阿波罗尼斯圆性质及其应用探究背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。
1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PBPA当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明..角坐标系中点为原点建立平面直轴，所在的直线为证明：以AB x AB ()()()，不妨设y x P a B a A ,,0,,0,-()()22222222,,,,PA PA PB PA PB x a y x a y PBλλλ⎡⎤=∴==∴++=-+⎣⎦()()()()0112112222222=-++--+-∴a ax y x λλλλ()()2222222222221211,01112⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴=-+-+-+∴λλλλλλλa y a x a ax y x λλλλλ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴PB PA a y a x 的解都满足又以上过程均可逆，2222221211 .120,11222为半径的圆上运动为圆心，以在以综上，动点-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλa r a C P 3.阿波罗尼斯圆的性质.性质1点A 、点B 在圆心C 的同侧；当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外； 当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。
().,11,012111122222的右侧当然也在点的右侧，在点点所示，时，如图证明：当A B C a a a a a ∴>-+∴>-=--+>λλλλλλ.,1212112222222的内部在圆点的关系与圆、下面讨论点C B a a a a C A B ∴⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλλ.,12121122222222的外部在圆点C A a a a a ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--λλλλλλ()().,11,01211210222222的左侧当然也在点的左侧，在点点所示，时，如图当B A C a a a a a ∴-<-+∴<-=---+<<λλλλλλλ .,1212112222222的外部在圆点的关系与圆、下面讨论点C B a a a a C A B ∴⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλλ .,12121122222222的内部在圆点C A a a a a ∴⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--λλλλλλ.的同侧在圆心、综上可得定点C B A当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外； 当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。
.,.2121221121P P B A AB P P B P A P B P A P AB P P x C 也调和分割、同时调和分割、此时，我们称尼斯圆的定义可得：称为外分点，由阿波罗在线段外，内，称为内分点，一点两点，一点在线段、轴交于与设圆=性质2..212121的内、外角平分线分别是、则，、、、的任意一点，连接、上不同于点是圆设点APBPP PP PP PB PP PA P P C P ∠.,111APB PP B P AP PB PA ∠∴=平分的定义可知，证明：由阿波罗尼斯圆.,222的外角平分同理可知，APB PP BP AP PB PA ∠∴=性质3 .2r BC AC =⋅.()()()()2222222222242422222422224141121211211111r PC BC AC r a a a a a a a a BC AC ==⋅=-=--+-++=--++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⋅>其几何特征如图时，证明：当λλλλλλλλλλλλλλλ性质4.21AP AP AC AB ⋅=⋅()()().3212222AP AP r AC r AC r AC AC AB r AB AC AC AB AC AC BC AC ⋅=+-=-=⋅∴=⋅-=-⋅=⋅可得，证明：由性质.B A 的对应点利用此性质可以作出点.,,,为所求则点垂足为作的切线，切点为作圆外，过点在圆若点B B AC PB P C A C A ⊥().,421212即为所求点点，证明：如图B AP AP AC AB AC AB AP AP AP ∴⋅=⋅∴⋅=⋅=性质5..,21EAF AB EF P P C B ∠平分则重合的弦不与作圆过点().,,5EAF AB FBEBFA EA FB FA EB EA ∠∴=∴=平分所示，证明：如图4.阿波罗尼斯圆的应用()()().,2010206.1 面积是的轨迹所围成的图形的则点满足，如果动点，，，已知两定点四川例P PB PA P B A =-.4,236,2,231πλ=∴====s r a P 的轨迹是阿斯圆，知，点：利用阿斯圆的性质可解法()()()()().420,2,42,04.4142,2,,222222222π轨迹所围成的面积为为半径的圆，为圆心，以的轨迹是以点：设解法∴∴=+-∴=+-+-=++∴=P y x y x x y x y x PB PA y x P().2208.2 的面积的最大值是的，满足条件江苏例ABC BC AC AB ∆==.2221,2212,12.1max 2=⋅⋅=∴=-==∴=∆r AB s ar a B A C ABC λλλ时的阿斯圆，为定点，、的轨迹是以此题点解法()()()()()().2221,83,016,21212,,,0,1,0,1..2max 22222222=⋅⋅=∴=+-∴=++-∴+-=++=-∆r AB s y x y x x y x y x CBCAy x C B A y AB ABC 得，由设则轴建立平面直角坐标系为的中点为原点，中垂线以线段解法 ()().?2116402.322明理由的坐标；若不存在，说若存在，求出点使得，面上是否存在一点上的任意一点，问在平：是圆，，已知例B PB PA B y x C P A ==++-().048163.1，，，可得，利用性质解法B BC BC AC ∴=∴=⋅().0,4,6,3,412,4211.22B AB a a r ∴=∴=∴=-∴==λλλ，可得，利用性质解法()()()().0,4,4,62,33232,0,,33,3232322.,,,7,43B b b b k b B k k P B B x PC PB CP P C x AP PB PB cp ∴=∴=+∴-=--=-=∴==∴-⊥⊥则设，，即为所求点轴与点交作所示，连接如图交于点轴，与圆，作利用解法 ()()()()()()()()()()()[]().0,4,4,016082,0,8,0168212,28,164,101616233,42421,,,0,.42222222222222B b b b x b x b x y x y x b x b y x y b x y x PB PA y x P b B ∴=∴⎩⎨⎧=-=-∴-∈=-+--=+∴=++=-++++∴+-=++=得，代入把得，由一般解法，设解法().21,16422明理由的坐标；若不存在，说、，若存在，求出点都有任意一点上，使得对于圆、轴上是否存在定点，问在：变式：已知圆B A PB PA P C B A x y x C ==++()()()()()()()().0,4,0,2,4,221282,21882112,2121,0,02,0,,0,,,B A b a a b b a DB DA a b b a OB OA b a b B a A AB D O B A D x C -∴=-=+=∴=++=-=∴=-=><<-得，由得：由得：由其中设的内外分点，分别是线段、使得点、此题就是寻找定点轴交于另一点于解：设圆()()()()()()()..21,41161644416441624221,2222222222B A PB PA x x x x x x y x y x PB PA PB PA y x P C 、存在符合条件的点，都满足上的任意一点下面证明圆∴=∴=--=+-+-+-++=+-++== .3,.4的面积的最大值，求的中点，为中，在等腰例ABC BD AC D AC AB ABC ∆==∆()所示，系，如图轴，建立平面直角坐标为的中点为原点，中垂线解：以线段9y BD ()()()()6232321,4250495,4234232,,,2023023max max max 22222222==∴=⋅⋅=∴=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴=+-+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆∆∆ABD ABC ABD S S AC D S y x x y x y x y x AD AB y x A AD AB D B 的中点，是得，由设，，，，则 ()3,2,0,25,232max =∴=⎪⎭⎫⎝⎛==∆ABD S r a D B A 圆心的阿斯圆，为定点，、的轨迹是以注释：点λ()()的最小值为上动点，则为圆，，，点已知圆例PM PB O P M B y x O +⎪⎭⎫⎝⎛-=+2,11021,1:.5226.A7.B10.C11.D()()111020,2,OP OB A PA POB AOP OA OP BOP AOP -==∠=∠∴∆∆解：如图所示，取，，连接，CAM PA PM PB PM PB AP OA OP PA BP 答案为，∴=≥+=+∴=∴==∴102,221.,,PB PM PB OBOPM B O B λλλ造可以利用相似三角形构求在圆外，当圆内，点，点阿斯圆注释：已知定点+=()()().102,0,2,2,2211,2,0,11.2111=≥+=+∴-∴-=∴=--==MA PA PM PB PM A a a B P A P P x O PBPAP O a A x 则，轴交于点与圆都满足上任一点对于圆轴上，设如图解法()()()().202,00,111:.622的最小值求上的动点，为圆，其中，，定点已知圆例PB PO C P B O y x C +=-+-()().5222212322112,2,22,12.11111=≥+=+∴⎪⎭⎫⎝⎛∴∴-=∴-====AO PA PO PB PO A BC A A P B P A P B P P BC C PA PB PAPBP C BC A BC ，，的中点，是点，，则交于点与直线设圆即，都满足上的任一点上，对于圆在直线点所示，做直线如图解 ?2,PD PO D OC OC =，满足上找一点在直线注释：此题能否连接()().2121短线段与外分点相对应段与内分点相对应，较因此，可以认为较长线在左侧，较长时，内分点在左侧，当较长时，内分点所示，当如图P PB P PA ().,214212221不符合题意都是内分点，，的延长线上，此时在线段点的内分点，是线段点所示，两点，如图、相交于与直线符合条件，设圆假设存在点P P OP D OD P PO PD P P OC C D ∴∴=()(){}22221110.2cos sin cos sin ,22,f R f mαααααααφ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈>≠已知函数若集合求实数m 的取值范围.()()()()()11111cos ,sin ,,0,0,,22=2,,0,22,11121,0,2,2,0,1217172,.22P B M P PAf PB PM A a PA PB PBPB O a A P A a PB PM PA PM AM m ααα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=∴=-+-==∴=-∴---∴-=-≤=∴<解：设则点在以原点O 为圆心的单位圆上,设满足圆O 上的任意一点P 都有，设圆与x 轴交于点P ，则()()()()()0000211.62,,,,2,,,x yBC AC AB D AD AB AC f x y AD x y x y f x y f x y f x y ===+=++≥已知，点满足设若恒成立，求的最大值.()()()()()()()()222222220max2,2,2,2,,616,,0,3,0,3,234431090,516,4AE AB AC AF AC AB AE AF ACB AEF EF AC EF x EF x y E F AE AF x y x y x y y x y AD ===∴=∆≅∆∴==-=++=+-∴+-+=∴+-=∴=以线段所在的直线为轴，线段的中点O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示设A 由得，()()()()()()00002112,2,,222,1,,,,,+16,,,x y x y AD AB AC AB AC AB AE AC AF x y x y x y x y x yx yAD AE AF D E F AD EF D x y x y x y x yf x y f x y f x y AD A ⎛⎫=+=+== ⎪++++⎝⎭=++=∴⊥+++≥=≥解：设则三点共线，作垂足为如图所示，恒成立，()0000,.D f x y AD ∴=MAPB 15()yxO 17()yxOD C M BAyD 0F E AC16()xBO1,,22a b ca b c c b c a+-=-+-12.已知是相互垂直的单位向量，平面向量满足则的最小值为()()17,,,1,1,,,11,,221122,,22OA a OB b a b OM M OC C a b c CM CM c b BC c a AC MD MC c b c a CB CA AM D CMD AMC MC MA CMD AMC ==+==+-==-=-=∴-+-=+==∠=∠∴∆∆解.如图所示，设则依题意，所以点C 在以M 为圆心，r=的圆上，在上取点，∽满足，又12,222221224422DC MC AC CDCB CA CB CD BDCA MA MD BD CB CA c b c a ∴==∴=∴+=+≥=∴==∴+≥∴-+-，，的最小值为()111111,.36.24B C D M BC P DCC D APD MPC P BCD A B C D ∠=∠-13.在棱长为6的正方体ABCD-A 中，是的中点，点是正方形内的动点，且满足则三棱锥的体积最大值为()()()()()()0011112222229090,,,221930,30,,2,3434,1090DCC D ADP MC DCC D PCM PD ADAPD MPC APD MPC APD MPC PC MCPD PC DC DC y C x y PD PC x y x y x y x ⊥∴∠=⊥∴∠=∴∠=∠∠=∠∴∆∆∴==∴=-=∴++=-+∴+-+=解.AD 平面，，平面，，又如图所示，以线段的中点为原点，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则D ，∽，，设P ()()(()22111max,51650411323,66.32P BCD x y P E r DCC D P V B --+==∴=⨯⨯⨯⨯=∴即点的轨迹是以，为圆心，的圆在正方形内的部分，，答案为18()1()14.21,3ABC AC AB mBC m ABC m π∆==>∆在中，，恰好当B=时， 的面积最大，求的值.()()()()()()22222222222222222222201010,,,11,12112,0,,,11111121,11AC y C x y BA mBC x y m x m y m m m m m x y D BD AC B m m m m m m m BA m m -=∴++=-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫∴-+=∴⊥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛+∴=--- --⎝解.如图所示，以线段的中点为原点，中垂线为轴建立平面直角坐标系，则A ，，，，设B 圆心当时，()()()22222222242222222222,1112221,,,1111844212,141,cos 1m m m m m m m BC m m m m m m m m m m BA BC BA BC m m m BA BC BA BC B BA m⎫⎛⎫--=⎪⎪--⎭⎝⎭⎛⎫+--⎛⎫=--= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭++∴⋅====-+⋅⋅=∴=⋅-，又，()()()222222228121,1241141021,2m m m m m m BCmm m m m m -===++-∴-+=∴=±∴>∴=+20()21()11 15.,62A BCD AB AC BC AD BD CD-⊥===在四面体CDABCD 中，已知AD ，BC=2，且，求V 的最大值. ()21,,1,,23122A BCD BCE BCE A BCD BCE BC BEBC B AD BCE AD CE V S AD S BA CA PA BD CD PDB C AD V S -∆∆-∆⊥⊥⊥=∴⊥∴⊥∴=⋅⋅=∴∴∴⊥∴==⨯解.如图，作BE AD,垂足为E,连接CE,AD BE,AD 平面==2,B 、C 在以A 、D 为定点，且满足=2的阿波罗尼斯球上，、在以点E为圆心，且与垂直的小圆上，BE=CE,取BC 的中点F,连接EF,则EF BC,()()()()()()()222222max max 2223,0,30,,2,3434,516,4,A BCD A BCD EF EF D x y BA BD x y x y x y BE V V --⨯⨯==-=∴++=-+-+=∴=∴=≤∴=以AD 所在的直线为x 轴，AD 的中点为原点建立平面直角坐标系，则A ，，设B 即。
