４２ 中等数学
数学奥 堕炎寓中铷恭翘（５８）
第一试
一、选择题（每小题６分，共３６分） １．空间中ｎ（ｎ≥３）个平面，其中任意三个平面无
公垂面．那么，下述四个结论
（１）没有任何两个平面互相平行；
（２）没有任何三个平面相交于一条直线；
（３）平面间的任意两条交线都不平行；
（４）平面间的每一条交线均与ｎ一２个平面相
交．
其中，正确的个数为（ ）．
（Ａ）１ （Ｓ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４ ２．若函数Ｙ＝ｆ（ ）在［ｎ，ｂ 上的一段图像可以
近似地看作直线段，则当ｃ∈（ｎ，ｂ）时，＿厂（ｃ）的近似
值可表示为（ ）．
（Ａ） （Ｂ）ｆ［Ｉ ａ＋ｂ）
（ｃ）
（Ｄ） ｎ）一 Ｉｆ（ｂ）一 ｎ）］
３．设Ⅱ＞ｂ＞ｃ，Ⅱ＋ｂ＋ｃ＝１，且ｎ ＋ｂ ＋ｃ！＝１．
则（ ）．
（Ａ）ｎ＋ｂ＞１ （Ｂ）ｎ＋ｂ＝１ （Ｃ）Ⅱ＋ｂ＜１
（Ｄ）不能确定，与ｎ、ｂ的具体取值有关
４．设椭圆 ＋ ＝１的离心率为ｅ＝ ，已知点
Ｐ（ｏ， ）到椭圆上的点的最远距离是 ．则短半轴
之长ｂ＝（ ）．
（Ａ） （Ｂ）｛ （ｃ）｛ （Ｄ）｛
５．Ｓ＝｛１，２，…，２ ００３｝，Ａ是Ｓ的三元子集，满足：
Ａ中的元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子
集Ａ共有（ ）个． （Ａ） （Ｂ）口∞ ＋口
（ｃ） 咖＋ 咖 （Ｄ）
６．长方体 一Ａ Ｂ。Ｃ。Ｄ。中．Ａｃ。为体对角
线．现以Ａ为球心，仙、 、Ａ４。、ＡＣ。为半径作四个
同心球，其体积依次为Ｖ 、 、 、 ．则有（ ）．
（Ａ） ＜Ｖｌ＋ ＋ （Ｂ）Ｉ ＝● 。＋ ＋
（Ｃ）ｌ ＞ｌ ｌ＋ ＋
（Ｄ）不能确定，与长方体的棱长有关
二、填空题（每小题９分，共５４分）
１．已知 ： ： ．则 的取值范围为 ￥１１１ ＣＯＳ
２．等差数列｛“ ｝的首项“．＝８，且存在惟一的
使得点（ ，ａ ）在圆 ！＋，一 ＝ｌ 上．则这样的等差数
列共有——个．
３．在四面体Ｐ＿ ｃ中， ＝ＰＢ＝Ⅱ，ＰＣ＝ＡＢ
２０１２年第７期 ４１
熬蟹 藏寓 硼滁琶（１５５）
中图分类号：ｃ４２４．７９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５－６４１６（２０１２）０７—００４１—０７
第一试
一、填空题（每小题８分，共６４分）
１．已知在正方形ＡＢ—
ＣＤ中，内接有１Ｏ个边长为
１的正方形（如图１）．则正
方形ＡＢＣＤ的面积为
——。 图１ ２．已知一个正整数等
于其各位数字之和的３０倍．则这个数为
—一● ３．如图２，已知正△ＡＢＣ三边ＢＣ、ＣＡ、
ＡＢ上点Ｄ、Ｅ、 满
足ＢＤ＝２ＣＤ，ＣＥ＝
３ＡＥ，ＡＦ＝４ＢＦ．若
Ｉｓ ｃ＝３６，则由直
线ＡＤ、ＢＥ、 所围
成的△ＬＭＮ的面积
为 ． Ａ
Ｄ
图２ Ｃ
４．将２７个编号为１～２７的球放入甲、
乙、丙三个碗中，使得甲、乙、丙碗中的球号的
平均值分别为ｌ５、３、１８，且每个碗中不能少
于４个球．则甲碗中的最小球号的最大值为
Ｊ。－。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一● ５．数列｛口 ｝满足口，＝ｌ，且对所有非负
整数ｍ、，ｌ（ｒ／＇／，≥凡）有
１ 口ｍ＋ ＋口ｍ一 ＋ｍ—ｎ一１＝＿兰｝＿（口２ｍ＋口ｈ）． ）
则￣／２ ０１２被２ ０１２除的余数为——． ６．已知正整数后满足对任意正整数／１，，
有ｎ ＋／＇ｔ—Ｊｉ｝的最小质因数不小于ＩＩ．则，后
＝——・ ７．已知正整数ｏ、ｂ满足 ／ 一 ，＼／２ｂ 一口一４６。
贝４ Ｉ １０（口－５）（ｂ一１５）Ｉ＋２＝——． ８．已知圆内接四边形４。Ａ Ａ 的内切
圆ｏ，与边Ａ Ａ 、Ａ２Ａ 、Ａ３Ａ 、Ａ Ａ 分别切于
点 ｌ、 ２、 ３、 ４．则
（箍 ２ ）２＋（ ）
的最小值为 ．
二、解答题（共５６分）
９．（１６分）设动点Ｐ在双曲线
一 ＝，
的右支上（非顶点），Ｑ、Ｒ分别是双曲线的
左、右焦点， 为△Ｐ 在 Ｐ 内的旁心，
Ｏ（０，１）．求Ｉ ｌ的最小值．
１Ｏ．（２０分）有多少个九位数口。口：…口 满
２００８年第５期 ４１
学 巍 嘞豫迢（１０８）
第一试
一、选择题（每小题６分，共３６分） １．乒乓球集训队有ｌ０名队员，每两人组 成一对练球，其不同的组对方式共有（ ） 种． （Ａ）９７２ （Ｂ）９４５ （Ｃ）８６４ （Ｄ）８９１ ２．设 Ａ、 曰、 Ｃ都是锐角．给出下列 三个命题： ①ｔａｎ ：ｔ ，②ｔａｎ Ｃ：２ｔａｎ Ｂ， ③ 、 曰、 ｃ成等差数列． 则由①、②、③中两个推出第三个所得的 命题中，真命题的个数是（ ）． （Ａ）３ （Ｂ）２ （Ｃ）１ （Ｄ）０ ３．已知常数ａ＞０，ｂ＞０．则函数 ／．（ ）＝ａ Ｉ ｓｉｎ ｌ＋ｂ ｌ ｃｏｓ ｌ 的值域是（ ）． （Ａ）［一￣／ａ ＋ｂ ，￣／ａ ＋ｂ。］ （Ｂ）［ａ，￣／ａ ＋ｂ ］ （ｃ）［ｂ，￣／ａ ＋ｂ ］ （Ｄ）［ａ，￣／ａ ＋ｂ ］或［ｂ，￣／ａ ＋ｂ ］ ４．篮球场上有５名球员在练球，其战术 是：由甲开始发球，经过６次传球跑动后（中 途每人的传接球机会均等）回到甲，由甲投３ 分球．其不同的传球方式有（ ）种． （Ａ）４ １００（Ｂ）１ ０２４（Ｃ）８２０（Ｄ）９７６ ５．设有心圆锥曲线 ＋ ：１（ｍ≥ｌ ｎ ｌ ＩＩＬ ｎ ＞０）上一点Ｐ与两个焦点 、 的连线互 相垂直．则Ｒｔ△ 的面积是（ ）． （Ａ）Ｉ ｎ Ｉ （Ｂ）ｍ （Ｃ）ｎ （Ｄ）不确定 ６．［ ］表示不超过实数 的最大整数， 设Ⅳ为正整数．则方程 一［ ］＝（ 一 ［ ］） 在区间１≤ ≤Ｎ中所有解的个数是 （ ）． （Ａ）Ⅳ ＋Ⅳ＋１ （Ｂ）Ⅳ 一Ⅳ （Ｃ）Ⅳ 一Ⅳ＋１ （Ｄ）Ⅳ 一Ⅳ＋２ 二、填空题（每小题９分，共５４分） １．已知关于 的不等式ａ ≥ ≥ｌｏｇ。 在区间（０，＋∞）上恒成立．则正实数ａ的取 值范围是 ２．设１≤ｒ≤ｎ．则集合Ｍ：｛１，２，…，ｎ｝ 的含ｒ个元素的子集中最大数的算术平均数 是——． ３．设 ∈Ｃ，厂（ ）＝ａｇ ＋ ＋ｃ是复系数 多项式，且当Ｉ ｚｌ≤１时，ｌｆ（ ）Ｉ≤１．那么；当 Ｉ Ｚ ｌ≤１时，ｌ ａｇ＋ｂ Ｉ的取值范围是——． ４．从集合｛１，２，…，２５｝中取出５个不同 的且互不相邻的数的取法有——种． ５．已知递增数列１，３，４，９，．１０，１２，１３，… 的每一项，或者是３的幂或者是若干个不同 的３的幂之和．则此数列的第１００项是
中等数学
数蟹 寇寓 湖滁毽（１４２）
中图分类号：Ｇ４２４．７９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６４ｌ６（２０１１）０６－００４０—０６
第一试
一、填空题（每小题８分，共６４分）
ｒ ， Ｅ Ｑ； １・设 （ ） ｛ ， Ｑ．
对大于１的正整数ｎ，定义
（ ）＝ （ 一。（ ））．
则对一切正整数ｎ，有 （ ）＝——． ２．如图１，Ｐ是单位正方体ＡＢＣＤ—
Ａ Ｂ Ｃ。Ｄ 的面对角线 上的一动点．则
Ａ尸＋ＤｌＰ的最小值为
Ａ 曰
图ｌ 图２
３．设定义在［一１，７］上的函数Ｙ＝厂（ ）
的图像如图２所示．已知（口，６）是ｙ－
的一个单调递增区间．则ｂ—ｎ的最大值为
ｒ ， ≥一１； ４・设 ） ｛一 ， ＜一１．
已知方程ｆ （ ）＋ （ ）＋ｂ：０恰有三
个互异的实根．则口的取值范围是——． ５・设 、ｙ≥０，且 十Ｙ≤√寺－则 ／，’
的最小值为 ． ６．设ｍ、ｎ是给定的正整数．在ｍ×ｎ棋
盘的每个方格中，按下述规则各填一个数：先
将第１行与第１列的格任意填数，然后，对其
他任意一个格，设它填的数是 ，而第１行中
与 同列的数为Ｙ，第１列中与 同行的数为
ｚ，第１行第１列中的数为口，则０＋ ＝Ｙ＋ｚ．
这样，每个格都可填人唯一的数．当所有格都
填好数后，任取棋盘中的一个矩形，则该矩形
两对角顶点两格所填数的和相等的概率为
２ ，２ ７．设Ａ（Ｏ，ｂ）是椭圆 十 ＝ｌ（口＞ｂ＞０） Ⅱ Ｄ 的一个顶点，已知直线Ｙ： 一３与椭圆交于
Ｐ、Ｑ两点，且△ＡＰＱ的重心是椭圆的右焦
点．则椭圆的右焦点坐标为 ．
８．甲乙两人进行乒乓球比赛，采用１１分
制，即对每一个球，胜者得１分，负者得０分，
当一方累计得分达到１ １分时，如果另一方得
分不足１０分，则达到１ １分者获胜；如果另一
方得分为ｌ０分，则比赛继续进行直至二者得
分之差为２分时，得分高者获胜．已知甲乙两
人的水平相当，即对每一个球，甲胜乙胜的概
