高中数学第二章圆锥曲线与方程21椭圆212椭圆的简单性质(2)北师大版1-1

1 2.1.2 椭圆的简单性质(二)

学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.

知识点一 点与椭圆的位置关系

思考1 判断点P(1，2)与椭圆x24＋y2＝1的位置关系.

答案 当x＝1时，得y2＝34，故y＝±32，而2>32，故点在椭圆外.

思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？

答案 当P在椭圆外时，x20a2＋y20b2>1；

当P在椭圆上时，x20a2＋y20b2＝1；

当P在椭圆内时，x20a2＋y20b2<1.

知识点二 直线与椭圆的位置关系

思考1 直线与椭圆有几种位置关系？

答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.

思考2 如何判断y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系？

答案 联立 y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得关于x的一元二次方程.

位置关系 解的个数 Δ的取值

相交 两解 Δ>0

相切 一解 Δ＝0

相离 无解 Δ<0

知识点三 直线与椭圆的相交弦

思考 若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？

答案 有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公 2 式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得.

梳理 弦长公式：(1)|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝＋k2x1＋x22－4x1x2]；

(2)|AB|＝ 1＋1k2|y1－y2|

＝ ＋1k2y1＋y22－4y1y2].

注：直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率.

其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到.

类型一 直线与椭圆的位置关系

命题角度1 直线与椭圆位置关系的判断

例1 直线y＝kx－k＋1与椭圆x22＋y23＝1的位置关系是( )

A.相交 B.相切

C.相离 D.不确定

答案 A

解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.

反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法)

联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：

(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点.

(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点.

(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.

跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.

解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋2，

代入椭圆方程得x22＋(kx＋2)2＝1.

整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0.

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 3 Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0，

解得k＜－22或k＞22.

即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.

命题角度2 距离的最值问题

例2 在椭圆x24＋y27＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.

解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝32x＋m，代入x24＋y27＝1，

并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，

Δ＝9m2－16(m2－7)＝0

⇒m2＝16⇒m＝±4，

故两切线方程为y＝32x＋4和y＝32x－4，

显然y＝32x－4距l最近，

d＝|16－8|32＋－2＝813＝81313，

切点为P32，－74.

反思与感悟 此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离.

跟踪训练2 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使点P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.

解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为

x－y＋a＝0，

联立方程 x2＋8y2＝8，x－y＋a＝0，得9y2－2ay＋a2－8＝0，

Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，

解得a＝3或a＝－3，

∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，

最小距离为d＝|4－3|2＝22. 4 由 x2＋8y2＝8，x－y＋3＝0，得 x＝－83，y＝13，

即P点坐标为(－83，13).

类型二 弦长及中点弦问题

例3 已知椭圆x236＋y29＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.

(1)当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；

(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.

解 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝12(x－4)，

即y＝12x.由 y＝12x，x236＋y29＝1，消去y可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.

于是|AB|＝x1－x22＋y1－y22

＝ x1－x22＋14x1－x22

＝52 x1＋x22－4x1x2

＝52×62＝310.所以线段AB的长度为310.

(2)方法一 当直线l的斜率不存在时，不合题意.

所以直线l的斜率存在.

设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).

联立 y－2＝kx－，x236＋y29＝1，消去y得

(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.

若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝32k2－16k1＋4k2，

由于AB的中点恰好为P(4，2)， 5 所以x1＋x22＝16k2－8k1＋4k2＝4，解得k＝－12，且满足Δ>0.

这时直线的方程为y－2＝－12(x－4)，

即x＋2y－8＝0.

方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，

两式相减得x22－x2136＋y22－y219＝0，

整理得kAB＝y2－y1x2－x1＝－x2＋x1y2＋y1，

由于P(4，2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，

于是kAB＝－9×836×4＝－12，

于是直线AB的方程为y－2＝－12(x－4)，

即x＋2y－8＝0.

反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.

跟踪训练3 已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程.

解 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，

得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ①

∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴y1－y2x1－x2＝－1.

由已知得y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，代入①式可得b＝2a.

∵直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.

又|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，

∴|x2－x1|＝2.

联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，

可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0. 6 且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，

∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2

＝2ba＋b2－4·b－1a＋b. ②

将b＝2a代入②式，解得a＝13，∴b＝23.

∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.

方法二 由 ax2＋by2＝1，x＋y－1＝0，

得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，

且直线AB的斜率k＝－1，

∴|AB|＝k2＋x1－x22

＝k2＋x1＋x22－4x1x2]

＝2·4b2－a＋bb－a＋b.

∵|AB|＝22，∴2·4b2－a＋bb－a＋b＝22，

∴a＋b－aba＋b＝1.

①

设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b.

∵OC的斜率为22，

∴yx＝ab＝22，将其代入①式得，a＝13，b＝23.

∴所求椭圆的方程为x23＋2y23＝1.

类型三 椭圆中的最值(或范围)问题

例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 7 解 (1)由 4x2＋y2＝1，y＝x＋m，得5x2＋2mx＋m2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－52≤m≤52.

(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，

所以x1＋x2＝－2m5，x1x2＝15(m2－1)，

所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22

＝x1－x22＝x1＋x22－4x1x2]

＝ 24m225－45m2－＝25 10－8m2.

所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.

引申探究

在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.

解 可求得O到AB的距离d＝|m|2，

又|AB|＝2510－8m2，

∴S△AOB＝12|AB|·d

＝12·2510－8m2·|m|2

＝25 54－m2m2≤25·54－m2＋m22＝14，

当且仅当54－m2＝m2时，等号成立，

此时m＝±104∈[－52，52].

∴所求直线的方程为x－y±104＝0.

反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函