上海市初二数学四边形的解题方法和技巧

第19章四边形核心素养整合与提升-2022-2023学年八年级下册初二数学(沪科版)1. 引言四边形是初中数学中重要的几何概念之一，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本章将重点介绍四边形的定义、性质、分类和相关定理等内容，并通过练习题和实际问题来加深学生对四边形的理解和应用能力。

2. 四边形的定义和性质四边形是由四条线段组成的图形，它的特点是有四个顶点、四条边和四个内角。

四边形的性质有以下几点：•相邻两边不能共线：如果四边形的相邻两边共线，那么它就不是四边形，而是一条线段或一条直线。

•相邻两边不能相交：如果四边形的相邻两边相交，那么它就不是四边形，而是一个多边形。

•对角线的性质：四边形的对角线有以下性质：–对角线互相垂直–对角线互相平分–对角线的长度关系3. 四边形的分类根据四边形的不同性质和特点，可以将四边形分为以下几种常见的类别：•矩形：四条边都相等且对角线相等的四边形。

•正方形：即特殊的矩形，四条边相等且对角线相等且互相垂直的四边形。

•平行四边形：相对的两边平行的四边形。

•菱形：对角线相等且互相垂直的四边形。

•梯形：两条边平行的四边形。

•矩形：所有边长和角度均相等的四边形。

•一般四边形：没有特殊性质的四边形。

4. 四边形的计算与应用四边形的计算和应用是实际生活中的重要问题之一。

在本章中，我们将重点介绍四边形的周长和面积的计算方法，以及与实际问题的关联。

4.1. 四边形的周长计算四边形的周长是指四边形的四条边的总长度。

计算四边形的周长需要知道每条边的长度，并将它们相加。

对于不规则四边形，可以通过分段计算每一条边的长度再相加。

4.2. 四边形的面积计算四边形的面积是指四边形所覆盖的平面区域的大小。

对于不规则四边形，可以使用面积的近似计算方法，如将其分割成多个简单图形的面积之和，再进行计算。

对于特殊形状的四边形，如矩形和正方形，可以直接使用相应的公式进行计算。

4.3. 实际问题的应用四边形的应用非常广泛，它们可以用于解决各种实际问题。

中考数学四边形求解题技巧中考数学中，四边形是一个非常重要的知识点，也是考试中常出现的题型之一。

四边形题目涉及到求解角度、边长、面积等方面的知识，掌握一些解题技巧能够有效提高解题速度和准确性。

下面我将介绍一些中考数学四边形求解题的技巧。

1. 利用图形性质分析题目在解决四边形问题时，首先要观察给出的图形，分析各个角的大小关系以及边长的关系。

根据图形的特点，我们可以推导出一些性质，这些性质可以帮助我们解决问题。

例如，互补角的性质：如果两个角的和等于90度，则它们是互补角。

利用这个性质，我们可以求解出两个互补角中的一个。

2. 利用角的性质在解四边形题时，经常需要求解各个角的大小。

对于平行四边形和矩形来说，对角线之间的夹角都是相等的；对于菱形来说，它的所有内角都是直角；对于等腰梯形来说，它的两个底角是相等的。

利用这些角的特点，我们可以通过已知条件求解出其他角的大小。

同时，还需要掌握计算角度的方法，如180度减去一个角的度数可以求出另一个角的度数。

3. 利用截线性质在解四边形问题时，有时会用到线段的截线性质。

截线性质是指当一条直线截断两条平行线时，所得截线与平行线之间的对应角是相等的。

利用这个性质，我们可以推导出两条平行线之间的一些角的大小关系，然后通过已知条件求解其他角的大小。

4. 利用边长的性质在解决四边形问题时，有时需要求解各个边的长度。

根据已知条件和图形的特点，我们可以列方程，然后求解出未知边长。

例如，如果题目已知一个矩形的长和宽之比为3:2，并且矩形的周长为40，我们可以设矩形的长为3x，宽为2x，列出方程3x + 2x + 3x + 2x = 40，然后解方程求解出x 的值，进而求解出长和宽的值。

5. 利用面积的性质在解决四边形问题时，有时需要求解图形的面积。

对于矩形、正方形、菱形来说，我们可以利用边长或对角线的性质求解出面积。

例如，对于矩形来说，我们可以用长和宽的乘积求解出面积；对于菱形来说，我们可以用对角线的乘积除以2求解出面积。

初二数学-“四边形(Ⅰ)”的解题方法与技巧-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初二数学“四边形（Ⅰ）”的解题方法与技巧学习要求1．理解多边形及其有关概念，掌握多边形的内角和定理与多边形的外角和定理；2．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理，会用平行四边形的性质定理与判定定理来解决简单的几何证明和计算问题。

3．理解矩形、菱形、正方形的概念，清楚它们之间的内在关系；掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质和判别方法，并能运用这些知识进行有关简单的证明和计算．本章学习的能力训练点是结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力．方法点拨考点1：多边形的内角和定理与多边形的外角和定理1．（n＋1）边形的内角和比n边形的内角和大（）A．180°； B．360°； C．n·180°； D．n·360°．变式演练：一个多边形除去一个内角之外，其余各内角之和是2570°，则这个内角的度数为（）A．90°； B．105°； C．130°； D．120°．2．若多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，求边数和内角和．变式演练：如果各角都相等的多边形的一个内角是它的外角的n倍，则这个多边形的边数是（）答案：BA．不存在； B．2n＋2； C．2n－1 ； D．以上都不对．3．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E．（2）图（1）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E）有无变化？如图（2），说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C 向上移动到BD 上时，五个角的和（即∠CAD ＋∠B+∠ACD ＋∠D ＋∠E ）有无变化？如图（3），说明你的结论的正确性．考点2：平行四边形的性质与判定应用1．顺次联结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A ．平行四边形； B ．矩形； C ．菱形； D ．正方形 2．（Ⅰ）已知：如上图，ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，EF 过点O 与AB CD 、分别相交于点E F 、．求证：BE DF =（Ⅱ）请写出使如下图所示的四边形ABCD 为平行四边形的条件（例如，填：AB CD ∥且AD BC ∥．在不添加辅助线的情况下，写出除上述条件外的另外四组条件，将答案直接写在下面的横线上．）(1)： ； (2)： ； (3)： ； (4)： ．变式演练：1．如图，已知ABCD 中，E 为AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点F ．（1）求证：CD FA =；DACO BDAE CFOB（2）若使F BCF ABCD ∠=∠，的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并进行证明（不要再增添辅助线）．2．如图，在ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB AE =．（1）求证：ABC EAD △≌△．（2）若AE 平分DAB ∠，25EAC =∠，求AED ∠的度数．考点3：特殊平行四边形的性质与判定应用1．如图，将矩形纸片ABCD （图1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（ ）AB CA ．60°；B ．67.5°；C ．72° ；D ．75°2．如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA（1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF并证明你的结论．3．如图，在Rt ABC △中，60A =∠，点E F ，分别在AB AC ，上，沿EF 对折，使点A 落在BC 上的点D 处，且FD BC ⊥．（1） 确定点E 在AB 上和点F 在AC 上的位置；（2） 求证：四边形AEDF 是菱形．变式演练：已知：如图，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，BD是对角线，AG DB ∥交CB 的延长线于G ． （1）求证：ADE CBF △≌△；（2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．FD604．如图1，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O E ，是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM BE ⊥，垂足为M AM ，BD F 于点．（1）求证：OE OF =；(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM BE ⊥于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE OF =”还成立吗？如果成立，请给出证变式演练：如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C ，D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连结DE 交BG 的延长线于H ．DC图E(1)求证：① BCG △≌DCE △；② BH ⊥DE ． (2)试问当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE 请说明理由．5．如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC 、BD 的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形。

四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题是指在四边形中，指定一个或多个点 (动点) 的运动方式及方向，求其余点 (定点) 在发展过程中的坐标及对应数量关系的问题。

解决四边形动点问题需要掌握以下技巧:
1. 分析题意：认真阅读题干，了解动点的运动方式、方向及限制条件，提取关键信息，确定解题方向。

2. 建立坐标系：通常是在平面直角坐标系中解决这个问题，需要将动点的位置转化为坐标，以便于应用代数方法解决问题。

3. 建立等量关系：通过分析题目中的限制条件和运动方式，建立动点和定点的等量关系，通常可以用行程问题、角度问题等来表示。

4. 列方程解题：根据等量关系，列出代数方程，求解未知数的值，然后根据题意进行画图、分析、总结。

5. 分类讨论：对于存在角度限制或速度限制等问题的题目，需要进行分类讨论，以确保解答的正确性。

6. 注意细节：在解决问题的过程中，需要注意细节，如动点的速度、方向、持续时间等因素，以免出现不必要的错误。

综上所述，解决四边形动点问题需要有清晰的思路和扎实的数学知识基础，需要善于发现问题的本质，善于运用代数方法解决问题，同时需要注意细节和分类讨论。

第8讲多边形和平行四边形多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础．模块一：多边形知识精讲1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180n-⋅︒．7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．9、多边形的外角和等于360°．例题解析例1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】B【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【详解】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n-2）×180°=360°，解得：n=4．故选：B．【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．例2．（2019·上海金山区·八年级期中）八边形的内角和为________度．【答案】1080【详解】解：八边形的内角和=180(82)1080︒︒⨯-=例3．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是2160︒，那么这个多边形的边数是_________．【答案】14【分析】n 边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n ，就得到方程，从而求出边数．【详解】解：设这个多边形的边数是n ，则（n-2）•180°=2160°，解得：n=14．则这个多边形的边数是14．故答案为：14．【点睛】本题考查多边行的内角和定理，关键是根据n 边形的内角和为（n-2）×180°解答．例4．（2019·上海上外附中）n 边形的内角和是外角和的三倍，则n =_________【答案】8【分析】根据“多边形的内角和是外角和的三倍”，结合n 边形的内角和公式和多边形的外角和为360°，列出关于n 的一元一次方程，解之即可．【详解】解：n 边形的内角和为：(n −2)×180°，n 边形的外角和为：360°，根据题意得：(n −2)×180°=3×360°，解得：n =8，故答案为：8．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，正确掌握多边形的内角和公式和多边形的外角和为360°是解题的关键．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1∶2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数．【答案】12；24.【分析】设它们的边数分别为x 、2x ，根据多边形的内角和公式即可表示出每一个内角的度数，再根据第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，即可列方程求解．【详解】解：设它们的边数分别为x 、2x ，由题意得180(22)180(2)152x x x x---=，解得12x =，经检验12x =是分式方程的根答：这两个多边形的边数为12和24.【点睛】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：180(2)n ︒-6．（2019·上海八年级课时练习）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数．【答案】130°【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为正整数求解，进而求出多边形的内角和，减去其余的角即可得到结果.【详解】设这个内角度数为x °，边数为n ，则（n-2）×180°-x=2570°，n ×180°=2930°+x ，即x ＝n ×180°﹣2930°，∵0°＜x ＜180°，解得16.2＜n ＜17.2，又∵n 为正整数，∴n=17，则这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°．【点睛】解此题的关键在于利用内角和公式（n-2）×180°列出等式，再根据多边形内角的范围得到关于边数n 的不等式，要注意多边形的边数n 为正整数，所以在n 的取值范围内取正整数即为n 的值.例7.（1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线；（2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多边形共有__________条对角线．【难度】★【答案】（1）2；（2）20．【解析】（1）多边形的一个顶点可以画()3n -条对角线，所以是5-3=2条．（2）由题意知，一个多边形可以切割成()2n -个三角形，则()2n -=6，由多边形的对角线条数公式()32n n -，可知这个多边形共有()883202⨯-=条对角线．【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式．例8.已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求这个多边形的边数与每个内角的度数．【难度】★★【答案】边数是18，每个内角的度数为160°．【解析】因为多边形的外角都是360°，所以这个多边形的内角和为360°×8=2880°，又因为多边形的内角和公式是()1802n -，所以()1802n -=2880°，解得：18n =．因为每个内角都相等，所以每个内角度数为2880°÷18=160°.【总结】考察多边形内角和外角的应用．例9.一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，这个内角是多少度?这个多边形有几条边?【难度】★★【答案】18【解析】设有n 条边，则内角和为()1802n -．因为多边形每个内角度数都大于0°小于180°．所以()275018022750180n -+，解此不等式地17.2718.27n ，n 为边 数只能取正整数，所以18n =．【总结】考察多边形内角和的应用．例10.某人从点A 出发，沿直线前进100米后向左转30°，在沿着直线前进100米，又向左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了多少米．【难度】★★【答案】1200米．【解析】由题意知A 回到出发点时，所走轨迹是一个正多边形，由多边形的外交和是360°， 所以360°÷30°=12次，所以共走了12个100米，一共走了12×100=1200米．【总结】考察多边形外角和的应用．例11.在四边形ABCD 中，∠A =80°，∠B 和∠C 的外角分别为105°和32°，求∠D 的度数．【难度】★★【答案】57°【解析】多边形外角和为360°，由题意知∠A 的外角为180°-80°=100°，所以∠D 的 外角为360°-100°-105°-32°=123°，对应的∠D=180°-123°=57°．【总结】考察多边形外角和的应用．例12.设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为（ ）A 、 40°B 、90°C 、120°D 、130°【难度】★★【答案】D【解析】设有n 条边，则内角和为()1802n -．因为多边形每个内角度数都大于0°小于180°．所以()257018022570180n <-<+，解此不等式地16.2717.27n ，n 为边数只能取正整数，所以17n =, 所以这个内角为()()1802-2570180172-2570130n -=⨯-=．【总结】考察多边形内角和的应用．例13.一个凸n 边形的内角中，恰好有4个钝角，则n 的最大值是（ ）A 、5B 、6C 、7D 、8【难度】★★★【答案】C【解析】因为多边形的内角和是180°的倍数，所以内角中有4个钝角，就会有()4n -个直角或者锐角，可知内角和一定小于4×180°+()490n -⨯，即()1802n -< 4×180°+()490n -⨯，解得：8n <，最大值是7．【总结】考察多边形内角和的应用．例14.已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数．【难度】★★★【答案】11，60°．【解析】多边形的内角和为()1802n -，则这个外角为()18021560n --，由于每一个外角都大于0°且小于180°，所以()018021560180n <--<，解得10.711.7n <<， 所以11n =，这个外角的度数为()()18021560180112156060n --=⨯--=．【总结】考察多边形内外角和的应用．例15.已知凸n 边形12n A A A ⋅⋅⋅（n ＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且123285A A A ∠+∠+∠=︒，那么n =__________．【难度】★★★【答案】10【解析】多边形的内角和为()1802n -，其余共()3n -个内角和为()1802-285n -，可知()18022850n -->是15°的倍数也是()3n -的倍数，()()18022851803105105718015123333n n n n n n ----⎛⎫==-=- ⎪----⎝⎭， 可知31n -=或者37n -=，又n ＞4，所以10n =．【总结】考察多边形内外角和的应用．模块二：平行四边形的概念及性质1、 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“”表示，如：ABCD ．2、平行四边形性质定理①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．简述为：平行四边形的对边相等．②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．简述为：平行四边形的对角相等．③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分．简述为：平行四边形的两条对角线互相平分．④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．例题解析例1．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图所示，在平行四边形中，EF 过对角线的交点，若 AB=4，BC=7，OE=3，则四边形EFDC 的周长是（ ）A ．14B ．11C ．17D ．10【答案】C 【分析】由在平行四边形ABCD 中，EF 过两条对角线的交点O ，易证得△AOF ≌△COE ，则可得,26DF CE AD EF OE +===，继而求得四边形FECD 的周长．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA=OC ，CD=AB=4，AD=BC=7∴∠FAO=∠ECO ，在△AOE 和△COF 中，FAO ECO OA OCAOF COE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴AF=CE ，OF=OE=3， ∴EF=6，∴四边形EFDC 的周长是：CD+DF+EF+CE=CD+DF+AF+EF=CD+AD+EF=4+7+6=17．故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．例2．（2019·上海八年级课时练习）如图所示，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（）个平行四边形.A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，易得平行四边形有：▱ABCD，▱ABFE，▱EFCD，▱AGHD，▱BCHG，▱OEDH，▱OFCH，▱OEAG，▱OGBF共9个．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥AB，GH∥AD，∴AD∥GH∥BC，AB∥EF∥CD，∴平行四边形有：▱ABCD，▱ABFE，▱EFCD，▱AGHD，▱BCHG，▱OEDH，▱OFCH，▱OEAG，▱OGBF 共9个．故选：C.【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．例3．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC ＝2：5，那么AD＝_____cm．【答案】20【分析】由▱ABCD的周长为56cm，根据平行四边形的性质，即可求得AB+BC＝28cm，又由AB：BC＝2：5，即可求得答案．【详解】解：∵▱ABCD的周长为56cm，∴AB+BC＝28cm，∵AB：BC＝2：5，∴AD＝BC＝525×28＝20（cm）；故答案为：20．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边相等的性质的应用是解此题的关键．例4．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____．【答案】5【分析】分析题意，△FBE为△ABE的翻折后的三角形，则△FBE≌△ABE，利用全等三角形各对应边相等、平行四边形的性质及线段间的等量关系可求解FC的长．【详解】解：根据题意得△FBE≌△ABE，∴EF＝AE，BF＝AB．∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝DC．∵△FDE的周长为8，即DF+DE+EF＝8，∴DF+DE+AE＝8，即DF+AD＝8．∵△FCB的周长为18，即FC+BC+BF＝18，∴FC+AD+DC＝18，即2FC+AD+DF＝18．∴2FC+8＝18，∴FC＝5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了折叠问题，已知折叠问题就是已知图形的全等，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化．例5．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知四边形ABCD，点O是对角线AC与BD =，请再添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，那么添的交点，且OA OC加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达）=【答案】OB OD【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案．【详解】解：如图所示：∵OA=OC，由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴可以是OB=OD（答案不唯一）．故答案为：OB=OD （答案不唯一）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，一般有几种方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形．例6．（2018·上海虹口区·八年级期中）在平行四边形ABCD 中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为______度．【答案】40【分析】本题主要依据平行四边形的性质，得出两邻角之和180°，再有两邻角的度数比是7：2，得出较小角的度数．【详解】解：设两邻角分别为7,2x x ， 则72180x x +=︒，解得：20x =︒，∴较小的角为40°． 故答案为：40．【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的两邻角之和为180°．例7．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）以不共线的三个已知点为顶点画平行四边形，可以画出_____________个平行四边形【答案】3【分析】不在同一直线上的三点为A 、B 、C ，连接AB 、BC 、CA ，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个平行四边形．【详解】解：已知三点为A 、B 、C ，连接AB 、BC 、CA ，①以AB 为平行四边形的对角线，BC 、CA 为两边可以画出ACBD ；②以CB 为平行四边形的对角线，BA 、CA 为两边可以画出ACEB ；③以CA 为平行四边形的对角线，BA 、CB 为两边可以画出ABCF ；如图，可构成的平行四边形有三个：ACBD ，ACEB ，ABCF ．故答案为：3．【点睛】本题考查了画平行四边形的方法，关键是首先确定平行四边形的对角线与两边，再画出图形．例8．（2019·上海市娄山中学八年级月考）在ABCD 中, ∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 的两条线段, 则ABCD 的周长为_____.【答案】20cm 或22cm ；【分析】∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 的两条线段，设∠A 的平分线交BC 于E 点，有两种可能，BE=4或3，证明△ABE 是等腰三角形，分别求周长．【详解】解：设∠A 的平分线交BC 于E 点，∵AD ∥BC ，∴∠BEA=∠DAE ，又∠BAE=∠DAE ，∴∠BEA=∠BAE ∴AB=BE ．而BC=3+4=7．①当BE=4时，AB=BE=4，▱ABCD 的周长=2×（AB+BC ）=2×（4+7）=22；②当BE=3时，AB=BE=3，▱ABCD 的周长=2×（AB+BC ）=2×（3+7）=20．所以▱ABCD 的周长为22cm 或20cm ．故答案为22cm 或20cm ．【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质： ①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．例9．（2020·上海杨浦区·八年级期末）在平行四边形ABCD 中，如果3B A ∠=∠，那么A ∠=_________度．【答案】45【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得A C ∠=∠，B D ∠=∠，又由180A B ∠+∠=︒，即可求得答案．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，A C ∴∠=∠，B D ∠=∠，3B A ∠=∠，180A B +∠=︒，45A ∴∠=︒．故答案为：45．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的对角相等定理的应用．例10．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在ABCD 中，70A ∠=︒，将ABCD 绕顶点B 顺时针旋转到111A BC D ，当11C D 首次经过顶点C 时，旋转角1ABA ∠=_________°．【答案】40【分析】由旋转的性质可知：BC=BC 1，得到∠BCC 1=∠C 1，又因为旋转角∠ABA 1=∠CBC 1，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】∵▱ABCD 绕顶点B 顺时针旋转到▱A 1BC 1D 1，∴BC=BC 1，∴∠BCC 1=∠C 1，∵∠A=70°，∴∠BCD=∠A=∠C 1=70°，∴∠BCC 1=∠C 1=70°，∴∠CBC 1=180°-2×70°=40°，∴∠ABA 1=40°，故答案为：40．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC 1是等腰三角形．例11.在平行四边形ABCD 中，若∠A 的度数比∠B 大20°，则∠B 的度数为__________，∠C 的度数为__________．【难度】★【答案】80°，100°．【解析】因为是平行四边形，所以180A B ∠+∠=，又-20A B ∠∠=，解得80100B A ∠=∠=；．因为平行四边形的对角相等，所以100C ∠=．【总结】考察平行四边形的内角和及内角的性质．例12.在ABCD 中，E 在BC 上，AB =BE ，∠AEB =70°，求平行四边形ABCD 各内角的度数．【难度】★【答案】40140B D BAD BCD ∠=∠=∠=∠=；．【解析】由题知，在∆BAE 中，70BEA BAE ∠=∠=，所以40B D ∠==∠，18040140BAD BCD ∠=∠=-=．【总结】考察平行四边形的内角度数相关知识点．例13.如果ABCD 的周长是50cm ，AB 比BC 短3cm ，那么CD 、DA 分别是多少．【难度】★【答案】1411DA cm CD cm ==，．【解析】平行四边形的对边平行且相等，所以50225AB BC cm +=÷=，又-3BC AB cm =， 解得1411.BC cm AB cm ==，又因为,AB CD BC AD ==,所以14,11DA cm CD cm ==．【总结】考察平行四边形的边的相关知识点．例14如图，在△ABC 中，AB =AC =8，D 是底边BC 上一点，DE //AC ，DF //AB ，求四边形AEDF 的周长．【难度】★【答案】16【解析】由题意知DE //AC ，所以C EDB ∠=∠,又因为C B ∠=∠所以B EDB ∠=∠，得EB=ED ．同理可得FD=FC ，所以四边形AEDF 的周长=AE +ED +DF+AF =AE +EB +CF +AF=AB +AC =8+8=16．【总结】考察平行四边形的边的平行性质的应用．例15.如图，已知平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，且AE =2，DE =1，则平行四边形ABCD 的周长等于__________．【难度】★【答案】10【解析】由题知ABE CBE ∠=∠．因为AD//BC ，所以AEB CBE ∠=∠，得ABE AEB ∠=∠，即AE =AB =2．因为AD=AE+ED =2+1=3，所以平行四边形ABCD 的周长等于=2×（AB+AD ）=2×（2+3）=10．【总结】考察平行四边形的综合应用．例16.（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在ABCD 中，60B ∠=︒，AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂足分别为点E 、F（1）求EAF ∠的度数；（2）如果6AB =，求线段AE 的长．【答案】（1）60EAF ∠=︒；（2）AE =【分析】（1）利用平行四边形的邻角互补的知识先求出∠C 的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出∠EAF 的度数．（2）求出∠BAE 的度数，然后在直角三角形中利用30°及勾股定理的知识求出AE 的长．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=60°，∴∠C=120°，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEC=∠AFC=90°，在四边形AECF 中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°，∴∠EAF=60°；（2）在Rt ABE △中，90AEB =︒∠，6AB =，∵60B ∠=︒，∴30BAE ∠=︒，∴132BE AB ==．由勾股定理，得AE ===，∴AE =【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的应用，掌握平行四边形的邻角互补及勾股定理是解题的关键．例17．（2019·上海市西延安中学八年级期中）如图，在□ABCD 中，∠B 、∠D 的平分线分别交对边于点E 、F ，交四边形的对角线AC 于点G 、H ．求证：AG =CH ．【分析】先根据平行四边形的性质，利用ASA 判定△ADH ≌△CBG ；再根据全等三角形的对应边相等，从而得到AH=CG ，则AH+HG=CG+HG ，即AG =CH ．【详解】证明：∵平行四边形ABCD , ∴AD =CB ,AD ∥CB ，∠ADC=∠CBA∵DE 、DF 分别为角平分线， ∴∠DAH =∠BCG ,∠CBG =∠ADH ，在 △ADH 和△CBG 中{∠DAH =∠BCGAD =CB∠CBG =∠ADH∴ΔADH ≅ΔCBG(ASA) ∴AH =CG ．∴AH+HG=CG+HG ，即AG =CH ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．例18.如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知△BOC 的周长比△AOB 的周长多8cm ，求ABCD 各边的长．【难度】★【答案】AB =CD =11cm ，BC =AD =19cm ．【解析】由题知8BOC AOB C C ∆∆-=，且OA =OC ，即BO +OC +BC -(BO +OA +AB )=BC-AB =8，又因为2×(AB+BC )=60，所以得BC+AB=30，BC-AB =8，所以AB =CD =11cm ，BC =AD =19cm ．【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．例19.平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为________．【难度】★★【答案】20或22．【解析】如图由题意可分两种情况：1、AE=3，ED=4，由题知ABE CBE∠=∠．因为AD//BC，所以AEB CBE∠=∠，得ABE AEB∠=∠，即AE=AB=3，因为AD=AE+ED=3+4=7，所以这个平行四边形的周长为2×(AB+AD)=2×(3+7)=20；2、AE=4，ED=3，同理可求这个平行四边形的周长为22；故该平行四边形的周长为20或22．【总结】考察平行四边形的性质及等腰三角形的综合应用．例20.如图，在ABCD中，AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分别为E、F，若∠B=50°，求∠FAE 的度数．【难度】★★【答案】50゜．【解析】因为平行四边形的对角相等，所以50B D∠=∠=．因为平形四边形的邻角互补，所以18050130BAD∠=-=．在直角三角形BAE中，40BAE∠=，同理40DAF∠=，所以130404050FAE∠=--=．【总结】考察平行四边形的性质及直角三角形的性质的综合应用．例21.平面直角坐标系中，ABCD的对角线交点在坐标原点，若A点的坐标为(4，3)，B点的坐标为(-2，2)，求点C、D 的坐标及ABCD的周长．【难度】★★【答案】C（-4，-3）；D（2，-2）；【解析】因为平行四边形的对角线相互平分，所以可知C点的坐标为（-4，-3），D点的坐标为（2，-2）．由两点间的距离公式可得AB==CB所以ABCD的周长=2×+【总结】考察平行四边形的性质的在平面直角坐标系中的运用．例22.在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD 的边AB //x 轴，B 、D 均在y 轴上，又知道A 、D 在直线y =2x -1上，且B 点坐标(0，1)，求A 、C 、D 的坐标及ABCD S ．【难度】★★【答案】A (1 ，1)；C (-1 ，-1)；D (0 ，-1)；ABCD S=2． 【解析】由题意知A 的纵坐标与B 相同，把y =1代入y =2x -1中,可得A 的横坐标为1，所以A 的坐标为A (1 ，1)，D 为y =2x -1与y 轴的交点，所以D 为（0，-1）．因为AB //CD 且AB =CD ，所以C 的坐标为（-1，-1）．从而可求CD=1，BD=2，且BD ⊥CD ，所以ABCD S =122CD BD ⨯=⨯=．【总结】考察平行四边形的性质在平面直角坐标系中的应用．例23.如图，已知ABCD 的面积为24，求阴影部分的面积．【难度】★★【答案】12．【解析】因为平行四边形是中心对称图形，可知每一个小阴影三角形都有一个小空白三角形与之完全重合．所以阴影部分的面积是24．【总结】考察平行四边形的中心对称性的运用．例24.已知在ABCD 中，M 是AD 的中点，AD =2AB ，求∠BMC 的度数．【难度】★★【答案】90°．【解析】由题知AM=AB=CD=MD ，设2ABC D ∠=∠=Φ．则可得ABM MBC AMB ∠=∠=∠=Φ，在三角形DMC 中，DM=DC ，2D ∠=Φ，可得90DMC ∠=-Φ，所以()180-1809090BMC AMB DMC ∠=∠-∠=-Φ--Φ=．【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．例25.如图所示，平行四边形ABCD 中，G 、H 是对角线BD 上两点，DG =BH ，DF =BE ． 求证：∠GEH =∠GFH ．【难度】★★【解析】在DFG ∆与BHE ∆中，因为DG =BH ，DF =BE ，CDB DBA ∠=∠，所以DFG ∆≅BHE ∆，所以GF=EH ，DGF BHE ∠=∠．从而FGH GHE ∠=∠，所以GF//EH ．又因为GF=EH ，所以四边形GEHF 为平行四边形，从而∠GEH=∠GFH ．【总结】考察平行四边形的性质的应用．例26.如图所示，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BM =MC =DC ．求证：∠EMC =3∠BEM ．【难度】★★【解析】延长EM 交DC 于F 点，易证()BEM CMF AAS ∆≅∆，则MF=ME ，即M 为EF 中点．设BEM ϕ∠=，则F BEM ϕ∠=∠=，在直角∆FED 中，ME=MF=MD ，得CDM F ϕ∠=∠=，所以2EMD F MDC ϕ∠=∠+∠=，又因为CM=CD ，所以MDC CMD ϕ∠=∠=，综上，233EMC CMD EMD BEM ϕϕϕ∠=∠+∠=+==∠．【总结】考察平行四边形的性质及角的和差的综合应用．例27.如图所示，在平行四边形ABCD 中，直线FH 与AB 、CD 相交，过点A 、D 、C 、B 向直线FH 作垂线，垂足分别为点G 、F 、E 、H ，求证：AG DF CE BH -=-．【难度】★★★【解析】过A 点做AM ⊥DF ，易证四边形AMFG 为矩形，则AG=MF ，所以AG-DF=MF-DF=-DM ．同理过C 点做CN ⊥BH ，可证CE=HN ，CE-BH=HN-BH=-BN ．因为BH//AG ，所以GAB HBA ∠=∠，可知90HBA BAM GAB BAM ∠+∠=∠+∠=，又180DAB ABC ∠+∠=，所以()1809090DAM HBC DAB ABC MAB HBA ∠+∠=∠+∠-∠+∠=-=．可得90DAM HBC ∠+∠=，从而得DAM BCN ∠=∠(同角的余角相等)．在∆ADM 和∆CNB 中，AD=BC ，90AMD CNB ∠=∠=︒，又DAM BCN ∠=∠得()AMD CNB AAS ∆≅∆，可得DM=BN ，从而-DM=-BN ，再得CE-BH=AG-DF ．【总结】考察平行四边形的性质的应用．例28.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD = 60°，AE 平分∠BAD 交CD 于E ，BF 平分∠ABC 交CD 于F ，又AE 与BF 交于O ，已知OB =OE =1．试求平行四边形ABCD 的面积．【难度】★★★【答案】3【解析】因为AE 、BF 分别平分BAD ∠和ABC ∠，又BAD ∠+ABC ∠=180°，所以AOB ∠=90°．在直角∆AOB 中，∠BAO=12∠BAD = 30°，OB =1，得OA 3 连接BE ，可求得∆BAE 的面积=(111313122AE OB +⨯⨯=⨯⨯ 所以平行四边形ABCD 的面积=2×BAE S ∆=13+．【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．例29.在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F ．（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），求∠BDG 的度数．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）45°．【解析】（1）因为AE 平分∠BAD ，所以∠BAE=∠BEA ．又因为AB//CD ，所以∠F=∠BAE=∠BEA=∠CEF ,从而得CE=CF ；（2）连接BG 、CG ．由（1）可知CE=CF ,且BE=BA=DC 又∠ECF=90°．因为G 是EF 的中点，CG=EG,∠F=∠FEC=45°，从而∠GCD=∠GEB =135°．综上，可得()BEG DCG SAS ∆≅∆，可得GB=GD ，∠DGC=∠BGE ，所以90°=∠BGD=∠DGA+∠BGE=∠DGA+∠DGC ，从而知∆GBD 是等腰直角三角形，所以∠BDG=45°．【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．随堂检测1.如果一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，这个多边形共有多少条对角线?【难度】★【答案】27【解析】由题意知共有360°÷（180°-140°）=9条边，根据多边形的对角线条数公式()()39932722n n -⨯-==条．【总结】考察多边形的基本知识的应用．2.两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是_________和_________．【难度】★【答案】5，7【解析】设这两个凸多边形的边数分别为x 条和y 条，可列方程x +y =12，192)3(2)3(=-+-y y x x ，解得：12125577x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩． 所以这两个多边形的边数分别是5和7．【总结】考察多边形的基础知识的应用．3.若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数．【难度】★【答案】8【解析】由题可知该多边形的内角和为360°×3=1080°()1802n =-，解得8n =．【总结】考察多边形的内外角和的应用．4.如图， ABCD 中，AF ∶FC ＝1∶2，S △ADF ＝6cm 2，则ABCD S 的值为________．【难度】★【答案】36cm 2．【解析】∆AFD 与∆CFD 同高，所以面积比等于底之比 AF :FC =1:2，所以22612DFC S cm ∆=⨯=，则261218DAC S cm ∆=+=，所以2=218=36ABCD S cm ⨯．【总结】考察平行四边边形的性质的应用．5.如图，ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则ABCD 的面积为________．【难度】★★【答案】．【解析】因为360-D DFB DEB EBF ∠=∠-∠-∠=360°-90°-90°-60°=120°，所以180********A D ∠=-∠=-=，又60A C ∠=∠=，在直角∆BEC 中，60C ∠=，EC =2，可得BC=4，BE =AD=BC =4，所以AF=AD-DF =4-1=3．在在直角∆AFB 中，60A ∠=，AF =3，可得AB =6．综上平行四边形的面积为6⨯= 【总结】考察平行四边形的性质的应用．6.如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________．【难度】★★ 【答案】2a ．【解析】由平行四边形的性质可知OA=OC ，又MO=MO ，MOA MOC ∠=∠，所以∆MOA ≅∆MOC ，所以MA=MC ．所以∆CMD 的周长=a =CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD ， 所以平行四边形的周长=()2AD 2CD a +=．【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的性质的应用．7.在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD 的边AB //y 轴，B 、D 均在x 轴上，又知道A 、D 在直线y =2x +1上，且B 点坐标(1，0)，求A 、C 、D 的坐标及ABCDS和ABCDC．【难度】★★【答案】A (1，3)；C (12-，-3)；D (12-，0)；ABCDS=92；ABCDC=6+【解析】由题可知A 的横坐标为1，代入y =2x +1可得A 的纵坐标为3，所以A (1，3)．因为D 为y =2x +1与x 轴的交点，所以可得D (12-，0)．因为ABCD 为平行四边形，CD=AB =3，所以C (12-，3)．所以ABCD S =193122AB BD ⎛⎫⨯=⨯+= ⎪⎝⎭，AD =则ABCD C=()2236AB AD ⎛+=⨯+=+⎝． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．8.如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？。

四边形求解技巧四边形是一个具有四条边的几何图形，常见的四边形有矩形、正方形、菱形和梯形等。

在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化问题和提高解题效率。

以下是一些常见的四边形求解技巧。

1. 利用四边形的对称性：在有关对称性的问题中，我们可以利用四边形的对称性来简化计算。

例如，在矩形和正方形中，对角线相等，对边平行且相等。

在菱形中，对角线相等，对边平行且相等。

如果一个四边形具有对称轴，我们可以根据对称性质来推导出其他边和角的关系，从而简化问题。

2. 利用四边形的角的性质：根据四边形内角和为360度的性质，我们可以得到以下推论：- 矩形和正方形中，对角线是相等的；- 矩形和菱形中，相对的角是相等的；- 矩形、菱形和正方形中，对边相等。

3. 利用四边形的边的性质：根据四边形的边的性质，我们可以得到以下推论：- 正方形中，所有边相等；- 矩形中，对边相等；- 菱形中，对边相等。

4. 利用四边形的对角线：对于矩形和正方形，对角线相等，我们可以利用对角线的性质来简化计算。

例如，在矩形中，如果对角线相交于点M，则M是对角线的中点。

5. 利用四边形的相似性：如果两个四边形具有相似性质，即对应的角相等，对应的边成比例，我们可以利用相似性质来求解问题。

例如，在相似的矩形中，我们可以利用比例关系来确定相应的长度。

6. 利用平行线性质：如果在四边形中，有两组对边分别平行，我们可以利用平行线性质来简化计算。

例如，在梯形中，底边平行且相等，我们可以利用平行线的性质来推导出其他边和角的关系。

7. 利用垂直线性质：如果在四边形中，有两组对边相互垂直，我们可以利用垂直线性质来简化计算。

例如，在矩形中，对边相互垂直，我们可以利用垂直线的性质来推导出其他边和角的关系。

8. 利用外接圆和内切圆：四边形可以内接于一个圆或外接于一个圆。

如果我们能找到这个圆，我们可以利用圆的性质来求解问题。

对于矩形和正方形，外接圆和内切圆的圆心是相等的。

9. 利用面积公式：根据四边形的性质，我们可以计算四边形的面积。

四边形类题型解题技巧四边形是几何知识中非常重要一块内容，因其“变化多端”更是成为中高考数学考试一个热门考点。

如其中特殊四边形--平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，如求角的度数、求线段的长、求周长、求第三边的取值范围、综合计算题、探索题等等问题.典型例题1：解题反思：本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键。

辅助线是解决四边形一个重要知识点，如构造三角形中位线。

实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解。

解题反思：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和平行四边形．除了中位线，在一些四边形问题解决过程中，出现这样解法：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。

这个中点四边形有许多重要性质，在中考试题中也屡见不鲜，中点四边形的四个结论如下：任意四边形的中点四边形是平行四边形、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形、对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形、对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形。

因为四边形的两条对角线垂直，所以这个四边形的中点四边形是矩形，又因为这个四边形的。

两条对角线相等，所以这个四边形的中点四边形是菱形。

既是矩形又是菱形的图形就是正方形。

近几年随着新课改不断的深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题。

这类问题的实践性强，要利用图形变化过程中利前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解。

解题反思：考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强，难度中等．四边形中另一种特殊图形--梯形，也是热门考点。

四边形常用的协助线做法1．利用一组对边平行且相等结构平行四边形例 1 如图 1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线 AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证 :OE 与 AD相互均分 .2．利用两组对边平行结构平行四边形例 2 如图 2，在△ ABC中， E、F 为 AB 上两点， AE=BF， ED证 :ED+FG=AC.剖析 : 要证明 ED+FG=AC,由于 DE3．利用对角线相互均分结构平行四边形例 3 如图，已知 AD是△ ABC的中线， BE交 AC于 E，交 AD于 F，且 AE=EF.求证 BF=AC.二、和菱形相关的协助线的作法和菱形相关的协助线的作法主假如连结菱形的对角线，借助菱形的判断定理或性质定定理解决问题例 4 如图5，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ BAC 的均分线交BC 于点D， E 是 AB 上一点，且.AE=AC，EF例 5如图6，四边形ABCD是菱形， E 为边 AB上一个定点， F 是 AC 上一个动点，求证EF+BF的最小值等于 DE长.图 6说明：菱形是一种特别的平行四边形，和菱形的相关证明题或计算题作协助线的不是好多，常有的几种协助线的方法有：（ 1）作菱形的高；（ 2）连结菱形的对角线 .与矩形有协助线作法和矩形相关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般经过作协助线结构直角三角形借助勾股定理解决问题；（ 2）证明或研究题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题. 和矩形相关的试题的协助线的作法较少.例 6如图7，已知矩形ABCD内一点， PA=3， PB=4， PC=5.求 PD 的长 .图 7说明：此题主假如借助矩形的四个角都是直角，经过作平行线结构四个小矩形，而后依据对角线获得直角三角形，利用勾股定理找到 PD与 PA、 PB、 PC之间的关系，从而求到 PD的长 .四、与正方形相关协助线的作法正方形是一种完满的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，相关正方形的试题许多. 解决正方形的问题有时需要作协助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用协助线.1例 7 如图 8，过正方形ABCD的极点 B 作 BE证：∠ BCF=2∠AEB.解：过 A 作 AG⊥BE于 G，AC，BD交于 O，则 AGBO是正方形，AG=AO==，又AG⊥ GE，因此，∠ AEG=30°．∠CFB=∠ AEG=30°，∠ FBC=∠ FBA+∠ABC=135°，∠BCF=180° - ∠ CFB-∠FBC=15°，∠BCF= ∠ AEB．. 经过连结正方形的对角线结构正说明：此题是一道综合题，既波及正方形的性质，又波及到菱形的性质方形 AHBO，进一步获得菱形，借助菱形的性质解决问题.四边形中常用的协助线四边形中添协助线的目的一般都是造就线段平行或垂直，结构全等三角形、直角三角形、平行四边形等，把难以解决的问题转变成常有的三角形、平行四边形等问题办理，其常用方法有以下几种：(1)连结对角线或平移对角线．(2)把图形中的一部分旋转，结构全等三角形．(3)波及面积问题的，常结构直角三角形．(4)已有一组平行线或对角线相互均分的，常结构平行四边形．(5)波及线段中点或平行四边形对角线交点的，常结构三角形的中位线．(第 1题)1．如图，在四边形ABCD中， R，P 分别是 BC， CD上的点． E， F 分别是 AP， RP的中点，当点P 在 CD 上从点 C向点 D挪动而点 R不动时，以下结论建立的是( C)A.线段EF的长渐渐增大B. 线段EF的长渐渐减少C. 线段EF的长不变D.线段 EF的长与点 P 的地点相关【解】连结 AR.1∵ AR 的长度不变，依据中位线定理可知，EF ＝2AR ，∴当点 P 在 CD 上从点 C 向点 D 挪动而点 R 不动时，线段 EF 的长不变．(第 2题)2．如图，四边形ABCD 放在一组距离相等的平行线中，已知BD ＝ 6 cm ，四边形 ABCD 的面积为 24 cm 2，则两条平行线间的距离为 ( A)A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 1 cm【解】过点A 作⊥ 于点 ，过点C 作⊥ 于点，AE BDECF BD F111则 S 四边形 ABCD ＝ S △ABD ＋S △ BCD ＝ 2AE · BD ＋ 2CF · BD ＝2BD ( AE ＋ CF ) ．∵ BD ＝ 6 cm ，四边形 ABCD 的面积为 24cm2，∴ ＋ ＝8 cm ，∴两条平行线间的距离为 2 cm.AE CF3． ( 淄博中考 ) 如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A ， B ， E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结 PG ， PC . 若∠ ABC ＝∠ BEF ＝60°，则PG等于(B)PC,(第 3题))A. 2B.3 2 3C.D.23【解】 延伸 GP 交 DC 于点H .∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是菱形， ∴ BC ＝ DC ，BG ＝ FG .∵ P 是线段 DF 的中点，∴ FP ＝ DP . 由题意可知 DC ∥ FG ，∴∠ GFP ＝∠ HDP . 又∵∠ GPF ＝∠ HPD ， ∴△ GFP ≌△ HDP (ASA ) ，∴ GP ＝ HP ，FG ＝ DH ， ∴ BG ＝ DH ，∴ BC － BG ＝DC － DH ，即 CG ＝CH ， ∴△ HCP ≌△ GCP (SSS ) ，1∴∠ GCP ＝∠ HCP ＝ ∠ BCD ，∠ HPC ＝∠ GPC ＝ 90°.2∵ DC ∥ AB ，∠ ABC ＝ 60°，∴∠ BCD ＝ 120°， ∴∠ GCP ＝ 60°，PG∴易得＝ 3.PC4．已知P是正方形ABCD内一点， PB＝2，PC＝1，∠BPC＝ 135°，则AP的长为5．(第 4题解)【解】如解图，把△绕点B 顺时针旋转 90°，抵达△的地点，连结.ABP CBQ PQ 由旋转的性质，得PB＝ BQ，∠ PBQ＝90°， AP＝CQ，∴△ BPQ是等腰直角三角形，∴ PQ＝22（22＝ 2，∠BPQ＝45°，PB＋ BQ＝2）＋（2）∴∠ CPQ＝135°－45°＝90°，∴△是直角三角形，PCQ∴ AP＝ CQ＝2222PC＋ PQ＝ 1 ＋2＝ 5.(第 5题)5．如图，已知正方形ABCD的边长为 1，连结AC，BD订交于点O，CE均分∠ACD，交BD于点E，则DE的长为 2－ 1．【解】过点 E 作 EF⊥ DC于点 F.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ODC＝45°， AC⊥ BD.∵CE均分∠ ACD， EF⊥ DC，∴CO＝ CF，∠ DEF＝45°＝∠ ODC，∴ EF＝ DF.∵正方形 ABCD的边长为1，∴ ＝2，∴＝1＝2，AC CO2AC22∴ CF＝ CO＝，2∴EF＝ DF＝DC－ CF＝1－2，2 2∴DE＝ EF＋ DF＝2－1.(第 6题)6．如图，P为?ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2， ?ABCD的面积记为S，尝试究S1＋S2与 S 之间的关系．(第 6题解)【解】如解图，过点P 作 EF∥ AB，交 AD于点 E，交 BC于点 F.∵AB∥ CD，∴EF∥ AB∥CD，∴四边形ABFE，四边形 EFCD都是平行四边形，11∴S1＝2S?ABFE，S2＝2S?EFCD.∵S?ABFE＋ S?EFCD＝ S，1∴ S1＋ S2＝2S.(第 7题)7．如图，在四边形ABCD中，∠ B＝∠ D＝90°，∠ A∶∠ C＝1∶2， AB＝2， CD＝1.求：(1)∠ A，∠ C的度数．(2)AD， BC的长度．(3)四边形 ABCD的面积．【解】 (1) ∵∠A＋∠C＝ 360°－∠B－∠D＝ 360°－ 90°－ 90°＝ 180°，∠A∶∠C＝1∶2，∴∠ A＝60°，∠ C＝120°.(2)分别延伸 BC， AD订交于点 E.在 Rt △ABE中，∵∠A＝ 60°，∴∠E＝30°，∴ AE＝2AB＝4，∴ BE＝2 3.在 Rt △EDC中，易得EC＝ 2CD＝ 2，ED＝ 3，∴ AD＝ AE－ED＝4－3，BC＝BE－EC＝ 2 3－2.(3)S113四边形 ABCD＝△ ABE－△ EDC＝×23×2－× 3× 1＝ 3.S S222( 第8 题 )8．如图，在四边形ABCD中， BE＝ DF， AC 和【解】连结 AF， CE.EF相互均分于点O，∠ B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．∵AC和 EF相互均分，∴四边形 AECF是平行四边形，∴AE＝ CF，AE∥ CF.又∵ BE＝ DF，∴AB＝ CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ B＝90°，∴?ABCD是矩形．9．如图①，在正方形中，M 是AB的中点，E是AB延伸线上的一点，⊥ 且交∠的均分线于ABCD MN DM CBE点 N.,(第10题))(1)求证： MD＝ MN.(2) 若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的随意一点”，其他条件不变“ MD＝ MN”还建立吗假如建立，请证明；假如不建立，请说明原因．( 如图② ) ，则结论【解】(1) 如解图①，取AD的中点F，连结FM.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝ AD，∠ A＝∠ ABC＝90°.又∵ M， F分别是 AB， AD的中点，1 1∴AM＝ MB＝2AB＝2AD＝DF＝ AF.又∵∠ A＝90°，∴∠ AFM＝45°，∴∠ DFM＝135°.∵BN均分∠ CBE，∴∠ MBN＝90°＋45°＝135°，∴∠ DFM＝∠ MBN.∵MN⊥ DM，∴∠ NMB＋∠ DMA＝90°.又∵∠ FDM＋∠ DMA＝90°，∴∠ FDM＝∠ NMB，∴△ DFM≌△ MBN(ASA)，∴ MD＝ MN.(第10题解)(2)建立．证明以下：如解图②，在AD上取一点 F，使得 AF＝AM.同理于 (1) 的证明过程，可得∠FDM＝∠ BMN，∠DFM＝∠ MBN＝135°.∵AD＝ AB，AF＝ AM，∴ DF＝ MB，∴△ DFM≌△ MBN(ASA)，∴ MD＝ MN.1、已知：如图，正方形ABCD中，∠ ACE=30°， ED∥ AC；求证： AE=AF连结 AC过 E 作 EG垂直于 AC于 G，证 AC=AE，得角 AEC=角 AFE=75度，既得AE=AF2、如图，在正方形ABCD中，∠ EAF=45°， AH⊥ EF，垂足为H，求证： AH=AB.将三角形ADF绕点 A 顺时针旋转90 度，使 AD与 AB 重合，得三角形ABC,即可得 AH=ABABC，则三角形ADF全等于三角形3、已知：如图，正方形ABCD中， E、 F 分别是CD、DA的中点，BE与CF 交于P 点。

初二数学四边形的折叠问题技巧
摘要：
一、折叠问题的概念及分类
二、折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
2.相对面不相邻法
三、折叠问题在中考中的重要性
四、总结
正文：
一、折叠问题的概念及分类
折叠问题是指将一个平面图形通过折叠的方式，转变成另一个平面图形的问题。

它主要考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

折叠问题可以分为两类：一类是给出一个平面图形，要求在四个备选的图形中选出可以由左侧图形折叠而成的一个；另一类是给出一个立体图形，要求通过折叠将其变成一个平面图形。

二、折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
在解决折叠问题时，可以先观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置。

然后对比选项，与之不符的直接排除。

这样可以缩小答案范围，提高解题效率。

2.相对面不相邻法
空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。

即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案。

违背这些特征的，便是错误选项。

三、折叠问题在中考中的重要性
折叠问题是我国中考数学判断推理的一个必考题型。

它对学生的空间想象能力和逻辑思维能力有较高的要求，同时也是检验学生综合运用数学知识解决实际问题的能力的重要途径。

因此，掌握折叠问题的解题技巧，对于提高中考数学成绩具有重要意义。

四、总结
总之，折叠问题作为中考数学中的一个重要题型，需要我们熟练掌握其解题技巧。

通过观察特殊图形法和相对面不相邻法，可以帮助我们在解决折叠问题时更好地把握答案，提高解题正确率。

初中数学四边形求解题技巧初中数学中关于四边形的求解题目有很多，下面我将介绍一些常见的求解四边形题目的技巧和方法。

一、平行四边形的性质和求解平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。

在求解平行四边形的问题中，我们可以利用以下性质和方法：1. 对角线等分性质：平行四边形的两条对角线互相等分。

应用技巧：利用对角线等分性质，可方便地求解平行四边形的各边长。

2. 交错角性质：平行四边形的两组对边交错相等。

应用技巧：根据交错角性质，可求解平行四边形的角度。

3. 逆用：若两组对边都平行，则是平行四边形。

应用技巧：当题目给出两组对边都平行时，可直接判定为平行四边形。

二、矩形和正方形的性质和求解矩形是指具有四个直角的四边形，而正方形是一种特殊的矩形，它具有四个相等的边和四个直角。

在求解矩形和正方形的问题中，我们可以利用以下性质和方法：1. 特殊对角线性质：矩形和正方形的对角线相等。

应用技巧：利用特殊对角线性质，可方便地求解矩形和正方形的对角线长度。

2. 邻边和对角线关系：矩形的邻边和对角线之间存在特定的关系。

应用技巧：根据邻边和对角线的关系，可求解矩形的边长和对角线长度。

3. 邻边与对角线之间的关系：正方形的邻边和对角线之间存在特定的关系。

应用技巧：根据邻边和对角线的关系，可求解正方形的边长和对角线长度。

三、菱形的性质和求解菱形是指具有四个相等边的四边形，它具有一些特殊的性质。

在求解菱形的问题中，我们可以利用以下性质和方法：1. 对角线垂直性质：菱形的对角线相互垂直。

应用技巧：利用对角线垂直性质，可方便地求解菱形的对角线长度。

2. 对角线和邻边的关系：菱形的对角线和邻边之间存在特定的关系。

应用技巧：根据对角线和邻边的关系，可求解菱形的边长和对角线长度。

四、梯形的性质和求解梯形是指具有一对平行边的四边形。

在求解梯形的问题中，我们可以利用以下性质和方法：1. 对角线平分性质：梯形的对角线互相平分。

应用技巧：利用对角线平分性质，可方便地求解梯形的对角线长度。