北师大版数学【选修2-2】《函数的最大值与最小值》导学案(含答案)

第3课时 函数的最大值与最小值

1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.

2.掌握求在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大值和最小值的方法和步骤.

如图,设铁路线AB=50 km,点C处与B之间的距离为10 km,现将货物从A运往C,已知1 km铁路费用为2元,1 km公路费用为4元,在AB上M处修筑公路至C,使运费由A到C最省,求M的具体位置.

问题1:函数的最值

函数的最值分为函数的最大值与最小值,函数的最大值和最小值是一个整体性概念, 必须是整个区间上所有函数值中的最大者, 必须是整个区间上的所有函数值中的最小者.

问题2:函数的最值与极值的区别

(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出的,极大值、极小值是比较 附近的函数值得出的;

(2)函数的极值可以有多个,但最值只能有 个;

(3)极值只能在区间内取得,最值可以在 处取得;

(4)有极值未必有最值,有最值也未必有极值;

(5)极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得,那么最值必定是 .

问题3:求函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:

(1)求f(x)在开区间(a,b)内所有使 的点.

(2)计算函数f(x)在区间内使f'(x)=0的所有点及 的函数值,其中最大的一个为 ,最小的一个为 .

问题4:利用导数可以解决以下类型的问题:

(1)恒成立问题;(2)函数的 即方程根的问题;(3)不等式的证明问题;(4)求参数的取值范围问题.

1.下列说法正确的是( ).

A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

2. 函数f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f'(x)( ).

A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3.函数y=x·e-x在x∈[2,4]上的最小值为 .

4.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,且a>0,求a,b的值.

利用导数求函数的最值

求函数f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值与最小值.

利用函数的最值求参数的范围

函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( ).

A.0≤a<1 B.0

利用导数解决恒成立问题

已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8.

(1)求函数f(x)的极值;

(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37.

(1)求实数a的值;

(2)求函数f(x)在[-2,2]上的最大值.

已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a>),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则a的值等于 .

设f(x)=x3-x2-2x+5.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)当x∈[-1,2]时,f(x)

1.下列命题中正确的是( ).

A.一个函数的极大值总是比极小值大

B.函数的导数为0时对应的点不一定是极值点

C.一个函数的极大值总比最大值小

D.一个函数的最大值可以比最小值小

2.函数f(x)=x3-x2-x+1在[-1,1]上的最大值为( ).

A. B. C. D.

3.如果函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上的最大值为3,那么函数在此区间上的最小值为

.

4.已知f(x)=x3-x2-2x+a,对任意x∈[-1,2]有f(x)<3a2,求a的取值范围.

(2012年·重庆卷)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.

(1)求a,b的值;

(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.

考题变式(我来改编):

答案

第3课时 函数的最大值与最小值

知识体系梳理

问题1:最大值 最小值

问题2:(1)极值点 (2)一 (3)端点 (5)极值

问题3:(1)f'(x)=0 (2)端点 最大值 最小值

问题4:零点

基础学习交流

1.D 最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的.

2.A 由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0.

3. y'==,当x∈[2,4]时,y'<0,即函数y=x·e-x在x∈[2,4]上单调递减,故当x=4时,函数有最小值为.

4.解:f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),

令f'(x)=0,得x=0或x=4,

则函数f(x)在[-1,2]上的单调性及极值情况如下表所示:

x [-1,0) 0 (0,2]

f'(x) + 0 -

f(x) ↗ 极大值 ↘

∴f(0)=b=3.

又∵f(-1)=-a-6a+3=-7a+3,

f(2)=8a-24a+3=-16a+3

∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.

重点难点探究

探究一:【解析】 f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,即x2-4=0,因为f'(x)>0时,x<-2或x>2,f'(x)<0时,-2

又由于f(0)=4,f(3)=1,因此,函数f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值是4,最小值是-.

【小结】设函数f(x)在[a,b]上连续,即在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:

(1)求f(x)在(a,b)内的极值;

(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值.

探究二:【解析】f'(x)=3x2-3a,∵在开区间(0,1)内有最小值,

∴最小值点一定不是端点,且在(0,1)内,

∴在(0,1)上f(x)有极值,即f'(x)=0有根,

∴f'(0)·f'(1)<0.

即(-3a)·(3-3a)<0,得0

[问题]上述求解过程正确吗?

[结论]结果正确,但过程不正确,因为上述过程不能体现在区间(0,1)内f(x)有极大值还是极小值,也就是f(x)有最大值,还是最小值,正解如下:

由题意f'(x)=3x2-3a的图像在(0,1)内与x轴有交点,且函数图像由下到上与x轴相交.

∴ 得0

【答案】B

【小结】本题解答关键是通过导数得到原函数的极值、单调性等性质,障碍在于如何将题意进行等价转化,同时要注意结合函数零点存在性定理.

探究三:【解析】(1)f'(x)=3x2+4x+1,令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=-. 当x变化时,f'(x)、f(x)的变化情况如下表:

x (-∞,-1) -1 (-1,-) - (-,+∞)

f'(x) + 0 - 0 +

f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增

∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4;

当x=-时,f(x)取得极小值为-.

(2)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,

F(x)≥0在[0,+∞)上恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞).

若2-a≥0,即a≤2,显然F(x)min=4>0.

若2-a<0,即a>2,f'(x)=3x2+(4-2a)x,

令f'(x)=0,解得x=0或x=.

当0

当x>时,f'(x)>0,

∴当x∈(0,+∞)时,F(x)min=F()≥0,

即()3+(2-a)()2+4≥0,

解不等式得a≤5,∴2

当x=0时,F(x)=4满足题意.

综上所述,a的取值范围为(-∞,5].

【小结】本题的关键是构造新函数,将问题转化为函数的最小值不小于0,再求参数范围.

思维拓展应用

应用一:(1)f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2.

当0

当-20,函数递增.

又f(-2)=-40+a, f(0)=a, f(2)=-8+a,

所以f(x)min=f(-2)=-40+a,

由已知得-40+a=-37,解得a=3.

(2)由(1)知函数f(x)在[-2,2]上的最大值为f(0)=a=3.

应用二:1 ∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1,

当x∈(0,2)时,f'(x)=-a,令f'(x)=0得x=,又a>,∴0<<2.

令f'(x)>0,则x<,∴f(x)在(0,)上递增;

令f'(x)<0,则x>,∴f(x)在(,2)上递减,

∴f(x)max=f()=ln-a·=-1,∴ln=0,得a=1.

应用三:(1)由已知得f'(x)=3x2-x-2,

令f'(x)=0,即3x2-x-2=0,解得x=1或x=-,