1 Apollonius 圆 （阿波罗尼斯 圆，简称 “阿氏圆”）
例. 已知，两点坐标()()3,0,3,0A B -,若平面上一点P 满足
2PA PB
=,求P 点轨迹. 解：设P (),x y ，由题意
2= 化简得 ()22516x y ++=
一般地：若平面上P 和定点A 、B 满足PA PB
λ=，当0λ>且1λ≠时，P 的轨迹是一个圆
“阿氏圆”性质：
（1）等比：2PA MA A PB MB NB
N ===；（正弦定理推论） （2）平分：PM 平分APB ∠，
PN 平分APB ∠的外角
（3）性质逆用
（2011苏州市 一模）
18.已知椭圆E ：22221x y a
b +=()0a b >>
的离心率为2，且过点(P ，设椭圆E 的右准线l 与x
轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长（1）求椭圆E 的方程及圆O 的方程；
（2）若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意
一点N ，有
MN NQ 为定值；且当
M 在直线l 运动时，点Q 在一个定圆上.
（第18题图）。
阿波罗尼斯圆性质及其应用背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一（人教A 版124页B 组第3题）已知点M 与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为，求点M 的轨迹方程。
12 （人教A 版144页B 组第2题）已知点M 与两个定点距离的比是一M 1，M 2个正数m,求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m ）。
≠1两种情形公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆）定义：一般的平面内到两顶点A ，B 距离之比为常数（）的点的轨迹为圆，此λλ≠1圆称为阿波罗尼斯圆类型一：求轨迹方程1.已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程M ()0,0O ()0,3A 21M 2.已知，，试分析点的轨迹()02>=a a AB ()0≥=λλMB MAM3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ）|PA |=2|PB |A ． B. C. D.9π 4π8ππ类型二：求三角形面积的最值4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是2 5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰ABC 中，AB=AC ，D 为AC 的中点，△BD=3，则ABC 面积的最大值为△6.在ABC 中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=时ABC 面积的最大，m=△π3△类型三：定点定值问题 7. 已知圆O ：,点B(-5,0),在直线OB 上存在定点A(不同于点B )，满x 2+y 2=9足对于圆O 上任意一点P ，都有为一常数，试求所有满足条件的点A 的坐标，PAPB 并求PAPB 8.（2014湖北文科卷17题）已知圆O ：,点A(-2.0),若定点B(b,0)(bx 2+y 2=1)和常数：对圆O 上任意一点M ，都有= ,≠‒2λ满足|MB |=λ|MA |，则b λ=类型四：阿波罗尼斯圆的性质9. 已知圆C:其中P 为圆C 上的动点，(x ‒1)2+(y ‒1)2=1,定点O (0,0),B (2,0),PO+PB 的最小值为210.已知函数=2,若集合f (α)(cosα+12)2+sin 2α‒cos 2α+(sinα‒12)2{α∈R │f (α)>m }≠∅,则实数m 的取值范围为类型五：阿波罗尼斯圆的应用阿波罗尼斯圆与向量（阿氏圆+等和线）11.已知+,设,若BC =6，AC =2AB ，点D 满足AD =2x x +y AB y 2(x +y )AC f (x ,y )=|AD |恒成立，则的最大值为f (x ,y )≥f (x 0,y 0)f (x 0,y 0)12.（2018.1湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷17题）．设点是P 所在平面内动点，满足,（），ABC ∆CP CA CB λμ=+ 3+42λμ=,R λμ∈．若，则的面积最大值是 ．==PA PB PC 3AB =ABC ∆阿波罗尼斯圆与三角形13.（2018.5月宁波模拟16题）已知向量a ,b 满足，若|b |=3，|a |=2|b ‒a |恒成立，则实数的取值范围为|a +λb |≥3λ14.（2018.4月杭州市第二次高考科目教学质量检测17题）在ABC 中，△恒成立，求的最大值∀λ∈R ，|BA ‒λBC |≥|BC |cb +b c15.在中，、分别为中线，若，则的取值范围 .ABC ∆AD BE b a 35=BE AD 阿波罗尼斯圆与几何体16.（2014二模（理））在等腰梯形中，、分别为底边的中点，把ABCD E F CD AB ,四边形沿直线折起后所在平面记为，，设与所成的AEFD EF αα∈P PC PB ，α角分别为，（，均不为0），，则点的轨迹为.1θ2θ1θ2θ21θθ=P A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线17.在四面体中，已知，，，且，则ABCD BC AD ⊥6=AD 2=BC 2==CD AC BD AB 的最大值为 .BCD A V -18.（2018.5月浙江高三五校联考17题）棱长为36的正四面体ABCD 的内切球上有一个动点M ，则MB+的最小值13MC 练习：1.恒成立，则实数的取值范围为 .33λ2.（2015湖北理科卷14题）如图，圆与轴相切与点，与轴正半轴交C x ()0,1T y 于两点（在A 的上方），B A ,B 2=AB （1（圆C 的标准方程为.过点任作一条直线与圆相较于两A 1:22=+y x O N M ,点，下列三个结论：（2（①;②;③MB MA NB NA =2=-MB MA NA NB 22=+MBMA NA NB 其中正确结论的序号是。
阿波罗尼斯圆在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆． 【在初中阶段的应用】阿氏圆主要应用于求系数不相同的线段和的最小值【基本解法】：构造相似 阿氏圆一般解题步骤：PC+kPD1、连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接)，则连接OP 、OD ；2、计算出所连接的两条线段OP 、OD 长度3、计算两条线段长度的比m ODOP =；4、在OD 上取点M 使得m OP=OM ；5、连接CM ，与圆O 的交点即为点P .【例题】（2017·南山十校联考）如图，若⊙O 的半径为√2，PO=√10，MO=2，∠POM=90°，点Q 在⊙O 上运动，求PQ+√22QM 的最小值.【简释】：连接QO 、QM ，有22=OMOQ ，在OM 上取M’使得22'Q =OQ M显然有△QM'O ～△MQO ，∴QM'=√22QM∴PQ+√22QM ≧PM'=√√102+12=√11（1）在Rt △OAB 中，OA=8，OB=6，⊙O 的半径为4，P 为⊙O 上一动点，求12PA+PB 的最小值.（2）如图，⊙O 是正方形ABCD 的内切圆，AB=4，点P 是⊙O 上一动点，则AP+√22DP 的最小值是________变式：如图，正方形ABCD 的边长为4，其内切圆上有一点E ，求√2DE+AE 的最小值（3）如图，AB=BD=2AC=2，AC 、BD 分别切半圆于A 、B ，求CF+√2DF 的最小值（4）如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BD 上一点，BG ⊥AP ，点M 、N 分别是线段CD 、BC 的中点，求NG+12MG 的最小值.（5）正方形ABCD 的边长为4，以D 为圆心，2为半径作圆， ①求2BE+AE 的最小值 ②此时△ABE 的面积（6）菱形ABCD 边长为2，∠ABC=60°，圆A 的半径为3，BC 与圆相切于点E ，点P 在圆A 上运动，求PB+23PD 的最小值（7）【结合隐形圆】已知A（4，0），B(0，4)，C（8，0），D（6，4），点P是△AOB外部第一象限一动点，∠BPA=135°，求2PD+PC的最小值【点在圆内，反向操作】（8）如图，圆O半径为2，AO=BO=1，∠AOB=90°，求BP+2AP的最小值专题小结：所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动型求最值，难点在于如何构造母子相似．【练习】1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．2.如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．3.如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC-的最大值为_______．EABCDPABCDA B CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值连接PD ，对于△PDM ，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM=DM 为最大值．【附加题·2018江西】在正方形ABCD 中，AB=6，连接AC,BD,P 是正方形边上或对角线上一点，若PD=2PA,则AP 的长为A BCDPMMPD C BA ABP MMPBA。
