第十四章虚位移原理

运动约束：约了f j束限(x方 制i ,程质y中点i ,包的zi含几, x坐何i ,标位yi对移, z时还i ,间限t)的制导质(数点)，的0约速束度除。
几何约束 可积几分何的约运束动约束
完整约束
运动约束 不可积分的运动约束 -非完整约束
运动约束
x2 y2 l2
xA r 0 xA r 0 9
y FG
D Aθ
E
CB
θ
F1 x
3
引言
问题的提出
静力学问题是否可以借助动力学的分析方法来求解呢？
杠杆
平衡条件：
F1a F2b 0 （a）
——— 微小角度
s atg 1
s btg 2
杠杆的平衡条件可用作用力在由平于衡在附新近的的位微置小系位统移仍中然所平衡
作 平条的衡件功条（来件a建）呢立和？。条答对件案于（是一b肯）般定是的的等非。价自的由质点F系1S是1 否 F能2S写2出类0 似（的b）4
x2 y2 l2
11
x2 y2 l2
§14–1 约束和约束方程
双面约束
单面约束
本章我们主要研究完整的、定常的、双面约束。
约束方程一般形式为：
f (x1, y1, z1, , xn , yn , zn ) 0
12
§14–2 自由度和广义坐标
一、自由度
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的 数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
15
§14–2 自由度和广义坐标
一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度， 取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标 及矢径可表为广义坐标的函数。
xi xi (q1, q2 , , qk ) yi yi (q1, q2 , , qk ) zi zi (q1, q2 , , qk ) ri ri (q1, q2 , , qk )
一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z )
3个
一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 3n个
对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独立
坐标。其自由度为k=3n-s 。
通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，
用适当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标
§14–1 约束和约束方程
2、定常约束和非定常约束
定常约束(稳定约束）：约f j束(x方i ,程yi中, z不i ,显x含i , 时yi间, zti。) ()0 非定常约束(非稳定约f j束(x）i ,：y约i ,束zi方, x程i ,中y显i , 含zi ,时t)间t。()0
y
A
r
l
B
O
x
(xB xA )2 ( yB yA )2 l 2
§14–1 约束和约束方程
一、约束
1、约束：事先对质点或质点系的位置或速度所加的限制条件。
5
§14–1 约束和约束方程
2、约束方程：将约束的限制条件以数学方程来表示。
记为 f j (ri , ri ,t) ()0
或 f j (xi , yi , zi , xi , yi , zi , t) ()0
和s个约束方程方便得多。
13
§14–2 自由度和广义坐标
二、广义坐标
用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,
y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束
情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
例1：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
y
A
r
l
B
O
x
平面单摆
x2 y2 l2
曲柄连杆机构
yB 0
(xB xA )2 ( yB
xA2 yA2 r2
yA )2
l2
6
§14–1 约束和约束方程
纯滚动轮
yA r
vA r 0
(xA r 0) 7
§14–1 约束和约束方程
初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子
x2 y2 l0 vt 2
(i 1,2,, n)
16
§14–3 虚位移
一、虚位移
在给定瞬时，质点（或质点系）符合约束的无限小的假 想的位移，称为质点（或质点系）在该瞬时的虚位移。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号 表示虚位移。
M
17
§14–3 虚位移
二、虚位移与微小实位移的区别和联系
1、虚位移与微小实位移的区别 实位移是在一定的时间内实际发生的位移， 与质点系的受力和初始条件有关，有确定的方向； 虚位移是假想的、实际并未发生位移，并不经历时间 与质点系的受力和初始条件无关，有多种可能的方向， 是无限小量。
约束方程中显含时间t
8
§14–1 约束和约束方程
二、约束的分类 f j (xi , yi , zi , xi , yi , zi , t) ()0
1、完整约束和非完整约束
几何约束：约只束限f j方 制( x程质i ,中点y不的i ,包几zi含何, t坐位)标置对，(时而)间不0的限导制数速，度约。束
1
第十四章 虚位移原理
§14–1 约束和约束方程 §14–2 自由度和广义坐标 §14–3 虚位移 §14–4 理想约束 §14–5 虚位移原理 §14–6 以广义坐标表示的质点系的平衡条件 §14–7 质点系在势力场中平衡的稳定性
2
引言
已知如图所示结构，
AC=CE=BC=CD=DG=GE =l，各杆自重不计。求系 统平衡时力F和力F1之间 的关系。
定常约束
x2 y2 l0 vt 2
10
非定常约束
§14–1 约束和约束方程
3、双面约束和单面约束
双面约束：约f束j (在xi ,两y个i , z方i ,向xi都, y能i ,起zi ,限t)制运0动的作用。（用等式表示）
单面约束：约松f束弛j (只或xi在消, y一失i ,个 。zi方, x向i , 起yi ,作zi用, t，) 另0一方向能 （不等式表示）
xA 广r义co坐s标选定后，质点 系y中A 每r一sin质点的直角坐标都
可xB表示r为co广s义坐l标2 的r函2 s数in。2
yB 0
14
Fra Baidu bibliotek
§14–2 自由度和广义坐标
例2：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。 约束方程 ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) x12 y12 a 2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2