线面角的求法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
线面角的三种求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 A 1 C 1 D 1 H 4 C 1 2 3 B A D 图2 ∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2 （如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， B α O A C 图3
★线面所成角的求法：［。勺 1?作图一一证明一一计算 求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影。一般地通过斜线上某个特殊点 作出平面的垂线来找角。角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有 关的三角形中，从而把空间的计算转变为平面图形内的解直角三角形或斜三角形的 边长相等，则AB i 与侧面ACC i A i 所成角的正弦值等于 A 亞 B 血 C 边 A. 4 B. 4 C. 2 4.如图，在长方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AB = BC = 2, 7 僅― A a 问题。 A i D
n 与BC i所成的角为2,则BC i与平面BB I D I D所成角的正弦值为()代￡B? C.^5 D￥ 5..正四棱锥S-ABCD中，0为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO =0D，则直线BC与平面PAC所成的角是 _____________ . 6. 如图，已知点P在正万体ABC B A B‘ C D的对角线BD上，/ PDA F60° . (1)求DP与CC所成角的大小； ⑵求DP与平面AA D D所成角的大小. 1 7. 已知三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC, AB丄AC，PA= AC= qAB, N为 AB上一点，AB = 4AN，M，S分别为PB、BC的中点. “ (1)证明：CM丄SN; ⑵求SN与平面CMN所成角的大小. ' ； 8 如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA丄平面ABCDE，AB - // CD， AC// ED，AE // BC，/ ABC = 45°, AB = 2迈，BC = 2AE = 4,三角形FAB 是等腰三角形. (1)求证：平面PCD丄平面PAC; ⑵求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)求四棱锥P-ACDE的体积.
线面角的三种求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ ,则sin θ =h ／AB=4／5
求线面角的三种常见思路方法 舒云水 本文以 2009年湖南卷理 18 题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒ 如图 1，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB 2AA1，点 D是A1B1的中点，点 E 在A1C1上，且DE⊥ AE． （I）证明：平面ADE 平面ACC1A1 ； （ II ）求直线 AD和平面ABC1所成角的正弦值． （Ⅰ）证明略．下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒思路 1：直接作出线面角求解﹒ 分析：因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点 D 在特殊位置上——线段A1B1的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图 2，取AB的中点F ，连结DF ，DC1 ， C1F ，则面DFC1 面ABC1，过D作DH C1F于H ，则DH 面ABC1 ，连结AH，则HAD是AD和平面ABC1 所成的角﹒
解法 1 如图 2，设 F 是 AB 的中点，连结 DF ， DC 1 ， C 1F ．由正 三棱柱 ABC A 1B 1C 1的性质及 D 是A 1B 1的中点知， A 1B 1 ⊥ C 1D ，A 1B 1⊥ DF ． 又C 1D DF D ，所以 A 1B 1 ⊥平面C 1DF ． 而 AB ∥ A 1B 1， 所以 AB⊥平面C 1DF ．又 AB 平面ABC 1 ，故 平面 ABC 1 ⊥平面C 1DF ． 过点 D 作DH 垂直C 1F 于点 H ， 则 DH ⊥ 平面 ABC 1 ． 连结 AH ，则 HAD 是直线 AD 和平面 ABC 1 所成的角． 由已知 AB 2AA 1，不妨设 AA 1 2，则 AB 2，DF 2， DC 1 3， 所以 sin HAD D A H D 15 思路 2：用等体积法求出点 D 到面 ABC 1的距离h ，A h D 为所求线 面 C 1F 5， AD AA 12 A 1D 2 3， DF ·DC 1 2 3 30 DH C 1F 55 即直线 AD 和平面 ABC 1所成角的正弦值为 10 ．
画法几何复习题及答案 一、填空题（1Ｘ30＝30分） 1、投影法分中心投影和平行投影两大类。 2、在点的三面投影图中，aax反映点A到 V 面的距离，a’az反映点A到 W 面的距离。 3、绘制机械图样时采用的比例，为图样机件要素的线性尺寸与实际机件相应要素的线性之比。 4、正垂面上的圆在V面上的投影为直线，在H面上的投影形状为椭圆。 5、空间两直线的相对位置可分为平行、相交、交叉和垂直四种。 6、同一机件如采用不同的比例画出图样，则其图形大小不同（相同，不同），但图上所标注的尺寸数值是一样的（一样的，不一样的）。 7、图形是圆、大于半圆注直径尺寸；图形是半圆、小于半圆注半径尺寸。 8、表示回转面在投射方向上可见、不可见的分界线，称为转向轮廓线。 9、两等径圆柱相贯，其相贯线形状为椭圆。 10、组合体尺寸种类分为定形尺寸、定位尺寸和总体尺寸。 11、用于普通连接的螺栓与被连接件的光孔间是否属于配合关系否。 12、圆锥销GB117-86 A10×30代号中的“10”是指销的小端直径。 13、两标准圆柱齿轮啮合时，其两节圆应相切。 14、含有标准结构要素的零件，是否一定属于标准件不一定。 15、已知双线螺纹，导程Ｐw＝10，其螺距Ｐ＝ 5 。 16、已知标准直齿圆柱齿轮m＝３，z=20，其齿顶圆直径d ＝ 66 。 a 17、Φ50f７代号中的“f７”是轴的公差带代号，其中“f”表示基本偏差代号。 18、多面正投影图是工程中应用最广泛的一种图示方法。 19、建筑剖面图的剖切位置应选择在能反映内部构造比较复杂和典型的的部位， 并应通过门窗洞。 20、点的三面投影规律是：①点的正面投影与点的水平投影的连线垂直于OX轴。②点的正面投影与点的侧面投影的连线垂直于OZ轴。③点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。 21、在三投影面体系中直线与投影面的相对位置可分一般位置直线、投影面平行线和_ 投影面垂直线。 22、空间两直线互相平行，则它们的同面投影也一定平行。
第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. (2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量. :] 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法?注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , AB⊥ AD , AC⊥ CD, ∠ ABC =60 ° , PA = AB = BC, E 是 PC 的中点. P (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； ⑵证明：AE丄平面PCD ; ⑶求二面角 A — PD — C的正弦值. (1)解在四棱锥P — ABCD中， 因FA丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD , 故PA⊥ AB.又AB⊥ AD , FA ∩ AD = A, 从而AB丄平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为FA, 从而∠ APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△ PAB 中,AB= FA,故∠ APB = 45° 所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 ⑵证明在四棱锥P— ABCD中， 因FA丄底面 ABCD, CD?平面ABCD, 故CD丄FA.由条件 CD丄AC , PA ∩ AC= A , ??? CD丄平面PAC. 又 AE?平面 FAC,??? AE丄CD.
由FA= AB = BC,∠ ABC = 60° ,可得 AC = PA. ??? E 是 PC 的中点，???AE⊥ PC. 又PC∩ CD = C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底 面ABCD , PD = DC.E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F. ⑴证明PA//平面EDB ; ⑵证明PB⊥平面EFD ; (3) 求二面角 C — PB— D的大小. ⑴证明如图所示，连接 AC, AC交BD于0,连接EO. ???底面ABCD是正方形， ?点0是AC的中点. 在厶PAC中，EO是中位线， ? PA // E0. 而E0?平面EDB且PA?平面EDB , ? PA //平面 EDB. 【针对训练】 1.如图，四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA丄底面ABCD , AC = 2,2, FA =2, E 是PC 上的一点，PE= 2EC. (1)证明：PC⊥平面BED ; ⑵设二面角A — PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
线面角的三种求法 河北 王学会 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂
线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 A 1C 1D 1 H 4 C B 12 3B A D 图2 ∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cosθ2 （如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的 一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， B αO A C 图3 θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cosθ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理） 例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成
(单选题) 1: 根据投射方向是否垂直于轴测投影面，轴测投影可分成两类即正轴测投影和斜轴测投影 A: 正确 B: 错误 正确答案: (单选题) 2: 凡是屋檐相交的两屋面必相较于倾斜的屋脊或天沟。如果两屋檐正交，则在水平投影中斜脊梁=或天沟无屋檐成（）度角的直线。 A: 30 B: 45 C: 60 D: 90 正确答案: (单选题) 3: 用简化伸缩系数所画的图在长度上成为实际投影长度的（）倍 A: 1 B: 1.22 C: 0.82 正确答案: (单选题) 4: 判断：在环面上作点，一般会用经圆法。 A: 正确 B: 错误 正确答案: (单选题) 5: 下列不属于装配尺寸的是（） A: 配合尺寸 B: 连接尺寸 C: 特性尺寸 正确答案: (单选题) 6: 组合体的组合方式不包括（） A: 堆积 B: 相切 C: 杂交 正确答案: (单选题) 7: A: A B: B C: C D: D 正确答案: (单选题) 8: 平面与回转体表面相交产生的交线称为（） A: 截交线 B: 相贯线 正确答案: (单选题) 9: 平面上的各等高线彼此平行，但各等高线间的高差与水平距离的比值会有变化 A: 正确 B: 错误 正确答案: (单选题) 10: 凸台和凹坑的作用是（） A: 保证良好的接触并减小加工面 B: 便于装配并防止锐角伤人 C: 便于退刀或者使相配零件良好接触 正确答案: (单选题) 11: 两个回转体共轴时，其相贯线是（）
D: 以上均有可能 正确答案: (单选题) 12: 根据有关标准规定，用正投影法绘制出物体的图形，称为（） A: 视图 B: 剖视图 C: 断面图 正确答案: (单选题) 13: 通常用直线上两点的标高投影来表示该直线 A: 正确 B: 错误 正确答案: (单选题) 14: 假想用剖切面剖开机件，将处在观察者和剖切面之间的部分移去，而将其余部分向投影面投射所得到图形，属于（） A: 正视图 B: 斜视图 C: 剖视图 正确答案: (单选题) 15: A: A B: B C: C D: D 正确答案: (单选题) 16: A: A B: B C: C D: D 正确答案: (单选题) 17: 如果曲面体表面的投影或直线的投影具有积聚性，那么，贯穿点的投影在有积聚性的投影中为已知，其余投影可利用表面做点的方法求得 A: 正确 B: 错误 正确答案: (单选题) 18: 下列不属于求作截交线的方法的是（） A: 辅助平面法 B: 换面法 C: 素线法 正确答案: (单选题) 19: 直线上任意两点的高差与其水平距离之比，称为该直线的（） A: 倾角 B: 倾斜比 C: 平距 D: 坡度 正确答案: (单选题) 20: 两曲面体的相贯线一般为封闭的空间曲线，当两圆柱面的素线平行时，相贯线为（） A: 直线和一段圆弧 B: 全部直线 C: 圆 正确答案:
第一章制图基本知识第二章正投影法基础第三章换面法 第四章组合体 1. 组合体视图的画法 2. 平面与回转面的交线 3. 两回转面的交线 4. 组合体视图及其尺寸注法 5. 读组合体视图 第五章轴测图 第六章机件形状的基本表示 方法 1. 视图、剖视 2. 断面、简化画法 第七章零件图 第八章常用标准件和齿轮、 弹簧表示法 第九章装配图 P 3 P 2 第一章制图基本知识
第一章制图基本知识 第二章正投影法基础 第三章换面法 第四章组合体 1. 组合体视图的画法 2. 平面与回转面的交线 3. 两回转面的交线 4. 组合体视图及其尺寸注法 5. 读组合体视图 第五章轴测图 第六章机件形状的基本表示 方法 1. 视图、剖视 2. 断面、简化画法 第七章零件图 第八章常用标准件和齿轮、 弹簧表示法
第一章制图基本知识 第二章正投影法基础 第三章换面法 第四章组合体 1. 组合体视图的画法 2. 平面与回转面的交线 3. 两回转面的交线 4. 组合体视图及其尺寸注法 5. 读组合体视图 第五章轴测图 第六章机件形状的基本表示 方法 1. 视图、剖视 2. 断面、简化画法 第七章零件图 第八章常用标准件和齿轮、 弹簧表示法
第一章制图基本知识 第二章正投影法基础 第三章换面法 第四章组合体 1. 组合体视图的画法 2. 平面与回转面的交线 3. 两回转面的交线 4. 组合体视图及其尺寸注法 5. 读组合体视图 第五章轴测图 第六章机件形状的基本表示 方法 1. 视图、剖视 2. 断面、简化画法 第七章零件图 第八章常用标准件和齿轮、 弹簧表示法
定义法求线面角（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD 所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B与平面A1B1CD所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 3.如图，已知△ABS是等边三角形，四边形ABCD是正方形，平面ABS⊥平面ABCD， 则直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D. 4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则直线BC1与平面ACC1A1所成角的正切值是( ) A. B. C. D. 5.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=90°，则直线PA与底面ABC所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90° 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 7.如图，在四棱锥A-BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，则直线AE与平面ABC所成角的正切值为( )
A. B. C. D. 8.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点， 则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，若M，N分别是PC，PB的中点，则CD与平面ADMN所成角的正弦值为( ) A. B. C. D.
关于画法几何中换面法的初步探讨摘要：换面法是画法几何中最重要的概念之一，也是很重要的解题工具。解决一些画法几何问题采用换面法非常简便。本文对换面法做了简单介绍并，且就学习中常见的换面法问题做了一些初步剖析。 关键词：换面法、夹角、实形、交线。 一般位置的平面或直线，在任何投影面上都不反映平面或直线的实形、实长。而与投影面平行时，却能真实地反映它们原来的形状和长度。由此得到启示，只要设法将空间几何元素相对于投影面处于特殊位置，就可方便地求解一般位置几何元素度量或定位问题。这时我们假设空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。 换面法的核心理论就是把空间几何问题转化为平面几何问题，特别是解决复杂的空间几何问题作用尤为突出。换面法的新投影面选择必须符合两个基本条件：新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置和新投影面必须垂直于一个不变的投影面。只有把握这两个核心来剖析问题才能解决问题。 1、换面法求空间一般位置平面的实形 一般教材都使用换面法空间一般位置平面的实形, 如图 1 所示, 求正五棱柱被正垂面P v 切割后的截面的实形1121314151第一步作直线X , 平行于正垂面在主投影面上的投影线P v ; 第二步分别过1′2′3′4′5′作直线x1的垂直线并延长, 在延长线上画出俯视图投影点12 3 4 5 到主视图底边的各自等高线得到11 21 31 41 51 , 即可。
用换面法进行解题不仅需要研究几何元素之间的相对关系和这些元素与投影面之间的相对位置, 更重要的是研究如何选择新投影面以及几何元素在新投影面体系及原投影体系中投影之间的关系, 建立解题的空间几何模型, 拟定解题方法和步骤, 这都需要对空间几何关系以及这些关系在投影中的反映有更深人的分析和理解, 而分析和理解能力的提高建立在学习大量例题和完成大量作业的基础上, 所以需要大量的课时来完成。 2、求一般位置平面对投影面的夹角 方法: 将一般位置平面变换成投影面的垂直面, 如图 2 。 作图方式分二步: ( 1) 在平面内作投影面平行线, 如求a 换V 面作水平线; 求β, 换H 面作正平线; 求γ在>体系中换V 面, 作侧平线, 图为求β, 换H 面作正平线A D 。(2 ) 使新的投影轴X1 , 轴垂直于a’b′, 再将各点变换, 得到新的投影积聚为一直线b1 a1 c1, 则此直线与X1轴的夹角即为平面与V 面的倾角β。
直线与平面所成角复习课（2） ——线面角的三种常见求法一、教学内容解析 新课标立体几何内容较大纲教材变化大，三垂线及其逆定理作为阅读教材，对于有关线、面的垂直的求解方式方法带来很大的改变，对求解二面角及线面角的方式方法也带来很大的改变。对我校大部分学生而言，二面角求解要求属于了解层次，斜线与平面角所成的角属于理解与掌握层次，“求解线面角”变成我校学生学习立体几何有关角的计算最难的一个问题。特别是教材中对线在平面上的射影这一概念比较弱化，点面距离的概念在教材中已经退化，我校学生学习线面角主要方法就是定义法。那如何化解难点，使学生能够有条不紊的找出线面角并求解，成为这堂课的重中之重。 二、教学目标设置 1、知识与技能：正确认识直线与平面所成角的概念，能够利用面面垂直的性质找出已知平面的垂线从而找出线面角，能够利用向量法和等体积法帮助求解线面角。 2、过程与方法： （1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。 （2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。 （3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。 3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和数学应用意识，提高学习数学的兴趣。 三、学生学情分析 我班学生“偏文”，尤其是女生的空间想象能力很弱，拿到立体几何题恨不得道道用向量法求解，因而忽视了定义法的重要性。学生在寻找线面角的过程中往往毫无头绪无从下手，缺少应有的逻辑推理能力和空间想象能力，不喜欢或不擅长添加复杂的辅助线帮助找角和证明。本节课旨在打开他们的解题思路，将求解过程规范化，有序化，从而能够进一步提高他们求解立体几何有关角的计算能力。 四、教学策略分析 由于这是一节复习课，所以我选择在前一节课留给他们一道简单而又经典的线面角问题，让他们自由发挥，各尽所能。然后，我挑选几位同学的做法，就他们的解题思路予以细节上的纠正和方法的总结。再之后，留给他们大段的思考整理时间，并给予一道类似但难度有所上升的题目交给他们再次求解，要求尽量用三种方法解答出来。整节课堂基本由学生们自己回忆，自己思考，自己讨论和总结。当然，线面角的方法复习并不是一蹴而就的，还需要不断地润色和努力。 五、教学过程 前情提要：
河北 王学会 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5