三角形的四心习题及解析
一、单选题
1. （ ）△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，G 为△ABC 的重心，则△GAB 面积：△GBC 面
积：△GAC 面积＝ (Ａ) 1：2：3(Ｂ) 1：3：2 (Ｃ) 2：1：3(Ｄ) 1：1：1。
答案：(Ｄ)
G 为△ABC 的重心 ∴△GAB 面积：△GBC 面积：△GAC 面积＝1：1：1
2. （ ）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，两腰上的中线相交与G ，若∠BGC ＝90°，且BC ＝
2
2，则BE 的长为多少？ (Ａ) 2 (Ｂ) 22(Ｃ) 3 (Ｄ) 4。
答案：(Ｃ)
AB ＝AC ，且G 为△ABC 的重心 ∴BE ＝CD ∴BG ＝CG 又∵∠BGC ＝90°，BC ＝2
2
∴BG ＝
2
BC ＝
2
22＝2 ∴BE ＝
BG 23
＝2
3×2＝3
3. （ ）如图，等腰△ABC 中，AB
＝AC ＝13，BD ＝CD ＝5，O 为△ABC 的外心，则 OD ＝？ (Ａ)
24117(Ｂ)24119(Ｃ)24121(Ｄ)24
123
。
答案：(Ｂ)
ABC 为等腰三角形，∴AD
⊥BC ， AD ＝2
2513－＝12，连接OB
，令OD ＝x , 则OB ＝OA ＝AD －OD ＝12－x （12－x ）2＝x 2＋52 x ＝
24
119
故选(Ｂ)
4. （ ）如图，D 、E 分別为AB
、AC 中点，BE 、CD 交于 F ，若斜线部分的面积为 7 ，则△ACD 的面积为多少？ (Ａ) 21(Ｂ) 24(Ｃ) 28(Ｄ) 35。
答案：(Ａ)
连接BC
，则△BDF ＝61△ABC 而△ACD ＝2
1
△ABC △ACD ＝3×7＝21平方公分 故选(Ａ) 5. （ ）直角三角形 ABC 中，∠A ＝90°，O 为外心，G 为重心，若AC
＝6，AB ＝8，则 OG
＝？ (Ａ)32(Ｂ)34(Ｃ)35(Ｄ)3
7。
答案：(Ｃ)
BC
＝2
286＋＝10 OC
＝OA ＝5 OG ＝315 ＝3
5
故选(Ｃ)
6. （ ）如图，△ABC 中，AB
＝8，AC ＝6，BC ＝10，M 为 BC 中点，则 AM ＝？ (Ａ)
25(Ｂ)35(Ｃ)3
10
(Ｄ) 5。
答案：(Ｄ)
ABC 直角三角形 ∴M 为外心，BM
＝MC ＝AM ＝2
10
＝5 故选(Ｄ)
7. （ ）由尺规作图得知正三角形的外心、內心、重心均在同一点，请问正三角形外接圆
的面积是內接圆面积的几倍？ (Ａ) 2(Ｂ)3(Ｃ)
2
3
(Ｄ) 4。 答案：(Ｄ)
O 点 ?π
π
2
2
OD OA ＝122＝4 故选(Ｄ)
8. （ ）如图，△ABC 中，G 为重心，在上取一点 G'，使得GD
＝G'D ＝4，若 CG ＝6，BG
＝10，則△ABC 的面积为何？ (Ａ) 24(Ｂ) 36(Ｃ) 48(Ｄ) 72。
答案：(Ｄ)
GG'B ＝2
1
86?
?＝24 △ABC ＝24×3＝72 故选(Ｄ) 9. （ ）如图，G 为為△ABC 的重心，現分別从 A 及 G 作垂线交 BC
于於 A'及 G'，则 AA'：GG'
＝？ (Ａ) 2：1(Ｂ) 3：1(Ｃ) 4：1(Ｄ)2
3
：1。
答案：(Ｂ)
BGC ＝
3
1
△ABC ∴GG'
：AA'＝3：1 故选(Ｂ)
二：填空题
1. 如图，G 是直角△ABC 的重心，∠ABC ＝90°，且AB ＝12，BC ＝8，则△ABG 的面积为
【 】。
答案：16
ABC 面积＝
21×8×12＝48 ∵G 为△ABC 之重心 ∴△ABG 面积＝31△ABC 面积＝3
1
×48＝16 2. G 为正△ABC 的重心，AD 为BC 之中线，BG ＝16，则：
(１)AC ＝【 】。(２)△CDG 面积＝【 】。
答案：(１)163；(２)323
(１)∵G 为正△ABC 的重心，BG ＝16 ∴BE ＝
2
3
×16＝24＝
23
×AC ∴AC ＝24×3
2×33＝163 (２)△CDG 面积＝
61△ABC 面积＝61×〔4
3×（163）2
〕＝61×43×768＝323
3. 有一正三角形其內切圆的面积为 5π，則其外接圆的面积＝【 】。
答案：20π
共点可推得外接圆面积＝內切圆面积＝4：1 外接圆面积＝5×4＝20π
4. 如图，G 为重心，在上取一点 G'，使得 GD ＝G'D ＝2，且 CG ＝3，BG ＝5，则 △GG'B 是直角三角形吗？答：【 】。
答案：是
GD ＝GD'，BD ＝DC ∴四边形BGCG'为平行四邊形 故BG'
＝CG ＝3 又BG
＝5，GG'＝2×2＝4 △GG'B 边长为3、4、5，故为直角三角形 5. 正△ABC 的边长为 10，在△ABC 內找一点 P 至三顶点等距离，則 AP ＝【 】。 答案：
3
103
和重心同一点 ∴AP
＝32×高，又AB ＝10 ∴高＝10×23＝53 故AP
＝32×53＝3
10
3
6. 如图，△PQR 中，∠Q ＝90°，又∠QPR ＝45°，已知 G 为△PQR 的重心，若 OG ＝a ，则 △PQR 的周长＝【 】。（以 a 表示）
答案：a 26a 6＋
OG
＝a ，则QO ＝PO ＝OR ＝3a ， PR ＝6a PQ ＝QR ＝2
a 6＝a 23
则△PQR 周长＝a 6a 23a 23
＋＋＝a 26a 6＋
7. 如图，AB ＝BC ，CD ＝DE ，若△ABF 的面积为 18 ，则△BCE 的面积为【 】。
答案：54
连接AE ∵AB ＝BC ，CD ＝DE ∴F 为△AEC 的重心 ∴△BCE 面积＝3△ABF 面积＝3×18＝54
8. 如图，△ABC 中，D 、E 、F 为各边中点，∠A ＝30°，AB ＝8，AC ＝6，则阴影部分面积
为【 】。
答案：4
BH ＝
AB 21
＝21×8＝4 ∴△ABC 面积＝21×6×4＝12 ∴斜线部分面积＝31△ABC 面积＝3
1×12＝4
三、计算题
1.如图，△ABC 为正三角形，G 为重心，若AG ＝20，请问：
(１)AB ＝？
(２)△ABC 面积为多少？
答案：(１)∵AD ＝
AG 23
∴AD ＝23×20＝30 ∵△ABC 为正三角形 ∴AD ＝
AB 2
3 ∴30＝
23×AB ，AB ＝32×30＝360×3
3＝203 (２)正△ABC 面积＝
43×AB 2＝43×（203）2＝4
3
×1200＝3003
答：(１)203；(２)3003
1. 如图，△ABC 中，AB
＝5，BC ＝12，AC ＝13，且 G 为重心，O 为外心，试求 GO 。
答案：∵AB
2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2 ∴△ABC 为直角三角形，且 AC 为斜边 又 O 为外心 ∴外接圆半径 OB ＝21AC ＝21．13＝2
13
又 G 为重心 ∴GO
＝31OB ＝31．213＝6
13 2. 如图，△ABC 中，G 为重心，若 GA
＝5，GB ＝12，GC ＝13，试求△ABC 的面积。
【
答案：延长至 G'，使得 GD
＝G'D ， 故GG'＝GA ＝5 △GDC 与△G'DB ， BD ＝CD ，GD ＝G'D ，∠GDC ＝∠G'DB ∴△GDC △G'DB （SAS ）， 故 BG'＝GC ＝13 ∵GG'2＋BG 2＝52＋122＝132＝BG'2 ∴△BGG'为直角三角形 △BGG'＝2
1
．12．5＝30 △BGD ＝
21．△BGG'＝2
1
．30＝15 △ABC ＝6．△BGD ＝6．15＝90
三角形“四心”的向量性质及其应用 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心． 证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0， 所以 ()GA GB GC =-+． 以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+， 所以GD GA =-． 又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =． 所以AE 是ABC △的边BC 的中线． 故G 是ABC △的重心． 点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． 例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ， =OC c ，试用a b c ，，表示OG ． 解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 图2
3 c b a OG ++= ∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键． 变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则 AD BE CF ++=0． 证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．． 变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++． 证明：1()2PO PA PC =+，1()2 PO PB PD =+， 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++． 点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0． 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。 例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过 图3
本文发表于中国数学会主办的《数学通报》2010年第12期 三角形“四心”的向量特征及应用 浙江省上虞市春晖中学 林国夫（邮编：312353） 翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题，笔者发现有关三角形的“四心”（即重心，垂心，内心和外心）的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式0=++GC GB GA 具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余“三心”的向量特征进行了探究，得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考. 1 三角形重心的向量特征 定理1 已知为G ABC Δ的重心,记CGA BGC AGB ΔΔΔ,,的面积为 ,,,CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ则=++,且.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ== 证明 如图1,为的重心,为边上的中线,则G ABC ΔAD BC 32= )(31)(2132+=+×=.即)(3 1?+?=?. 故0=++GC GB GA . 由于3:1)32(:22:2::=×===ΔΔΔΔAD AG S S S S ABD AGB ABC AGB . 即ABC AGB S S ΔΔ=31,同理ABC BGC S S ΔΔ=31,ABC CGA S S ΔΔ=3 1, 故 .CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)为G ABC Δ的重心的充要条件为 =++.(2)与+共线.并可以得到下面一个有用的推论. 推论1 已知是不共线三点,点是平面内一点,且C B A ,,P ABC PB PA 21λλ+3λ+=, 其中0321≠??λλλ.记CPA BPC APB ΔΔΔ,,:||:|2的面积为则,,,CPA BPC APB S S S ΔΔΔCPA BPC S S ΔΔ:|APB S Δ|:|13λλλ=. 证明 如图2，记PC PC PB PB PA PA 3'2'1',,λλλ===,根据定理1可知, 点P 是的重心,且'''C B A Δ1:1:1::''''''=ΔΔΔPA C PC B PB A S S S . 由于)''sin ''2 1(:)sin 21 (:''PB A PB PA APB PB PA S S PB A APB ∠??∠??=ΔΔ | |||1'21'λλ?=?=PB PB PA PA ,即||||21''λλ?=ΔΔPB A APB S S ,
初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1) O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0; 2) O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA 若O 是 ABC （非直角三角形 ）的垂心， 故 tan AOA tan BOB tan COC 0 2 2 2 3) O 是 ABC 的外心 |OA | |OB| |OC | (或OA OB OC ) 若O 是 ABC 的外心 则 S BOC ：S AOC ：S AOB sin BOC ：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin 2B : sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2COC 4） O 是内 心 ABC 的充要条件是 OA (|A AB B | AC ) OB ( BA AC |BA | |B B C C|) OC (|C CA A | |C C B B |) 0 AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 , e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的 充 要 条件 可 OA (e 1 e 3) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3) 0 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0 若O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ：b ：c 引进单位向量， 使条件变得更简洁。如果 记 sin B OB sin COC ; 以写成 故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA ABC 的内心; 若O 是 ABC 的重心，则 S BOC S AOC S AOB 3S ABC 故 OA PG 31(PA PB PC) OB OC 0; G 为 ABC 的重心 . 则 S BOC ： S AOC ： S AOB tan A ：tan B ： tan C
相似三角形经典模型总结 经典模型 【精选例题】“平行型” 【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===， 则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =， 18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = 【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的 直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F P H G F E D C B A
【例4】 已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ， 求BF EF 的值 【例5】 已知：在ABC ?中，12AD AB = ， 延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = 【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形 【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. F E D C B A 【例8】 如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD += F E D C B A A B C D F E F E D C B A
三角形四心 三角形四心要点诠释： (1)三角形的内心、重心都在三角形的内部. (2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部. (3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点. (4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部. 1、三角形外心： 三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。 三角形的三条垂直平分线必交于一点 已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O 求证：O点在BC的垂直平分线上 证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO ∵EO垂直平分AC，∴AO=CO ∴BO=CO 即O点在BC的垂直平分线上 三角形的外心的性质： 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3. 锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外； 直角三角形的外心与斜边的中点重合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA（圆心角＝2同弧圆周角） 6.S△ABC=abc/4R 2、三角形的内心：
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 三角形三条角平分线必交于一点 证明 己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC 求证：OC平分∠ACB 证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F ∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF ∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB 三角形内心的性质： 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S△ABC=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 3、三角形的垂心： 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 三角形的三条高必交于一点 已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F
三角形“四心”的向量表示及运用示例 平面向量有一非常优美的结论:已知O 为△ABC 内一点,则 =0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ????+?+?,称为平面向量的“奔驰定理”. 本文给出平面向量“奔驰定理”的一种证明,并给出O 在△ABC 外的结论,在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例. 一、两个定理 定理1:设O 是△ABC 内一点,且S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3, 则k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 证:如图,设→OA ＝－→ OA '. 过A '作OC 的平行线交OB 于B ',过A '作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA '＝→OB '＋→ OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △A 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB , 同理→OC '＝k 3k 1→OC 所以－→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1 →OC 即k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→ 0 □ 定理2:设O 是△ABC 外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧, 若S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→ 证: 过A 作OC 的平行线交OB 于B ',过A 作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA ＝→OB '＋→ OC ' OB ' OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB , 同理→OC '＝k 3k 1→OC 所以→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1 →OC
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 ( ( ( =?=?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是 ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满 足 OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为 是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又
初三数学相似三角形典型例题(含答案)
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初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0
三角形“四心”定义与性质 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。的外心一般用字母表示。ABC ?O 性 质： 1．外心到三顶点等距，即。 OC OB OA ==2．外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即 OE BC OD ⊥⊥,3.。AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠= ∠2 1,21,21二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。的内心一般用字母表示，它具有如下性质： ABC ?I 性 质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝三角形的周长内切圆的半径．?2 1?3.； CE CD BD BF AF AE ===,,三角形的周长的一半。 =++CD BF AE 4.，。,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 C AIB ∠+=∠2 190 三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫垂心。的垂心一般用字母表示。 ABC ?H 性 质： 1、顶点与垂心连线必垂直对边， 即。 AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,四、三角形的“重心”： 定 义：三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表 ABC ?G 示。 性 质： 1.顶点与重心的连线必平分对边。 G 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。 2即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重
三角形的四心习题及解析 一、单选题 1. （ ）△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，G 为△ABC 的重心，则△GAB 面积：△GBC 面 积：△GAC 面积＝ (Ａ) 1：2：3(Ｂ) 1：3：2 (Ｃ) 2：1：3(Ｄ) 1：1：1。 答案：(Ｄ) 解析：∵G 为△ABC 的重心 ∴△GAB 面积：△GBC 面积：△GAC 面积＝1：1：1 2. （ ）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，两腰上的中线相交与G ，若∠BGC ＝90°，且BC ＝ 22，则BE 的长为多少？ (Ａ) 2 (Ｂ) 22(Ｃ) 3 (Ｄ) 4。 答案：(Ｃ) 解析：∵AB ＝AC ，且 G 为△ABC 的 重心 ∴BE ＝CD ∴BG ＝CG 又∵∠BGC ＝90°，BC ＝2 2 ∴BG ＝ 2 BC ＝ 2 22＝2 ∴BE ＝ BG 23 ＝2 3×2＝3 3. （ ）如图，等腰△ABC 中，?A B ＝?A C ＝13，?B D ＝?C D ＝5，O 为△ABC 的外心，则 ?O D ＝ ？ (Ａ) 24117(Ｂ)24119(Ｃ)24121(Ｄ)24 123 。 答案：(Ｂ) 解析：∵△ABC 为等腰三角形，∴?A D ⊥?B C ， AD ＝ 2 2513－＝12，连接 ?O B ，令 ?O D ＝x , 则?O B ＝?O A ＝?A D －?O D ＝12 －x
（12－x ）2＝x 2＋52 ? x ＝ 24 119 故选(Ｂ) 4. （ ）如图，D 、E 分別为?A B 、?A C 中点，?B E 、?C D 交于 F ，若斜线部分的面积为 7 ，则 △ACD 的面积为多少？ (Ａ) 21(Ｂ) 24(Ｃ) 28(Ｄ) 35。 答案：(Ａ) 解析：连接 ?B C ，则△BDF ＝ 61△ABC 而△ACD ＝2 1 △ABC △ACD ＝3×7＝21 平方公分 故选(Ａ) 5. （ ）直角三角形 ABC 中，∠A ＝90°，O 为外心，G 为重心，若?A C ＝6，?A B ＝8，则 ?O G ＝？ (Ａ) 32(Ｂ)34(Ｃ)35(Ｄ)3 7。 答案：(Ｃ) 解析：?B C ＝ 2286＋＝10 ?O C ＝?O A ＝5 ?O G ＝315?＝3 5 故选(Ｃ) 6. （ ）如图，△ABC 中，?A B ＝8，?A C ＝6，?B C ＝10，M 为 ?B C 中点，则 ?A M ＝？ (Ａ) 25(Ｂ)35(Ｃ)3 10 (Ｄ) 5。 答案：(Ｄ) 解析：△ABC 直角三角形 ∴M 为外心，?B M ＝?M C ＝?A M ＝ 2 10 ＝5 故选(Ｄ) 7. （ ）由尺规作图得知正三角形的外心、內心、重心均在同一点，请问正三角形外接圆 的面积是內接圆面积的几倍？ (Ａ) 2(Ｂ)3(Ｃ) 2 3 (Ｄ) 4。 答案：(Ｄ)
相似三角形 一．选择题 1．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（） A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB 2．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（） A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD 3．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（） A．2处 B．3处 C．4处 D．5处 5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一定有（） A．△ADE∽△ECF B．△BCF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF 6．在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）
A． B． C． D． 7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（） A．18 B．C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ ：S 11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S △DEF =4：25，则DE：EC=（） △ABF
三角形的“四心”与向量的完美结合 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心， 则 C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心 则 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：： 故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 ( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ?内 心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心;
相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一：相似三角形的判定与性质： 例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？ （3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由 例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B： 1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，3 3 AD,AE=3，求AF的长。 A B C D F
考点二：射影定理： 例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。 例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF= 1 4 AD，EG⊥CF于点G， （1）求证：△AEF∽△BCE；（2）试说明：EG2=CG·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE． （１）求证：四边形AFCE是菱形； （２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． A B C D E F G
三角形“四心”定义与性质 欧阳光明（2021.03.07） 所谓三角形的“四心”是指三角形的重 心、垂心、外心及内心。当三角形是正三 角形时，四心重合为一点，统称为三角形 的中心。 一、三角形的外心 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。ABC ?的重心一般用字母O 表示。 性 质： 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形 的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠2 1,21,21。 二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质： 性 质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝?21三角形的周长?内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；
=++CD BF AE 三角形的周长的一半。 4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2 190 。 三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母H 表示。 性 质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的 垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。 四、三角形的“重心”： 定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母G 表示。 性 质： 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。 即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3 ,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ； （2）)(3 1 PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ????===3 1。
三角形“四心”概念及性质 （学生填表时，教师巡视，看到有的学生不会填“四心”位置，启发他 们多画几个不同形状的三角形试试，让学生会从特殊到一般的思想方法。） 师：三角形的重心有什么性质? 生甲：分中线为1:2。 生乙：分中线为3:1。 师：应当把重心看成中线的内分点，即顶点到重心与重心到对边中点的距离之比是2:1。三角形的垂心性质，课本上没有明确提出过，不必填上。但如果题中有两条以上的高线，就应想到“四点共圆”。如图1, H是垂心，有几组四点共圆？（学生回答略。） 师：外心与内心各有什么性质？（学生回答略。） ［通过上述问题的讨论，让学生从对比中认识点到点的距离与点直线距离的区别，从而更好地理解概念，加深印象。］
（教师在黑板上画一个直角三角形，一个钝角三角形，让学生上黑板作垂心，然后归纳总结。） 师：锐角三角形的垂心必在形内，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点。 [ 通过实际画图，强化垂心可能在形外的情况，练一遍胜过背几遍。] 师：至于外心，请同学们课后 用同样的方法画几个不同形状的三角形来 验证结论的正确性。 上面，我们归纳了“四心”中每个“心”与三角形的相对位置关系。下面，我们再考虑“四心”在同一三角形中的位置有什么关系？先考虑在等腰三角形中“四心”的位置关系。 生：都在同一条直线上。 师：在哪一条直线上？生：在底边上的中线或底边上的高或顶角的平分线上。师：对！三 线合一，“四心”在三角形的对称轴上。师：等边三角形的“四心”位置又有什么关系呢？ 生：都重合成一个点了。 师：这“四心”共点，这个点叫什么名称？ 生：“中心”，师：等边三角形叫做正三角形。正三角形的重心、内心、垂心、外心重合成一个点，就是正三角形的“中心”。“中心”是正多边形所特有的，不是正多边形就没有中心。因此三角形中只有等边三角形才有中心，其他三角形都没有中心。 [ 把课本中学过的几个“心”都串起来了，揭示出其内在的联系，让学生能够系统地掌握知识。]二、练习 师：我们先做下面的练习：已知三角形的三边长分别为5、12、13，那 么垂心到外心的距离是多少？ 生：6.5 师：怎么得到的？ 生：如图2，因为已知三角形是直角三角形，外心是斜边的中点，垂心是直角顶点，所以，此两“心”距离是斜边中点到顶点的距离，利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，便可得出已知三角形的垂心到外心的距离为。
相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形． 例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2cm 6=?AEF S ，求CDF S ?． 例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?． 例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法． 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）． 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由． 例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由： （1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ． （3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ． 例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据． 例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ．
三角形的四心在解析几何中的应用 ?的内心、外心、重心、垂心，在平面几何中有着广泛的应用，如果把?的四心与解析几何有关 图形的性质有机地结合，可拓展应用的范围，使很多解析几何问题获得明快的解决． 一、内心 ?内切圆的圆心，就是?的内心，也就是?三条内角平分线的交点． 例1 （2010年河南六市）已知点P 是双曲线 b a b y a x ,(12 22 2=- >)0右支上一点，21,F F 分别是双 曲线的左、右焦点，I 为21F PF ?的内心，若212 1 2 1F IF IPF IPF S S S ???+ =成立，则=双e （ ） A. 4 B. 2 5 C. 2 D. 3 5 分析 设内切圆半径为,r 则.||2 1,||2 1,||2 121212121r F F S r PF S r PF S F IF IPF IPF ?= ?= ?= ??? 由已知易有，2,2|,|2 1||||2121=∴=∴+ =e c a F F PF PF 故选C 例2 （2008年哈尔滨九中）已知点M 是椭圆 a b y a x (12 22 2=+ >b >)0上一点，椭圆两焦点分别是 21,F F ，点I 是21F MF ?的内心，连结MI ，并延长交线段21F F 于,N 则 =| |||IN MI ( ) A. 2 2 b a a - B. 2 2 b a b - C. b b a 2 2 - D. a b a 2 2 - 分析 点I 是21F MF ?的内心，根据?内角平分线的性质与椭圆的定义，有 .22| |||||||| |||| |||| |||2 2 21212211b a a c a N F N F MF MF N F MF N F MF IN MI -= =++= == 故选A 点评 例1和例2把内心的性质与双曲线、椭圆的定义及性质有机地结合，使?的内心与已知条件挂起钩来，使得问题顺利解决． 二、外心 ?外接圆的圆心，称为外心，就是?三边在垂直平分线的交点。 例3 已知抛物线x y 42 =的通经为P AB ,是抛物线上非B A ,的动点，分别过B A ,作BP AP ,的垂线，它们相交于点M ，求点M 的轨迹方程． 分析 M B P A ,,,四点共圆，圆心C 就是PM 的中点，即APB ?的外心，故点C 在线段AB 垂直平分线x 轴上， 设y y y x P y x M -=∴000),,(),,( ①
相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF和AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC和△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm． 某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形和△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC和△BEA的面积之比． 11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q． （1）求四边形AQMP的周长； （2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）； （3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论． 12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP． 13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10． （1）求梯形ABCD的面积S； （2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C?D?A 方向，向点A 运动，过点Q 作QE⊥BC 于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问： ①当点P在B?A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形和△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；