甘肃省兰州市第一中学2021届高三数学9月月考试题 文
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．
.） 1.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2
)}，B ＝{x |x 2
－cx <0，c >0}，若A ?B ，则实数c 的取值范围为( )
A.(0，1]
B.[1，＋∞)
C.(0，1)
D.(1，＋∞) 2.若复数z 满足()3443i z i -=+,则z 的虚部为( )
A. 45i -
B. 45-
C. 45
D. 45
i 3.若||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量,a b 的夹角为( )
A.45
B.60
C.120
D. 135
4.已知直线:10(R)l x ay a +-=∈是圆2
2
:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则
AB =( ) A.2
B.2
C.6
D.10
5.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )
A.直线AC 上
B.直线AB 上
C.直线BC 上
D.△ABC 内部
6.已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角 形，则实数m 的取值集合为( )
A.??????－43，23
B.??????－43，23，43
C.??????43，－23
D.??????
－43
，－23，23
7.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2 ,…, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间
[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的
人中,做问卷C 的人数为( )
A.7
B.9
C.10
D.15
8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为,x y ,则2log 1x y =的概率为( )
A.
16 B. 536 C. 112 D.12
9.若实数x ，y 满足条件40
2200
x y x y x y +-≤??-+≥??≥??≥?,则12x y -??
??? 的最大值为( )
A.1
16
B. 12
C. 1
D.2
10.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A.4
B.5
C.6
D.7
11.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2,对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1)
D.(－∞，＋∞)
12.已知椭圆()22
1112211
:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的
焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是( )
A. 1,2??+∞
??? B. 1,3??+∞ ??? C. 1,2??+∞???? D. 1,3??
+∞????
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）
13. 函数2
2()log (2)f x x x =--的单调递减区间是________.
14.已知抛物线方程为y 2
＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点
A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.
15.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a b c b
c a b c -+=
+-，则sin sin B C +
的取值范围是 .
16.已知实数e ,0
()=lg(),0
x x f x x x ?≥?-
t 的取值范围为____________．
三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)
17.（12分）已知向量()()
2cos ,1,cos 2,a x b x x ==函数().f x a b =?
(1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)当0,
6x π??
∈????
时,求函数()f x 值域．
18.（12分）在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． (1)求角B 的大小；
(2)已知2c =，AC 边上的高BD =ABC △的面积S 的值．
19.（11分）在平面直角坐标系xOy 中,直线l
的参数方程为2,{2x t y =--= (t 为参数),直线l 与
曲线()2
2:21C y x --=交于,A B 两点．
(1)求AB 的长；
(2)在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P
的极坐标为34
π?
?
??
?
,求点P 到线段AB 中点M 的距离．
20.（11分）已知()()20f x ax ax a a =-+->． (1)当1a =时,求()f x x ≥的解集；
(2)若不存在实数x ,使()3f x <成立,求a 的取值范围．
21.（12分）设f (x )＝x ln x －ax 2
＋(2a －1)x (常数a >0)． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；
(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．
22.（12分）已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈． (1)若1a =,求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程； (2)若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立,求实数a 的取值范围．
兰州一中2021届9月月考试题参考答案
数学（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13. (,1)-∞- 14. 65
5－
1 15. 2
16. (,2]-∞- 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(12分）已知向量()()
2cos ,1,cos 2,a x b x x ==函数().f x a b =?
(1)求函数()f x 的单调增区间;
(2)当0,
6x π??
∈????
时,求函数()f x 值域.
解：（1）()22cos 2f x a b x x =?=+
2cos 212sin 216x x x π?
?=++=++ ??
?，由
()222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈,得(),.3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
（2）由（1）知()f x 在0,
6π??
????
上单调递增，∴当6x π=时, ()max 3f x =;
当0x =时, ()min 2f x =
18.（12分）在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小．
（2）已知2c =，AC 边上的高BD =
，求ABC △的面积S 的值． 解（1）∵(2)cos cos 0c a B b A --=，
由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0C A B B A --=， ∴2sin cos sin cos sin cos C B A B B A =+， 即2sin cos sin C B C =。 ∵πA B C +=-且sin 0C ≠，
∴1cos 2
B =
， ∵(0,π)B ∈，∴π3
B =
． （2）∵11
sin 22
S ac B BD b ==?，
代入,c BD B =
=
，得b
由余弦定理得，22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-
代入b ，得29180a a -+=，
解得3a b =???=??
6a b =???=??
又∵ABC △是锐角三角形
∴222a c b <+，故3a =
，b
∴11sin 2322ABC S ac B ==??△19.（11分）在平面直角坐标系xOy 中,直线l
的参数方程为2,{2x t y =--= (t 为参数),直线l 与
曲线()2
2:21C y x --=交于,A B 两点.
(1)求AB 的长;
(2)在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P
的极坐标为34
π?
?
??
?
,求点P 到线段AB 中点M 的距离.
解:(1)
由2,{
2x t y =--=- (t 为参数),参数t 消去得
, )22y x -=+,
代入曲线()2
2:21C y x --=,消去y 整理得: 2212110x x ++=, 设()()1122,,,?A x y B x y ,则11211
6,2
x x x x β+=-=
,
所以1AB x x =-==(2)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为()2,2?-,
根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为
12
12
t t +=. 所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为2PM =. 20.（11分）已知()()20?f x ax ax a a =-+->. (1)当1a =时,求()f x x ≥的解集;
(2)若不存在实数x ,使()3f x <成立,求a 的取值范围.
解：(1)当1a =时, ()21f x x x =-+-,则()f x x ≥即21x x x -+-≥, 当2x ≥时,原不等式可化为21x x x -+-≥,解得3x ≥;
当12x <<时,原不等式可化为21a x x -+-≥,解得1x ≤,原不等式无解; 当1x ≤时,原不等式可化为21x x x -+-≥,解得1x ≤. 综上可得,原不等式的解集为{|1x x ≤或3}x ≥. (2)依题意得,对x R ?∈,都有()3f x ≥,
则()()()22f x ax ax a ax ax a =-+-≥---23a =-≥, 所以23a -≥或23a -≤-,所以5a ≥或1a ≤- (舍去),所以5a ≥. 21. （12分）设f (x )＝x ln x －ax 2
＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；
(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，
可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax
x
.
又a >0，
当x ∈? ????0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，
当x ∈?
??
?
?12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.
∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为? ????0，12a ，单调递减区间为? ????12a ，＋∞.
(2)由(1)知，f ′(1)＝0.
①当01，由(1)知f ′(x )在? ????0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，
当x ∈? ??
??1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，1)内单调递减，在? ????1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.
②当a ＝12时，1
2a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，
＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.
③当a >12时，0<12a <1，当x ∈? ??
??12a ，1时，f ′(x )>0，
f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，
f (x )单调递减.
所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意.
综上可知，实数a 的取值范围为? ??
??12，＋∞.
22. （12分）已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈ (1)若1a =,求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程 (2)若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立,求实数a 的取值范围
解 (1)因为1a =,所以()(2)ln(1)f x x x x =++-,(0)(02)ln100f =+?-=,切点为
(0,0).由2()ln(1)11x f x x x +'=++
-+,所以'02
(0)ln(01)1101
f +=++-=+,所以曲线()y f x =在(0,0)处的切线方程为01(0)y x -=-,即0x y -=
(2)由 2
()ln(1)1
x f x x a x +=++'+
-,令()()([0,))g x f x x =∈+∞',则22
11()01(1)(1)x g x x x x =
-=≥+++' (当且仅当0x =取等号).故()f x '在[)0,+∞上为增函数.
①当2a ≤时, ()(0)0f x f ''≥≥,故()f x 在[)0,?+∞上为增函数,所以()(0)0f x f ≥=恒成立,故2a ≤符合题意;
②当2a >时,由于(0)20f a =-<',1
(1)10a a
f e e -=+
>',根据零点存在定理,必存在(0,1)a t e ∈-,使得()0f t '=,由于()f x '在[)0,+∞上为增函数,故当()0,x t ∈时, ()0f t '<,故()f x 在()0,x t ∈上为减函数, 所以当()0,x t ∈时, ()(0)0f x f <=,故()0f x ≥在[)0,+∞上不恒成立,所以2a >不符合题意.综上所述,实数a 的取值范围为(,2]-∞