2021-2022年高三9月月考数学理试题
题号一二三总分
得分
一、选择题
6．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为()
A．4 B．8 C．12 D．24
7．设命题：，命题：一元二次方程有实数解．则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．函数的单调减区间为（）
A、，
B、，
C、，
D、，
9．已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为（）
A、B、 C、D、
10．已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）（）
A、先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
B、先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C、先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D、先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
11．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，
则m的取值范围为( )
A．(1,1＋) B．(1＋，＋∞)
C．(1,3) D．(3，＋∞)
12．一个盛满水的密闭三棱锥容器S－ABC，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知SD∶DA＝SE∶EB＝CF∶FS＝2∶1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的()
A. B. C. D.
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13．在极坐标系中，直线经过圆的圆心且与直线平行，则直线与极轴的交点的极坐标为_________．
14．如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点， 于点，若圆的面积为，，则的长为 ．
15．已知程序框图如右，则输出的= ．
16．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，则双曲线的离心
率为
．
三、解答题 17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且. （1）试求的通项公式； （2）若数列满足：，试求的前项和. 18．（本小题满分12分）如图所示多面体中，⊥平面，为平行四边形，分别为的中点，，，. （1）求证：∥平面； （2）若∠＝90°，求证;
（3）若∠＝120°，求该多面体的体积.
E
19．（本小题满分13分）已知函数()3
2()ln 2123
x f x ax x ax =++--． （1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围； （3）当时，方程有实根，求实数的最大值． 20．（本小题共2小题，每小题6分，满分12分）
（1）已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图如图所示，其中,,，求直角梯形以BC 为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积。
（2）定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外的一点，且P 不在α内，若直线AP 、BP 与α分别交于C 、D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点．
21．（本小题满分12分）已知函数，， （1）求函数的最值；
（2）对于一切正数，恒有成立，求实数的取值组成的集合。
参考答案
1．D 【解析】
1213(13)(32)9732(32)(32)1313
z i i i i z i i i --+===---+对应的点在第四象限. 2．B
【解析】因为a>1,所以,所以在定义域内是增函数;反之不成立，如a=-2时, 在定义域内是增函数，显然不满足a>1.故“”是“函数在定义域内是增函数”的充分条件. 3．A
【解析】由题意知. 4．C
C ’
D ’
A ’ O ’(
B ’)
x ’
y ’
【解析】因为1
1
1122
1121(2)2(2ln )|2[2(1ln )]1ln 22S dx x x x =?-
-=--=---=+?阴. 所以点M 取自E 内的概率为.
5．A
【解析】因为集合，集合6
{|
0}{|1,6}
1+=>=><--或x B x x x x x ，则集合
，选A
6．A
【解析】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面， 三棱锥的高是，它的体积为，故选A 7．A
【解析】因为命题：，命题：一元二次方程有实数解．等价于1-4m,因此可知，则：m<是:m 的充分不必要条件,选A 8．D
【解析】因为()2sin 22sin(2)2sin(2)3
3
=-=-=--
+f x x x x x π
π
，那么利用复合
函数单调性可知，2[2,2]3
22-
+∈-
+x k k π
π
π
ππ，化简得到结论为，
，故选D 9．C
【解析】因为由题意，函数的定义域是[-3，1]
=-x 2-2x+3在[-3，1]的最大值是4，最小值是
0,因此可知m,和M 的值分别是2，，因此可知比值为，选C
10．B
【解析】根据图像先求解A=1周期为，w=2，然后代点（-，0）得到=-的值，可知该函数图像是由y=cosx 的图象先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位得到，选B 11．A
【解析】解：解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示
作L ：x+my=0，向可行域内平移，越向上，则Z 的值越大，从而可得当直线L 过B 时Z 最大 而联立x+y=1，与y=mx 可得点B()，代入可得
2max 1m z m 12,m 12
m 1,
m+1
m 12
+=∴><->∴>或
故选B 12．D
【解析】解：如右图所示，过DE 作与底面ABC 平行的截面DEM ，则M 为SC 的中点，F 为SM 的中点．过F 作与底面ABC 平行的截面FNP ，则N ，P 分别为SD ，SE 的中点．
设三棱锥S-ABC 的体积为V ，高为H ，S-DEM 的体积为V 1，高为h ，则h:H=2:3,v 1:v=8:27 三棱锥F-DEM 的体积与三棱锥S-DEM 的体积的比是1：2（高的比），∴三棱锥F-DEM 的体积4v:27
三棱台DEM-ABC 的体积=V-V 1=19v:27, ∴最多可盛水的容积23v:27 故最多所盛水的体积是原来的,选D 13．(1,0)
【解析】由可知此圆的圆心为(1,0),直线是与极轴垂直的直线，所以所求直线的极坐标方程为,所以直线与极轴的交点的极坐标为(1,0). 14．1
【解析】∵CD 是圆O 的切线，∴∠ABC=∠ACD=30°，∴在直角三角形ACD 中，AD=1，∴AC=2， ∴在直角三角形ABC 中，AC=2，∴AB=4，∴圆的半径是2，所以, 所以11
sin 30sin 30sin 304122
AD AC AB ===??
=. 15．9
【解析】因为,所以当S=105时退出循环体，因而此时i=9,所以输出的i 值为9. 16．
【解析】由题意知所以
||||22(21)2,2121
PF PF a p c e '∴-==-=?∴=
=-.
17．(1)；(2)*
1,22)1(N n n T n n ∈+-=+
【解析】(1)n=1时，，;n>1时，1111
1(1),(1)2
n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=---∴=
>,从而确定{}为等比数列,通项公式. (2) ,显然采用错位相减的方法求和. 18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）该五面体的体积为 。 【解析】（Ⅰ）取PC 的中点为O ，连FO ，DO ，可证FO ∥ED ，且FO=ED ，所以四边形EFOD 是平行四边形，从而可得EF ∥DO ，利用线面平行的判定，可得EF ∥平面PDC ； （Ⅱ）先证明PD ⊥平面ABCD ，再证明BE ⊥DP ；
（Ⅲ）连接AC ，由ABCD 为平行四边形可知△ABC 与△ADC 面积相等，所以三棱锥P-ADC 与三棱锥P-ABC 体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC 体积的二倍． （Ⅰ）取PC 的中点为O ，连FO,DO ，∵F,O 分别为BP ，PC 的中点， ∴∥BC ，且,又ABCD 为平行四边形,∥BC ，且, ∴∥ED ，且
∴四边形EFOD 是平行四边形 --------------------------------2分 即EF ∥DO 又EF 平面PDC ∴EF ∥平面PDC ． ---------------------- 4分 （Ⅱ）若∠CDP ＝90°,则PD ⊥DC ，又AD ⊥平面PDC ∴AD ⊥DP, ∴PD ⊥平面ABCD, ------------- 6分
∵BE 平面ABCD ，∴BE ⊥DP ------------ 8分 （Ⅲ）连结AC,由ABCD 为平行四边形可知与面积相等， 所以三棱锥与三棱锥体积相等，
即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.
∵AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4又∠CDP ＝120°PC=2， 由余弦定理并整理得, 解得DC=2 ------------------- 10分
∴三棱锥的体积11
24sin120332
V =
?????=∴该五面体的体积为 -------------------- 12分 19．（1）．（2）的取值范围为．（3）当时，有最大值0. 【解析】(1)根据建立关于a 的方程求出a 的值. (2)本小题实质是()()()22
21442021
x ax a x a f x ax ??+--+??
'=
≥+在区间上恒成立，
进一步转化为()()
22214420ax a x a +--+≥在区间上恒成立, 然后再讨论a=0和两种情况研究.
(2) 时，方程可化为，x
b
x x x =
-+--)1()1(ln 2, 问题转化为2
2
3
ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在上有解，
即求函数的值域,然后再利用导数研究g(x)的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.
解：（1）22()2221a f x x x a ax '=+--+()()
222144221
x ax a x a ax ??+--+?
?=+．………1分
因为为的极值点，所以．………………………2分 即，解得．…………………………………3分 又当时，，从而的极值点成立．…………4分 （2）因为在区间上为增函数，
所以()()()22
21442021
x ax a x a f x ax ??+--+??
'=
≥+在区间上恒成立．…5分
①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故
符合题意．…………………………6分
②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，
所以2
2
2(14)(42)0[3,)ax a x a x +--+≥∈+∞对上恒成立．……………7分
令2
2
()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为，……………8分
因为所以，从而上恒成立，只要即可， 因为， 解得． u u ……………………………………9分 因为，所以．
综上所述，的取值范围为．…………………………………10分 （3）若时，方程可化为，x
b x x x =-+--)1()1(ln 2．
问题转化为2
2
3
ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在上有解，
即求函数的值域．……………………11分 以下给出两种求函数值域的方法： 方法1：因为，令2
()ln (0)h x x x x x =+->，
则x
x x x x x h )
1)(12(211)(-+=
-+=
' ，…………………………………12分 所以当，从而上为增函数，
当，从而上为减函数，………………………13分 因此． 而，故，
因此当时，取得最大值0．…………………………………………14分 方法2：因为，所以2
321ln )(x x x x g -++='．
设，则21621
()26x x p x x x x
--'=+-=-．
当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减；
因为，故必有，又2244
1233210p e e e e ??
=-++-<-< ???
，
因此必存在实数使得，
0,()0
x x g x
'
∴<<<
当时，所以上单调递减；
当，所以上单调递增；
当()
1,'()0,()1,
x g x g x
><+∞
时所以在上单调递减；
又因为)
4
1
(ln
)
(ln
ln
)
(2
3
2+
≤
-
+
=
-
+
=x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g，
当，则，又．
因此当时，取得最大值0.……………………………14分
20．（1）；（2）不论P在什么位置，直线CD必过一定点．
【解析】本试题主要是考查了斜二测画法的运用，以及空间几何体中表面积的求解。
（1）由斜二测画法可知AB=2，BC=4，AD=2进而DC=，那么旋转得到的几何体的表面积可以解得。
（2）设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α＝O.。∴AP、BP可确定一平面β且C∈β，D∈β.因为CD＝α∩β.∴A∈β，B∈β.∴l?β.∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD.
解：（1）由斜二测画法可知AB=2，BC=4，AD=2
进而DC=，
旋转后形成的几何体的表面积
2
2
1
22
2
1
22222222(1242)
2
S AB AB AD AB CD
πππ
ππππ
=+?+??
=?+??+???=+
（2）设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α＝O.
由题意可知，AP∩α＝C，BP∩α＝D，∴C∈α，D∈α.
又∵AP∩BP＝P.
∴AP、BP可确定一平面β且C∈β，D∈β.
∴CD＝α∩β.∴A∈β，B∈β.∴l?β.∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD.
∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点．
21．（1）函数在（0，1）递增，在递减。的最大值为.
（2）。
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）求解导数，然后根据导数的符号与函数单调性的关系得到判定，求解极值和最值。（2）要证明不等式恒成立，那么可以通过研究函数的最值来分析得到参数的范围。
解：（1）
所以可知函数在（0，1）递增，在递减。
所以的最大值为.
（2）令函数
得
当时，恒成立。所以在递增，
故x>1时不满足题意。
当时，当时恒成立，函数递增；
当时恒成立，函数递减。
所以;即的最大值
令 ,则
令函数 ,
所以当时，函数递减；当时，函数递增；
所以函数，
从而
就必须当时成立。
综上。G40557 9E6D 鹭v33582 832E 茮U38771 9773 靳24121 5E39 帹x36985 9079 遹'
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