四点共圆例题及答案

证明四点共圆的基本方法

证明四点共圆有下述一些基本方法：

方法1

从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆.

方法2

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆. （若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）

方法3

把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆.

方法4

把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆.（根据托勒密定理的逆定理）

方法5

证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆.

上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明.

例1如图，E、F、G H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：E、F、G H 四点共圆.

证明菱形ABCD勺对角线AC和

BD相交于点0,连接0E OF OG OH

••• AC和BD互相垂直，

•••在Rt△ AOBRt△ BOCRt△

COD

Rt △ DOA中, E、F、G H,分别是AB BC CD DA的中点，

.\0E = - AB, OF = -BC, OG 二丄CD, OH = -DA

2 2 2 2

VAB = BC = CD =DA, OE = OF = OG = OH.

即E、F、G H四点共圆.

⑵若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆.

例2 如图，在△ ABC 中，AD丄BC, DEL AB, DF丄AC.

求证：B E、F、C四点共圆. ；

证明T DEI AB DF L AC, / \ •••/

AEDbZ AFD=180 ,

即A、E、D F四点共圆,

/ AEF=/ ADF

又••• AD L BC, / AD阡/ CDF=90 ,

/ CD阡/ FCD=90 ,

/ ADF/ FCD

•••/ AEF/ FCD

/ BEF^Z FCB=180 ,

即B、E、F、C四点共圆.

(3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.

【例1】在圆内接四边形ABCD中 / A- / C=12°,且/ A：/ B=2 ： 3.求 / A、/ B、/ C、/ D 的度数.

解•••四边形ABCD内接于圆，

•••/ A+Z C=180

A- Z C=12 ,

•••Z A=96°, Z C=84°.

vZ A：Z B=2： 3,

‘ 2

ZB = 96Q X - = 144c

3

Z D=180 -144 °=36°.

禾U用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题.

本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件，进而得到结论.

关于圆内接四边形的性质，还有一个重要定理.现在中学课本一般都不列入，现介绍如下：

命题“菱形都内接于圆”对吗?

命题“菱形都内接于圆”是不正确的.所以是假命题.理由是：根据圆的内接四边形的判定方法之一，如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.这个判定的前提是一组对角互补，而菱形的性质是一组对角相等.而一组相等的角，它们的内角和不一定是180°.如果内

角和是180°，而且又相等，那么只可能是每个内角等于90°，既具有菱形的性质，且每个内角等于90°，那末这个四边形一定是正方形.而正方形显然是菱形中的特例，不能说明一般情形.

判定四边形内接于圆的方法之二，是圆心到四边形四个顶点的距离相等.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是圆心.菱形同样既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.但菱形的对称中心到菱形各个顶点的距离不一定相等. 所以，也无

法确定菱形一定内接于圆；如果菱形的对称中心到菱形各边顶点的距离相等，再加上菱形的对角线互相垂直平分这些性质，那么这个四边形又必是正方形.

综上所述，“菱形都内接于圆”这个命题是错误的.

5圆的内接四边形

例1 已知：如图7-90, ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形，通过对角线的交点E与AB垂直于点H的直线交CD于点M.求证：CM=MD

证明/ ME(与/ HEB互余，/ ABE与/ HEB互余，所以/ MEC M ABE 又/ ABE W ECM 所以/ MEC M ECM 从而CM=EM同理MD=EM所以CM=MD

D

图7-

90

点评本例的逆命题也成立(即图中若M平分CD则MHL AB .这两个命题在某些问题中有时有用.本例叫做婆罗摩笈多定理.

例2 已知：如图7-91 , ABCD是O O的内接四边形，ACLBD,

OE丄AB于点E.求证：OE二;CD.

厶

E TT1

分析一如图7-91 (a),由于E是AB的中点，从A引O O的

直径丸G, 0是AG的中点，由三角形中位线定理可知O E J G B,因此只予

2 需证明GB=CD但这在第七章E 1.4圆周角中的例3已经证明了.

证明读者自己完成.

*分析二如图7-91 (b)，设AC, BD垂直于点F.取CD的

中点皿则MF 所以应该有OE = MF,并且由例啲点评知道还