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倍长中线 最全总结 例题+练习

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第1页（共14页）

倍长中线

知识导航

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS），从而实现边角的转移。

知识梳理

倍长中线

DABCE

AD是ABC△的中线，延长AD至E，使DEAD，连接BE.

结论：

① ACDBED△≌△

② ACBE，CADBED

③ ACBE∥

倍长类中线

DDABCACBEF ABC△中，D是BC的中点，延长ED至F，使DEDF，连接CF.

结论：

① BEDCFD△≌△

② CFBE，CFDBED

③ CFBE∥

易错点睛

倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

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模块一 有关倍长中线的全等模型

【范例】

（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC中，AD为中线，求证：2ABACAD．

DABC

【分析】

延长AD至E，使DEAD，构造ADCEDB，再根据三角形的三边关系可得

2ABACAD。

【解答】

证明：由BDCD，再延长AD至E，使DEAD，

D为BC的中点，

DBCD，

在ADC和EDB中ADDEADCBDEDBCD，

()ADCEDBSAS，

BEAC，

在ABE中，ABBEAE，

2ABACAD；

DCBAE

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【核心考点1】倍长中线

1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC中，D为BC的中点．

（1）求证：2ABACAD；

（2）若5AB，3AC，求AD的取值范围．

DABC

2．如图，ABC中，BDDCAC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE．

E D C A

B

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3．如图，已知ABC中，ABAC，AD是中线，AE是角平分线．

求证：（1）2ADABAC；

（2）BADDAC；

（3）AEAD．

EDBCA

【核心考点2】倍长类中线的线段移动

【范例】

（2014秋•津南区校级期中）已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，

且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF．

E

DB C A

F

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4．（2019秋•九龙坡区校级月考）如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AFEF，求证：ACBE．

E

DB C A

F

5．（2016秋•西城区校级期中）如图，在ABC中，ABAC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BFACAF．

F G

D E B C A

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6．在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BECFEF．

FDBCAE

7．（2019春•牡丹区期末）（1）阅读理解：如图1，在ABC中，若10AB，8BC．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的延长BD至E使DEBD连结CE利用全等将边AB转化到CE，在BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ．

（2）问题解决：如图2，在ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DMDN．求证：AMCNMN．

图2图1N

DDACBB

CA

EM

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【高手坟墓】

8．如图，ABAD，ACAE，90BADCAE，点F为DE的中点，求证：2BCAF．

FBE A

CD

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模块二 平行线加中点

当条件出现平行线+中点时，一般不选择进行倍长中线的方法，因为会涉及到证三点共线的问题。此时辅助线可以进行延长，构造八字形全等。

【核心考点3】利用平行线+中点构造全等

【范例】

（2017春•博山区期末）已知：如图，在正方形ABCD，E是BC边上一点，F是CD的中

点，且AEDCCE．求证：AF平分DAE．

E F

C DB A

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9．（2013秋•涞水县期末）如图，90BC，M是BC的中点，DM平分ADC，35CMD，则MAB的度数是( )

DMBAC

A．35 B．45 C．55 D．65

10．（2019春•新华区校级月考）已知：如图，90BC，M是BC的中点，DM平分ADC．求证：AM平分DAB．

DMBAC

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【高手坟墓】

11．（2010•邢台一模）在图13中，四边形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中点．

图3图2图1M DAEFM DAEFM

ABGECFGCCGDBB

图3M DAEFCGB

（1）如图1，点G在BC延长线上，求证：DMMF；

（2）在图1的基础上，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到图2位置，此时点E在BC延长线上．求证：DMMF；

（3）在图2的基础上，将正方形CGEF绕点C在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM和MF还相等吗？（不必说明理由）

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【课后练习】

1．（2014春•金牛区期末）ABC中，8AC，BC边上的中线6AD，则边AB的取值范围是 ．

2．（2018春•定边县期末）如图，在ABC中，5AC，中线7AD，则AB边的取值范围是( )

DABC

A．129AB B．424AB C．519AB D．919AB

3．（2015秋•东西湖区期中）如图，AE是ABD的中线，ABCDBD．

（1）求证：2ABADAE；

（2）求证：2ACAE．

E BDAC

4．（2019春•罗湖区校级期中）如图，已知CB、CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且ACAB，给出下列结论：①2AEAC；②2CECD；③ACDBCE；④CB平分DCE，则以上结论正确的是( )

D A B C

E

A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④

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5．（2010秋•西城区校级期中）如图，在ABC中，ABAC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．

求证：BFCG．

F G

D E B C A

6．已知，如图ABC中，AD平分BAC，DEDC，//EFAB．求证：ACEF．

FEDA

C B

合集下载

倍长中线法证明全等例题

倍长中线法证明全等例题

选择题

在三角形ABC中，AD是中线，倍长AD至点E，连接BE，若要证明三角形ADC与三角形EDB全等，需要添加的条件是？

A. 角ADC = 角EDB

B. AD = BD

C. 角CAD = 角EBD（正确答案）

D. AC = BE

已知三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线，延长AD至E使得DE = AD，连接BE。若角ADC = 角EDB，则下列哪一对三角形全等？

A. 三角形ABD与三角形ECD

B. 三角形ADC与三角形EDB（正确答案）

C. 三角形ABC与三角形EBD

D. 三角形ABD与三角形EBD

在三角形ABC中，D为BC的中点，AD为中线。延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。若AC平行于BE，则下列结论正确的是？

A. 三角形ADC与三角形EDB不全等

B. 三角形ADC与三角形EDB全等（正确答案）

C. 三角形ABC与三角形EBD全等

D. 无法判断三角形ADC与三角形EDB的全等关系

在三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线。延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。若要证明三角形ADC全等于三角形EDB，可依据的判定定理是？

A. SSS

B. ASA

C. SAS（正确答案）

D. AAA

已知三角形ABC，D为BC的中点，AD为中线。延长AD至E，使DE = AD，连接BE。若角C

= 角E，则下列哪一对三角形一定全等？

A. 三角形ABD与三角形ECD

B. 三角形ABC与三角形EBD

C. 三角形ADC与三角形EDB（正确答案）

D. 三角形ABC与三角形ADC

在三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线。延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。若三角形ADC与三角形EDB全等，则它们的对应角一定相等，即？

A. 角ADC = 角EBD（正确答案）

B. 角ADC = 角EDC

C. 角CAD = 角CDE

D. 角BAC = 角E

8、倍长中线模型汇总--陆老师

8、倍长中线模型汇总--陆老师

倍长中线模型汇总

1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.

证明：连接AC，如图所示：

由题意可证△ADF≌△HEF，∴AD＝BC＝EH，

∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，

又∵BD＝BE，∴AC＝CH，

∵AF＝FH，∴点F是AH的中点，∴AF⊥CF（三线合一）.

2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.

法一、证明：延长EM交CD的延长线于点N，连接CM，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AB∥CD，∴∠AEM＝∠N，

在△AEM与△DNM中，，∴△AEM∽△DNM（ASA），∴EM＝MN，

又∵AB∥CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边的中线，

∴MN＝MC，∠N＝∠MCN，∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM，

∵在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝2DM，BC＝2AB＝2CD，∴DC＝MD，

∴∠DMC＝∠MCD＝∠N＝∠AEM，

∴∠EMD＝∠EMC＋∠CMD＝2∠AEM＋∠AEM，∴∠EMD＝3∠AEM.

法二、证明：设BC的中点为N点，连接MN交EC于点P，连接MC，如图所示：

由题意可得AM＝BN，MD＝NC，

∵BC＝2AB，∴四边形ABNM与四边形MNCD均为菱形，

∴MN∥AB，∠AEM＝∠EMN， ∵CE⊥AB，∴MN⊥CE，

又∵AM＝MD，MN∥AB，∴点P为EC的中点，

∴MP垂直平分EC，∴∠EMN＝∠NMC，

又∵四边形MNCD是菱形，∴∠NMC＝∠CMD，

∴∠EMD＝3∠EMN＝3∠AEM. 3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证

（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.

证明：延长BF至点G，使得FG＝FB，连接BD、DG、EG，如图所示：

在△EFG与△CFB中，，∴△EFG≌△CFB，

∴EG＝CB，∠EGF＝∠CBF，∴EG∥BC，

倍长中线法练习题

倍长中线法练习题

倍长中线法练习题

本文通过多个例题展示了倍长中线法的实践应用。倍长中线法是一种常用的几何分析方法，用于解决一些几何图形的问题。它可以帮助我们找到图形的中线，从而得到一些有用的信息。下面是一些练习题，帮助读者加深对倍长中线法的理解和应用能力。

例题1：矩形的对角线

问题描述：一个矩形的长是6，宽是8，求其对角线的长度。

解答：

根据倍长中线法，对角线等于两个边长的平方和的开平方。所以，该矩形的对角线长度可表示为√(6^2+8^2)。

计算得出，该矩形的对角线长度约为10。

例题2：直角三角形的斜边长

问题描述：一个直角三角形的一条直角边长为4，另一条直角边长为5，求其斜边的长度。

解答：

根据倍长中线法，斜边等于两个直角边长的平方和的开平方。所以，该直角三角形的斜边长可表示为√(4^2+5^2)。

计算得出，该直角三角形的斜边长约为6.403。

例题3：圆的直径 问题描述：一个圆的半径为3，求其直径的长度。

解答：

根据倍长中线法，圆的直径等于两倍的半径。所以，该圆的直径长度可表示为2×3，即6。

例题4：等腰三角形的底边长

问题描述：一个等腰三角形的边长为10，底角为45度，求其底边的长度。

解答：

根据倍长中线法，等腰三角形的底边等于两倍的等腰边长乘以sin底角。所以，该等腰三角形的底边长度可表示为2×10×sin45°。

计算得出，该等腰三角形的底边长约为14.142。

例题5：正方形的对角线

问题描述：一个正方形的边长为7，求其对角线的长度。

解答：

根据倍长中线法，正方形的对角线等于边长的平方根乘以√2。所以，该正方形的对角线长度可表示为7×√2。

计算得出，该正方形的对角线长度约为9.899。

例题6：等边三角形的外接圆半径 问题描述：一个等边三角形的边长为2，求其外接圆的半径。

解答：

根据倍长中线法，等边三角形的外接圆半径等于边长的倍数。所以，该等边三角形的外接圆半径长度可表示为2。

初中数学全等专题倍长中线法(含答案)

初中数学全等专题倍长中线法(含答案)

初中数学全等专题倍长中线法

1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )

＜AB＜12 ＜AB＜12 ＜AB＜19 ＜AB＜19 答案：C

解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.

2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）

A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A

解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误

3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）

①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A

解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。

4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（） 答案：C

解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C