2016年青岛市第七届“二中杯”数学竞赛试卷
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1 密 封 线 上 不 要 答 题
青岛市第七届“二中杯”数学竞赛试卷
(考试时间120分钟)
2212212211)()||),(),,(yyxxAByxByxA（的距离公式：中两点预备知识：直角坐标系.
一. 填空题(每小题6分,共72分)
1.已知4a+b+3c=5,a+3b-2c=-7,则a+c的值是__________;
2.从2个不同的红球和2个不同的黑球中任取2个球,则至少有1个红球的
概率是_______;
3.如图,在边长为4的正方形ABCD内,分别以AB,
BC为直径作两个半圆.则图中阴影部分面积是________;
4.一次函数y=-(m2+m)x+m2-2在0≤x≤1时,图像在x轴
上方,则实数m的取值范围是_____________;
5.一蚂蚁沿棱长为1,2,3的长方体表面,从体对角线一顶点P到另一顶点Q
的最短距离是__________;
6.已知如图,RtΔABC中,∠C=900,∠A=600,ΔABC
内切圆半径r=1,切BC于D,则AD=_____________;
7.若k为正整数,且关于x的一元二次方程(k-1)x2-px+k=0有两个正整数根,
则kp+k(kPK-1)=__________;
8.已知x,y为实数,满足1)1)(1(22yyxx.则x+y= ___________;
9.如果当x分别取值p与q(p≠q)时，二次函数y=ax2+bx+p+q+1的值分别
为q和p，则当x=p+q时,函数y的值是__________;
A B C D
A
B C D 2 学校________________________ 姓名___________________ 联系电话___________________________
10.如图,方格表中填的均为正数,若每行,每列,两条
对角线上数的乘积均相等.则H=____________;
11.使得1nnnNnnn为质数的所有正整数n= __________;
12.黑板上写有100个数:1001,,31,21,1,一学生从中任意选取两个数x,y擦掉,
并写上数x+y+xy的值,另一学生再从黑板上现有数中(包括前面同学写的数)
任取两个x/,y/擦掉,并写上x/+y/+x/y/的值.问:这样依次操作下去,直到黑板上
只剩一个数为止,那么这个数是___________.
二.解答题（每题10分，满分70分）
13.已知y=x2-12x+27+|x2-12x+27|.求当x分别取1,2,„,10时,函数y值之和.
21 A B
C
D E
F G H 16 32
2 8 2
4 1 3 学校________________________ 姓名___________________ 联系电话___________________________
14.设整数a,b,c为直角ΔABC的三边长,求所有整数组(a,b,c),使得ΔABC的
面积等于a+b+c.
15.如图,设AK是ΔABC的外接圆直径,H是ΔABC的垂心.求证:KH与BC
互相平分.
H A
B C
K 4 学校________________________ 姓名___________________ 联系电话_______________________
16.如图,函数y=x2+ax+b的图像与坐标轴交于A,B,C三点,且ΔABC的外接
圆的圆心在直线y=x上,求a+b的值.
17.如图,已知ΔABC的三个顶点在抛物线y=x2上,且AB∥x轴,C位于AB与x
轴之间,CH是ΔABC的高,且CH-AB=1.求∠ACB大小.
A
C B H
x y
o h A
B C O x y
I 5 密 封 线 上 不 要 答 题
18.已知A(-1,-1),ΔABC是正三角形,且B,C在曲线xy1(x>0)一支上.
(1)若B,C两点横坐标分别为1,,2121xxxx求证：;(2)求ΔABC的边长.
19.任给一个自然数N,例如234,我们总可以用2016的四个数码,适当排列得
到一个四位数M,如2160,恰使得7整除234+2160.请证明:对任给的一个自然
数N,总存在一个适当排列2016的数码所得的四位数M,使得7整除M+N.
