平行四边形的定义,性质及判定方法

平行四边形的性质与判定平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和判定方法。

在本文中，我们将探讨平行四边形的性质，并介绍如何判断一个四边形是否为平行四边形。

一、平行四边形的定义平行四边形是指四条边两两平行的四边形。

简单地说，如果一个四边形的对边是平行的，那么它就是一个平行四边形。

二、平行四边形的性质1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的，即AB || CD，AD || BC。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即AC和BD相交于O点，AO = OC，BO = OD。

3. 内角性质：平行四边形的内对角是相等的，即∠A = ∠C，∠B =∠D。

4. 外角性质：平行四边形的外对角是相等的，即∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠D = 180°。

5. 边长性质：平行四边形的两对边互相等长，即AB = CD，AD = BC。

三、平行四边形的判定方法1. 对边判定法：当四边形的对边分别平行时，可判定为平行四边形。

例如，如果AB || CD且AD || BC，那么四边形ABCD就是平行四边形。

2. 对角线判定法：当四边形的对角线互相平分时，可判定为平行四边形。

例如，如果AC和BD相交于O点，并且满足AO = OC，BO = OD，那么四边形ABCD就是平行四边形。

四、平行四边形的应用平行四边形在几何学和实际生活中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行四边形常用于绘制平面布局图和设计平行墙壁、天花板等。

2. 工程测量：在工程测量中，平行四边形的性质可用于判断土地界线、测量建筑物的相对位置等。

3. 纺织工业：纺织工业中的织物常呈平行四边形的形状，掌握平行四边形的性质有助于制作精确的织物。

总结：平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，拥有对边平行、对角线互相平分、内对角相等等特点。

通过对边的平行性和对角线的平分性，我们可以判断一个四边形是否为平行四边形。

平行四边形的定义,性质及判定方法平行四边形是我们在数学学习中经常会遇到的一个重要几何图形。

它在实际生活和数学理论中都有着广泛的应用。

首先，咱们来聊聊平行四边形的定义。

简单来说，两组对边分别平行的四边形就叫做平行四边形。

这就好比两条平行线，它们永远不会相交，而平行四边形的两组对边就具有这样的特性。

接下来，咱们看看平行四边形都有哪些性质。

平行四边形的对边是相等的。

比如说，如果一个平行四边形的一条边是 5 厘米，那么与它相对的那条边的长度也一定是 5 厘米。

这是因为平行四边形的两组对边分别平行且相等，所以相对的两条边长度是一样的。

平行四边形的对角也是相等的。

假设其中一个角是 60 度，那么与它相对的那个角也必然是 60 度。

平行四边形的邻角是互补的。

什么叫互补呢？就是两个角加起来等于 180 度。

比如说，如果一个角是 70 度，那么与它相邻的角就是 110 度。

平行四边形的两条对角线还互相平分。

也就是说，如果有一条对角线把平行四边形分成了两个三角形，那么这条对角线被另一条对角线分成的两段长度是相等的。

再来说说平行四边形的面积。

平行四边形的面积可以用底边长度乘以这条底边对应的高来计算。

比如说，底边是 8 厘米，对应的高是 4 厘米，那么面积就是 8×4 ＝ 32 平方厘米。

下面咱们讲讲平行四边形的判定方法。

如果一个四边形的两组对边分别相等，那么它就是平行四边形。

比如说，一组对边都是 6 厘米，另一组对边都是 8 厘米，那这个四边形就是平行四边形。

要是一个四边形的一组对边平行且相等，那它也是平行四边形。

比如一条边是 5 厘米，并且与它相对的边和它平行，长度也为 5 厘米，那就可以判定这个四边形是平行四边形。

当一个四边形的两组对边分别平行时，它肯定是平行四边形。

这个就很好理解了，这正好符合平行四边形的定义嘛。

还有，如果四边形的两条对角线互相平分，那它也是平行四边形。

平行四边形在我们的生活中随处可见。

平行四边形知识点总结平行四边形是几何中的一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特点。

在学习几何学的过程中，了解平行四边形的各种知识点是非常重要的。

本文将对平行四边形的定义、性质、判定条件、相关定理等知识点进行总结，希望对读者们有所帮助。

一、定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

换句话说，如果一个四边形的两对对边分别平行，则这个四边形就是平行四边形。

在平行四边形中，相邻的两条边互相平行，而对角线长相等。

此外，平行四边形是菱形和矩形的特殊情况。

二、性质1. 对边平行性：平行四边形的两对对边分别平行。

2. 对角相等性：平行四边形的对角相等，即相对的两个角相等。

3. 交叉角相等性：平行四边形的交叉角相等，即相对的两个对边之间的角相等。

4. 相邻角补角性：平行四边形的相邻角互为补角。

5. 对角和：平行四边形的对角之和为180度。

6. 对角线长相等：平行四边形的对角线长相等。

7. 重心：平行四边形的对角线交点是平行四边形的重心。

8. 对角线相交：平行四边形的对角线彼此相交于中点。

以上是平行四边形的一些基本性质，在解题过程中，可以根据这些性质来判断和推理。

三、平行四边形的判定条件1. 两对对边分别平行根据平行四边形定义可知，平行四边形的判定条件就是具有两对对边分别平行。

2. 对角线长相等对于一个四边形，如果其对角线长相等，则可以判定为平行四边形。

3. 对角相等如果一个四边形的对角相等，则可以判定为平行四边形。

以上是平行四边形的判定条件，可以根据这些条件来判断一个四边形是否为平行四边形。

四、相关定理在学习平行四边形的过程中，还有一些相关定理也是非常重要的。

以下是一些常见的相关定理：1. 单位法则：平行四边形的对边平行，可以利用单位法则进行求解。

2. 等边平行四边形：如果一个四边形的四条边长度相等，则这个四边形是等边平行四边形。

3. 等腰平行四边形：如果一个四边形的两对对边分别平行且具有相等的对边，则这个四边形是等腰平行四边形。

平行四边形的性质和判定知识点1 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作“□ABCD ”。

知识点2 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等。

角：对角相等，邻角互补。

对角线：对角线互相平分。

知识点3 平行四边形的判定：边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

、 知识点4 两条平行线的距离。

知识点5 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。

性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

例1、如图，E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF ．猜想：BE 与DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明。

【变式练习】已知，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF 交AB 于G ，BE 交CD 于H 。

求证：EH=FG 。

例2、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 交于F 。

求证：四边形AECF 是平行四边形。

例3、▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，线DC （1）求证：CE=CF ；C ABCDE F（2）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，求∠BDG ． 【变式练习】 1、如图,中，AE =CF ，M 、N 分别ED 、FB 的中点．求证：四边形ENFM 是平行四边形．2、在▱ABCD 中，∠ADC 的平分线交直线BC 于点E 、交AB 的延长线于点F ，连接AC ．（1）如图1，若∠ADC=90°，G 是EF 的中点，连接AG 、CG ． ①求证：BE=BF ．②请判断△AGC 的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F 顺时针旋转60°至FG ，连接AG 、CG ．那么△AGC 又是怎样的形状．例4、如图，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边中点，求证四边形EFGH 是平行四边形。

一、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、对角线：不相邻的两个顶点连成的线段叫做对角线3、平行四边形的性质：a、平行四边形的两组对边分别相等b、平行四边形的两组对角分别相等c、平行四边形的两条对角线互相平分4、两平行线间的距离:a、定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做平行线间的距离b、性质：两平行线间的距离处处相等5、平行四边形的判别：a、判别方法（一）：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形b、判别方法（二）：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形c、判别方法（三）：两组对边分别相等的四边形是平行四边形d、判别方法（四）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形e、判别方法（五）：两组对角分别相等的四边形是平行四边形二、菱形1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：a、菱形的四条边都相等b、菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

c、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴3、菱形的判定：a、判定方法（一）：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形b、判定方法（二）：四条边都相等的四边形是菱形c、判定方法（三）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

S=1/2ab三、矩形1、矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：a、矩形的对角线相等b、矩形的四个角都是直角c、矩形是轴对称图形，且有两条对称轴3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、矩形的判定：a、判定方法（一）：定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形b、判定方法（二）：三个内角是直角的四边形是矩形c、判定方法（三）：对角线相等的平行四边形是矩形四、正方形1、正方形的定义：一组邻边相等且一个内角是直角的平行四边形叫做正方形2、正方形的性质：a、边：两组对边分别平行，四条边都相等b、角：四个角都是直角c、对角线：对角线互相平分、垂直、相等3、正方形的判定：a、判定方法（一）：有一组邻边相等的矩形是正方形b、判定方法（二）：有一个角是直角的菱形是正方形五、梯形1、梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形2、梯形的分类：等腰梯形，直角梯形，一般梯形3、直角梯形的定义：一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形4、等腰梯形的定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形5、等腰梯形的性质：a、等腰梯形同一底上的两个内角相等b、等腰梯形的对角线相等6、等腰梯形的判定：a、同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形b、对角线相等的梯形是等腰梯形7、常用的等腰梯形的辅助线的添加方法：六、多边形的内角和和外角和1、多边形定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

平行四边形判定的数学公式一、平行四边形的性质：1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

2.对边等长：平行四边形的对边长度相等。

3.各个角度对应相等：平行四边形的对应角相等。

下面我们将介绍一些判定平行四边形的数学公式。

二、判定平行四边形的数学公式：1.利用坐标判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。

首先判断对边AB是否平行，可以通过计算斜率来判断：如果两条线段AB和CD的斜率相等，则它们是平行的。

斜率的计算公式为：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k2=(y4-y3)/(x4-x3)如果k1=k2，则对边AB和CD平行。

同理，可以判断对边BC和AD是否平行，以及对边AC和BD是否平行。

如果对边AB、BC、CD、DA都平行，则四边形ABCD为平行四边形。

2.利用向量判定：设平行四边形的四个顶点分别为A,B,C,D。

定义向量AB、BC、CD、DA，分别为：AB=(x2-x1,y2-y1)BC=(x3-x2,y3-y2)CD=(x4-x3,y4-y3)DA=(x1-x4,y1-y4)如果向量AB与CD平行且向量BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。

向量平行的判断公式为：向量a与向量b平行，当且仅当两个向量的比例相等，即：a/b=k(k为常数)对于向量AB与CD，如果（x2-x1）/（x4-x3）=（y2-y1）/（y4-y3），则向量AB与CD平行。

对于向量BC与DA，如果（x3-x2）/（x1-x4）=（y3-y2）/（y1-y4），则向量BC与DA平行。

如果AB与CD平行且BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。

3.利用斜率判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。

先计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)再计算斜率k2=(y3-y2)/(x3-x2)再计算斜率k3=(y4-y3)/(x4-x3)再计算斜率k4=(y1-y4)/(x1-x4)如果k1=k3且k2=k4，则四边形ABCD为平行四边形。

平行四边形性质及判定练习题在几何学中，平行四边形是一种特殊类型的四边形，具有许多独特的性质。

本文将介绍平行四边形的性质，并提供一些判定平行四边形的练习题供读者练习。

一、平行四边形的定义和性质平行四边形定义：如果一组四边形的对边是平行的，那么这个四边形就是平行四边形。

平行四边形的性质如下：1. 对边性质：平行四边形的对边相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。

3. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。

4. 对顶角性质：平行四边形的对顶角相等。

二、判定平行四边形的方法1. 判定对边相等：如果一个四边形的对边相等，那么它是一个平行四边形。

2. 判定对角线平分：如果一个四边形的对角线互相平分，那么它是一个平行四边形。

3. 判定内角和：如果一个四边形的内角和为180度，那么它是一个平行四边形。

4. 判断对顶角相等：如果一个四边形的对顶角相等，那么它是一个平行四边形。

三、判定练习题1. 判断以下四边形是否是平行四边形：题目一：ABCD是一个四边形，AB = CD，AD = BC，AC = BD。

证明：ABCD是一个平行四边形。

解答一：由题意知，AB = CD，AD = BC，根据判定对边相等的方法可得，ABCD是一个平行四边形。

题目二：ABCD是一个四边形，AC是对角线，且AC平分∠BAD。

证明：ABCD是一个平行四边形。

解答二：由题意知，AC平分∠BAD，根据判定对角线平分的方法可得，ABCD是一个平行四边形。

题目三：ABCD是一个四边形，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。

证明：ABCD是一个平行四边形。

解答三：由题意知，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°，根据判定内角和的方法可得，ABCD是一个平行四边形。

题目四：ABCD是一个四边形，∠A = ∠C，∠B = ∠D。

证明：ABCD是一个平行四边形。

平行四边形之马矢奏春创作二、平行四边形1.平行四边形界说：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2.平行四边形的判定定理：（1）判定界说：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形.3.平行四边形的性质：（6）平行四边形的邻角互补, 对角相等.（7）平行四边形的对边平行且相等.（8）夹在两条平行线间的平行线段相等.（9）平行四边形的对角线互相平分.（10）平行四边形是中心对称图形.4.平行四边形的面积：面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长, h必需是a边与其对边的距离.）三、矩形1.矩形的界说：有一个角是直角的平行四边形是是矩形.2.矩形的判定定理：（1）判定界说：有一个角是直角的平行四边形是是矩形.（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质.（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形.4.矩形的面积：矩形的面积=长×宽四、菱形1.菱形的界说：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.菱形的判定定理：（1）判定界说：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形.（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的对角线互相垂直, 而且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形.4.菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半五、正方形1.正方形的界说：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形.2.正方形的判定定理：（1）判定界说：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形.（2）有一组邻边相等而且由一个角是直角的平行四边形是正方形.（3）有一组邻边相等的矩形是正方形.（4）有一个角是直角的菱形是正方形.（5）既是矩形又是菱形的四边形是正方形.3.正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.（2）边——四边相等, 邻边垂直, 对边平行且相等.（3）角——四个角都是直角.（4）对角线——相等, 互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角.（5）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.（6）正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.（7）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.4.正方形的面积：正方形的面积=边长的平方=两条对角线乘积的一半六、平行四边形、矩形、菱形和正方形的边、角、对角线之间的关系：。

平行四边形的性质与判定一、平行四边形定义及其性质：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等。

定义的几何语言表述 ∵ AB ∥CD AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 。

∵四边形ABCD 是平行四边形（或在 ABCD 中） ∴ AB=CD ，AD=BC 。

例题1、如图5，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE2、平行四边形除了对边平行且相等外，其对角也相等。

∵四边形ABCD 是平行四边形（或在ABCD 中） ∴ ∠A=∠C ，∠B=∠D 。

例题2、在平行四边形ABCD 中，若∠A ：∠B=2：3，求∠C 、∠D 的度数。

3、平行四边形的对角线互相平分。

例题3．已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，AC=24cm ，BD=38 cm ，AD= 28cm ，求三角形OBC 的周长。

5．如图，平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于O ，AE ⊥BD 于E ，∠EAD=60°，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC 的周长。

例题4：已知平行四边形ABCD ，AB=8cm ，BC=10cm,∠B=30°, 求平行四边形平行四边形ABCD 的面积。

对边分别平行 边 对边分别相等 对角线互相平分 平行四边形角 对角相等 邻角互补图（5）DCB AA B C D二、平行四边形的判定 方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形的平边形。

几何语言表达定义法：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

∵OA=OC ， OB= OD ∴四边形ABCD 是平行四边形 方法四：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵ ∠A =∠C ，∠B=∠D ，∴四边形ABCD 例1：已知：E 、F 分别为平行四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 求证：2∠1∠=三、三角形中位线：三角形两边的中点连线线段（即中位线）与三角形的第三边平行，并且等于第三边的一半。

特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.平行四边形的性质：1平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点,不是轴对称图形;关于对称性的2平行四边形的对角相等；关于角的3平行四边形的邻角互补；关于角的4平行四边形的对边相等；推论：夹在两条平行线间的平行线段;关于边的5平行四边形的对边平行；关于边的6平行四边形的对角线互相平分;关于对角线的7连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形;关于中点四边形的3.平行四边形的判定方法：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定义判定法2两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4两组对角相等的四边形是平行四边形；5对角线互相平分的四边形是平行四边形;4. 相关计算公式：平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高,“a”表示底,“s”表示平行四边形面积,则S=ah平行四边形周长：2×底1+底2；如用“a"表示底1,“b”表示底2,“c“表示平行四边形周长,则C=2a+b5.平行四边形中常用辅助线的添法：1连结对角线或平移对角线；2过顶点作对边的垂线构成直角三角形；3连结对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线；4连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形；5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等;矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形;2.矩形的性质：1矩形是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,对称轴共有两条；关于对称性的2矩形的对角相等；关于角的3矩形的邻角互补；关于角的4矩形的对边相等；关于边的5矩形的对边平行；关于边的6矩形的对角线互相平分；关于对角线的7矩形的四个角都是直角；关于角的8矩形的对角线相等;关于对角线的9矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等3.矩形的判定方法：1有一个角是直角的平行四边形是矩形；定义判定法2对角线相等的平行四边形是矩形；3关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形4对于平行四边形,若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形5有三个角是直角的四边形是矩形；6四个内角都相等的四边形为矩形；7对角线互相平分且相等的四边形是矩形；8对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形;4.相关计算公式矩形面积：S=ah注:a为边长,h为该边上的高S=ab注:a为长,b为宽矩形周长：C=2a+b注:a为长,b为宽顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形;菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.菱形的性质：1菱形既是,是两条对角线所在直线,也是中心对称图形；2在60°的菱形中,短对角线等于边长,长对角线是短对角线的√3倍;3菱形的对角相等；关于角的4菱形的邻角互补；关于角的5菱形的对边相等；关于边的6菱形的对边平行；关于边的7菱形的对角线互相平分；关于对角线的8菱形的四边都相等；关于边的9菱形的对角线互相垂直,且平分各内角；关于对角线的10顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形;关于中点四边形的3.菱形的判定方法：1一组邻边相等的平行四边形是菱形；定义判定法2对角线相互垂直的平行四边形是菱形；3关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；4四条边都相等的四边形是菱形;4. 相关计算公式：菱形的面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半;只要是对角线互相垂直的四边形都可用正方形1.正方形的定义：1四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形;2有一组邻边相等的矩形是正方形;3有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形;4有一个角为直角的菱形是正方形;5对角线平分,垂直且相等,并且交角为直角的四边形为正方形;2.正方形的性质：1既是中心对称图形,又是有四条对称轴；关于对称性的2正方形的对角相等；关于角的3正方形的邻角互补；关于角的4正方形的对边相等；关于边的5正方形的相邻边互相垂直；关于边的6正方形的对边平行；关于边的7正方形的对角线互相平分；关于对角线的8正方形的四个角都是直角；关于角的9正方形的对角线相等;关于对角线的10正方形的四边都相等；关于边的（11）正方形的对角线互相垂直,且平分各内角;关于对角线的3.正方形的判定方法：1有一组邻边相等的矩形是正方形；2对角线互相垂直的矩形是正方形；3有一个角为直角的菱形是正方形；4对角线相等的菱形是正方形；5一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；6四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形；7四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形；8对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形;4.相关计算公式：面积计算公式：S=边长×边长或：S=对角线×对角线÷2周长计算公式: C=4×边长顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形;等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形;2. 等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等；简写成“等边对等角”2等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合；简写成“三线合一”3等腰三角形的两底角的平分线相等；两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等4等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；5等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；需用等面积法证明7等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴;3. 等腰三角形的判定方法：1有两条边相等的三角形是等腰三角形2有两个角相等的三角形是等腰三角形简称：等角对等边等边三角形1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形;等边三角形是特殊的等腰三角形;注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形2.等边三角形的性质：1等边三角形的内角都相等,且为60度；2等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合；三线合一3等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线;3.等边三角形的判定方法：首先考虑判断三角形是等腰三角形1三边相等的三角形是等边三角形；定义2三个内角都相等的三角形是等边三角形；3有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；4等边三角形是锐角三角形；5有两个角等于60度的等腰三角形是等边三角形;等腰梯形1.等腰梯形的定义:一组对边平行不相等,另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形;2.等腰梯形的性质：1等腰梯形只有一条对称轴,上底和下底的中垂线就是它的对称轴；2等腰梯形在同一底上的两个角相等；3等腰梯形的两腰相等；4等腰梯形的两底平行；5等腰梯形的两个底角相等；6等腰梯形的对角线相等；7等腰梯形内接于圆;3. 等腰梯形的判定方法：1一组对边不平行边相等的梯形是等腰梯形；2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3对角线相等的梯形是等腰梯形；4一组对边平行不相等,另一组对边相等不平行的四边形是等腰梯形；5对角线相等,形成两个等腰三角形;4.相关计算公式等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半；等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高;直角三角形1.直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形;2.直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质：1直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;2在直角三角形中,两个锐角互余;3在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R＝C/2;4直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积;5在直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半;3.直角三角形的判定方法：1有一个角为90°的三角形是直角三角形；2一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；3若a的平方＋b的平方=c的平方,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；勾股定理的逆定理;4若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；5两个锐角互余的三角形是直角三角形;。

平行四边形的定义,性质及判定方法平行四边形的定义、性质及判定方法在我们的数学世界中，平行四边形是一种非常常见且重要的几何图形。

它不仅在数学理论中有着重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。

接下来，就让我们一起深入了解平行四边形的定义、性质以及判定方法。

一、平行四边形的定义平行四边形是指在同一平面内，两组对边分别平行的四边形。

这是平行四边形最基本的特征，也是判断一个四边形是否为平行四边形的首要条件。

比如说，我们可以想象一个由四根木条组成的框架，如果相对的两根木条始终保持平行，那么这个框架所围成的四边形就是平行四边形。

二、平行四边形的性质1、对边平行且相等平行四边形的两组对边分别平行，这是定义所决定的。

同时，这两组对边的长度也是相等的。

例如，在平行四边形 ABCD 中，AB 平行且等于 CD，AD 平行且等于 BC。

2、对角相等平行四边形的两组对角分别相等。

也就是说，∠A ＝∠C，∠B ＝∠D。

3、邻角互补相邻的两个角之和为 180 度。

比如∠A 和∠B 是邻角，那么∠A ＋∠B ＝ 180°；同样，∠B 和∠C，∠C 和∠D，∠D 和∠A 也是如此。

4、对角线互相平分平行四边形的两条对角线相交于一点，并且这一点将每条对角线都平分成两段。

例如，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，那么 AO ＝ CO，BO ＝ DO。

5、平行四边形是中心对称图形对称中心是两条对角线的交点。

将平行四边形绕着对角线的交点旋转 180 度后，能够与原来的图形重合。

这些性质在解决与平行四边形相关的问题时非常有用，我们可以通过已知条件灵活运用这些性质来得出所需的结论。

三、平行四边形的判定方法1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形这是根据平行四边形的定义直接得出的判定方法。

如果一个四边形的两组对边都相互平行，那么它一定是平行四边形。

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形例如，在四边形 ABCD 中，如果 AB ＝ CD，AD ＝ BC，那么四边形 ABCD 就是平行四边形。

平行四边形的性质与判断方法平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和判断方法。

本文将详细介绍平行四边形的定义、性质和判断方法，并提供一些相关的例题。

一、平行四边形的定义平行四边形是指有四条边都两两平行的四边形。

具体而言，如果一个四边形的对边都是平行的，那么它就是一个平行四边形。

二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边相等，即对边AB和CD相等，对边AD和BC相等。

2. 同位角性质：平行四边形的同位角相等，即角A和角C相等，角D和角B相等。

3. 内角性质：平行四边形的内角和为180度，即角A+角B+角C+角D=180度。

4. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即对角线AC平分角B和角D，对角线BD平分角A和角C。

三、判断方法1. 判断对边平行：如果已知四边形的两条对边相等，那么可以判断这两条对边是平行的。

例如，如果AB=CD，AD=BC，那么可以判断AB和CD是平行的，AD和BC是平行的。

2. 判断同位角相等：如果已知四边形的对角线互相平分，那么可以判断同位角相等。

例如，如果对角线AC平分角B和角D，对角线BD 平分角A和角C，那么可以判断角A和角C相等，角D和角B相等。

3. 判断内角和：如果已知四边形的两组对边相等，那么可以通过计算内角和来判断是否为平行四边形。

例如，如果AB=CD，AD=BC，可以计算角A+角B+角C+角D的和，如果结果等于180度，则为平行四边形。

四、例题演练1. 已知四边形ABCD，AB平行于CD，AD平分角B和角C，如图所示。

判断四边形ABCD是否为平行四边形。

[示意图]解答：由已知条件可知，AB平行于CD，AD平分角B和角C。

根据平行四边形的性质，我们需要验证对边性质和同位角性质。

首先，对边性质：我们比较AB和CD之间的长度和AD和BC之间的长度是否相等。

如果AB=CD且AD=BC，那么就满足平行四边形的对边性质。

其次，同位角性质：我们比较角A和角C的大小，以及角D和角B的大小。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定平行四边形是指四边形的对边两两平行，且对边相等的四边形。

其特殊性质有以下几点：1. 对边平行：平行四边形的定义中已经提到，其对边两两平行。

这意味着它有两对平行的边，且它的对边相等。

2. 对角线平分：平行四边形的两条对角线互相平分。

这意味着从顶点到顶点的线段长相等。

且对角线长度之和等于两倍的中线长度。

3. 内角和为360度：平行四边形的内部角度之和为360度。

这是由于它可以看作是一个由两个相反的等腰三角形组成的四边形。

4. 相邻角互补：平行四边形相邻两个角互补。

即相邻的两个内角之和为180度。

5. 对角线重心：平行四边形的对角线的交点是平行四边形的重心。

这意味着，从平行四边形的任意一个顶点出发，连接对角线交点的线段长度均相等。

如何判定是否是平行四边形？为了判定一个四边形是否为平行四边形，我们需要注意以下几点：1. 同位角是否相等：如果四边形的对边相等，且同位角相等，则它是一个平行四边形。

2. 对角线是否互相平分：如果四边形的对角线互相平分，则它是一个平行四边形。

3. 内角是否和为360度：如果四边形的内角和为360度，则它是一个平行四边形。

4. 相邻角是否补角：如果四边形的相邻两个角互补，则它是一个平行四边形。

总之，平行四边形不仅有着独特的特性，而且在日常生活中随处可见。

我们可以通过了解它的性质和判定方法，来更好地理解和应用它在实际问题中的作用。

平行四边形在几何中的重要性不言而喻。

它具有许多基本的性质，在解决几何问题时能够发挥重要的作用。

因此，对于学习者来说，理解和掌握平行四边形及其相关性质是非常重要的。

首先，平行四边形经常用于测量和设计。

例如，平面中的平行线和平行四边形常常被用来构建建筑和道路。

在测量中，以平行四边形为基础可以利用三角函数法求其面积。

当然，求解时需要知道两个相邻的边长和它们之间夹角的大小。

这也是平行四边形的另一个重要性质，它的相邻角互补。

其次，平行四边形经常用于计算图形的重心及其他几何量。

平行四边形的性质与判定平行四边形是几何学中常见的一个概念，它是指四边形的对边两两平行。

在这篇文章中，我们将探讨平行四边形的性质以及如何进行判定。

一、平行四边形的性质1. 对边平行性质：平行四边形的特点之一就是对边平行。

即四边形的相对边是平行的，例如AB与CD平行，AD与BC平行。

2. 邻边相等性质：平行四边形的相邻边相等。

也就是说，AD与BC 相等，AB与CD相等。

这个性质可以从平行四边形的定义中推导出来。

3. 对角线互相平分性质：平行四边形的对角线互相平分。

也就是说，对角线AC平分BD，对角线BD平分AC。

4. 对角线等长性质：在平行四边形中，对角线相等。

也就是说，AC与BD相等。

二、平行四边形的判定1. 对边比例判定：如果一条直线与两个平行线相交，那么这条直线上的任意两点与两个平行线上的对应点所成的直线段的比值相等。

根据这个判定条件，我们可以通过测量四边形的相应边长来判断是否为平行四边形。

2. 对角线比例判定：如果一条直线同时平分两个平行边，并且与另外两边相交，那么这条直线上的任意两点与两个平行边上的对应点所成的比值相等。

通过测量四边形的对角线及相应边长，我们可以运用这个判定条件确定是否为平行四边形。

三、例题分析举例来说，我们有一个四边形ABCD，其中AB与CD平行，AD 与BC平行。

我们需要判断该四边形是否为平行四边形。

解题步骤如下：1. 测量AB、CD的长度，测量AD、BC的长度。

2. 若AB=CD同时AD=BC，则可判定为平行四边形。

另一个例子，假设有一个四边形EFGH，其中EF=HG同时EG与FH平行。

我们需要判断该四边形是否为平行四边形。

解题步骤如下：1. 测量EF、HG的长度，测量EG、FH的长度。

2. 若EF=HG同时EG=FH，则可判定为平行四边形。

总结：通过测量四边形的相应边长，我们可以运用对边比例判定或对角线比例判定来确定是否为平行四边形。

四、结论平行四边形具有对边平行、邻边相等、对角线互相平分以及对角线等长等性质。

平行四边形的判定方法• 1.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

4.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

• 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

6.两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。

7.相邻两角分别互补的四边形是平行四边形。

•（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的面积：S=底×高。

平行四边形的面积•平行四边形面积：平行四边形面积=底×高，用字母表示：S=a×h。

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形称为平行四边形。

平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示，如图平行四边形记为平行四边形ABCD。

平行四边形的性质：1、两组对边平行且相等；2、两组对角大小相等；3、相邻的两个角互补；4、对角线互相平分；5、对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；6、四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

平行四边形的面积计算公式：1、（1）平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*s inα2、平行四边形周长可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b) 底×1X高平行四边形的主要类别：1、平行四边形属于平面图形。

平行四边形的性质和判定定理二、知识点回顾：1：平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2：平行四边形的性质：1）平行四边形对边平行；2）平行四边形对边相等；3）平行四边形对角相等；4）平行四边形对角线互相平分．3：平行四边形判定定理：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；四边形ABCD是平行四边形2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AD＝BC，AB＝CD四边形ABCD是平行四边形3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AD∥BC，AD＝BC四边形ABCD是平行四边形4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；OA＝OC，OB＝OD四边形ABCD是平行四边形5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD四边形ABCD是平行四边形4：三角形中位线定义及定理：1）定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2）定理：三角形中位线平行且等于第三边的一半．【典型例题】例1. 已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD 的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．例2. 如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．例3. 如图3所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（）图3A. 7个B. 8个C. 9个D. 11个例4. 如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4．AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_________例5. 现有一个四边形的木框，若想知道它是否为平行四边形，只给你一把刻度尺，你能有几种方法来测量？例6. 如图5，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°且AB＝l，DE＝2，BC＋CD ＝8，求这个六边形的周长．图5例7. 如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC 上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A. AE＝CFB. DE＝BFC. ∠ADE＝∠CBFD. ∠AED＝∠CFB图6例8. 如图7，AB∥CD，AC、BD交于点O，且OB＝OD．已知S△OBC＝1，求四边形ABCD 的面积．图7【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边平行且相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分2. 如图1，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE上BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（）图1A. 6B. 12C. 18D. 不确定3. 下列条件中，能判别一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边相等B. 一组对边平行C. 两条对角线相等D. 两组对角分别相等4. 已知四边形ABCD，以下四个条件：（1）∠A＝∠B，∠C＝∠D；（2）AB＝CD，AD ＝BC；（3）AB＝CD，AB∥CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．其中能判定四边形ABCD为平行四边形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. OA＝OC，OB＝ODB. ∠ABD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADBC. AB＝CD，OB＝OD，∠ABD＝∠BDCD. OA＝OB．OC＝OD6. 如图2，在△ABC中，∠B＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，DE＝2，AC＝5，则AB的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5图27. 在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添一个条件________，就可以判定四边形ABCD 是平行四边形．8. 如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，请写出图中相等的线段_______，图中全等三角形有__________对．图39. 在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝20，△AOB 的周长为15，则CD＝______．10. 如图4，在平行四边形ABCD中，O是AC上一点，过点O的任一直线交AB于E，交CD于F，要想保证OE＝OF，需满足条件：_________________（填出一个你认为正确的一个条件即可）．图411. 用长为80cm的铁丝围成一个平行四边形，使平行四边形的两邻边之比为3：2，这个平行四边形最长边为___________．12. 已知四个角都是直角的四边形叫做矩形．如图5是小张剪出的一个四边形ABCD硬纸片，现他沿垂直于BC的线段AE剪下△ABE，然后放到△DCF处，使AB与CD重合，此时测得四边形AEFD是矩形．那么小张剪出的原四边形ABCD是_________形．判定的依据是_____________．13. 在四边形ABCD中，∠A＝60，要使四边形ABCD成为平行四边形，则∠B＝_________，∠C_____________．14. 如图6是小明剪成的一个等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，他把∠B沿EM折叠使点B落在点D上，把∠C沿FN折叠使点C也落在点D上，则小明就说四边形AEDF 是平行四边形，请你帮他说明理由；小明又量出AB＝9 cm，则四边形AEDF的周长是多少？图615. 如图7，把两把相同的角尺（两边互相垂直）的一边紧靠在木板同一侧的边缘上，再看板另一边缘（也为直线）在两把角尺上的刻度是否相等，木工师傅就可以判断木板的两个边缘是否平行，你能说出其中的道理吗？图7【试题答案】1、C2、B3、D4、C5、D6、B7、AB//CD（条件不唯一）8、AD=BC AB=CD OA=OC OB=OD 49、5 10、OA=OC 11、24cm12、平行四边形，AB//CD、AB=CD13、120°60°14、解：（1）由题意可得：（2）周长为18cm．15、答：由测量过程可知：测量的直线间距不仅相等，而且平行，所以对边是平行关系．。

平行四边形的性质与判定平行四边形是一种特殊的四边形，具有独特的性质和判定条件。

在本文中，我们将介绍平行四边形的定义、性质以及相关的判定方法，帮助读者更好地理解和应用于数学问题中。

一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边互相平行的四边形。

具体而言，平行四边形的对边分别是平行的，而且对边之间的夹角相等。

根据这个定义，我们可以推导出平行四边形的一些重要性质。

二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边是平行的。

证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。

根据平行四边形的定义，AB∥CD，而且AD∥BC。

根据平行线的性质，AB与CD以及AD与BC之间的对应角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。

因此，对边之间的夹角相等。

2. 对角性质：平行四边形的对角相等。

证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。

同上述证明过程，我们知道∠A=∠C，∠B=∠D。

另外，由于AB∥CD，AD∥BC，根据同位角定理可知∠BAD=∠CDA，∠ABD=∠CBD。

由于对角之间的夹角相等，所以平行四边形的对角相等。

3. 同位角性质：平行四边形的同位角互相等于180度。

证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。

根据上述证明过程，我们知道∠A=∠C，∠B=∠D。

根据同位角定理，∠BAD+∠ABC=180度，而∠CDA+∠CDB=180度。

因此，平行四边形的同位角互相等于180度。

三、平行四边形的判定方法在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件，判定一个四边形是否为平行四边形。

以下是两种常见的判定方法：1. 对边判定法：如果一个四边形的对边是平行的，则该四边形为平行四边形。

证明：设ABCD是一个四边形，已知AB∥CD，AD∥BC。

为了判定ABCD是否为平行四边形，我们需要证明对边之间的夹角相等。

根据平行线的性质，AB与CD以及AD与BC之间的对应角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。

因此，ABCD是一个平行四边形。