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四边形解题技巧学生版

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逸学教育 四边形题型及解题技巧

四边形解题技巧

一、平行四边形应用举例

平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明．

1．求角的度数

例1

如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC的度数．

2．求线段的长

例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A =120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的长．

3．求周长

例5 (2006·日照)如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF= 45°，且AE+AF=22，求ABCD的周长．

4．求第三边的取值范围

例6 (2006·双柏)如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是( )

A．10

5．综合计算题

例7 如图,ABCD的周长为26310，BC的长为35，AE⊥BC于E，AF⊥DC，垂足为DC延长线上的点F，AE=3．

求：(1)∠D的度数；(2)AF的长．

二、添作中位线，妙证几何题

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解．

逸学教育 四边形题型及解题技巧

例1 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，求证：ACAF31.

例2 如图，在△ABC中，AB

三、巧算与矩形有关的面积题

解答这类问题可考虑用未知数表示某些线段，构造方程来求解．

例13 如图，矩形ABCD的面积为S，E是AB的四等分点，F是BC的三等分点，G是CD的中点，则△EFG的面积为______．

四、折叠问题

近几年一些省市的中考题中出现了很多有关矩形纸片折叠的问题．由于这类问题的实践性强，需要同学们通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形利用勾股定理来求解．以下面例题加以说明．

例15 矩形纸片ABCD中．AD=4 cm，AB=10 cm，按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=______cm．

九、四边形“联姻”直角坐标系

中考中常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目有利于同学们把“数”与“形”联系起来思考，提高同学们综合运用知识的能力．

例24 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，0为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标．

逸学教育 四边形题型及解题技巧

例25 如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、D的坐标分别是(O，O)、(5，O)和(2，3)．求：(1)顶点C的坐标；(2)对角线AC、BD的交点E的坐标．

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析

辅助线是解几何题的重要工具，也是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁。与平行四边形有关的辅助线有哪些呢？下面本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴：

第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点FE,在对角线AC上，且CFAE,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）

⑴连结BF ⑵DEBF

⑶证明：连结DFDB,,设ACDB,交于点O

图2图1OOECCABDABDEF

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果12AC，

10BD，mAB，那么m的取值范围是（ ）

A111m B222m C1210m D65m

第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形

求证：222222DACDBCABBDAC 逸学教育 四边形题型及解题技巧

321图4图3KPFEDCFEDABCBA

第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD中，FE,分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：ABAP

第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

例5如左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有

AED∽FEC,FAB∽FEC,AED∽FAB

图6图5FONDDBACBACEFE

第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线

例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，BNAN,BCBE31,NE

交BD于F，求BDBF:

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专题 平行四边形的性质与判定(学生版)

专题 平行四边形的性质与判定(学生版)

1 专题 平行四边形的性质与判定

【能力提升】

例1.如图已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形：△ABE．△BCD．△ACF，求证：四边形DEAF是平行四边形．

例2.（1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，AD+CD＝20，则平行四边形ABCD的面积为

．

（2）在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0），C为顶点构造平行四边形，请你写出满足条件的点C坐标为 ．

例3.一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是_______.

例4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、点E为边AB上的点，且AD＝BE，点M、N分别为边AC、BC上的点．已知：AB＝a，DE＝b，则四边形DMNE的周长的最小值为

．

例5.如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有多少次？

例2（1）图 例2（2）图 例3图

例5图 例1图 2

例6.理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．

（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM＝

；

（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM＝ ；

（3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM＝ ；

拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．

实践应用：如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP＝300m2，S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．

4-3-4 任意四边形、梯形与相似模型(二)[1].学生版

4-3-4 任意四边形、梯形与相似模型(二)[1].学生版

4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 学生 page 1 of 12

板块二 梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

ABCDObaS3S2S1S4

①2213::SSab

②221324::::::SSSSababab；

③S的对应份数为2ab．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

【例 1】 如图，22S，34S，求梯形的面积．

S4S3S2S1

【巩固】 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB△与BOC△的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．

3525OABCD

例题精讲

任意四边形、梯形与相似模型

4-3-4.任意四边形、梯形与相似模型 学生 page 2 of 12 【巩固】 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积。

ABCDO

【例 2】 梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的23，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．

OABCD

【例 3】 如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知1AO，并且35ABDCBD三角形的面积三角形的面积，那么OC的长是多少？

专题 平行四边形模块中档大题过关20题(学生版)

专题 平行四边形模块中档大题过关20题(学生版)

1平行四边形模块中档题过关30题（学生版）

专题简介：本份资料包含平行四边形、矩形、菱形、正方形这四节的主流中档大题，所选题目源自近四年各名校

试题中的有代表性的优质试题，把每一个模块中的高频考题按题型进行分类汇编，立意于让学生们用较短的时间

刷考试最喜欢考的题、刷最有利于提分的好题，也适合于培训机构老师给学生进行专题复习时使用。

平行四边形

一：平行四边形、矩形、菱形的性质汇总

平行四边形矩形菱形









中点为中点为

对角线：互相平分邻角互补对角相等

角的方向位置关系大小关系

边的方向

平行四边形

BDOACO

二：平行四边形的判定：两个条件，五种判定方法















ODOBOCOA

分对角线：对角线互相平等角的方向：两组对角相两组对边相等两组对边平行一组对边平行且相等

边的方向

平行四边形的判定

1．（长郡）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AEBD，CFBD，

垂足分别为E，F．AC平分DAE．

（1）若50AOE，求ACB的度数；

（2）求证：AECF

．角=90

对角线相等邻边相等

对角线垂直

22．（2021秋•长沙期中）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD

交BD于点F．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数．

3．（2018•吉林模拟）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB＝CF；

（2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF．

4.（明德）在平行四边形

ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，且DF=CF，连接AE，AF，并延长AF交BC

的延长线于点P.

(1)求证：△ADF≌△PCF；

(2)若AE=2,AF=4,∠EAF=60∘，求PE的长。

3矩形

矩形的判定：三个条件或者“2＋1”模式

初中数学中考一轮05、四边形的综合应用(学生版)

初中数学中考一轮05、四边形的综合应用(学生版)

四边形的综合应用 学生姓名 年级 学科

授课教师 日期 时段

核心内容 平行四边形的性质与判定

特殊平行四边形的性质与判定图形变换

课型

一对一/一对N

教学目标 熟练应用特殊四边形的性质与判定

熟练的解决以特殊四边形为背景的综合题

重、难点 熟练的解决以特殊四边形为背景的综合题

课首沟通

1、知识点回顾

2、作业检查

3、询问学校进度及掌握情况

知识导图

课首小测

1. [单选题] 下列命题中，正确的是( )． A.两组角相等的四边形是平行四边形

B.一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形C.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2. [单选题] 对角线互相垂直平分的四边形是（ ）

A.平行四边形、菱形 B.矩形、菱形 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形

3. [单选题] 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）．

A.对角相等 B.对角互补 C.邻角互补 D.内角和是 4. 如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且

∥ 时，这个四边形是平行四边形．

5. 若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为 cm²。

6. 已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则该菱形的周长为 cm。

7. （2015年四川广安中考）在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：

OA=OE．

8. （2013年广东广州中考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.

9. （2015年广州中考）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF.

求证：BE=AF.

导学一 ： 平行四边形的性质与判定

知识点讲解 1：平行四边形的性质与判定 证： . 例 1. [单选题] （2015年广州中考）下列命题中，真命题的个数有（ ）