走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学10-6

基础巩固强化一、选择题1．(文)设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2D ．－k1－k 2[答案] B[解析] ∵sin80°＝1－cos 280° ＝1－cos 2(－80°)＝1－k 2，∴tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k .(理)(2012·辽宁理，7)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1 [答案] A[解析] 解法1：由题意知，sin α－cos α＝2，sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，sin2α＝－1，∵α∈(0，π)．∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2，α＝3π4， ∴tan α＝tan 3π4＝－1.解法2：设tan α＝k ，则sin α＝k cos α，代入sin α－cos α＝2中得，cos α＝2k －1，∴sin α＝2kk －1，∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴2k 2(k －1)2＋2(k －1)2＝1，∴k ＝－1. 2．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝( ) A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213[答案] D[解析] 在△ABC 中，由tan A ＝－512<0知，∠A 为钝角，所以cos A <0,1＋tan 2A ＝sin 2A ＋cos 2A cos 2A ＝1cos 2A ＝169144，所以cos A ＝－1213，故选D.[点评] 学习数学要加强多思少算的训练，以提高思维能力，尤其是选择题，要注意结合其特点选取．本题中，tan A ＝－512，A 为三角形内角，即知A 为钝角，∴cos A <0，排除A 、B ；又由勾股数组5、12、13及tan A ＝sin A cos A 知，|cos A |＝1213，故选D.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α＝( ) A ．－78 B.78 C ．－3132 D.3132[答案] A[解析] sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78. 4．(2013·山东青岛高三教学评估)若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A.153 B ．－153 C.53 D ．－53[答案] A[解析] ∵0<A <π，∴0<2A <2π.又∵sin2A ＝23，即2sin A cos A ＝23，∴0<A <π2. ∵(sin A ＋cos A )2＝sin 2A ＋cos 2A ＋2sin A cos A ＝53， ∴sin A ＋cos A ＝153.5．(2012·广东六校联考)sin (－250°)cos70°cos 2155°－sin 225°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 [答案] C[解析] 原式＝－sin (270°－20°)cos (90°－20°)cos 225°－sin 225°＝cos20°sin20°cos50°＝sin40°2cos50°＝cos50°2cos50°＝12，故选C. 6．已知tan140°＝k ，则sin140°＝( )A.k 1＋k 2B.11＋k 2 C ．－k 1＋k 2 D ．－11＋k2 [答案] C[解析] k ＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°， ∴tan40°＝－k ，∴k <0，sin40°＝－k cos40°， sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°， ∵sin 240°＋cos 240°＝1， ∴k 2cos 240°＋cos 240°＝1， ∴cos40°＝1k 2＋1，∴sin40°＝－k k 2＋1. 二、填空题7．(2013·江西临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin(α＋π2)＝________ [答案] －64[解析] 由题意得cos α＝x 5＋x 2＝24x ， 解得x ＝0或x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3. 即cos α＝－64，sin(α＋π2)＝cos α＝－64.8．化简sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝______(k ∈Z )．[答案] －1[解析] 对参数k 分奇数、偶数讨论．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin (2n π＋π－α)·cos (2n π－α)sin (2n π＋2π＋α)·cos (2n π＋π＋α)＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1. 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式 ＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α) ＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.9．函数y ＝tan x ＋lg cos x 的定义域是________________． [答案] {x |2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z }[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，cos x >0，如图，由tan x ≥0得，m π≤x <m π＋π2，m ∈Z ， 由cos x >0得，2n π－π2<x <2n π＋π2，n ∈Z . ∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .三、解答题10．(2013·长沙一中月考)已知6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，α∈(3π2，2π)．(1)求tan α的值； (2)求cos(α＋π3)的值．[解析] (1)∵α∈(3π2，2π)，∴cos α≠0， ∵6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， ∴6tan 2α＋5tan α－4＝0， 解得tan α＝－43或tan α＝12. ∵α∈(3π2，2π)，∴tan α<0. 故tan α＝12(舍去)，∴tan α＝－43. (2)∵α∈(3π2，2π)，∴由tan α＝－43， 求得sin α＝－45，cos α＝35. ∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3 ＝35×12－(－45)×32＝3＋4310.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·天津耀华中学模拟)若sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2C ．－12D ．2[答案] D[解析] tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α ＝2(sin α＋cos α)2－1＝2，故应选D. (理)(2014·龙岩月考)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( )A ．－53B ．－59 C.59 D.53[答案] A[解析] 由sin α＋cos α＝33平方得：1＋sin2α＝13， 即sin2α＝－23.又α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－153.∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝33×(－153)＝－53.故选A. 解答本题要注意到sin α±cos α与sin αcos α之间的关系．12．已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ<0，则cos θ的取值范围是( ) A ．(－22，0) B ．(－1，－22) C ．(0，22) D ．(22，1)[答案] A[解析] 如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2k π＋5π4<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，因此－22<cos θ<0.选A.13．(文)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝( ) A.－1±52 B.3＋12 C.5－12 D.3－12[答案] C[解析] ∵tan x ＝sin(x ＋π2)，∴tan x ＝cos x ， ∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0， 解得sin x ＝－1±52，∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选C.(理)(2013·北京海淀期中)已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形[答案] C[解析] 由题意得，cos A cos B ＝12·2sin 2C 2⇒ cos A ·cos B ＝1－cos C2⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos(A ＋B ) ⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos A ·cos B －sin A ·sin B⇒cos A ·cos B ＋sin A ·sin B ＝1⇒cos(A －B )＝1⇒A －B ＝0⇒A ＝B ，所以△ABC 一定是等腰三角形，故选C.二、填空题14．设a ＝2tan70°1＋tan 270°，b ＝1＋cos109°2，c ＝32cos81°＋12sin99°，将a 、b 、c 用“<”号连接起来________．[答案] b <c <a[解析] a ＝2tan70°1＋tan 270°＝2sin70°cos70°cos 270°＋sin 270°＝sin140°，b ＝1＋cos109°2＝1－cos71°2＝sin35.5°＝sin144.5°， c ＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°， ∵y ＝sin x 在(90°，180°)内单调递减， ∴a >c >b .15．(2012·唐山二模)若3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12sin2θ的值是________．[答案] 65[分析] 利用诱导公式可将条件式化简得到sin θ＝k cos θ(或tan θ＝k )结合sin 2θ＋cos 2θ＝1可求得sin θ与cos θ代入待求值式可获解(或将待求式除以1＝sin 2θ＋cos 2θ，分子分母都化为tan θ的表示式获解)．[解析] ∵3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sin θ－cos θ＝0，即tan θ＝13.∴cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ1＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋(13)2＝43109＝65. [点评] 形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α、cos α的一次齐次式和二次齐次式．若已知tan α＝m ，求涉及它们的三角式的值时，常作①1的代换，②sin α＝m cos α代入，③选择题常用直角三角形法求解，④所给式是分式时，常用分子、分母同除以cos k α(k ＝1,2，…)变形．三、解答题16．(文)(2014·龙湾中学月考)已知向量a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且a ⊥b .(1)求sin α的值； (2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．[解析] (1)∵a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，且a ⊥b . ∴a ·b ＝(cos α，1)·(－2，sin α)＝－2cos α＋sin α＝0. ∴cos α＝12sin α.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝45. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＝－255.(2)由(1)可得cos α＝－55，则tan α＝2.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－3. (理)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32α＋π2＝2326，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos (4π＋2α)的值． [解析] (1)由题意得m ·n ＝0，所以，f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos2ωx 2＋3sin2ωx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12， 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋12. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32α＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋12 ＝cos α＋12＝2326，解得cos α＝513，因为α是第一象限角，故sin α＝1213，所以，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos (4π＋2α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22·1cosα－sinα＝－13214.考纲要求理解同角三角函数的基本关系式，能利用平方关系和商数关系进行化简、求值和证明有关问题．能利用单位圆中的三角函数线推导出有关的诱导公式，能利用诱导公式化简任意角的三角函数值．补充说明1．怎样计算任意角的三角函数值计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；(2)正化主：当已知角不在区间[0°，360°)时，可用k·360°＋α的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间[0°，360°)上的角的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．2．证明三角恒等式的常用方法证明三角恒等式的主要思考方法有：(1)化繁为简，即从等式较繁的一边出发，利用三角公式及变形技巧，逐步变形到等式的另一边．(2)左右归一，当欲证式两边都比较复杂时，把两边分别变形化简，得到同一个式子．(3)转换命题，即把原命题转化为它的等价命题，简化证明过程．3．三角函数求值中直角三角形的运用先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形．，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可．4．同角三角函数关系的六边形法则记忆：上弦中切下割，左正右余中1，倒数对角线、平方倒三角、乘积两边夹、商数依次除．应用：寻找解题途径．如已知sin α①利用平方关系可求cos α，进而求tan α，cot α.②利用倒数关系可求csc α，进而可求cot α等．5．三角形中的诱导公式在三角形ABC 中常用到以下结论：sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，sin(A 2＋B 2)＝sin(π2－C 2)＝cos C 2，cos(A 2＋B 2)＝cos(π2－C 2)＝sin C 2.6．求角的一般步驟求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．备选习题1．(2013·青岛期末)sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32[答案] C[解析] sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12.2．(2013·吉林四平期末)若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ [答案] C[解析] ∵θ为第一象限角，∴θ2为第一象限角或第三角限角，所以选C.3．若sin76°＝m ，则cos7°＝______.[答案] 2m ＋22 [解析] ∵sin76°＝m ，∴cos14°＝m ，2＋2m 即2cos27°－1＝m，∴cos7°＝2.。

基础巩固强化一、选择题1．(文)已知△ABC 中，a ＝2、b ＝3、B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°[答案] C[解析] 由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ， sin A ＝a sin B b ＝2sin60°3＝22，又∵a <b ，∴A <B ，故A ＝45°，选C.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 [答案] B[解析] 解法1：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°. 由a >b 得A >B ，∴B ＝30°.故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2，选B.解法2：由余弦定理知，3＝c 2＋1－2c cos π3，即c 2－c －2＝0，∴c ＝2或－1(舍去)．2．(文)(2014·莲塘一中质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A.441B.45C.425D.44141[答案] B[解析] 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5，又c sin C ＝b sin B ，所以sin C ＝c sin B b ＝42sin45°5＝45，选B. (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3 [答案] B[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b )·b ＝ab －b 2， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3.3．(文)(2013·浙江调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sin B sin C ＝0，则tan A 的值是( )A.33B ．－33C. 3 D ．－ 3[答案] D[解析] 依题意及正弦定理可得，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，则由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又0<A <π，所以A ＝2π3，tan A ＝tan 2π3＝－3，选D.(理)(2013·浙江宁波十校联考)在△ABC 中，a 2tan B ＝b 2tan A ，则角A 与角B 的关系是( )A ．A ＝BB ．A ＋B ＝90°C ．A ＝B 或A ＋B ＝90°D ．A ＝B 且A ＋B ＝90°[答案] C[解析] 由已知条件a 2tan B ＝b 2tan A ⇒sin2A ＝sin2B ，因为A ，B 为三角形内角，所以有2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，即A ＝B 或A ＋B ＝90°.学生容易错选D ，即A ＝B 且A ＋B ＝90°.4．(2013·合肥二检)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 [答案] A[解析] 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A.5．(文)(2013·浙江五校第二次联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．5B ．25 C.41 D ．5 2[答案] A[解析] 解法1：由S △ABC ＝12ac sin45°＝2⇒c ＝42， 再由余弦定理可得b ＝5.解法2：作三角形ABC 中AB 边上的高CD ， 在Rt △BDC 中求得高CD ＝22，结合面积求得 AB ＝42，AD ＝722，从而b ＝AD 2＋CD 2＝5.(理)(2013·呼和浩特第一次统考)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，角B 所对的边长b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．4B ．1 C.3 D ．2 [答案] C[解析] 据正弦定理将角化边得a ＝3c ，再由余弦定理得c 2＋(3c )2－23c 2cos30°＝4，解得c ＝2，故S △ABC ＝12×2×23×sin30°＝ 3.6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2， 又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.二、填空题7．(2014·弋阳一中月考)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4， 由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BAAC ＝2.8．(2014·江西四校联考)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π3，a ＝2b ，则b 的值为________．[答案]3[解析] 依题意及余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9＝(2b )2＋b 2－2×2b ×b cos π3，解得b 2＝3，∴b ＝ 3.9．(文)(2012·石家庄质检)在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝2，AC ＝263，则∠B ＝________.[答案] 45°[解析] 利用正弦定理可知：BC sin A ＝AC sin B ， 即2sin60°＝263sin B ，∴sin B ＝22，∵2>263，∴BC >AC ，∴∠A >∠B ，∴∠B ＝45°.(理)(2012·北京西城区期末)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b ＝5，B ＝π4，tan C ＝2，则c ＝________.[答案] 2 2 [解析]⎭⎬⎫sin 2C ＋cos 2C ＝1tan C ＝2⇒sin Ccos C ＝2⇒sin 2C ＝45⇒sin C ＝255.由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ，∴c ＝sin Csin B ×b ＝2 2.三、解答题10．(文)(2012·浙江文，18)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a 、c 的值． [解析] (1)由b sin A ＝3a cos B 及a sin A ＝bsin B 得， sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，因为0<B <π，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C 得，c ＝2a .① 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， 9＝a 2＋c 2－ac .②由①、②得a ＝3，c ＝2 3.[点评] 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力．(理)(2013·浙江省名校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －3cos C cos B＝3c －ab . (1)求sin Csin A 的值；(2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围． [解析] (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ， 则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin A sin B ， 所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B， 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C sin A ＝3. (2)由sin Csin A ＝3得c ＝3a .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >ba 2＋c 2<b 2，又b ＝10，所以52<a <10.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·东北三省四市二联)若满足条件AB ＝3，C ＝π3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，2)[答案] C[解析] 解法一：若满足条件的三角形有两个，则32＝sin C <sin A <1，又因为BC sin A ＝ABsin C ＝2，故BC ＝2sin A ，所以3<BC <2，故选C.解法二：由条件知，BC sin π3<3<BC ，∴3<BC <2.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3 [答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2， ∴sin A <22，∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4.12．(文)(2013·浙江金丽衢十二校二联)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，且b 2＋c 2＝a 2＋3bc ，则2sin B cos C －sin(B －C )的值为( )A.33B.32C.22D.12[答案] D[解析] 利用余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，又A∈(0，π)，所以A ＝π6，B ＋C ＝5π6，所以2sin B cos C －sin(B －C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )＝12.(理)(2013·浙江稽阳联谊学校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc 且b ＝3a ，则△ABC 不．可能．．是( ) A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形[答案] D[解析] 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，可得A ＝π6，又由b ＝3a 可得b a ＝sin B sin A ＝2sin B ＝3，可得sin B ＝32，得B ＝π3或B ＝2π3，若B ＝π3，则△ABC 为直角三角形；若B ＝2π3，C ＝π6＝A ，则△ABC 为钝角三角形且为等腰三角形，由此可知△ABC 不可能为锐角三角形，故应选D.13．(2014·大城一中月考)在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( )A.21B.3214 C.212 D ．321 [答案] B[解析] 设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，∵AC →·AB →＝|AC→－AB →|＝3，∴bc cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A 2，∴cos A ≥25，∴0<sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.二、填空题14．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则∠A 的大小为________．[答案] π6[解析] ∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2， ∴sin(B ＋π4)＝1， ∵0<B <π，∴B ＝π4，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12， ∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3，则△ABC 的面积为________．[答案] 2[解析] 依题意得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，∵AB →·AC →＝AB ·AC ·cos A ＝3，∴AB ·AC ＝5，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝2.15．在△ABC 中，C ＝60°，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________. [答案] 1[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )，∴a b ＋c ＋b a ＋c＝1. 三、解答题16．(文)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A 、sin C 、sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.(理)(2013·江西省七校联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2BA →·CB →＝－27.(1)求cos B 的值；(2)求AC 的长度．[解析] (1)∵C ＝2A ，∴cos C ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝18，∴sin C ＝378，sin A ＝74.∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C＝74×378－34×18＝916.(2)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB ＝32BC .∵2BA →·CB →＝－27，cos B ＝916，∴|BA →||CB →|＝24，∴BC 2＝16，AB ＝6，∴AC ＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos B ＝16＋36－2×4×6×916＝5.考纲要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 补充说明1．求解三角形中的三角函数问题的技巧解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路：②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．2．在解斜三角形的问题中，有时所给问题在一个多边形中，需将多边形分割成三角形，有时在同一个图形中有几个三角形，解题时要先分析条件，将已知和待求量归结到一个可解的三角形中，如果不能归到同一个三角形中，则应看待求量需要在哪个三角形中解决，这个三角形中的哪个量与已知条件所在的三角形共用，先解可解的三角形求出这个量或建立方程求解．备选习题1．(2013·杭州第二次质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为1534，b ＋c ＝8，A ＝120°，则a ＝( )A ．7B ．3 3C ．5D ．3[答案] A[解析] 由已知条件可得S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×32＝34bc ＝1534，得bc ＝15，又由b ＋c ＝8可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b＋c)2－2bc＋bc＝64－15＝7，故应选A.2．(2013·沈阳二中四模)在△ABC中，A＝120°，b＝1，面积为3，则b－c－asin B－sin C－sin A＝()A.2393 B.393C．27 D．47[答案] C[解析]∵S＝12bc sin A＝12c sin120°＝3，∴c＝4，∴a＝b2＋c2－2bc cos A＝17＋8×12＝21，∴b－c－asin B－sin C－sin A＝asin A＝2132＝27，故应选C.3．在△ABC中，sin A＝513，cos B＝45，则cos C＝________. [答案]－3365[解析]由cos B＝45得，sin B＝35>513＝sin A，∴b>a，即B>A，∴A为锐角，∴cos A＝1213，∴cos C＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝513×35－1213×45＝－3365.4．(2012·天津文，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝2，c＝2，cos A＝－2 4.(1)求sin C 和b 的值；(2)求cos(2A ＋π3)的值．[分析] (1)由cos A ＝－24及0<A <π，sin 2A ＋cos 2A ＝1可求sin A ，再由正弦定理求sin C ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可求b 的值．(2)由(1)知道sin A ，cos A ，用正弦、余弦二倍角公式求sin2A ，cos2A ，展开cos(2A ＋π3)代入即可．[解析] (1)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0，因为b >0，故解得b ＝1.所以sin C ＝74，b ＝1.(2)由cos A ＝－24，sin A ＝144得，cos2A ＝2cos 2A －1＝－34， sin2A ＝2sin A cos A ＝－74.所以，cos(2A ＋π3)＝cos2A cos π3－sin2A sin π3 ＝－3＋218. 5．(2012·新课标全国文)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c .[分析] (1)已知c ＝3a sin C －c cos A ，求角A ，注意到等式中的三项都含有c 或sin C ，故可用正弦定理化边为角，约去sin C (sin C ≠0)得到角A 的关系式，再结合0<A <π，求出角A .(2)可结合角A 的值，选择合适的△ABC 的面积公式，建立关于b 、c 的方程组，解得b 、c 的值．已知a 和S △ABC 及角A ，可选择面积公式S △ABC ＝12bc sin A ，再结合余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，建立b与c 的方程组解之．[解析] (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得，3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.[点评] 本题考查解三角形的有关知识，该类问题在已知条件中如果涉及到边角关系时，经常考虑边角互化，另外还要注意三角形面积公式的合理选择．。

基础巩固强化一、选择题1．(文)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 [答案] A[解析] ∵S 6＝S 3＋S 3q 3＝S 3·(1＋q 3)，∴q ＝2.(理)在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21.则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．189 [答案] C[解析] 由前三项和为21可知a 1(1＋q ＋q 2)＝21，将a 1＝3代入解之得q ＝2或－3(舍)．则a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 2＋a 3)q 2＝21×4＝84.2．(文)(2013·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q ＝a 2a 1＝32，故a n ＝4×(32)n －1.(理)(2013·安徽省级示范高中名校联考)三个实数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝3，则b 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．(0,1]C ．[－1,0)∪(0,3]D ．[－3,0)∪(0,1][答案] D[解析] 设公比为q ，显然q ≠0，a ＋b ＋c ＝b (1q ＋1＋q )＝3⇒b ＝31＋1q ＋q. 当q >0时，q ＋1q ≥2，当且仅当q ＝1时等号成立，∴0<b ≤1；当q <0时，q ＋1q ≤－2，当且仅当q ＝－1时等号成立，∴－3≤b <0.故选D.3．(文)(2013·广东珠海质监)在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项为3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189 [答案] C[解析]设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 1(1＋q ＋q 2)＝21，q >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2.那么a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84. (理)已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n －1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1， 又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×(4n －1)4－1＝13(4n－1)．4．(文)(2013·广元二模)等比数列{a n }的公比q >0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝( )A ．－20B ．15 C.152 D.203 [答案] C[解析] ∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a n ≠0， ∴q 2＋q －6＝0，∵q >0，∴q ＝2，∴a 1＝12， ∴S 4＝12(1－24)1－2＝152.(理)(2013·西安标准化考试)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则公比q 为( )A ．q ＝－2B ．q ＝1C ．q ＝－2或q ＝1D ．q ＝2或q ＝－1[答案] A[解析] 本题有两种处理策略，一是设出首项a 1，建立方程2a 1(1－q n )1－q ＝a 1(1－q n ＋1)1－q ＋a 1(1－q n ＋2)1－q 求解，解得q ＝－2.此法为通法，但运算复杂；二是特例探路，不妨设n ＝1，则S n ＋1，S n ，S n ＋2即是S 2，S 1，S 3，根据等差数列的性质可知，2S 1＝S 2＋S 3，即2a 1＝a 1(1＋q )＋a 1(1＋q ＋q 2)，易得q ＝－2.故选A.5．(文)若数列{a n }是正项递减等比数列，T n 表示其前n 项的积，且T 8＝T 12，则当T n 取最大值时，n 的值等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12 [答案] B[解析] ∵T 8＝T 12，∴a 9a 10a 11a 12＝1，又a 9a 12＝a 10a 11＝1，且数列{a n }是正项递减数列，所以a 9>a 10>1>a 11>a 12，因此T 10取最大值．(理)在由正数组成的等比数列{a n }中，设x ＝a 5＋a 10，y ＝a 2＋a 13，则x 与y 的大小关系是( )A ．x ＝yB ．x ≥yC ．x ≤yD ．不确定 [答案] C[解析] x －y ＝a 1q (1－q 3)(q 8－1)． 当q ＝1时，x ＝y ；当q >1时，1－q 3<0而q 8－1>0，x －y <0； 当0<q <1时，1－q 3>0而q 8－1<0，x －y <0.故选C.6．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组如下：第一组 第二组 第三组 … {2,4} {6,8,10,12} {14,16,18,20,22,24,26,28} … 则2014位于( ) A ．第7组B ．第8组C ．第9组D ．第10组[答案] C[解析] 前n 组共有2＋4＋8＋ (2)＝2×(2n－1)2－1＝2n ＋1－2个数．由a n ＝2n ＝2014知，n ＝1007，∴2014为第1007个偶数， ∵29＝512,210＝1024，故前8组共有510个数，前9组共有1022个数，即2014在第9组．二、填空题7．(2013·莆田一模)若等比数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝22，那么a 12＝________.[答案] 64[解析] 令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a n ＝q n ， ∵a 3＝q 3＝22，∴a 12＝q 12＝64.8．(文)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] n ＋1[解析] 设等差数列首项a 1，公差d ，则∵a 1、a 3、a 7成等比，∴a 23＝a 1a 7，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ， 又S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35， ∴d ＝1，∴a 1＝2，∴a n ＝n ＋1.(理)(2013·浙江湖州中学)已知数列{a n }是正项等比数列，若a 1＝32，a 4＝4，则数列{log 2a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[答案] 15[解析] ∵a 1＝32，a 4＝4，∴q ＝12，a n ＝32·(12)n －1，log 2a n ＝log 232·(12)n －1＝5＋(n －1)log 212＝6－n ，由6－n ≥0，得n ≤6，∴前5项(或6项)和最大，S 5＝5×(5＋1)2＝15.9．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9，共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题． 三、解答题10．(文)(2013·陕西)设S n 表示数列{a n }的前n 项和． (1)若{a n }是等差数列，推导S n 的计算公式；(2)若a 1＝1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n 1－q .判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．[解析] (1)方法一：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]， 又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1＝[a 1＋(n －1)d ]＋[a 1＋(n －2)d ]＋…＋a 1，∴2S n ＝[2a 1＋(n －1)d ]＋[2a 1＋(n －1)d ]＋…＋[2a 1＋(n －1)d ]＝2na 1＋n (n －1)d ，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d .方法二：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]， 又S n ＝a n ＋(a n －d )＋…＋[a n －(n －1)d ]，两式相加得2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2. (2){a n }是等比数列，证明如下：∵S n ＝1－q n 1－q ，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝1－q n ＋11－q －1－q n 1－q ＝q n (1－q )1－q ＝q n.∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥1时，有a n ＋1a n ＝q nq n －1＝q ，因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．(理)(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．[解析] (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0，由条件易知q ≠1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2S 2＝S 3＋S 4，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(1－q 2)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 4)1－q ，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2013，则1－(－2)n ≥2013， 即(－2)n ≤－2012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2012，即2n ≥2012，则n ≥11. 综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定[答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1)＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a5的大小．[解析] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4<0，所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知有S 3a 3<S 5a 5.(理)(2012·云南省二检)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] B[解析] 数列{a n }前9项的和为S 9＝5113×9＝1533，即a 1(1－29)1－2＝1533，解得a 1＝3.又知a m ＝S 9－14378×8＝96，而a m ＝3·2m －1，即3·2m－1＝96，解得m ＝6.12．(文)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q[答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92， ∵q ≠1，∴a 3≠a 9， ∴a 3＋a 92>a 3a 9，又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .故选D.(理)两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( )A.32B.152C.13D.133 [答案] D[解析] ∵a ＋b ＝5，a ·b ＝6，a >b >0， ∴a ＝3，b ＝2.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝133.13．(文)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] D[解析] 由程序框图可知，S ＝1＋2＋22＋…＋2k ＝2k ＋1－1，由S <100得，2k ＋1<101，∵26＝64,27＝128，∴k ＋1＝7，∴k ＝6，结合语句k ＝k ＋1在S ＝S ＋2k 后面知，当k ＝6时，S ＝127，k 的值再增加1后输出k 值为7.[点评] 这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k 取何值时，恰满足S ≥100，又要顾及S 与k 的赋值语句的先后顺序．(理)已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 ……………………记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 [答案] D[解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，∴前10行数字个数的和为10×1＋10×92×2＝100，故A (11,12)为{a n }的第112项，∴A (11,12)＝a 112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.二、填空题14．(文)已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则a x ＋cy ＝________.[答案] 2[解析] 由条件知x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，c ＝bq ，a ＝bq ， ∴a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2b q b q ＋b ＋2bqb ＋bq＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. (理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，那么a ＝________；若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则a n ＝________.[答案] 2 5n －3[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，ab <a ＋2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，(a －2)b <a ，若a ＝2，显然符合条件；若a >2，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n －1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.15．(2013·合肥二模)已知等比数列{a n }中，a 2>a 3＝1，则使不等式(a 1－1a 1)＋(a 2－1a 2)＋…＋(a n －1a n)≥0成立的最大自然数是________．[答案] 5[解析] ∵a 2>a 3＝1，∴0<q ＝a 3a 2<1，a 1＝1q 2>1.由(a 1－1a 1)＋(a 2－1a 2)＋…＋(a n －1a n)＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－(1a 1＋1a2＋…＋1a n)＝a 1(1－q n )1－q－1a 1(1－1q n )1－1q ＝a 1(1－q n )1－q －1－q n a 1(1－q )q n －1≥0，得a 1(1－q n )1－q ≥1－q n a 1(1－q )q n －1.∵0<q <1，∴上式可化为a 21≥1qn －1，∴q 4≤q n －1.∴4≥n －1，n ≤5，即n 的最大值为5.三、解答题16．(文)(2013·洛阳统考)已知数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和S n满足S n ＋1－S n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ； (2)令b n ＝2log 2a n ＋1，求数列{1b n ·b n ＋1}的前n 项和T n .[解析] (1)由S n ＋1－S n ＝2n ＋1得a n ＋1＝2n ＋1，即a n ＝2n (n ≥2)． 又a 1＝2，所以a n ＝2n (n ∈N *)．从而S n ＝2＋22＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.(2)因为b n ＝2log 2a n ＋1＝2log 22n ＋1＝2n ＋1， 所以1b n ·b n ＋1＝1(2n ＋1)·(2n ＋3)＝12(12n ＋1－12n ＋3)．于是T n ＝12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n ＋1－12n ＋3)]＝12(13－12n ＋3)＝n3(2n ＋3). (理)(2013·长春三校调研)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围．[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18， ∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2，∴2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3.∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)，∴不等式化为3(2n －1)>k ·3·2n －1－2， 即k <2－13·2－对一切n ∈N *恒成立．令f (n )＝2－13·2n －1，易知f (n )随n 的增大而增大，∴f (n )min ＝f (1)＝2－13＝53，∴k <53. ∴实数k 的取值范围为(－∞，53)．考纲要求1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系． 补充说明与等比数列有关的常用求和方法 (1)分组求和法若数列{a n }是由等差数列与等比数列的和形式给出的，可先分别对它们求和，再将其和相加，该方法称为分组求和法．(2)错位相减法一般地，{a n }是等差数列，{b n }是等比数列(公差d ≠0，公比q ≠1)，c n ＝a n b n ，求数列{c n }前n 项的和用“乘公比、错位相减法”．备选习题1．(2013·温州第一次适应性测试)已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝( )A.12 B ．1 C ．2 D.14 [答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，依题意可得a 25＝a 4a 6＝4a 27＝4·a 25q 4，∴q 4＝14，q 2＝12，∴a 3＝a 1q 2＝2×12＝1.2．(2013·深圳第一次调研)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12 C.(－1)n ＋12 D.(－1)n －12[答案] D[解析] 因为数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝－1·[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12，选D. 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1，令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3； 令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9.∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)， 即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)，且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(n ＝1)，0.(n ≥2).此时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k＋1的等比数列．综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，{a n }是等比数列．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ＋2，S n ＋1)在直线y ＝4x －5上，其中n ∈N *.令b n ＝a n ＋1－2a n ，且a 1＝1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ，求f ′(1)的表达式． [解析] (1)∵S n ＋1＝4(a n ＋2)－5，∴S n ＋1＝4a n ＋3. ∴S n ＝4a n －1＋3(n ≥2)，∴a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∴b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(n ≥2)． ∴数列{b n }为等比数列，其公比为q ＝2，首项b 1＝a 2－2a 1， 而a 1＋a 2＝4a 1＋3，且a 1＝1，∴a 2＝6. ∴b 1＝6－2＝4，∴b n ＝4×2n －1＝2n ＋1. (2)∵f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ，∴f ′(1)＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n . ∴f ′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1① ∴2f ′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n ·2n ＋2② ①－②得－f ′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2 ＝4(1－2n )1－2－n ·2n ＋2＝－4(1－2n )－n ·2n ＋2，∴f ′(1)＝4＋(n －1)·2n ＋2.5．(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．[解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1. 又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列． (2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．－2 D ．3[答案]C[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝6，a 1＝4，∴d ＝－2.(理)(2013·某某二模)已知等差数列1，a ，b ，且3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则该等差数列的公差为( )A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3 [答案]C[解析]2a ＝1＋b ，(a ＋2)2＝3(b ＋5)，a ＝4或a ＝－2. ∵等比数列中的项不能为0， ∴a ＝4，b ＝7，∴等差数列的公差为3.2．(2013·某某新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案]C[解析]因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.3．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．9 [答案]C[解析]设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.(理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案]B[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 7＝4a 6＋a 8＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋10d ＝42a 1＋12d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝17d ＝－3，∴a n ＝－3n ＋20.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.解得173≤n ≤203，又n ∈N *，∴n ＝6.故选B.法二：S n ＝17n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32(n －376)2＋37224，∵n ∈N *，∴当n ＝6时，S n 取得最大值．故选B.4．(2013·某某一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152 D.172[答案]D[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n . ∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n，∴n ＝8，故选D.5．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案]B[解析]设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d 10a 1＋12×10×9d＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)(2013·某某省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．641B ．640C ．639D ．638 [答案]B [解析]由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选B.6．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x [答案]D[解析]对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1－x n ＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．(理)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 2014＝( )A.20134029B.20144029 C.40174029D.40184029 [答案]B[解析]依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T 2014＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(14027－14029)]＝12×(1－14029)＝20144029.故选B.二、填空题7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．[答案]20[解析]依题意得①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac .或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc .或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab .由①得a ＝b ＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b 2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.8．(文)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．[答案]110[解析]由题意，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10(10－1)2d ＝110.(理)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，则a 11＋a 12＋a 13＝________.[答案]75[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5，a 1a 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1(a 1＋2d )＝21， ∵d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝3，∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝75.9．(文)(2013·冀州中学检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析]∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)． 两式相减得a n ＝2a n －1，∴a n a n －1＝2.由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n .∴S 5S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝317. (理)(2013·某某某某中学模拟)设m >3，对于项数为m 的有穷数列{a n }，令b k 为a 1，a 2，…，a k (k ≤m )中最大值，称数列{b n }为{a n }的“创新数列”．例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2，…，m (m >3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}．若m ＝4，则创新数列为3,4,4,4的所有数列{a n }为________．[答案]3,4,2,1或3,4,1,2[解析]由数列{a n }的创新数列定义知，a 1＝3，a 2＝4，由于c 3＝4，∴a 3≤4，又{a n }是1,2,3,4的一个排列，∴a 3≠3,4，∴a 3＝1或2，由于c 4＝4， ∴当a 3＝1时，a 4＝2；当a 3＝2时，a 4＝1， ∴数列{a n }为3,4,1,2或3,4,2,1. 三、解答题10．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由已知点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，可得S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －3(n －1)2＋2(n －1)＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12(16n －5－16n ＋1)， ∴T n ＝12(11－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1)＝12(1－16n ＋1)＝12－112n ＋2. (理)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．[解析](1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2， 所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． 故所求的概率P ＝29.[点评] 在等差数列和等比数列中，已知具体项或某几项的和等条件时，常选用“基本量法”来求解，即把已知条件均用数列的首项、公差或首项、公比来表示；概率中的古典概型关键是能正确列举出所有的基本事件和满足条件的基本事件.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )A ．－2或－3B ．2或3C ．－2D ．3 [答案]A[解析]由2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6， 由S 15＝m 得a 8＝m15.又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根， 解之得m ＝0，或m ＝－45， 则a 8＝0，或a 8＝－3.由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2，或d ＝－3.(理)(2013·某某六中月考)已知a >0，b >0，若2是4a 与2b 的等比中项，则2a ＋1b的最小值为( )A ．2 2B ．8C ．9D ．10 [答案]C[解析]由条件知：4a ·2b ＝(2)2， ∴22a ＋b ＝21，∴2a ＋b ＝1， ∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9， 等号在⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时成立．12．(2013·某某市调研)已知等比数列{a n }公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3等于( )A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或12[答案]A[解析]由条件知2S 9＝S 3＋S 6，∴2a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝1或－12，∵q ≠1，∴q 3＝－12.13．(文)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L ，下面3节的容积共4L ，则第5节的容积为( )A ．1L B.6766L C.4744L D.3733L[答案]B[解析]设该数列为{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解之得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，所以第5节的容积为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋766×4＝6766.(理)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →等于( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1 [答案]A[解析]S 29＝S 4000⇒a 30＋a 31＋…＋a 4000＝0⇒a 2015＝0，又P (1，a n )，Q (2015，a 2015)，则OP →＝(1，a n )，OQ →＝(2015，a 2015)， ∴OP →·OQ →＝(1，a n )·(2015，a 2015)＝2015＋a n a 2015＝2015，故选A. 二、填空题14．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.[答案]4[解析]由条件知，S k ＋S k ′＝k (k －1)2d ＋k (k －1)2d ′－4k ＝k (k －1)(d ＋d ′)2－4k ＝0，∵k 是正整数，∴(k －1)(d ＋d ′)＝8， ∴a k ＋b k ＝(k －1)d －4＋(k －1)d ′ ＝(k －1)(d ＋d ′)－4＝4. 三、解答题15．(文)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .[解析](1)由2S n ＝a n ＋1，n ＝1代入得a 1＝1， 两边平方得4S n ＝(a n ＋1)2①①式中n 用n －1代替得4S n －1＝(a n －1＋1)2 (n ≥2)②①－②，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2,0＝(a n －1)2－(a n －1＋1)2， [(a n －1)＋(a n －1＋1)]·[(a n －1)－(a n －1＋1)]＝0， ∵{a n }是正数数列，∴a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 裂项相消得B n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝n 2n ＋1.(理)(2013·某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析](1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0， 所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， 所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1. 当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2， …b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．16．(文)(2013·某某适应性测试)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设＝b n ·2n ，求数列{}的前n 项和S n .[解析](1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n ＝4， ∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列．1a n＝b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，①2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，②②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.(理)(2013·某某调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a 2n 2n }的前n 项和S n . [解析](1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n 2n ＝2n －12n ， 于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，②①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1， 所以S n ＝3－2n ＋32n .考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．补充材料1．函数思想等差数列的通项是n 的一次函数，前n 项和是n 的二次函数，故有关等差数列的前n 项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d ；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .3．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则(1)若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大； (2)若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大． 备选习题1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6[答案]D[解析]∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0，且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝a 3＋a 92＝0，∴S 5＝S 6. 2．(2013·某某模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11[答案]B[解析]因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6， 且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.3．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i ≥5?D ．i <6?[答案]D[解析]由题意知S ＝11×2＋12×3＋…＋1i (i ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋1＝i i ＋1，故要输出S ＝56，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若＝b n a n，求数列{}的前n 项和T n . [解析](1)由题意S n ＝2－a n ，①当n ≥2时，S n －1＝2－a n －1，②①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝12n －1； 由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)知，数列{b n }是等差数列，设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9， 所以d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1. 综上，数列{a n }和{b n }的通项公式为a n ＝12n －1，b n ＝2n －1. (2)＝b n a n＝(2n －1)·2n －1， T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，④ ③－④得：－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2×2－2n1－2－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3.∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.5．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a 1和公差d 的值，由条件a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{b n }，可考虑利用等差数列的定义，研究使b n ＋1－b n (n ∈N *)为一个常数时需要满足的条件．[解析](1)由题设知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c， 因为c ≠0，所以可令c ＝－12，得到b n ＝2n . 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，所以数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．。