黑龙江省双鸭山一中2015届高三上学期9月月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={﹣1，1}，B={x∈R|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=( )
A．{﹣1} B．{1} C．{﹣1，1} D．?
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：先求出集合B，再根据两个集合的交集的意义求解即可．
解答：解：集合B={﹣1，2}，
∴A∩B={﹣1}；
故选A
点评：本题属于以一元二次方程为依托，求集合的交集的基础题，也是2015届高考常会考的题型．
2．“α=”是“sinα=”的( )
A．充分必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：常规题型；简易逻辑．
分析：由α=可推出sinα=，但由sinα=推不出α=，问题得解．
解答：解：∵α=，∴sinα=，
但sinα=，α可以等于2π+；
故是充分不必要条件，
故选：B．
点评：本题考查了充分性与必要性的判断，即二者推出关系的确定，属于基础题．
3．下列函数中，既是偶函数，又在（0，1）上单调递增的函数是( )
A．y=|log3x| B．y=x3C．y=e|x|D．y=cos|x|
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：探究型．
分析：对于A选项，可求出它的定义域，由于定义域不关于原点对称，由此判断其非正确选项；
对于B选项，此函数是一个奇函数，由此知其非正确选项；
对于D选项，可根据其在（0，1）上单调递减将其排除．
解答：解：对于A选项，函数定义域是（0，+∞），故是非奇非偶函数，不合题意，A选项不正确；
对于B选项，函数y=x3是一个奇函数，故不是正确选项；
对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈（0，+∞）时，函数是增函数，故在（0，1）上单调递增，符合题意，故C选项正确；
对于D选项，函数y=cos|x|是偶函数，在（0，1）上单调递减，不合题意
综上知，C选项是正确选项
故选C
点评：本题考查函数奇偶性与单调性，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性与单调性的判断方法，对基本函数性质的熟练掌握对快速判断本类题很关键，本题考查了推理判断的能力
4．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．
故选：C．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
5．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣∞，2）B．C．（﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）
考点：函数恒成立问题．
分析：这是一道类似二次不等式在x∈R恒成立求参数的问题，应首先考虑a﹣2是否为零．解答：解：①当a=2时，不等式恒成立．故a=2成立
②当a≠2时，要求
解得：a∈（﹣2，2）
综合①②可知：a∈（﹣2，2]
故选C．
点评：本题考查类似二次函数在R上的恒成立问题，容易忘记考虑系数为零的情况．
6．函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是( ) A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题．
分析：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．解答：解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得0＜a＜3，
故实数a的取值范围是（0，3），
故选C．
点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．
7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题．
分析：y=sin（2x+）的图象即可得y=sin（2x+）的图象．
解答：解：∵y=sin（2x+）的y=sin=sin（2x+），
故选C．
点评：本题考查三角函数图象的平移，关键在于掌握平移方向与平移单位，属于中档题．
8．等差数列{a n}中的a1、a4025是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2013( ) A．2 B．3 C．4 D．5
考点：函数在某点取得极值的条件．
专题：导数的综合应用．
分析：利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．解答：解：f′（x）=x2﹣8x+6，
∵a1、a4025是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，
∴a1、a4025是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a1+a4025=8．而{a n}为等差数列，
∴a1+a4025=2a2013，即a2013=4，从而==2．
故选A．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．9．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=( ) A．B．C．﹣D．﹣
考点：向量加减混合运算及其几何意义．
分析：本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的
结果和给的条件比较，写出λ．
解答：解：在△ABC中，已知D是AB边上一点
∵=2，=，
∴=，
∴λ=，
故选A．
点评：经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．
10．点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：由题意可得+＞a2，圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为d，根据d小于半径，可得直线和圆相交．
解答：解：∵点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，∴+＞a2．
圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为d=＜=a（半径），
故直线和圆相交，
故选B．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
11．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为( )
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l）D．（﹣∞，+∞）
考点：其他不等式的解法．
专题：压轴题；函数思想．
分析：把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．
解答：解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），
则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，
又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，
即F（x）在R上单调递增，
则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．
故选B
点评：此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．
12．SC为球O的直径，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=，若棱锥A
﹣SBC的体积为，则球O的体积为( )
A．B．C．27πD．4π
考点：球的体积和表面积；球内接多面体．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=R，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，利用棱锥S﹣ABC的体积，求出R，即可求球O的体积．
解答：解：如图：由题意，设球的直径SC=2R，A，B是该球球面上的两点．
AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=R，
∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则S△ABO=
进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB，
所以棱锥S﹣ABC的体积为：??2R=，
所以R=2，
此时三角形AOB为正三角形，符合，
所以球O的体积为．
故选B．
点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O 与AB的平面与SC垂直是本题的解题关键，常考题型．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为3．
考点：简单线性规划．
专题：计算题．
分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．
解答：解：设变量x、y满足约束条件，
在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），
则目标函数z=2x+y的最小值为3．
故答案为：3．
点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
14．函数f（x）=（x2+2x﹣3）的递增区间是（﹣∞，﹣3）．
考点：复合函数的单调性．
专题：函数的性质及应用．
分析：求出对数型函数的定义域，然后根据外层函数对数函数为减函数，只要找到内层函数二次函数的减区间即可得到答案．
解答：解：由x2+2x﹣3＞0，得
（x﹣1）（x+3）＞0，即x＜﹣3或x＞1．
令t=x2+2x﹣3，
该二次函数在（﹣∞，﹣3）上为减函数，
又对数函数y=为减函数，
由复合函数的单调性可得，
函数f（x）=（x2+2x﹣3）的递增区间是（﹣∞，﹣3）．
故答案为：（﹣∞，﹣3）．
点评：本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，A=60°，c=，则△ABC 的面积为．
考点：解三角形．
专题：计算题；解三角形．
分析：由余弦定理计算b，再利用三角形的面积公式，可得结论．
解答：解：∵a=1，A=60°，c=，
∴由余弦定理可得：1=+b2﹣2××b×cos60°
∴b2﹣b﹣=0
∴b=
∴=
故答案为：
点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，确定b的值是关键．
16．已知点P（1，4）在圆C：x2+y2+2ax﹣4y+b=0上，点P关于直线x+y﹣3=0的对称点也在圆C上，则a=﹣1，b=1．
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；点与圆的位置关系．
专题：计算题；直线与圆．
分析：可求得点P（1，4）关于直线x+y﹣3=0对称点的坐标，将两点的坐标代入圆C的方程，通过解关于a，b的方程组即可求得a，b．
解答：解：设点P（1，4）关于直线x+y﹣3=0对称点是P′（x0，y0），
则直线PP′的斜率k==1，①
又线段PP′的中点M（，）在直线x+y﹣3=0上，
∴+﹣3=0，②
由①②解得x0=﹣1，y0=2，
∴P′（﹣1，2）；
∴将两点的坐标代入圆C方程x2+y2+2ax﹣4y+b=0上得：
，
解得．
故答案为：﹣1，1．
点评：本题考查点关于直线对称的点的坐标，考查点与圆的位置关系，求得点P（1，4）关于直线x+y﹣3=0对称点是（﹣1，2）是关键，也是难点，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2+2x﹣8＞0，且?p是?q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：探究型．
分析：先求出命题p，q 的等价条件，将条件?p是?q的必要不充分条件转化为q是p必要不充分条件，进行求解即可．
解答：解：设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）}={x|3a＜x＜a（a＜0）}，
B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}．…
∵?p是?q的必要不充分条件，
∴q是p必要不充分条件，
∴A?B，…
所以3a≥2或a≤﹣4，又a＜0，
所以实数a的取值范围是a≤﹣4．…
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，条件?p是?q的必要不充分条件转化为q是p必要不充分条件是解决本题的关键，注意要熟练掌握一元二次不等式的解法．
18．已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量=（，cosA+1），
=（sinA，﹣1），⊥．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，cosB=，求b的长．
考点：解三角形；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）根据可得=0，化简得到sin（A﹣）=．再由0＜A＜π可得﹣
＜A﹣＜，从而得到A﹣=，由此求得A的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求出sinB 的值，由正弦定理，得，运算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴=（，cosA+1）?（sinA，﹣1）=sinA+（cosA+1）?（﹣1）=0，
即sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣）=．
由于0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，
∴A﹣=，A=．
（Ⅱ）在△ABC中，，a=2，，∴sinB=．
由正弦定理知：，
∴=．
点评：本题主要考查正弦定理的应用，解三角形，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
19．如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°
（1）求证：平面A1BCD1⊥平面BDD1B1
（2）若D1D=BD，求点D到平面A1BCD1．
考点：平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）首先利用勾股定理和余弦定理求出相关的线线垂直，进一步利用线面的垂直的判定和性质
转换为面面垂直的判定，从而证明结论．
（1）利用（1）的结论，进一步利用等面积法求的结果．
解答：证明：（1）在底面为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中
D1D⊥底面ABCD，DD1⊥A1D1
AD=1，CD=2，∠DCB=60°利用余弦定理得：BD=
△BDC为直角三角形
BD⊥BC
AD⊥BD
∴A1D1⊥B1D1
所以A1D1⊥平面BDD1B1A1D1?平面A1BCD1
所以：平面A1BCD1⊥平面BDD1B1
（2）解：连BD1，作DM⊥BD1
由（1）知
平面A1BCD1平面BDD1B1∵平面A1BCD1∩平面BDD1B1=BD1∴DM⊥平面A1BCD1
由已知
∴
∵D1D⊥底面ABCD
∴DD 1⊥BD∴
∴∴
点评：本题考查的知识点：勾股定理得逆定理，余弦定理，线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定以及等面积法的应用．
20．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列（b n＞0），且a1=b1=2，a3+b3=16，S4+b3=34．
（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）记T n为数列{a n b n}的前n项和，求T n．
考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由已知q＞0，利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”即可得出．
解答：解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由已知q＞0，
∵a1=b1=2，a3+b3=16，S4+b3=34．
∴
∴．
（2），
，
两式相减得
=
．
∴．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
21．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，
（1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程
（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
考点：直线和圆的方程的应用；轨迹方程．
专题：计算题；综合题．
分析：（1）设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得点P的轨迹方程；
（2）求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，|QM|满足勾股定理，求出|QM|就是最小值．
解答：解：（1）设P点的坐标为（x，y），
∵两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，
∴（x+3）2+y2=4，
即（x﹣5）2+y2=16．
所以此曲线的方程为（x﹣5）2+y2=16．
（2）∵（x﹣5）2+y2=16的圆心坐标为M′（5，0），半径为4，则圆心M′到直线l1的距离为：
=4，
∵点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，∴|QM|的最小值为：=4．
点评：考查两点间距离公式及圆的性质，着重考查直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于难题．
22．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求出f（2），再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可
（Ⅱ）令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．
（Ⅲ）由于f（x）≥bx﹣2恒成立，得到在（0，+∞）上恒成立，构造函数g （x）=，b≤g（x）min即可．
解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），，
则，f（2）=1﹣ln2，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，
即x﹣2y﹣2ln2=0；
（Ⅱ），
令f′（x）＞0，得x＞1，
列表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x）﹣0 +
f（x）↘0 ↗
∴函数y=f（x）的极小值为f（1）=0；
（Ⅲ）依题意对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立
等价于x﹣1﹣lnx≥bx﹣2在（0，+∞）上恒成立
可得在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=，
令g′（x）=0，得x=e2
列表：
x （0，e2）e2（e2，+∞）
g'（x）﹣0 +
g（x）↘↗
∴函数y=g（x）的最小值为，
根据题意，．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题．