弦AF 、BE 相交于Q ，过E 、F 分别作半圆的切线得交点P ，求证：PQ ⊥AB 。 分析、延长EP 到K ，使PK=PE ，连KF 、AE 、EF 、BF ，直线PQ 交AB 于H(图9-3)。
因∠EQF=∠AQB=(90o－∠1)+(90o+∠2)=∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP ，又由PK=PE=PF 知∠K=∠PFK ，故∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK=180o，从而E 、Q 、F 、K 四点共圆。由PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然PQ=PE=PF 。于是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ABF=90o。由此知QH ⊥AH ，即PQ ⊥AB 。
2、内心
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。△ABC
的内图9-2图9-312F P K H
Q
E B
A