初中数学全等专题倍长中线法(含答案)

选择题在三角形ABC中，AD是中线，倍长AD至点E，连接BE，若要证明三角形ADC与三角形EDB 全等，需要添加的条件是？A. 角ADC = 角EDBB. AD = BDC. 角CAD = 角EBD（正确答案）D. AC = BE已知三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线，延长AD至E使得DE = AD，连接BE。

若角ADC = 角EDB，则下列哪一对三角形全等？A. 三角形ABD与三角形ECDB. 三角形ADC与三角形EDB（正确答案）C. 三角形ABC与三角形EBDD. 三角形ABD与三角形EBD在三角形ABC中，D为BC的中点，AD为中线。

延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。

若AC平行于BE，则下列结论正确的是？A. 三角形ADC与三角形EDB不全等B. 三角形ADC与三角形EDB全等（正确答案）C. 三角形ABC与三角形EBD全等D. 无法判断三角形ADC与三角形EDB的全等关系在三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线。

延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。

若要证明三角形ADC全等于三角形EDB，可依据的判定定理是？A. SSSB. ASAC. SAS（正确答案）D. AAA已知三角形ABC，D为BC的中点，AD为中线。

延长AD至E，使DE = AD，连接BE。

若角C = 角E，则下列哪一对三角形一定全等？A. 三角形ABD与三角形ECDB. 三角形ABC与三角形EBDC. 三角形ADC与三角形EDB（正确答案）D. 三角形ABC与三角形ADC在三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线。

延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。

若三角形ADC与三角形EDB全等，则它们的对应角一定相等，即？A. 角ADC = 角EBD（正确答案）B. 角ADC = 角EDCC. 角CAD = 角CDED. 角BAC = 角E已知三角形ABC，D是BC的中点，AD是中线。

延长AD至E，使得DE = AD，连接BE。

全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：与倍长中线法类似的辅助线作法AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AC BE∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线D CB AEAD ABC ∆为的中线DC BAEAD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似；　当连接、，则为平行四边形M ABCDEMD E MD=DE CE BDM CDE BM CE∆≅∆延长至，使，连接可证，举例：FE G FE=GE EGC ()EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F EDCBA G如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中D CB AEAD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AB-BE AE AB+BE AE <AD<∆∆∠∠∆≅∆<<<<延长至使，连接在和中，，故即２８１４654321FAB C DE如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB=AC ． 求证：△CE=2CD ；△CB 平分△DCE ．E DCB A如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：△AEF=△EAF ．F EDCBA321MA BCD EF如图，在正方形ABCD 中，CD=BC ，△DCB=90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF △BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG=CG 且EG △CG ．GF EDCB AM2134GFDA1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCB AE DCB AF E DBAGFEDCBAFED CBA6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ）GF EDCBA➢ 典型题型1. 解：（1）如图，（2）证明：如图，∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB -BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线21EDCBA 21EBCDA在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点 ∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3321MA BCDEF∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点 ∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90°321MABCD EFG∴CE =EG -CG=5-2.7 =2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________． 思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（ ），证全等转移边：______=_______； ④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少？【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线 延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3G FEAD BC三角形全等之倍长中线（作业）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A D CE FA B DCE FGFE CD B A FE CD B AA B DCE FG在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°． 求证：EF =2AD ．4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为D CBAF E DCBAFED CBA G FE D CBA∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF⊥EF ．➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中FE DB CA21ECDB A 21ECDBA DBA2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ．【参考答案】➢ 巩固练习 1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） ➢ 思考小结 1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略DCB A。

北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题六倍长中线构造全等三角形中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造.类型倍长中线构造全等三角形1. 在△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是.2. 在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是.3.如图，在△ABC中，∠ABC=45∘，AD，BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F.下列结论：①∠FCD=45∘；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则△FDC的周长等于AB的长.正确结论的序号是.4.如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC).（1）求证：AB−AC<2AD<AB+AC；（2）若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围.5. 如图，已知AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E.若BE=6，求点C到AD的距离.6.某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：【探究】如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，点D是BC的中点，试探究BC 边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程.（1）求证：△ADC≌△EDB.证明：∵延长AD到点E，使DE=AD,连接BE.在△ADC和△EDB中,AD=ED（已作）,∠ADC=∠EDB（）, CD=BD（中点定义）,∴△ADC≌△EDB（）.（2）探究得出AD的取值范围是.【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF.求证：∠BFD=∠CAD.7. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE,请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A. SSSB. SASC. AAS（2）求得AD的取值范围是.A. 6<AD<8B. 6≤AD≤8C. 1<AD<7D. 1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF.试说明AC=BF.（1）【方法学习】数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法（如图2）.①延长AD到点M，使得DM=AD；②连接BM，通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB−BM<AM<AB+BM，从而得到AD的取值范围是.【方法总结】上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以说明.（3）【深入思考】如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE =∠CAF=90∘，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以说明.答案专题六倍长中线构造全等三角形类型倍长中线构造全等三角形1．2<AD<52．2<AD<83．①③④4．（1）证明：如图,延长AD至点E，使AD=DE，连接BE.在△ACD 和△EBD 中，{DC =BD ,∠ADC =∠BDE ,AD =DE ,∴△ACD≌△EBD (SAS)，∴AC =BE （全等三角形的对应边相等）.在△ABE 中，由三角形的三边关系可得AB−BE <AE <AB +BE ，即AB−AC <2AD <AB +AC .（2） 解：∵AB =8cm ，AC =5cm ，∴8−5<2AD <8+5，∴32<AD <132.5．解：如图，过点C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F .∵BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,∴∠BED =∠CFD .∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD .在△BED 和△CFD 中，{∠BED =∠CFD ,∠BDE =∠CDF ,BD =CD ,∴△BED≌△CFD (AAS),∴BE =CF .∵BE =6,∴CF =6,∴ 点C 到AD 的距离为6.（1） 对顶角相等； SAS（2） 1<AD <7（3） 证明：如图，延长AD 到点H ，使DH =AD ,连接BH .由（1）得△ADC≌△HDB,∴BH=AC,∠BHD=∠CAD.∵AC=BF,∴BH=BF,∴∠BFD=∠BHD,∴∠BFD=∠CAD.（1）B（2）C（3）解：如图，延长AD到点M，使AD=DM，连接BM.∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∵在△ADC和△MDB中,{DC=DB,∠ADC=∠MDB,DA=DM,∴△ADC≌△MDB(SAS),∴BM=AC,∠CAD=∠M.∵AE=EF,∴∠CAD=∠AFE.∵∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠M,∴BF=BM=AC,即AC=BF.（1）1<AD<7（2）解：AC//BM,且AC=BM.理由:由（1）知,△MDB≌△ADC,∴∠M=∠CAD,AC=BM,∴AC//BM.（3）EF=2AD.理由：如图，延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM.由（1）知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM=AC.∵AC=AF,∴BM=AF.由（2）知:AC//BM，∴∠BAC+∠ABM=180∘.∵∠BAE=∠FAC=90∘，∴∠BAC+∠EAF=180∘,∴∠ABM=∠EAF.在△ABM和△EAF中，{AB=EA,∠ABM=∠EAF,BM=AF,∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF.∵AD=DM,∴AM=2AD.∵AM=EF,∴EF=2AD.。

初中数学全等专题倍长中线法1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）A.2＜AB＜12B.4＜AB＜12C.9＜AB＜19D.10＜AB＜19 答案：C解题思路：延长AD至E,使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中,根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC,即9＜CE＜19。

则9＜AB＜19.故选C.2。

如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB,给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④ C。

①②③ D.①②③④ 答案：A解题思路:①正确,延长CD至点F，使得DF=CD,连接AF，可先证明△ADF≌△BDC,再证明△ACF≌△BEC,由这两个三角形全等可以得知②、④正确。

由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E，若要∠ACD=∠BCE,则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误3。

如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE,延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形A。

①②③ B。

②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A解题思路:可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF,③正确.④不正确。

4.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点，G、F分别为AD,BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）A。

1 B。

2 C.3 D.4 答案：C解题思路:延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF,再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3,答案选C5。

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

倍长中线最全总结。

例题+练习(附答案)中线是三角形中的重要线段之一。

在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线指的是延长三角形中线，使得延长后的线段是原中线的2倍。

其目的是为了构造一对8字型全等三角形（SAS），从而实现边角的转移。

以三角形ABC为例，延长中线AD至点E，使得DE=AD，连接BE。

根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△ACD≌△BED，AC=BE，∠CAD=∠BED，AC∥BE。

同样地，延长中线CD至点F，使得DE=DF，连接CF。

根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△BED≌△CFD，CF=BE，∠CFD=∠BED，CF∥BE。

在利用倍长中线法时，需要注意延长哪一条线段或者类中线。

倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

举例来说，如图所示，在三角形ABC中，需要证明AB+AC>2AD。

延长中线AD至点E，使得DE=AD，构造△ADC和△EDB，根据三角形的三边关系可得AB+AC>2AD。

另外，还有一道题目是需要求解AD的取值范围。

在三角形ABC中，D为BC的中点。

根据三角形的三边关系可得5-3<2AD<5+3，即AD的取值范围为1<AD<4.证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图）。

因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。

由三角形的三边关系，在三角形ABF中，有AB+BF>AF，即2AD<AB+AC，证毕。

2）因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。

由相似三角形ADC和FDB，得到∠CAD=∠F，由边的大小关系可得到∠BAD>∠DAC，证毕。

3）同（2），由相似三角形ADC和FDB，得到AE/AD=BF/BD<1，即AE<AD，证毕。

全等三角形倍长中线三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．例1、已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．AMDCB【解析】 如图所示，延长AM 到D ，使DM AM =，连结BD ，利用SAS 证得ACM ∆≌DBM ∆，∴BD AC =ABD ∆中，AD AB BD <+，∴2AM AB AC <+∴1()2AM AB AC <+练习：在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？ 【解析】 中线倍长，27AD <<例2、如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．DCBAEABCD【解析】 延长AD 到E ，使AD DE =，连结BE ．在ADC ∆和EDB ∆中AD EDADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC EDB ∆∆≌∴AC EB =，CAD BEA ∠=∠ 在ABE ∆中，∵<AB AC ，∴AB EB <∴<AEB EAB ∠∠，∴<DAC DAB ∠∠．(如果取AB 中点用中位线也可证，目前还不能)例3、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．F ED C BA G FEDCBA【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌ ∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF ∠=∠ ∴G BED ∠=∠∴BE BG =，∴BE AC =．例4、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBAHAF GBE DC【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中 CE BECEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．例5、已知△ABC ，B ACB ∠=∠，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．4321GEDCBAFE G D CBA【解析】 (等腰三角形、线段相等)(一)过E 作EF ∥AB ，交BC 的延长线于F ，则∠B =∠F ∵∠3=∠4 ，∠3=∠B ∴∠4=∠F ∴CE =EF 在△GEF 与△GDB 中， 12DB CE EF B F ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠⎩∴△GFE ≌△GBD ∴DG GE = 证明(二)4321FKGED CBA过D ，E 分别作直线DK ⊥CB ，EF ⊥CB ∵∠1=∠2 ∠2=∠B ∴∠1=∠B 又 ∵BD =CE ∴Rt △BDK ≌△CEF ∴DK =EF 又∵∠3=∠4．∴Rt △DKG ≌Rt △EFG ∴GD =GE 证明(三)F K1EGD C BA过D 点作DK ∥AC 交BC 于K 过D 点作DF ∥BC 交AC 于F ∴ 四边形DKCF 是开行四边形 ∴ DK =FC ∠1=∠C ∵∠C =∠B ∴∠1=∠B ∴DB =DK =CE =CF∴C 是EF 中点，∴BC ∥DF ∴G 是DE 中点，∴DG =EG 注(此题还有他法，可补充)例6、已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBANMFE CBA【解析】 延长FM 到N ，使MN MF =，连结BN 、EN ．易证BNM ∆≌CFM ∆，∴BN CF =，又∵AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ， ∴90EMF EMN ∠=∠=，利用SAS 证明EMN ∆≌EMF ∆，∴EN EF =， 在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．例7、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【解析】 ∵点E 是DC 中点∴DE CE =又∵AD BC ∥，F 在AD 延长线上 ∴DFE CBE ∠=∠，FDE BCE ∠=∠ 在BCE ∆与FDE ∆中EBC EFDECB EDF CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCE FDE AAS ∆∆≌例8、如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．FEDCBA【解析】 ∵CF BE ∥，∴EBD FCD ∠=∠．又∵BDE CDF ∠=∠，BD CD =， ∴BDE CDF ∆∆≌．例9、在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．图 6G EF D BCA【解析】 如图、延长DF 至点G ，使得DF FG =，联结GB 、GE ．由AF FB =，有ADF BGF ∆∆≌3BG AD ⇒== ADF BGF ⇒∠=∠AD GB ⇒∥180GBE ACB ⇒∠+∠=︒ 90GBE ⇒∠=︒5GE ⇒．又DF FG =，EF DG ⊥5DE GE ⇒==．例10、如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．EDCABB'A'C'D'【解析】 如图所示，分别延长AD 、A D ''至E 、E '，使DE AD =，D E A D ''''=．连接BE 、B E ''，则2AE AD =，2A E A D ''''=． 因为AD A D ''=，所以AE A E ''=．在ADC ∆和EDB ∆中，AD ED =，ADC EDB ∠=∠，BD CD =， 故ADC EDB ∆∆≌，从而AC EB =，E CAD ∠=∠．同理，'A D C E D B '''''∆∆≌，则A C E B ''''=，E C A D ''''∠=∠． 因为AC A C ''=，所以BE B E ''=．在ABE ∆和A B E '''∆中，AB A B ''=，BE B E ''=，AE A E ''=， 所以ABE A B E '''∆∆≌，从而E E '∠=∠，BAE B A E '''∠=∠，故CAD E E C A D ''''∠=∠=∠=∠，则BAC B A C '''∠=∠．在ABC ∆和A B C '''∆中，AB A B ''=，BAC B A C ''∠=∠，AC A C ''=，故ABC A B C '''∆∆≌．练习1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DF ECBADBCFAE【解析】 本题相对例题简单一些．连结AD ，则AD BC ⊥．∵AE AF =，AD AD =，∴Rt Rt AED AFD ∆∆≌ ∴ADE ADF ∠=∠，∴EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =， 延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌． ∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵BE AC =，∴BE BG = ∴G BED ∠=∠，而BED AEF ∠=∠ ∴AEF FAE ∠=∠，故FA FE =．3、如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．【解析】如右下图，则取AC边中点F，连结EF、DF．由中位线可得，1 2EF AB=且B CEF∠=∠．DF为Rt ADC∆斜边上的中线，∴DF CF=．∴CDF C∠=∠，又∵DFE FDE CEF∠+∠=∠，即2C DFE C∠+∠=∠，∴DFE EDF∠=∠，∴12DE EF AB==，∴2AB DE=．FAB D E C4、如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【解析】(提示：由△ABD≌△CDB，得∠1=∠2，过而△EOD≌△FOB，故∠E=∠F)5、如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．AB CDEF FED CBA【解析】方法一：连结AD．∵AB AC=，90BAC∠=︒∴45B C∠=∠=∠︒∵D是BC中点∴45BAD∠=︒且AD BC⊥∵ED DF⊥∴90EDA ADF ∠+∠=︒ ∵90ADE EDB ∠+∠=︒ ∴BDE ADF ∠=∠在BDE ∆与ADF ∆中，AD BD =，45DAF B ∠=∠=︒，BDE ADF ∠=∠ ∴BDE ADF ∆∆≌∴BE AF =．∴AE CF =．。

倍长中线知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。

目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。

易错点睛倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

DAB C模块一 有关倍长中线的全等模型【范例】（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。

【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点． （1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关 系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三 边可得53253AD -<<+，再计算即可． 【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．DABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。

初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全基础模型:△ABC 中, AD 是BC 边中线思路1：延长AD 到E，使DE=AD，连接BE思路2：间接倍长,延长MD 到N，使DN=MD，连接CN思路3, 作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E1．如图，在△AB C 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（）A．1＜AB＜29B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜192．如图，△AB C 中，AB=AC，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE．3．如图，在△AB C 中，AD 为中线，求证：AB+AC＞2AD．4．小明遇到这样一个问题，如图1，△AB C 中，AB=7，AC=5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE，构造△B ED≌△C AD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明△B ED≌△C AD用到的判定定理是：（用字母表示）（2）AD的取值范围是小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G、F 分别为AD，BC 边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF 的长．5．已知：在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC 于F，求证：AF=EF．6．已知：如图，△AB C（AB≠AC）中，D、E 在BC 上，且DE=EC，过D 作DF∥BA交AE 于点F，DF=AC．求证：AE 平分∠BA C．7-10,换汤不换药(多题一解)7．如图，D 是△AB C 的BC 边上一点且CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．求证：∠C=∠BAE．8．如图，已知D 是△AB C 的边BC 上的一点，CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．（1）若∠B=60°，求∠C 的值；（2）求证：AD 是∠E A C 的平分线．9．如图，已知：CD=AB，∠BAD=∠B D A，AE是△AB D 的中线，求证：AC=2AE．10．已知，如图，AB=AC=BE，CD 为△AB C 中AB 边上的中线，求证：CE=2CD．11．已知：如图，△AB C 中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT 平分∠BA C 交CM 于D，交BC 于T，过D 作DE∥AB交BC 于E，求证：CT=BE．12．如图①，点O 为线段MN 的中点，PQ 与MN 相交于点O，且PM∥NQ，可证△PM O≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：如图②，在四边形ABCD 中，AB∥DC，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC 的延长线相交于点F．试探究线段AB 与AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论；(图3 是原题的第2 问)13．如图，在△AB C 中，AD 交BC 于点D，点E 是BC 的中点，EF∥AD交CA 的延长线于点F，交EF 与于点G．若BG=CF，求证：AD 为△AB C 的角平分线．14．如图，已知在△AB C 中，∠C AE=∠B，点E 是CD 的中点，若AD 平分∠BAE．（1）求证：AC=BD；（2）若BD=3，AD=5，AE=x，求x 的取值范围．15．已知在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF=2A D．1.解：如图，延长AD 至E，使DE=AD，∵AD 是△AB C 的中线，∴B D=CD，在△AB D 和△ECD 中，，∴△AB D≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，2．证明：如图，过点D 作DG∥AE，交BC 于点G；3．证明：4．解：（1）如图2 中，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE．在△B ED 和△C AD中，，∴△B ED≌△C AD（SAS）．（2）∵△B ED≌△C AD，∴B E=A C=5，∵AB=7，∴2＜AE＜12，∴2＜2A D＜12，∴1＜AD＜6．解决问题：如图3 中，解：延长GE 交CB 的延长线于M．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD∥CM，∴∠A GE=∠M，在△AEG和△B EM 中，，∴△AEG≌△B EM，∴GE=EM，AG=BM=2，∵EF⊥MG，∴FG=FM，∵B F=4，∴M F=B F+BM=2+4=6，∴GF=F M=6．5．证明：如图，延长AD 到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD 是BC 边上的中线（已知），∴DC=D B，在△AD C 和△GD B中，∴△AD C≌△GD B（SAS），∴∠C AD=∠G，BG=A C又∵B E=A C，∴B E=BG，∴∠B ED=∠G，∵∠B ED=∠AEF，∴∠AEF=∠C AD，即：∠AEF=∠F AE，∴A F=EF．6．证明：如图，延长FE 到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF 和△CE G中，∵，∴△DEF≌△CE G．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=A C，∴GC=A C．∴∠G=∠C AE．∴∠BA E=∠C AE．即AE 平分∠BA C．7．证明：延长AE 到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△AB D 的中线∴B E=ED，在△AB E 与△FDE 中∵，∴△AB E≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，∵∠ADB 是△AD C 的外角，∴∠D A C+∠A CD=∠ADB=∠BAD，∴∠BAE+∠E AD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，∴∠EFD+∠E A D=∠D A C+∠A CD，∴∠AD F=∠A DC，∵AB=DC，∴DF=DC，在△AD F 与△AD C 中∵，∴△AD F≌△AD C（SAS）∴∠C=∠AFD=∠BAE．8．（1）解：∵∠B=60°，∠B D A=∠BAD，∴∠BAD=∠B D A=60°，∴AB=AD，∵CD=AB，∴CD=AD，∴∠D A C=∠C，∴∠B D A=∠D A C+∠C=2∠C，∵∠BAD=60°，∴∠C=30°；（2）证明：延长AE 到M，使EM=AE，连接DM，在△AB E 和△MDE 中，，∴△AB E≌△MDE，∴∠B=∠MDE，AB=D M，∵∠AD C=∠B+∠BAD=∠MDE+∠B D A=∠A D M，在△MAD与△C AD，，∴△MAD≌△C AD，∴∠MAD=∠C A D，∴AD 是∠E A C 的平分线．9．证明：延长AE 至F，使AE=EF，连接BF，在△AD E 与△B FE 中，，∴△AED≌△FEB，∴B F=D A，∠FBE=∠AD E，∵∠AB F=∠AB D+∠FBE，∴∠AB F=∠AB D+∠ADB=∠AB D+∠BAD=∠A DC，在△AB F 与△AD C 中，，∴△AB F≌△CD A，∴A C=AF，∵AF=2A E，∴A C=2AE．10．证明：取AC 的中点F，连接BF；∵B为AE 的中点，∴BF 为△AE C 的中位线，∴EC=2B F；在△AB F 与△A CD 中，，∴△AB F≌△A CD（SAS），∴CD=BF，∴CE=2CD．11．证明：过T 作TF⊥AB 于F，∵AT 平分∠BA C，∠A C B=90°，∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠A C B=90°，CM⊥AB，∴∠ADM+∠D AM=90°，∠A TC+∠C A T=90°，∵AT 平分∠BA C，∴∠D AM=∠C A T，∴∠ADM=∠A TC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵CT=TF（已证），∴CD=TF，∵CM⊥AB，DE∥AB，∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，在△CDE 和△TF B中，，∴△CDE≌△TF B（AAS），∴CE=TB，∴CE﹣TE=T B﹣TE，即CT=BE．12．解：（1）AB=AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G 点，根据图①得△AB E≌△GCE，∴AB=C G，又AB∥DC，∴∠BAE=∠G而∠BAE=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴AF=GF，∴AB=CG=GF+CF=AF+CF；13．解：延长FE，截取EH=EG，连接CH，∵E 是BC 中点，∴B E=CE，∴∠B E G=∠CEH，在△B E G和△CEH 中，，∴△B E G≌△CEH（SAS），∴∠B GE=∠H，∴∠BG E=∠F GA=∠H，∴B G=CH，∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠F=∠H=∠F GA，∵EF∥AD，∴∠F=∠C A D，∠BAD=∠F GA，∴∠C AD=∠BAD，∴AD 平分∠BA C．14．（1）证明：延长AE 到F，使EF=EA，连接DF，∵点E 是CD 的中点，∴EC=ED，在△DEF 与△CE A中，，∴△DEF≌△CE A，∴A C=FD，∴∠AFD=∠C AE，∵∠C AE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD 平分∠BAE，∴∠BAD=∠F AD，在△AB D 与△AFD 中，，∴△AB D≌△AFD，∴B D=FD，∴A C=BD；（2）解：由（1）证得△AB D≌△AFD，△DEF≌△CE A，∴AB=AF，∵AE=x，∴AF=2A E=2x，∴AB=2x，∵B D=3，AD=5，∴在△AB D 中，，解得：1＜x＜4，∴x 的取值范围是1＜x＜4．15 证明：延长AD 至点G，使得AD=DG，连接BG，CG，∵AD=D G，B D=CD，∴四边形ABGC 是平行四边形，∴A C=AF=BG，AB=AE=C G，∠BA C+∠ABG=180°，∵∠EAF+∠BA C=180°，∴∠EAF=∠ABG，在△EAF 和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF=AG，∵AG=2AD，∴EF=2A D．。