第1课时二次根式的概念
1.了解二次根式的概念;(重点)
2.理解二次根式有意义的条件;(重点)
3.理解a(a≥0)是一个非负数,并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题.(难点)
一、情境导入
1.小明准备了一张正方形的纸剪窗花,他算了一下,这张纸的面积是8平方厘米,那么它的边长是多少?
2.已知圆的面积是6π,你能求出该圆的半径吗?
大家在七年级已经学习过数的开方,现在让我们一起来解决这些问题吧!
二、合作探究
探究点一:二次根式的概念
【类型一】二次根式的识别
(2015·安顺期末)下列各式:①1
2
;②2x;③x2+y2;④-5;⑤
3
5,
其中二次根式的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:根据二次根式的概念可直接判断,只有①③满足题意.故选B.
方法总结:判断一个式子是否为二次根式,要看式子是否同时具备两个特征:①含有二次根号“
”;②被开方数为非负数.两者缺一不可.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 二次根式有意义的条件
代数式
x +1x -1
有意义,则x 的取值范围是( )
A .x ≥-1且x ≠1
B .x ≠1
C .x ≥1且x ≠-1
D .x ≥-1
解析:根据题意可知x +1≥0且x -1≠0,解得x ≥-1且x ≠1.故选A.
方法总结:(1)要使二次根式有意义,必须使被开方数为非负数,而不是所含字母为非负数;(2)若式子中含有多个二次根式,则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数;(3)若式子中含有分母,则字母的取值必须使分母不为零.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点二:利用二次根式的非负性求值 【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值
(1)已知a ,b 满足
2a +8+|b -1|=0,求2a -b 的值;
(2)已知实数a ,b 满足a =b -2+2-b +3,求a ,b 的值.
解析:根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可.
解:(1)由题意知?
????2a +8=0,
b -1=0,得2a =-8,b =1,则2a -b =-9;
(2)由题意知?????b -2≥0,
2-b ≥0,
解得b =2.所以a =0+0+3=3.
方法总结:①当几个非负数的和为0时,这几个非负数均为0;②当题目中,同时出现
a 和-a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数),则可得a =0.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 与二次根式有关的最值问题
当x =________时,
3x +2+3的值最小,最小值为________.
解析:由二次根式的非负性知3x +2≥0,∴当3x +2=0即x =-2
3
时,
3x +2+3
的值最小,此时最小值为3.故答案为-2
3
,3.
方法总结:对于二次根式
a ≥0(a ≥0),可知其有最小值0.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计
本节课的内容是在我们已学过的平
方根、算术平方根知识的基础上,进一步引入二次根式的概念.教学过程中,应鼓励学生积极参与,并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件
第2课时 二次根式的性质
1.理解和掌握(a)2=a(a≥0)和a2=|a|;(重点)
2.能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算.(难点)
一、情境导入
如果正方形的面积是3,那么它的边长是多少?若边长是3,则面积是多少?
如果正方形的面积是a,那么它的边长是多少?若边长是a,则面积是多少?你会计算吗?
二、合作探究
探究点一:利用二次根式的性质进行计算
【类型一】
计算:
(1)(0.3)2; (2)(-13)2;
(3)(23)2; (4)(2x-y)2.
解析:(1)可直接运用(a)2=a(a≥0)计算,(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数,先利用(ab)2=a2b2,再利用(a)2=a(a≥0)进行计算.
解:(1)(0.3)2=0.3;
(2)(-13)2=(-1)2×(13)2=13;
(3)(23)2=22×(3)2=12;
(4)(2x-y)2=22×(x-y)2=4(x-y)=4x-4y.
方法总结:形如(n m)2(m≥0)的二次根式的化简,可先利用(ab)2=a2b2,化为n2·(m)2(m≥0)后再化简.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】 计算:
(1)22; (2)(-2
3
)2; (3)-
(-π)2.
解析:利用a 2=|a |进行计算.
解:(1)
22=2;
(2)
(-23)2=|-23|=2
3; (3)-
(-π)2=-|-π|=-π.
方法总结:a 2=|a |的实质是求a 2的算术平方根,其结果一定是非负数.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 【类型三】 先化简,再求值:a +
1+2a +a 2,其中a =-2或3.
解析:先把二次根式化简,再代入求值,即可解答. 解:a +
1+2a +a 2=a +
(a +1)2=a +|a +1|,当a =-2时,原式=-2+|-2
+1|=-2+1=-1;当a =3时,原式=3+|3+1|=3+4=7.
方法总结:本题考查了二次根式的性质,解决本题的关键是先化简,再求值. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题 探究点二:利用二次根式的性质进行化简 【类型一】 与数轴的综合
如图所示为a ,b 在数轴上的位置,化简2
a 2-(a -
b )2+(a +b )2.
解析:由a,b在数轴上的位置确定a<0,a-b<0,a+b<0.再根据a2=|a|进行化简.
解:由数轴可知-2<a<-1,0<b<1,则a-b<0,a+b<0.原式=2|a|-|a-b|+|a+b|=-2a+a-b-(a+b)=-2a-2b.
方法总结:利用a2=|a|化简时,先必须弄清楚被开方数的底数的正负性,计算时应包括两个步骤:①把被开方数的底数移到绝对值符号中;②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型二】与三角形三边关系的综合
已知a、b、c是△ABC的三边长,化简(a+b+c)2-(b+c-a)2+(c-b-a)2.
解析:根据三角形的三边关系得出b+c>a,b+a>c,根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子,最后去绝对值符号后合并即可.
解:∵a、b、c是△ABC的三边长,∴b+c>a,b+a>c,∴原式=|a+b+c|-|b+c -a|+|c-b-a|=a+b+c-(b+c-a)+(b+a-c)=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c.
方法总结:解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边),得出不等关系,再结合二次根式的性质进行化简.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上,同时又为学习二次根式的运算打下基础.本节教学始终以问题的形式展开,使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望,逐渐养成思考问题的习惯.性质1和性质2容易混淆,教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别,以便更好地灵活运用
第1课时二次根式的乘法
1.掌握二次根式的乘法运算法则;(重点)
2.会进行二次根式的乘法运算.(重点、难点)
一、情境导入
小颖家有一块长方形菜地,长6m,宽3m,那么这个长方形菜地的面积是多少?
二、合作探究
探究点一:二次根式的乘法法则成立的条件
式子x+1·2-x=(x+1)(2-x)成立的条件是( )
A .x ≤2
B .x ≥-1
C .-1≤x ≤2
D .-1<x <2
解析:根据题意得?
????x +1≥0,
2-x ≥0.解得-1≤x ≤2.故选C.
方法总结:运用二次根式的乘法法则:a ·b =ab (a ≥0,b ≥0),必须注意被开方
数是非负数这一条件.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 探究点二:二次根式的乘法 【类型一】 二次根式的乘法运算
计算: (1)53
×
27
125
; (2)9
18×(-
1654); (3)135
·23·(-34
16
);
(4)2a 8ab ·(-23
6a 2b )·3a (a ≥0,b ≥0).
解析:第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算,第(2),(3),(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘,被开方数与被开方数相乘.
解:(1)原式=53×27125=35; (2)原式=-(9×1
6)
18×54=-
3
2182×3=-27
3;
(3)原式=-(2×3
4
)
85×3×16=-32
45=-35
5;