专题一:勾股定理与面积
知识点精讲:
类型一“勾股树”及其拓展类型求面积
典型例题:
1.如图(16),大正方形的面积可以表示为,又可以表示为,由此可得等量关系______________________,整理后可得:___________.
2.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( )
3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图,每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是()
A.9 B.36 C.27 D.34
4.如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=________.
5.如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S1=4,S2=9,S3=8,S4=10,则S=() A.25 B.31 C.32 D.40
6.如图,已知在Rt ABC
△中,?
=
∠90
ACB,4
AB=,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为1S,2S,
则
12
S S
+的值等于________
7.如图,已知直角△ABC的两直角边分别为6,8,分别以其三边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是________.8.如图所示为一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②,…,依此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
图(16)
8
6
C
B
A
A
D
C
B
规律与小结:
做“勾股树”及其拓展类型的题,把握住以两条直角边为边长或直径延展出来的正方形或圆的面积和,等于以斜边为边长或直径延展出来的正方形或圆的面积。 类型二 构造直角三角形求面积或长度
9.如图,在△ABC 中,AB =AC =13,BC =10,点D 为BC 的中点, DE ⊥AB ,垂足为点E ,则DE 的长为( ) A.1013 B.1513 C.6013 D.7513
10.等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则这个等腰三角形的面积为 。 规律与小结:
1.学会借助现有的直角,构造直角三角形;
2.等腰三角形“三线合一”,一定要牢牢把握。
3.求斜边上的高,要学会先求出直角三角形的面积,再求斜边上的高。 类型三 结合乘法公式巧求面积或长度
11.已知Rt △ABC 中,∠C =90°,若a +b =7cm ,c =5cm ,则Rt △ABC 的面积是( ) A .6cm 2 B .9cm 2 C .12cm 2 D .15cm 2
12、如图,在直角三角形中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,CD 是斜边AB 上的高,则AD —BD = 。
13、已知正方形ABCD 的边长为3,正方形EFGH 内接于ABCD ,AE =a ,AF =b ,(a
牢记常见的勾股数——“3,4,5”、“5,12,13”、“8,15,17”、“7,24,25”,当三条边同时扩大相同的倍数时,仍然满足勾股定理。
类型四 巧妙割补求面积
14.如图,点E 在正方形ABCD 内,满足∠AEB =90°,AE =6,BE =8,则阴影部分的面积是( ) A .48 B .60 C .76 D .80
A
B
C
D F G
H
E
15.如图,若∠BAD =∠DBC =90°,AB =3,AD =4,BC =12,则CD =( ) A .5
B .13
C .17
D .18
16.如图所示是一块地,已知AD =8米,CD =6米,∠D =90°,AB =26米,BC =24米,则这块地的面积是________. 规律与小结:
将不规则图形利用转化思想转化成规则图形来求面积,此过程中通常需要构造直角三角形,也就是利用勾股定理的逆定理,判断三边能否满足2
2
2
c b a =+,从而确定是否为直角三角形。
专题二:知识点2 勾股定理与折叠,轴对称,动点
典型例题:
17.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,AB =3,BC =4,将△ABC 折叠,使点B 恰好落在边AC 上与点B ′重合,AE 为折痕,则EB =________.
18、矩形ABCD 中,AD=4cm ,AB=10cm ,按如图方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF , 则DE =________.
19.如图,长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,设点D 落在D ′处,BC 交AD ′于点E ,AB =6cm ,BC =8cm ,则阴影部分的面积=________.
20.如图所示,正方形ABCD 的边长为6,△ABE 是等边三角形, 点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P , 使PD+PE 的和最小,则这个最小值为多少?
21.如图,∠AOB =90°,OA =9cm ,OB =3cm ,一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ,机器人立即从点B 出发,沿BC 方向匀速前进拦截小球,恰好在点C 处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC 是多少?
规律与小结:
1.折叠与对称题型一定要注意折叠之后的边是对应相等的。
2.该种题型通常需要设未知数x ,将含有未知数x 的量放在一个直角三角形中,应用勾股定理。
A
B
C
D
E
F
C 1
专题一:勾股定理与面积 知识点精讲: 类型一“勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题: 1.如图(16),大正方形的面积可以表示为,又可以表示为,由此可得等量关系______________________,整理后可得:___________. 2.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( ) 3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图,每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是() A.9 B.36 C.27 D.34 4.如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=________. 5.如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S1=4,S2=9,S3=8,S4=10,则S=() A.25 B.31 C.32 D.40 6.如图,已知在Rt ABC △中,? = ∠90 ACB,4 AB=,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为1S,2S, 则 12 S S +的值等于________ 7.如图,已知直角△ABC的两直角边分别为6,8,分别以其三边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是________.8.如图所示为一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②,…,依此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 a a a a b b b b c c c c 图(16) 8 6 C B A
勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 (1) 先确定最大边(如c ) (2) 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 (3) 若2 c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若2c ≠2 2b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足2 2 b a +=2 c 的三个正整数,称为勾股数 如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10;(4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 41 勾股定理培优经典题型归纳 题型一:利用勾股定理解决实际问题 训练1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 训练2、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响 的时间为多少?
题型二、与勾股定理有关的图形问题 训练3.如图,直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____. 题型三、关于翻折问题 训练4、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG. 训练5、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F.若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积. 训练6、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=, 求BF 的长. G A B F E D C B A
勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
《勾股定理分类练习》 题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三 角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2 注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边 1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是 2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的 边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。 3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______ “知二求一”的题,可以直接利用勾股定理! 4、在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A .25 B .14 C .7 D .7或25 1、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 2、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值. 题型三:勾股定理的逆定理: 1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .2,3,4 B .10,8,4 C .7,25,24 D .7,15,12 2、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、1 3、5 ③ 17、8 、15 ④ 4、11、9其中能构成直角三形的有: ( ) A、4组 B、3组 C、2组 D、1组 3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形 4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题 题型四、与直角三角形面积相关
《勾股定理》典型例题 例1 在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗? 它的意思是说:如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位,那么它的斜边的长一定是5个长度单位,而且3、4、5这三个数有这样的关系:32+42=52. (1)请你动动脑筋,能否验证这个事实呢?该如何考虑呢? (2)请你观察下列图形,直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7,BC =4,请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72? 解: (1)边长的平方即以此边长为边的正方 形的面积,故可通过面积验证.分别以这个直 角三角形的三边为边向外做正方形,如右 图:AC =4,BC =3, S 正方形ABED =S 正方形FCGH -4S Rt △ABC =(3+4)2-4×2 1×3×4=72-24=25 即AB 2=25,又AC =4,BC =3, AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2 (2)如图(图见题干中图)
S 正方形ABED =S 正方形KLCJ -4S Rt △ABC =(4+7)2-4×2 1×4×7=121-56=65=42+72 例2 下图甲是任意一个直角三角形ABC ,它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形,放在边长为a +b 的正方形内. ①图乙和图丙中(1)(2)(3)是否为正方形?为什么? ②图中(1)(2)(3)的面积分别是多少? ③图中(1)(2)的面积之和是多少? ④图中(1)(2)的面积之和与正方形(3)的面积有什么关系?为什么? 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗? 解: ①图乙、图丙中(1)(2)(3)都是正方形.易得(1)是以a 为边长的正方形, (2)是以b 为边长的正方形,(3)的四条边长都是c ,且每个角都是直角,所以(3)是以c 为边长的正方形. ②图中(1)的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中(1)(2)面积之和为a 2+b 2. ④图中(1)(2)面积之和等于(3)的面积. 因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形,它们面积相等,(1)(2)的面