2016年秋九年级数学上册1.1菱形的判定(第2课时)课后作业2(新版)北师大版

第02讲菱形的判定、判定与性质综合1.掌握菱形的判定定理2.学会利用菱形的判定与性质综合解题菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.考点一：菱形的判定例1．在下列条件中，能够判定ABCD Y 为菱形的是（）A ．AB AC=B ．AC BD ⊥C ．90A ∠=︒D ．AC BD=【答案】B 【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解析】解：A 、由AB AC =，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；B 、由AC BD ⊥，能判定ABCD Y 为菱形，故选项符合题意；C 、由90A ∠=︒，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；D 、由AC BD =，能判定ABCD Y 为矩形，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．例2．如图，添加下列条件不能判定ABCD Y 是菱形的是（）.A ．AB BC =B ．AC BD ⊥C ．BD 平分ABC ∠D ．AC BD=【答案】D【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．【解析】解： 四边形ABCD 是平行四边形，∴A 、当AB BC =时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD Y 是菱形，故本选项不合题意；B 、当AC BD ⊥时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得ABCD Y 是菱形，故本选项不合题意；C 、当BD 平分ABC ∠时，ABD CBD ∠=∠，在ABCD Y 中，AD BC ∥，可得CBD ADB ∠=∠，可得ABD ADB ∠=∠，则有AB AD =，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD Y 是菱形，故本选项不合题意；D 、当AC BD =时，ABCD Y 是矩形，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．例3．下列条件中能判断四边形是菱形的是（）A ．对角线互相垂直B ．对角线互相垂直且平分C ．对角线相等D ．对角线相等且互相平分【答案】B【分析】可根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，然后进行选择．【解析】解：因为对角线互相平分的四边形为平行四边形，且对角线互相垂直的平行四边形为菱形，所以对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选：B ．【点睛】本题主要考查了对菱形判定方法的理解，解题关键是掌握菱形的判定方法．例4．如图所示，四边形ABCD ，当AB CD ∥，AB CD =时，再下列选项中，添加一个条件，使得四边形ABCD 是菱形的是（）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．有一个内角是直角【答案】C 【分析】先证明四边形ABCD 是平行四边形，再结合各选项逐一判断即可．【解析】解：∵AB CD ∥，AB CD =，例A．AB例则四边形∴四边形ABCD 是是菱形．故选：C【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到90BOC ∠=︒是解题的关键．例7．如图，在ABCD Y 中，对角线AC 、BD 交于点O ，请添加一个条件：____________，使平行四边形ABCD 为菱形（不添加任何辅助线）．【答案】AB BC =（答案不唯一）【分析】根据菱形的判定添加合适的条件即可．【解析】解：当AB BC =时，平行四边形ABCD 为菱形,故答案为：AB BC =（答案不唯一）【点睛】此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．例8．如图，用直尺和圆规作菱形ABCD ，作图过程如下：①作锐角A ∠；②以点A 为圆心，以任意长度为半径作弧，与A ∠的两边分别交于点B ，D ；③分别以点B ，D 为圆心，以AD 的长度为半径作弧，两弧相交于点C ，分别连接DC ，BC ，则四边形ABCD 即为菱形，其依据是（）A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四条边相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B【分析】由作图过程可知AD AB DC BC ===，根据菱形的判定定理分析判断即可．【解析】解：由作图过程可知，AD AB DC BC ===，所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”．故选：B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题关键．考点二：利用菱形的判定与性质求长度、角度、面积例点，则A．100︒【答案】B例的平分线交A．16B．【答案】A【分析】利用平行四边形的对边平行，以及角平分线平分角，得到【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质．利用平行四边形和角平分线，证明三角形是等腰三角形，是解题的关键．例11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（A ．AD CD=C ．AC BD=【答案】A 【分析】两张等宽的纸条的宽为ABCD 是平行四边形，再由ABCD S 是菱形，即可．【解析】解∶设两张等宽的纸条的宽为∵纸条的对边平行，∴,AD BC AB DC ∥∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，例角线的交点A ．4B ．3综上，正确的结论为①②③．故选：B ．【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定及性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定方法是解题的关键．考点三：利用菱形的判定与性质解答证明例13．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，CE AB ∥，DE AC ∥，DE 交BC 于点F ，连结CD ，BE ．(1)求证：四边形CDBE 是菱形；(2)若6AC =，8BC =，则四边形CDBE 的面积是________．【答案】(1)见解析(2)24【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质求得CD AD DB ==，证明四边形ACED 、CDEB 是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证明结论；（2）根据平行四边形的性质求得6DF AC ==，再利用菱形的面积公式即可求解．【解析】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，∴CD AD DB ==.∵CE AB ∥，DE AC ∥，∴四边形ACED 是平行四边形.∴CE AD=∴CE DB=又∵CE AB ∥，∴四边形CDEB 是平行四边形.又∵CD DB =，∴平行四边形CDEB 是菱形；例例的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ADCE 为菱形是解题的关键．例16．如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点O 作AC 的垂线，与AD ，BC 分别相文于点E ，F ，连接EC ，AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若4=EC ED ，DOE 的面积是2，求ABCD Y 的面积．【答案】(1)见解析(2)40【分析】（1）由平行四边形的性质得到OA OC =，AD BC ∥，进一步证明()AAS AOE COF △≌△，则AE CF =，即可证明四边形AECF 是平行四边形，由EF AC ⊥即可得到结论；（2）由菱形的性质得到AE CE =，进一步得到4AE EC ED ==，则48==AOE DOE S S △△，即可得到10=+=AO D AO E D O E S S S △△△，由平行四边形的性质即可得到ABCD Y 的面积．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA OC =，AD BC ∥，∴DAC ACF ∠=∠，AEF EFC ∠=∠，∴()AAS AOE COF △≌△，∴AE CF =，∵AE CF ∥，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：∵四边形AECF 是菱形，∴AE CE =，∵4=EC ED ，∴4AE EC ED ==，∴48==AOE DOE S S △△，例BF =(1)若180BFC ACD ∠+∠=︒，求证：四边形(2)在（1）问的基础上，若∠【答案】(1)见解析(2)63【分析】（1）证明四边形ABFE AB CD ∥，AB CD =，可得四边形CF CD =，即可证明菱形；（2）首先求出FBC FCB ∠=∠【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是掌握特殊四边形的判定定理和性质定理．1．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，下列说法正确的是（）A ．若OB ＝OD ，则▱ABCD 是菱形B ．若AC ＝BD ，则▱ABCD 是菱形C ．若OA ＝OD ，则▱ABCD 是菱形D ．若AC ⊥BD ，则▱ABCD 是菱形【答案】D 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解析】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ，故选项A 不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC =BD ，∴▱ABCD 是矩形，故选项B 不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC =12AC ，OB =OD =12BD ，∵OA =OD ，∴AC =BD ，∴▱ABCD 是矩形，故选项C 不符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，故选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．2．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接OE ，60ABC ∠=︒，43BD =，则OE =（）A．43B【答案】D【分析】根据AB AC=再根据菱形的性质得到【解析】解：∵AB AC=二、解答题4．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE CF =，连接BF ．FD ，DE ，EB ．求证：四边形DEBF 是菱形．【答案】见解析【分析】先证明四边形DEBF 是平行四边形，再结合BD AC ⊥可得结论．【解析】连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是茥形，∴OA OC =，OB OD =，BD AC ⊥，(1)求证：AD CF =；(2)连接AF ，CD ．如果点D 是AB 的中点，是菱形，证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)当AC BC ⊥时，四边形ADCF 是菱形，证明见解析【分析】（1）由CF AB ∥得∠ADF ADE CFE AAS ≌（），根据全等三角形的性质即求解；（2）由AD CF =，//AD CF ，易得四边形的中点，可得12CD AB AD ==，即得四边形【解析】（1）证明：∵CF AB ∥，∴∠ADF =∠CFD ，∠DAC =∠FCA ∵点E 是AC 的中点，一、单选题1．在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（）A．另一组对边相等，对角线相等B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等D．另一组对边平行，对角线相互垂直【答案】D【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定逐项判断即可得．【解析】解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意；D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定，熟练掌握菱形的判定是解A．6B．12【答案】C【分析】由菱形的性质可得出BO26BC OE==，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，∵OE=3，且点E为CD的中点，OE∴是BCD△的中位线，∴BC=2OE=6．∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24故选：C．A．5 3【答案】A【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得股定理得OB＝7，则【解析】解：∵四边形∴CD＝AD＝AB＝3，A ．2个B ．3个【答案】D 【分析】AB CD BC AD ，∥∥，且性质即可得出答案．【解析】解：∵AB CD BC ，∥∥Rt ABC △中，30B ∠=︒，BAC ∠∴60ACB ∠=︒，tan 30AC AB =⨯∴223BC AC ==，∴333223AB AC AF BC ⨯===，∵AE BC ∥，∴60EAC ACB ∠=∠=︒，由ACD 沿AC 翻折得ACE △可得∴ADC △和AEC △都是等边三角形，∴DC DA AC AE CE =====∴四边形ADCE 为菱形，∴四边形ADCE 的面积为：32⨯故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，数形结合．9．已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，A ．1(1,)2B 【答案】D 【分析】如图连接AC ，的点，再求出点B 坐标，求出直线【解析】解：如图连接∵四边形OABC 是菱形，∴AC OB GC AG OG ⊥=，，∴PC PD PA PD DA +=+=∴此时PC PD +最短．在Rt AOG △中，AG =∴25AC =．∵12OA BK AC OB ⋅=⋅⋅，∴4BK =，2AK AB =-∴点B 坐标()84，，∴直线OB 解析式为12y =由12115y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩故选：C．【点睛】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题11．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件________，使四边形AEDF是菱形．【答案】DF∥AB【分析】添加DF∥AB，根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．【解析】解：DF∥AB，理由如下：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【点睛】本题主要考查了添加条件，菱形的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，角平分线定义，菱形的判定，添加DF∥AB．12．若▱ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是________．【答案】互相垂直【分析】证明AB=BC可得到四边形ABCD是菱形，即可得到对角线AC与BD的位置关系．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，【答案】63【分析】证明四边形ACED 是菱形，进而求得【解析】解： 等边ABC 的边长为6AC CE DE AD ∴====cm ，ABC ∠∴四边形ACED 是菱形，1302CEA CED ∴∠=∠=︒，90BAE ∴∠=︒，2263AE BE AB ∴=-=．故答案为：63．【点睛】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，求得90BAE ∠=︒是解题的关键．15．如图，在四边形ABCD 中，对角线＝6，AC ＝8，则四边形周长为_____【答案】2024【答案】20【分析】证明四边形ABEF 是菱形，然后由勾股定理求得【解析】解：设,AE BF 交于点O ，如图所示，根据作图可知AE BF ，分别为BAD ABC ∠∠，的角平分线，∴ABF EBF =∠∠，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴∠=∠AFB FBE ，∴AFB ABF ∠=∠，∴AB AF =，同理可得AB BE =，∴AF BE =，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB AF =，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE BF ⊥，∵68AE BF ==，，∴113,22AO AE BO BF ===在Rt AOB △中，AB AO =【答案】23【分析】根据菱形的性质证明Ð3,DO =3,OE =再根据勾股定理可得答案．【解析】解： 菱形ABCD ，∠130,2BCA BCD AC BD \Ð=Ð=°^213,62BO DO BC CO \====-43,AE =Q 43333,OE \=-=22122 3.DE OE OD \=+==故答案为：23【点睛】本题考查的是含30︒的直角三角形的性质，勾股定理的应用，菱形的性质，熟练的利用菱形的性质求解线段长度是解本题的关键．18．如图，菱形ABCD 中，BAD ∠CD DE =，连结BE ，分别交AC ②ABF ODGF S S >△四边形；③由点A 、正确的结论是______（请填写正确的序号）连接FD ，如图：∵△ABD 是等边三角形，AO 平分∠BAD ，BG 平分∠ABD ，∴F 到△ABD 三边的距离相等，∴S △BDF =S △ABF =2S △BOF =2S △DOF =S 四边形ODGF ，∴S 四边形ODGF =S △ABF ，故②错误；正确的是①③④，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．三、解答题19．已知：如图，在ABCD Y 中，BD AC ⊥，O 为垂足．求证：ABCD Y 是菱形．【答案】见解析【分析】根据平行四边形的性质及线段垂直平分线的判定和性质得出AD CD =，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．【解析】证明：在ABCD Y 中，AO CO =（平行四边形的对角线互相平分）．∵BD AC ⊥，∴BD 垂直平分线段AC ，∴AD CD =（线段垂直平分线线上的点到线段两个端点的距离相等）．∴ABCD Y 是菱形（菱形的定义）．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及垂直平分线的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握各个性质定理是解题关键．20．如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，若//AB CD ，OA OC =，（1）证明：∵BE AC ∥，∴∠FEB =∠FDA ，在△EFB 与△DFA 中，EFB DFA FEB FDA AF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩＝∴()EFB DFA AAS ≌ ，∴EF ＝DF ；（2）证明：如图：∵AF =BF ，DF =EF （已证），∴四边形ADBE 是平行四边形，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∵BE AC ∥，∴∠FEB =∠FDA =30°，∴180180306090AFD FDA BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴AB ⊥DE ，∴四边形ADBE 是菱形．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，平行四边形及菱形的判定．24．如图，在ABCD Y 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF =．(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)若,BAC DAC ∠=∠求证：四边形EBFD 是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先根据四边形ABCD 为平行四边形，得出AO CO =，BO DO =，再根据AE CF =，得出EO FO =，即可证明结论；（2）先证明DCA DAC ∠=∠，得出DA DC =，证明四边形ABCD 为菱形，得出AC BD ⊥，即可证明结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO CO =，BO DO =，∵AE CF =，∴AO AE CO CF -=-，即EO FO =，(1)求证：CE CF =；(2)若23ABCD S =菱形，求菱形ABCD 的周长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】1（）根据菱形的性质和SAS 证明即可；2（）根据菱形的性质和面积公式解答即可．（1）证明： 四边形ABCD 是菱形AB BC ∴=，AD BC∥∴DAC BCA∠=∠证明：如图2中，过点A 作AM ⊥BC 于M ，AN ⊥CD 于N ，∵四边形ABCD 是菱形，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴S 菱形ABCD ＝BC •AM ＝CD •AN ，∵BC ＝CD ，∴AM ＝AN ，∠AMQ ＝∠ANP ＝90°，//AB CD ，∴∠B +∠C ＝180°，∵∠PAQ ＝∠B ，∴∠PAQ +∠C ＝180°，∴∠AQC +∠APC ＝180°，∵∠AQM +∠AQC ＝180°，∴∠AQM ＝∠APN ，在△AMQ 和△ANP 中，AQM APN AMQ ANP AM AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AMQ ANP AAS ≌．∴AP ＝AQ ；（2）如图，过点A 作AH ⊥CD 于点H ，∵∠ANC ＝45°，∴∠NAH ＝45°，。

边形 ABCD 是__菱__形____，若 AD＝6 cm源自∠ABC＝60°，则四边形 ABCD
的面积等于___1_8__3__cm2.
15．一个平行四边形的一条边长为 3，两条对角线的长分别为 4 和 2 5，则它的面积为__4__5____．
三、解答题(共35分)
16．(10分)(2014·厦门)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD
，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．
16.证明：∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°.又 ∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＋∠BCD＝ 180°.∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边 形．∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝ 90°.在△ABM和△ADN中，∠B＝∠D，∠AMB＝ ∠AND＝90°，AM＝AN，∴△ABM≌△ADN， ∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．
17．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为 AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到 △CFE，连接AF，AC.
(1)求证：四边形ADCF是菱形； (2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ADCF的面积．
17.(1)证明：∵将△ADE 绕点 E 旋转 180°得到△CFE，∴AE ＝CE，DE＝EF，∴四边形 ADCF 是平行四边形．∵D，E 分 别为 AB，AC 边上的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC，∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴DF⊥AC，∴四 边形 ADCF 是菱形；
8．(3 分)学校一块菱形花园的两对角线的长分别是 10 m 和 12 m，
则这个花园的面积为__6_0__m__2 _．

二、对角线互相垂直
三、四条边相等
作业布置
【必做题】
教材第7页习题1.2第1,2题。
【选做题】
教材第7页习题1.2的3题.
形ABCD看上去是菱形.
四边相等的四边形是菱形。
请你完成这个定理的证明。
新知讲解
B
已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义).
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
思考
还有其他的判定方法吗？
新知讲解
用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一
个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.
转动木条，观察图形的变化情况，你能发现什么？
新知讲解
1.如图，在ABCD中,AC与BD交于点O,下列判断中不正确的是( D )
A. 若AB＝BC，则ABCD是菱形
B. 若AC⊥BD，则ABCD是菱形
C. 若AC平分∠BAD，则ABCD是菱形
D. 若AC＝BD，则ABCD是菱形
课堂练习
2.如图，在 ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，
∴∠DCF＝∠BCF.
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF(SAS)．∴DF＝BF.
课堂总结
菱形的判定方法：
1.(定义法)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

有趣的菱形
有趣的菱形
有趣的菱形
初中数学 九年级上册 北京师范大学出版社
菱形的判定
学习目标
1.经历菱形判定定理的探索过程，发展学生的推 理能力、几何直观和空间观念. 2.会用菱形的判定方法进行相关的计算和证明， 发展学生的应用意识.
单元判定结构图
四边形
平行四边形
矩形 菱形
正方形
平行四边形 四边形
．
课堂总评
对标
评价标准
等级（A等级；B 等级；C等级）
对应知识 短板
目标1
1.通过活动，能够探索并掌握菱形的判定定理. 2.完成跟踪训练1,2，并做出评价.
目标2
1.会用菱形的判定定理解决实际问题. 2.完成跟踪训练3，并做出评价.
合计
分层作业 A等级：本节同步练习册4-6题 B等级：本节同步练习册1-4题
A．AD＝BC C．AC＝BD
B．AB＝DC D．AC⊥BD
第1、2每题30分，第3题40分 A等级：100分. B等级：60分-80分. C等级：60分以下.
当堂检测
2.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E， DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是
（ A ）（检测目标1）
A等级：推理合理. B等级：推理欠合理. C等级：其它.
任务二：菱形判定定理的应用（指向目标2）
例 2 已知：如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点
O，AB = 5 ，OA = 2，OB = 1.
求证：□ ABCD 是菱形.
证明：在△AOB 中， ∵AB = 5 ，OA = 2，OB = 1， ∴AB2 = AO2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴AC ⊥ BD.