(完整版)倍长中线法(经典例题)

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，在利用中线解决几何问题时，在利用中线解决几何问题时，常常采用常常采用“倍长中线法”添加辅助线．添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，延长某某到某点，使某某等于某某，延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线边中线 使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E E 使使DN=MD DN=MD，， 连接BE 连接CN 经典例题讲解：经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围的取值范围D ABCE DAB C F EDC B AN DC B AM例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC D 中，AC AB ¹，D 、E 在BC 上，且DE=EC DE=EC，过，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.DF=AC.求证：AE 平分BAC ÐFED ABCFEC ABD AB F D E C例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△是△ABD ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC DC，，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

选择题在三角形ABC中，AD是中线，倍长AD至点E，连接BE，若要证明三角形ADC与三角形EDB 全等，需要添加的条件是？A. 角ADC = 角EDBB. AD = BDC. 角CAD = 角EBD（正确答案）D. AC = BE已知三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线，延长AD至E使得DE = AD，连接BE。

若角ADC = 角EDB，则下列哪一对三角形全等？A. 三角形ABD与三角形ECDB. 三角形ADC与三角形EDB（正确答案）C. 三角形ABC与三角形EBDD. 三角形ABD与三角形EBD在三角形ABC中，D为BC的中点，AD为中线。

延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。

若AC平行于BE，则下列结论正确的是？A. 三角形ADC与三角形EDB不全等B. 三角形ADC与三角形EDB全等（正确答案）C. 三角形ABC与三角形EBD全等D. 无法判断三角形ADC与三角形EDB的全等关系在三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线。

延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。

若要证明三角形ADC全等于三角形EDB，可依据的判定定理是？A. SSSB. ASAC. SAS（正确答案）D. AAA已知三角形ABC，D为BC的中点，AD为中线。

延长AD至E，使DE = AD，连接BE。

若角C = 角E，则下列哪一对三角形一定全等？A. 三角形ABD与三角形ECDB. 三角形ABC与三角形EBDC. 三角形ADC与三角形EDB（正确答案）D. 三角形ABC与三角形ADC在三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线。

延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。

若三角形ADC与三角形EDB全等，则它们的对应角一定相等，即？A. 角ADC = 角EBD（正确答案）B. 角ADC = 角EDCC. 角CAD = 角CDED. 角BAC = 角E已知三角形ABC，D是BC的中点，AD是中线。

延长AD至E，使得DE = AD，连接BE。

倍长中线最全总结 例题+练习(附答案)知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。

目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。

易错点睛倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

DAB C模块一 有关倍长中线的全等模型【范例】（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。

【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点． （1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关 系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三 边可得53253AD -<<+，再计算即可． 【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．ABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。

N作 BE! AD 的延长线于倍长中线法知识网络详解:中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时, 常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全 等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么 等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模 型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线△ ABC 中式1:延长AD 到E,B --------------- ■ ------------- CDAD 是E BC使 DE=AD接BE方式2:间接倍长 AB 延长MD 到N, CE连接CN 经典例题讲解：例〔：△ ABC 中，AB=5 AC=3求中线 AD 的取值范围例2:已知在△ ABC 中，AB=AC D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F ,且 DF=EF 求证：BD=CE例3：已知在△ ABC 中 , AD 是 BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE 二AC例4:已知：如图，在- ABC 中，AB = AC , DE 在 BC 上 ,且 DE 二EC 过 D 作 DF//BA 交 AE 于点 F , DF=AC.例 5：已知 CD=AB Z BDA M BAD AE 是A ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE自检自测:1、如图，△ ABC 中 , BD=DC=AC,是 DC 的中点，求证，AD 平分/ BAE.使 DN=M ,BE延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF求证：AE 平分.BACDEAECCFAC2、在四边形ABCD K AB// DC E 为BC 边的中点，/ BAE K EAF AF与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关 系，并证明你的结论.3、如图，AD 为 MBC 的中线，DE 平分.BDA 交AB 于E,DF 平分.AD 交 AC 于 F.求证：BE CF EF4、已知：如图， ABC 中， C=90，CM AB 于 M AT 平 分 BAC 交 CM 于 D,交 BC 于 T ，过 D 作 DE//AB 交 BC 于 E ，求证：CT=BE.ADBF。

倍长中线最全总结。

例题+练习(附答案)中线是三角形中的重要线段之一。

在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线指的是延长三角形中线，使得延长后的线段是原中线的2倍。

其目的是为了构造一对8字型全等三角形（SAS），从而实现边角的转移。

以三角形ABC为例，延长中线AD至点E，使得DE=AD，连接BE。

根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△ACD≌△BED，AC=BE，∠CAD=∠BED，AC∥BE。

同样地，延长中线CD至点F，使得DE=DF，连接CF。

根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△BED≌△CFD，CF=BE，∠CFD=∠BED，CF∥BE。

在利用倍长中线法时，需要注意延长哪一条线段或者类中线。

倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

举例来说，如图所示，在三角形ABC中，需要证明AB+AC>2AD。

延长中线AD至点E，使得DE=AD，构造△ADC和△EDB，根据三角形的三边关系可得AB+AC>2AD。

另外，还有一道题目是需要求解AD的取值范围。

在三角形ABC中，D为BC的中点。

根据三角形的三边关系可得5-3<2AD<5+3，即AD的取值范围为1<AD<4.证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图）。

因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。

由三角形的三边关系，在三角形ABF中，有AB+BF>AF，即2AD<AB+AC，证毕。

2）因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。

由相似三角形ADC和FDB，得到∠CAD=∠F，由边的大小关系可得到∠BAD>∠DAC，证毕。

3）同（2），由相似三角形ADC和FDB，得到AE/AD=BF/BD<1，即AE<AD，证毕。

倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBEAB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。

2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠F EAB C DABFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等(对顶角)倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E, AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中,AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC,延长BE 交AC 于F,求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上,且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证:AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线，求证:∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证,AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论。

E DABF EAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F 。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ABFEAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.（范文素材和资料部分来自网络，供参考。

倍长中线知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。

目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。

易错点睛倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

DAB C模块一 有关倍长中线的全等模型【范例】（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。

【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点． （1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关 系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三 边可得53253AD -<<+，再计算即可． 【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．DABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法” 增加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线增加方法——倍长中线AAB CD △ ABC中方式1：延长AD到E，AD 是 BC 边中线使DE=AD，B C连接BED方式 2：间接倍长AFB D CEEA作 CF⊥ AD于 F，M 延长 MD到N，D作 BE⊥ AD的延长线于 E B 使 DN=MD，C连接 BEN连接 CN经典例题讲解：例 1：△ ABC中， AB=5， AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ ABC 中， AB=AC，D 在 AB 上， E在 AC的延长线上， DE 交 BC 于 F，且DF=EF，求证： BD=CEADBCFE例 3：已知在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且BE=AC，延长 BE 交 AC于F，求证： AF=EFAFEBD C例 4：已知：如图，在ABC 中， AB AC ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作 DF // BA交AE于点 F， DF=AC.A求证： AE 均分BACFB D E C例5：已知 CD=AB，∠ BDA=∠BAD，AE 是△ ABD的中线，求证：∠ C=∠ BAEAB CE D自检自测：1、如图，△ ABC中， BD=DC=AC,E是 DC的中点，求证， AD 均分∠ BAE.2、在四边形 ABCD中， AB∥ DC， E 为 BC边的中点，∠ BAE=∠EAF， AF 与 DC 的延长线订交于点 F。

试试究线段 AB 与 AF、 CF之间的数量关系，并证明你的结论 .ADBE CF3、如图，AD 为ABC 的中线，DE均分BDA 交AB于E，DF均分ADC 交AC于F.求证：BE CF EFAEFB CD第 14 题图4、已知：如图， ABC中， C=90 ， CM AB 于 M ，AT 均分 BAC交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作DE//AB 交 BC 于 E，求证： CT=BE.MAD BETC。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=M 连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CEFEC ABD例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交ACDABCEDAB C F ED C B AN D C B AM于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+第 14 题图DF CBEA4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，FEDABCABFDECE DABCF EAB C D过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.DABCMTE。

中点问题一--倍长中线E ，使DE ＝BD ，连接CE ，是斜边BC 的中线模型讲解1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是 8　．【解答】解：∵DC ⊥BC ，∴∠BCD ＝90°，∵∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝30°，延长CD 到H 使DH ＝CD ，∵D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ，在△ADH 与△BDC 中，，∴△ADH ≌△BDC （SAS ），∴AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，∵∠ACH ＝30°，∴CH ＝AH ＝4，∴△ABC 的面积＝S △ACH ＝×4×4＝8，故答案为：8．2．如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF ．（1）求证：CE ＝CF ；例题演练（2）若∠ABC＝120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG⊥GE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC．∵∠DAE＝∠BAF，∴∠BAE＝∠DAF．在△ABE与△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∴BC﹣BE＝DC﹣DF，即CE＝CF；（2）如图，延长EG到点H，使HG＝EG，连接HA、HD．∵点G是AF的中点，∴AG＝FG，在△HAG与△EFG中，，∴△HAG≌△EFG（SAS），∴EF＝AH，∠HAG＝∠EFG，∴AH∥EF．∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝BC＝AD．∵由（1）知，BE＝DF，且∠BAE＝∠DAF，EC＝FC．∵∠ABC＝120°，∴∠C＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴∠FEC＝60°，∴EC＝FE．由上述知，FE＝HA，∴EC＝HA，∠HAG＝∠HAD+∠DAF＝∠EFG．∵AF＝AE，∴∠AFE＝∠AEF．∵∠BAD＝60°，∴∠EAF＝60°﹣∠BAE﹣∠DAF＝60°﹣2∠DAF．在△AEF中，∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠EFG＝180°﹣2∠EFG＝180°﹣2（∠HAD+∠DAF），∴∠HAD＝60°．在△HAD与△ECD中，，∴△HAD≌△ECD（SAS），∴DE＝DH，易证△DGH≌△DGE，故∠DGH＝∠DGE＝90°，即DG⊥GE．1．如图在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 是线段AD 上一点，且AE ＝BC ，BE 的延长线交AC 于F ，若AF ＝EF ．求证：（1）AC ＝BE（2）∠ADC ＝60°．【解答】证明：（1）倍长AD 至点T ，连BT ．在△ACD 和△TBD 中，∴△ACD ≌△TBD ，∴AC ＝BT ，∠CAD ＝∠T ，又∵AF ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AEF ＝∠BET ，∴BT ＝BE ，∴BE ＝AC ．（2）在DT 上取DM ＝DC ，连接BM ．∴AE +ED ＝ED +DM即AD ＝EM∴△DAC ≌△MEB （SAS ），∴BM ＝CD ＝BD ，∴△BDM 为正三角形，∴∠ADC ＝∠BDM ＝60°．强化训练2．【证明体验】（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE．求证：△ACD≌△EBD．【迁移应用】（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为AB的中点，DC⊥AC．求△ABC面积．【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB 上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长．【解答】（1）证明：如图1中，在△ACD 和△EBD 中，，∴△ACD ≌△EBD （SAS ）；（2）解：如图2中，延长CD 到T ，使得DT ＝CD ，连接BT ．由（1）可知△ADC ≌△BDT ，∴AC ＝BT ＝5，∠ACD ＝∠T ＝90°，∴CT ＝＝＝12，∴CD ＝DT ＝6，∴S △ACB ＝S △ADC +S △CDB ＝•AC •DC +•BT •CD ＝×5×6+×5×6＝30；（3）解：如图3中，延长AC 到R ，使得CR ＝CA ，连接DR ．由（1）可知，△ACB ≌△RCD ，∴AB ＝DR ，∠A ＝∠R ，∵FE ＝FA ，∴∠A ＝∠AEF ，∵∠AEF ＝∠DER ，∴∠DER＝∠R，∴DE＝DR＝AB，设DE＝DR＝AB＝x，则BF＝x﹣2，DF＝x+2，在Rt△DBF中，BF2+BD2＝DF2，∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，∴x＝，∴DE＝．3．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G．若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．【解答】解：延长FE，截取EH＝EG，连接CH，∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE＝∠H，BG＝CH，∴∠BGE＝∠FGA＝∠H，∵CF＝BG，∴CH＝CF，∴∠F＝∠H＝∠FGA，∵EF∥AD，∴∠F＝∠CAD，∠BAD＝∠FGA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC．4．已知：如图所示，AB＝BC，AD为△ABC中BC边的中线，延长BC至E点，使CE＝BC，连接AE．求证：∠DAC＝∠CAE．【解答】解：延长AD到F，使得DF＝AD，连接CF．∵AD＝DF，∠ADB＝∠FDC，BD＝DC，∴△ADB≌△FDC（SAS），∴AB＝CF，∠B＝∠DCF，∵BA＝BC，CE＝CB∴∠BAC＝∠BCA，CE＝CF，∵∠ACE＝∠B+∠BAC，∠ACF＝∠DCF+∠ACB，∴∠ACF＝∠ACE，∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠CAD＝∠CAE．5．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB＝10，BF＝4，求PG的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明．（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，（2）问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．【解答】（1）解：如图1：延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE＝PG，DE＝FG，∵△BGF是等边三角形，∴FG＝BG，又∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CE＝CG，∴CP是EG的中垂线，在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，∵AB＝10，BF＝4；∴CG＝6∴PG＝3（2）如图2，证明：延长GP交DA于点E，连接EC，GC，∵∠ABC＝60°，△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP＝∠GFP，在△DPE和△FPG中∴△DPE≌△FPG（ASA）∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，∵∠CDE＝∠CBG＝60°，CD＝CB，在△CDE和△CBG中，∴△CDE≌△CBG（SAS）∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，∴∠ECG＝∠DCB＝120°，∵PE＝PG，∴CP⊥PG，∠PCG＝∠ECG＝60°∴PG＝PC．（3）猜想：PG＝PC．证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，作FE∥DC∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上，∴∠GBC＝120°，∵△BFG是等边三角形，∴GF＝GB，∴HD＝GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，∴PG＝PC．6．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ADE中，AD＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．【解答】解：（1）BM＝DM，BM⊥DM，在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴BM＝EC＝EM＝MC，∴∠EMB＝2∠ECB．在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴DM＝EC＝EM＝MC．∴∠EMD＝2∠ECD．∴BM＝DM，∠EMD+∠EMB＝2（∠ECD+∠ECB），∵∠ECD+∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠BMD＝2∠ACB＝90°，即BM⊥DM．（2）：（1）中的结论仍成立，延长DM至点F，使得DM＝MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED 交AC于点H．∵DM＝MF，EM＝MC，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，ED＝CF，∵ED＝AD，∴AD＝CF．∵DE∥CF，∴∠AHE＝∠ACF．∵∠BAD＝45°﹣∠DAH＝45°﹣（90°﹣∠AHE）＝∠AHE﹣45°，∠BCF＝∠ACF﹣45°，∴∠BAD＝∠BCF．又∵AB＝BC，∴△ABD≌△CBF，∴BD＝BF，∠ABD＝∠CBF，∵∠ABD+∠DBC＝∠CBF+∠DBC，∴∠DBF＝∠ABC＝90°．在Rt△DBF中，由BD＝BF，DM＝MF，得BM＝DM且BM⊥DM．7．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若点M为AC上的任意一点，过M作MN⊥BC于点N，连接BM，取BM的中点D，连接AD、DM，求证：AD＝DN．（2）如图2，若M为BC上的任意一点，以线段CM为底边作等腰Rt△MCN，此时，取BM的中点D，连接AD、DN，则AD与DN有怎样的数量关系？说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下将Rt△MNC绕C点旋转任意角度，连接BM，取BM的中点D，再连接AD、DN，则（2）中的结论仍然成立吗，它们之间又有怎样的位置关系？请说明理由．【解答】（1）证明：解法一：如图1中，延长AD到K，使得DK＝AD，连接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KMC＝∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°，∵MN⊥BC，∴∠MNC＝90°，∠NMC＝45°＝∠KMC＝∠C，∴MN＝NC，在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，即AD＝DN．解法二：根据直角三角形斜边中线性质，可知AD＝BM，DN＝BM，由此即可证明．（2）如图2中，结论：AD＝DN．理由：延长AD到K，使得DK＝AD，连接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KMD＝∠B＝45°，∵∠NMC＝∠NCM＝∠ACB＝45°∴MN＝NC，∠KMN＝∠ACN＝90°在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，即AD＝DN．（3）如图3中，结论：AD＝DN，AD⊥DN．理由：延长AD到K，使得DK＝AD，连接AN、KN、KM，延长KN交AC于G．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KGC＝∠BAC＝90°，∴∠ACN+∠NMG＝180°，∵∠KMN+∠NMG＝180°，∴∠ACN＝∠NMK，在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，DN⊥AK，即AD＝DN．AD⊥DN．8．△ABC中，点D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，BE，DE，已知BD＝DE，AD＝DC，∠ADB＝∠EDC．（1）如图1，若∠ACB＝40°，求∠BAC的度数；（2）如图2，F是BE的中点，过点F作AD的垂线，分别交AD、AC于点G、H．求证：AH＝CH．【解答】解：（1）如图1，∵AD＝DC，∠ACB＝40°，∴∠DAC＝∠ACB＝40°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°，在△ADB和△CDE中，∵，∴△ADB≌△CDE（SAS），∴∠BAD＝∠ACB＝40°，∴∠BAC＝40°+40°＝80°；（2）如图2，过B作BN∥AC，交HF的延长线于N，直线HF交AB于M，连接DH、DM，∴∠BNM＝∠EHF，∵BF＝EF，∠BFN＝∠EFH，∴△EFH≌△BFN（AAS），∴BN＝EH，由（1）得：∠BAD＝∠DAC，∵FH⊥AD，∴∠AGF＝∠AGH＝90°，∵AG＝AG，∴△AMG≌△AHG（ASA），∴AH＝AM，∠AHM＝∠AMH，∵∠AMH＝∠BMN，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM，∵△ABD≌△CED，∴∠ABD＝∠CED，∵BD＝DE，∴△DEH≌△DBM，∴∠BMD＝∠AHD，∵AM＝AH，∠BAD＝∠DAH，AD＝AD，∴△AMD≌△AHD，∴∠AMD＝∠AHD，∴∠AMD＝∠BMD，∵∠AMD+∠BMD＝180°，∴∠AMD＝90°，∴∠AHD＝90°，∵AD＝CD，∴AH＝CH．9．直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB中点，则CD＝AD＝BD＝AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）求证：PM＝PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）如图4，∠BAC＝90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE＝AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．【解答】（1）证明：如图2中，延长NP交BM的延长线于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BG∥CN，∴∠PCN＝∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN＝PG，∵∠NMG＝90°，∴PM＝PN＝PG．（2）解：结论：PM＝PN．如图3中，延长NP交BM于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BM∥CN，∴∠PCN＝∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN＝PG，∵∠NMG＝90°，∴PM＝PN＝PG．（3）如图4中，延长NP交BM于G．∵∠EAN+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，∴∠EAN＝∠ACM，在△EAN和△CAM中，，∴△EAN≌△CAM，∴EN＝AM，AN＝CM，∵EN∥CG，∴∠ENP＝∠CGP，在△ENP和△CGP中，，∴△ENP≌△CGP，∴EN＝CG＝AM，PN＝PG，∵AN＝CM，∴MG＝MN，∴PM⊥PN．1．（2017•唐河县四模真题）已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长（直接写出结果）．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，∴DF＝BE，CF＝BE，∴DF＝CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF，∵∠DFE＝∠ABE+∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF，同理得：∠CFE＝2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC＝2∠DBF+2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF＝CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC．∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F为BE中点，∴EF＝BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE＝GB，DF＝GF．∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC﹣AD＝BC﹣GB，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF．∴DF＝CF，DF⊥CF．（3）延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE．∴∠AED＝∠ABC＝45°，∵由旋转可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90°，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED＝HB，∵AC＝，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝4，∵AD＝1，∴ED＝BH＝1，∴AH＝3，在Rt△HAD中由勾股定理，得DH＝，∴DF＝，∴CF＝∴线段CF的长为．。

知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠D ABCEDAB C F EDC B AN D C B AMFE D A B C FEC ABD ABF DEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.E DABCF EAB C D第 14 题图DFCBEADABCMTE。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1：延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于 E 使DN=MD，连接BE连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围DABCEDABCFEDCBAND C BAM例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC 中，AC AB ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BADF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BACFEDABCFEC ABD ABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABCFEABCD3、如图，AD 为ABC 的中线，DE 平分BDA 交AB 于E ，DF 平分ADC 交AC 于F. 求证：EFCF BE 4、已知：如图，ABC 中，C=90，CM AB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DFCBEADABCMTE。

专题2：倍长中线法【典例引领】例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC 中，M 为BC 的中点，直线m 绕点A 旋转，过B 、M 、C 分别作BD ⊥m 于E ，CF ⊥m 于F 。

（1）当直线m 经过B 点时，如图1，易证EM=12CF 。

（不需证明）（2）当直线m 不经过B 点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD 、ME 、CF 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。

【强化训练】1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。

（1）如图1所示，易证OH=21AD 且OH ⊥AD （不需证明）（2）将ΔCOD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。

2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2√3，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．3.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点。

（1）当点P与点O重合时，如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。

4．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．专题2：倍长中线法【典例引领】例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于E，CF⊥m于F。

全等三角形倍长中线法的经典例题示例文章篇一：嘿，同学们！今天我要跟你们讲讲全等三角形倍长中线法，这可太有趣啦！先来说说啥是倍长中线法。

就好像我们搭积木，找到了关键的那块积木，整个造型就稳啦！倍长中线法就像是那个关键的“积木”，能帮我们解决好多全等三角形的难题呢。

比如说有这样一道题：在三角形ABC 中，AD 是中线。

那我们就延长AD 到点E，让AD = DE 。

这时候，连接BE ，哇塞，神奇的事情发生啦！“小明，你说说这时候能发现啥？”我问同桌小明。

小明挠挠头说：“好像能得到一些相等的边和角。

”“对呀！”我兴奋地说，“你看，因为AD 是中线，BD = DC ，又因为我们延长AD ，让AD = DE ，再加上对顶角相等，这不就可以证明三角形ADC 和三角形EDB 全等嘛！”再看这道题，三角形ABC 中，AD 是中线，AB = 5 ，AC = 3 ，求中线AD 的取值范围。

这可难倒了不少同学，可咱们用倍长中线法，不就轻松多啦？我跟后桌的小红一起讨论，我说：“小红，你想想，倍长中线之后，是不是能把条件都联系起来啦？”小红眼睛一亮：“对呀，这样就能构造出全等三角形，然后就能找到边的关系啦！”哎呀，这不就像我们找宝藏，倍长中线法就是那把能打开宝藏大门的钥匙嘛！通过这些例题，咱们是不是发现，倍长中线法简直就是解决全等三角形问题的神器呀！只要我们灵活运用，那些难题就都不在话下啦！我觉得呀，数学就像一个大宝藏，而这些解题方法就是我们挖掘宝藏的工具，只要我们用心去寻找，就能发现无数的惊喜！示例文章篇二：哎呀呀，同学们，今天咱们来聊聊全等三角形里倍长中线法的那些经典例题！先来说说啥是倍长中线法吧。

就好像我们走路遇到一条河，直接过去太困难，但是如果修一座桥，是不是就轻松多啦？倍长中线法就像是那座桥，能让我们在解全等三角形的难题时，一下子找到出路！比如说有这么一道题：在三角形ABC 中，AD 是中线。

延长AD 到E，使DE = AD。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法"添加辅助线． 所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程:延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造. 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接连接CN经典例题讲解：例1:△ABC 中，AB=5，AC=3,求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ，且DF=EF,求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证:AF=EF例4：已知:如图,在ABC ∆中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC 。

求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线,求证：∠C=∠BAEBABFDEC自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。

2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F.试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E,DF 平分ADC ∠交AC 于F 。