一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2， ∴PQ=62cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=85，x2=245；
∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3， ∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=OC•xG=×3×1=，
专题09 二次函数中的取值范围专题（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如果二次函数𝑦=𝑥2−6𝑥+8在x的一定取值范围内有最大值(或最小值)为3，满足条件的x的取值范围可以是( )
A. −1≤𝑥≤5 B. 1≤𝑥≤6 C. −2≤𝑥≤4 D. −1≤𝑥≤1
【答案】D
【分析】
本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】
解：∵𝑦=𝑥 2−6𝑥+8=(𝑥−3) 2−1，
当𝑦=3时，得出𝑥=1或5，
∴在自变量−1≤𝑥≤1的取值范围内，当𝑥=1时，有最小值3，
2. 已知函数𝑦=𝑥2+𝑥−1在𝑚≤𝑥≤1上的最大值是1，最小值是，则m的取值范围是( )
A. 𝑚≥−2 B. 0≤𝑚⩽12 C. −2≤𝑚⩽−12 D. 𝑚⩽−12
【答案】C
【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出𝑚≤−12；再求得当𝑥=1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．
本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【解答】解：∵函数𝑦=𝑥2+𝑥−1的对称轴为直线𝑥=−12，
∴当𝑥=−12时，y有最小值，此时𝑦=14−12−1=−54，
∵函数𝑦=𝑥2+𝑥−1在𝑚≤𝑥≤1上的最小值是−54，
∴𝑚≤−12；
∵当𝑥=1时，𝑦=1+1−1=1，对称轴为直线𝑥=−12， ∴当𝑥=−12−[1−(−12)]=−2时，𝑦=1，
∵函数𝑦=𝑥2+𝑥−1在𝑚≤𝑥≤1上的最大值是1，且𝑚≤−12；
《二次函数》压轴题综合培优训练
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）判断△ABC的形状；
（2）过点C的直线y＝交x轴于点H，若点P是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P作PQ∥y轴交直线CH于点Q，作PN∥x轴交对称轴于点N，以PQ、PN为邻边作矩形PQMN，当矩形PQMN的周长最大时，在y轴上有一动点K，x轴上有一动点T，一动点G从线段CP的中点R出发以每秒1个单位的速度沿R→K→T的路径运动到点T，再沿线段TB以每秒2个单位的速度运动到B点处停止运动，求动点G运动的最少时间及此时点T的坐标；
（3）如图2，将△ABC绕点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，点A、C的对应点分别为A′、C′，且点C′恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC′．点E是y轴上的一个动点，连接AE、C′E，将△AC′E沿直线C′E翻折为△A″C′E，是否存在点A′，使得△BAA″为等腰三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）△ABC是以AC为底的等腰三角形．理由如下：
由题意知抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴令x＝0，解得y＝；令x＝0，解得：x1＝，x2＝4；
∴A（，0），，； ∴AC2＝AM2+MC2＝＝30，
BC2＝OB2+OC2＝＝75，
AB2＝（OA+OB）2＝＝75
∴AB＝BC
∴△ABC是以AC为底的等腰三角形．
（2）如图1中，过点C的直线y＝交x轴于点H，
令y＝0，解得x＝，
∴
设P（m，﹣﹣3），则Q（m，﹣3），
∵y＝＝﹣
∴抛物线对称轴为：直线x＝，
∴QP＝（﹣3）﹣（﹣﹣3）＝﹣+，NP＝m﹣，
∴矩形PQMN的周长C矩形PQMN＝2（QP+NP）＝2（﹣+﹣）＝+
∵﹣＜0，开口向下，
∴当m＝3时，C矩形PQMN最小，此时，P（3，﹣3），
