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4.10光栅的衍射【实验目的】(1)进一步熟悉分光计的调整与使用;(2)学习利用衍射光栅测定光波波长及光栅常数的原理和方法;(3)加深理解光栅衍射公式及其成立条件。
【实验原理】衍射光栅简称光栅，是利用多缝衍射原理使光发生色散的一种光学元件。
它实际上是一组数目极多、平行等距、紧密排列的等宽狭缝，通常分为透射光栅和平面反射光栅。
透射光栅是用金刚石刻刀在平面玻璃上刻许多平行线制成的，被刻划的线是光栅中不透光的间隙。
而平面反射光栅则是在磨光的硬质合金上刻许多平行线。
实验室中通常使用的光栅是由上述原刻光栅复制而成的，一般每毫米约250~600条线。
由于光栅衍射条纹狭窄细锐，分辨本领比棱镜高，所以常用光栅作摄谱仪、单色仪等光学仪器的分光元件，用来测定谱线波长、研究光谱的结构和强度等。
另外，光栅还应用于光学计量、光通信及信息处理。
1(测定光栅常数和光波波长光栅上的刻痕起着不透光的作用，当一束单色光垂直照射在光栅上时，各狭缝的光线因衍射而向各方向传播，经透镜会聚相iC B 互产生干涉，并在透镜的焦平面上形成一系列明暗条纹。
A G如图1所示，设光栅常数d=AB的光栅G，有一束平行光与, 光栅的法线成i角的方向，入射到光栅上产生衍射。
从B点作BC垂直于入射光CA，再作BD垂直于衍射光AD，AD与光栅法线所成的夹角为,。
如果在这方向上由于光振动的加强而在F处产生了一个明条纹，其光程差CA+AD必等于波长的整数倍，即: F图1 光栅的衍射 dimsinsin,,,, (1) ，，式中，,为入射光的波长。
当入射光和衍射光都在光栅法线同侧时，(1)式括号内取正号，在光栅法线两侧时，(1)式括号内取负号。
如果入射光垂直入射到光栅上，即i=0，则(1)式变成:dmsin,,, (2) m这里，m=0，?1，?2，?3，…，m为衍射级次，,第m级谱线的衍射角。
m平行光望远镜物镜黄黄绿绿紫紫中央明纹图3 光栅衍射光谱图2衍射光谱的偏向角示意图光栅G在小平台上的位置2(用最小偏向角法测定光波波长如图2所示，波长为的光束入射在光栅G上，入射角为i，若与入射线同在光栅 ,法线n一侧的m级衍射光的衍射角为沪，则由式(1)可知dimsinsin,,,, (3) ，，若以?表示入射光与第m级衍射光的夹角，称为偏向角，,,，,i (4),,i显然，?随入射角i而变，不难证明时?为一极小值，记作,，称为最小偏向角。
光纤布拉格光栅基本参数光纤光栅的形成方式主要是使用各类激光使光纤产生轴向的折射率周期性变化，从而形成永久性空间的相位光栅，其作用实质上是在纤芯内形成一个（透射或反射）滤波器或反射镜，将确定频率/波长的导模反射，原理类似多层增反膜，其滤波波长称为布拉格波长，在确定条件下布拉格波长=光栅所在位置的有效折射率*2光栅周期（在相位掩膜版法刻写时，此数值为相位掩膜版的周期，即相位掩膜版的周期=2*光栅周期）即λ（波长）=2*neff（折射率）*Λ（光栅周期），而有效折射率和光栅周期会随温度和应力状态改变，这也是光纤光栅应用于应力及温度传感的基础。
注：本段依据Dream的提问内容于2022年4月19日作出修改，去掉了不正规的表述内容。
光纤光栅的基础特征参数包括：光纤类型、光栅类型、中心波长，峰宽/带宽/3dB带宽/FWHM，反射率，边模/旁瓣抑制比，光栅长度。
高端特征参数包括：刻写环境温度、测试模式、反射峰的线型(近高斯，近洛伦兹型，卷积型等），色散值，啁啾率，光栅阶数等光纤类型：由于不同光纤的折射率及内部结构均有所差别，所以光纤类型是光纤光栅的重要特征参数。
光栅类型：光纤光栅有多种不同类型，例如均匀、啁啾、长周期、相移、取样、倾斜等，不同类型的光纤光栅用于不同的用途，也是光纤光栅的重要特征参数。
中心波长：中心波长一般可用光纤光谱仪测得，由于光纤光对温度及应力均比较敏感，所以一般需在悬空不受力且温度恒定的位置测量比较标准（精度要求特别高的，还需要标定测试模式），按照光纤类型的不同，其温度变化系数大约为10-20Pm/℃（升温红移，降温蓝移），所以制造时的环境温度也是光纤光栅的一个重要参数。
峰宽/带宽/3dB带宽/FWHM：一般商用光纤光栅均使用3dB带宽来进行表征，在激光用途，光纤激光器腔镜一般为低功率高反2nm低反1nm，高功率则选择高反3-4nm低反1nm的配置，而用于外腔半导体腔外稳频用途的光纤光栅，一般带宽都在0.1nm左右，而用于光纤DFB激光器中产生单频激光用途的光纤光栅，则一般选用相移光纤光栅，其相移峰带宽一般小于100MHz，而用于DBR激光器的光栅对，其低反一般需要到0.05nm以下。
光纤光栅传感器的温度灵敏度研究一、光纤光栅传感器概述光纤光栅传感器是一种利用光纤光栅的特性来检测物理量变化的传感器。
与传统的传感器相比，光纤光栅传感器具有抗电磁干扰能力强、尺寸小、重量轻、可实现分布式测量等优点。
光纤光栅传感器通过在光纤中写入周期性的折射率变化来形成光栅，当外部环境发生变化时，光栅的周期或折射率也会随之变化，从而引起反射或透射光的波长发生变化，通过测量这些变化可以检测出温度、压力、应力等物理量。
1.1 光纤光栅传感器的工作原理光纤光栅传感器的工作原理基于光的干涉和衍射现象。
当光波在光纤中传播时，遇到光栅结构会发生衍射，产生多个衍射级。
这些衍射级相互干涉，形成特定的反射和透射光谱。
当光栅的周期或折射率发生变化时，衍射光谱也会相应地移动，通过测量光谱的移动量，可以推算出外部环境的变化。
1.2 光纤光栅传感器的分类根据光栅的类型，光纤光栅传感器可以分为布拉格光栅传感器、长周期光栅传感器和光纤布拉格光栅传感器等。
根据测量的物理量，又可以分为温度传感器、压力传感器、应力传感器等。
每种类型的传感器都有其独特的优势和应用场景。
二、光纤光栅传感器的温度灵敏度研究温度是光纤光栅传感器中最常见的测量对象之一。
温度的变化会影响光纤的折射率，进而影响光栅的周期和反射光谱的位置。
因此，研究光纤光栅传感器的温度灵敏度对于提高测量精度和应用范围具有重要意义。
2.1 温度对光纤光栅传感器的影响温度的变化会引起光纤材料的热膨胀和折射率的变化，从而影响光栅的周期和波长。
这种影响可以通过温度系数来量化。
不同的光纤材料具有不同的温度系数，选择合适的材料可以提高传感器的温度灵敏度。
2.2 提高温度灵敏度的方法为了提高光纤光栅传感器的温度灵敏度，研究者们提出了多种方法，包括优化光栅的参数、使用特殊的光纤材料、采用复合光栅结构等。
这些方法可以有效地提高传感器对温度变化的响应速度和精度。
2.3 温度灵敏度的测量与标定温度灵敏度的测量通常采用实验方法，通过将传感器暴露在不同温度下，测量反射光谱的变化，从而计算出温度灵敏度。
光纤光栅传感器理论基础1光纤光栅的基础理论介绍 (1)1.1光纤光栅的发展 (1)1.2光纤光栅的分类 (2)1.3光纤光栅的制作 (5)2光纤布拉格光栅的结构 (6)3光纤布拉格光栅的传感机理 (7)3.1光纤布拉格光栅的温度传感模型 (8)3.2光纤布拉格光栅的应变传感模型 (9)3.3光纤光栅的交叉感染传感模型 (10)4光纤光栅的几种典型解调方法 (11)4.1非平衡M-Z干涉仪扫描法 (11)4.2可调谐F-P滤波法 (12)4.3 边缘滤波器法 (13)1光纤光栅的基础理论介绍1.1光纤光栅的发展在光纤中制作光栅新技术的出现，在二十世纪末带来的巨大的影响。
它给光纤通信技术以及光纤传感技术等相关领域带来了一次里程碑式的革命，使得人们可以制作大量基于光纤光栅的新型光有源∕无源器件和智能传感器。
光纤光栅的研究最初主要集中在光纤布拉格光栅（Fiber Bragg grating：FBG）。
1978年，加拿大通信研究中心的K.O.Hill等人首次观察到掺锗光纤中光诱导产生光栅效应，并利用驻波法在掺锗光纤中研制出世界上第一支永久性的实现反向模式间耦合的光纤光栅——光纤布拉格光栅。
1989年，美国东哈特福德联合技术研究中心的G.Meltz等人运用准分子激光泵浦的可调谐倍频染料激光器输出的244nm紫外光作为光源，用双光束侧面全息相干法在掺锗石英光纤上研制出世界上第一根位于通信波段布拉格谐振波长的光纤光栅，使光纤光栅的制作技术实现了突破性进展。
1993年，Hill等人又提出了用紫外光垂直照射相位掩模形成的衍射条纹曝光氢载光纤写入光纤布拉格光栅的相位掩模法，降低了对紫外光源相干性的要求，重复性好，适于大规模生产，这使得光纤光栅真正走向实用化和产品化。
同年，董亮等人还提出了在线成栅法，在光纤拉制过程中对光纤逐点写入形成光栅，免去了光纤光栅制作时剥去光纤涂敷层的工序，适于大规模制作高反射率、窄线宽的光纤光栅。
光纤光栅透射和反射的关系光纤光栅是一种常用于光纤通信和光谱分析等领域的重要光学元件。
它通过在光纤中引入周期性的折射率变化，实现对光的传输和调制。
光纤光栅既可以实现透射，也可以实现反射，而透射和反射之间存在着密切的关系。
在光纤光栅中，透射和反射是由光纤光栅的折射率调制效应来实现的。
光纤光栅中的折射率变化可以通过不同的方法来实现，如光纤光栅中引入周期性的折射率变化，可以通过光纤中的光纤螺旋法、光纤电弧法、光纤拉伸法等方法来制备。
通过这种折射率的调制，光纤光栅可以实现对光的频率选择性传输和反射。
在光纤光栅中，透射和反射的关系可以通过光纤光栅的工作原理来解释。
当光线通过光纤光栅时，由于光纤光栅中折射率的变化，光线会发生衍射现象。
衍射会导致光线的传播方向发生改变，并形成透射和反射两个部分。
我们来看透射部分。
当光线传播过程中遇到光纤光栅的折射率变化时，部分光线会被衍射出去，形成透射光。
透射光的频率和传播方向受到光纤光栅的周期性折射率变化的影响。
通过调节光纤光栅的周期和折射率变化幅度，可以实现对透射光的频率选择性传输。
透射光可以用于实现光纤通信中的信号传输和调制。
我们来看反射部分。
当光线传播过程中遇到光纤光栅的折射率变化时，部分光线也会被衍射反射回来，形成反射光。
反射光的频率和传播方向也受到光纤光栅的周期性折射率变化的影响。
通过调节光纤光栅的周期和折射率变化幅度，可以实现对反射光的频率选择性反射。
反射光可以用于实现光纤传感器中的信号检测和反馈。
透射和反射之间的关系可以通过光纤光栅的光学特性来解释。
光纤光栅中的折射率变化会导致光线的传播方向发生改变，从而产生透射和反射现象。
透射和反射的比例取决于光纤光栅的折射率变化幅度和光线入射角度等因素。
通过调节这些因素，可以实现透射和反射光的强度和频率的调控。
光纤光栅透射和反射的关系在光纤通信和光谱分析等领域具有重要的应用价值。
通过设计和制备不同类型的光纤光栅，可以实现对不同波长和频率光信号的传输和调制。
第４１卷 第５期 ２０１１年５月 激光与红外
ＬＡＳＥＲ ＆ ＩＮＦＲＡＲＥＤ Ｖｏ１．４１．Ｎｏ．５
Ｍａｙ，２０１１
文章编号：１００１－５０７８（２０１１）０５－０５４８－０４ 积分法求解长周期光纤光栅透射谱研究 杨 颖 （Ｉ．临沂大学信息学院，山东临沂２７６００５；２．上海理工大学光电功能薄膜传感器实验室。上海２０００９３）
・光纤技术・
摘 要：基于光纤光栅的模式耦合理论，用德拜势能法对纤心．４４－、包层内的电磁场进行矢量分析， 得到纤芯及各包层中的各矢量场分量的表达式，求解出纤芯和包层模的耦合常数和有效折射 率后，利用数值积分的方法通过求解耦合模方程得到光纤光栅的透射率。积分法是一种较为 精确的求解透射谱方法，为长周期光纤光栅的优化设计和其在光纤通信、光纤传感领域的高精 度测量提供理论依据。 关键词：耦合模理论；德拜势能法；长周期光纤光栅；积分法 中图分类号：ＴＮ２５３ 文献标识码：Ａ
Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｌｏｎｇ ｐｅｒｉｏｄ ｆｉｂｅｒ ｇｒａｔｉｎｇ ｕｓｉｎｇ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ
ＹＡＮＧ Ｙｉｎｇ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｌｉｎｙｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｎｙｉ ２７６００５，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｐｈｏｔｏ—ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｆｉｌｍ Ｓｅｎｓｏｒｓ，Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｈａｎｇｈｍ ｆｏｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ＯＨ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｅｄ ｍｏｄｅ ｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ ｃｏｒｅ ａｎｄ ｃｌａｄｄｉｎｇ ｏｆ ｌｏｎｇ－ｐｅｒｉｏｄ ｆｉｂｅｒ ｇｒａｔ— ｉｎｇ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｕｓｉｎｇ Ｄｅｂｙｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｌａｄ－ ｄｉｎｇ ａｌｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａｆｔｅｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ ｉｎｄｅｘ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ａｎｄ ｃｌａｄｄｉｎｇ ｍｏｄｅｓ，ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｉｓ ｇｏｔ ｔｈｒｏｕｇｈ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｕｐｅｄ ｍｏｄｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂｙ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｎ ａｃｃｕｒａｔｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ．Ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｈｉｇｈ ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ ｏｆ ｏｐｔｉｃ ｆｉｂｅｒ ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｅｎｓｏｒｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｕｐｌｅｄ—ｍｏｄｅ ｔｈｅｏｒｙ；Ｄｅｂｙｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｍｅｔｈｏｄ；ｌｏｎｇ－ｐｅｒｉｏｄ ｆｉｂｅｒ ｇｒａｔｉｎｇ；ｉｎｔｅｇｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ
１ 引 言 长周期光纤光栅是由ＡＴ＆Ｔ贝尔实验室的Ａ． Ｍ．Ｖｅｎｇｓａｒｋａｒ等人¨ 于１９９６年用紫外光通过振幅 掩模板照射氢载硅锗光纤首先研制而成的；１９９７年 Ｔ．Ｅｒｄｏｇａｎ【２－３］从模式耦合的角度深入研究了长周 期光纤光栅的光谱特性，从而奠定了长周期光纤光 栅的理论基础；目前周期为几十至几百微米的长周 期光纤光栅，由于其在光纤通信和光纤传感领域的 高灵敏度测量和多参量测量中存在重要的潜在应用 价值，已成为一个新的研究热点 ｊ。 长周期光纤光栅通过纤芯导模与同向传输的包
层模的耦合，使满足相位匹配条件的导模耦合成为 光纤中的辐射模而逃逸损失掉，致使它对某些特定 频率的光波产生抑制作用，从而其透射谱中会出现
一系列的谐波（损耗峰）。长周期光纤光栅的特性 与其谐振波长密切相关，所以对其透射谱的研究就 成为一个非常关键的问题。Ａ．Ｙａｆｉｖ【６ 将复杂的耦 合模方程简化后提出的公式法可以较简便地求解单
作者简介：杨颖（１９７０一），女，副教授，上海理工大学在读博 士，主要从事光电子技术及光纤光栅传感器方面的研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｙ－ ｓｙｙｙ１６８＠１２６．ｔｏｍ 收稿日期：２０１１４）１－９１；修订日期：２０１ｌ－９１－２６ 激光与红外Ｎｏ．５ ２０１１ 杨颖积分法求解长周期光纤光栅透射谱研究 ５４９ 模式光纤光栅的透射谱，是目前求解透射谱较为常 用的方法，文献［７］给出了公式法求解透射谱公式 的详细推导过程，但公式法只能直接求解纤芯模与 某一确定阶次包层模相耦合的透射谱，在求解包含 所有模式的总的透射谱时还需将各单模式的透射谱 进行叠加，这对所求透射谱的精确度造成了一定的 影响，也给进一步的研究带来不便。本文提出一种 基于模场矢量分析的通过数值积分求解透射谱的方 法，对透射谱的求解过程进行深入分析，为长周期光 纤光栅的优化设计及其在光纤通讯及光纤传感领域 的实际应用提供一定的参考。 ２三包层长周期光纤光栅的模场矢量分析 图１（ａ）和图１（ｂ）分别为长周期光纤光栅薄膜 传感器的结构示意图和折射率分布示意图。芯层折 射率ｎ ，半径为口 ；内包层折射率ｎ ，半径为。 ；第 二包层折射率 ，半径口 ，薄膜厚度ｈ，：０ 一ｏ ；外 包层折射率 。因为实际应用中所镀薄膜折射率
一般大于纤芯折射率，故在此假设ｎ，＞ｎ 。光栅区 域的平均折射率改变量为 ，数量级为１Ｏ一。 Ｓｕｒｒ０ｕｎｄｉｎｇ Ｓｅｎｓｉｎｇ ｆｉ ｌ“
（ａ）结构模型
（ｂ）折射率分布模型 图１ 三包层长周期光纤光栅模型 假设所研究的长周期光纤光栅是采用振幅掩模 紫外写入法制作的，光栅沿光纤纤芯轴向的周期性 矩形折射率调制分布是圆对称的，即折射率调制在 光纤纤芯横截面上是均匀的，只沿光纤轴向变化，且 折射率改变只存在于纤芯中。 纤芯折射率分布函数可表示为： ｎ （ ）＝ｎｌ＋Ａｎ（ｚ） （１） 其中，凡 是未经紫外光照射的纤芯折射率；沿ｚ轴的 纤芯折射率改变量Ａｎ（ｚ）可以表示为：
州 ｏ－（ ）［１…。ｓ（ ）］ （２）
式中，ｏ－（ｚ）是一个光栅周期内折射率的平均变化幅 度；以为光栅周期；ｓ是与折射率调制有关的条纹可 见度。 ２．１ 包层模式在纤芯、包层、薄膜、外部环境中的各 矢量场分量分析 用德拜势能法（Ｄｅｂｙｅ ｐｏｔｅｎｔｉａ］） 来研究三包 层ＬＰＦＧ中的电磁场分布。电场、磁场强度矢量 ｛ ， ｝和德拜势能｛ ， 。｝之间有如下关系：
ｅ＝一ｉ－０［ ／脚一（，８／ｏＪ８ｉ） ／ ］一
ｏ［ ／Ｏｒ＋（ ／ ｓ ） ／，－ｏ４，］一 （ ／ｊｗ６ ）（后 ｎ 一 ）ｃＩ）。 （３） ｈ＝ｒ０［ 。／ｒ０４，＋（卢／ｎ ）Ｏｇｔａ／Ｏｒ］一
ｏ［ 。／Ｏｒ一（，６／ｏ￣）ａＩ 。／ｒ０４，Ｊ一 （ Ｚ０／ｊ ）（ ｎ 一卢 ） （４） 其中， 。， 。， 。分别为径向、角向和轴向单位向量。 德拜势能｛ ， 。｝满足亥姆霍兹（Ｈｅｌｍｈｏｈｚ） 方程： ｛０２／Ｏｒ ＋Ｏ／ｒＯｒ＋ ／ｒ ａ ｝・｛’ ， 。｝＝
一（ １２ 一 。）｛ ， 。｝ （５） 对于如图１所示的三包层ＬＰＦＧ，可通过求解上 述亥姆霍兹方程，得到用德拜势能表示的电磁场表 达式： （１）当０≤ｒ≤口 时： ＝Ｃ。Ｊｌ（Ⅱ ｒ （咖） （６）
。 ＝Ａ。Ｊｆ（“ ｒ）ｇｆ（咖） （７） （２）当０ｌ＜ｒ≤０２时： ＝｛Ｃ Ｊｔ（Ｕ２ｒ）＋Ｄ ｙ＝ｆ（ｕ ｒ）｝ （ ） （８） ２＝｛Ａ２Ｊｌ（ｕ２ｒ）＋Ｂ２Ｙ／（“２ｒ）｝ｇ （ ） （９） （３）当口２＜ｒ≤ ３时： ３＝｛Ｃ，Ｊｌ（“３ｒ）＋Ｄ， （“３ｒ）｝ （ ） （１０） 。，＝｛Ａ，Ｊｌ（ｕ ｒ）＋Ｂ３ ｙ＝ｆ（“，ｒ）｝ｇ （ ）‘ （１１） （４）当ｒ＞０１时： ＝Ｄ Ｋｔ（Ｗ ｒ）ｇｆ（ ） （１２） ＝Ｂ Ｋｔ（Ｗ ｒ （ ） （１３） 式中， ，ｙ＝ｆ，Ｋｔ分别代表第一类贝塞耳函数、第二类 贝塞耳函数和第二类变态贝塞耳函数。ｕ ＝ｋ２ｎ 一
，Ｗ ＝卢 一 ｎ ＝ｅｘｐ（±ｊｚ咖），ｇ。＝ｅｘｐ（干ｊ ）。 ｚ为模式的阶数（又称角向序数）。ｕ。和Ｗ 又称为 相位参数，ｎ 为第ｉ层（ １，２，３，４）的折射率，传输 常数 ＝ ・ｎ 为真空中的波矢，ｎｅｆ为有效折射 率。 ，Ｂ ，Ｃ ，Ｄ 为标量场加权系数，可根据矢量场 的边界连续条件和能量归一化条件求出。 ５５０ 激光与红外 第４ｌ卷 将上述德拜势能的解式（６）～（１３）代入式（３） 与式（４），即可推得包层模在三包层光纤光栅中的 电磁场分布中电场、磁场分量表达式。包层模式在 三包层ＬＰＦＧ中纤芯、包层、薄膜、外部环境中的各 矢量场分量见文献［８］。 根据电、磁场切向分量ｅ ，ｅ ，ｈ ，ｈ：在边界处的 连续条件，可得到一个１２元线性齐次方程组：
ｌ２ １２［Ｃｌ，Ａｌ， ，Ｄ２，Ａ２， ２，ｃ３，Ｄ３，Ａ３， ３， ， ］ ＝０ （１４） 其中，Ｍｍ ：为系数矩阵。 分析各种模式的电、磁场分布时，必须求解出场 分量中的加权系数ｃ ，Ｄ ，Ａ ，Ｂ ，共１２个。一个可 行的办法是设法使其中的１１个系数都能用剩下的 １个系数表示出来（ｃ，或Ａ。）。方程组（１４）有无穷 多组解，即加权系数ｃ ，Ｄ ，Ａ ，Ｂ （ｉ＝１～３）均可由１ 个系数Ｃ。表示出来，可通过分块矩阵的运算得以实 现。系数ｃ。称为一阶各次包层模式的归一化常量， 可由模式的功率归一化条件求得： Ｐ＝ １ Ｋｅ Ｊ ２。１ｖ ｆ ０ ｒｄｒ（Ｅ￣ 一 Ｅ ）＝１
（１５） 式中， ， 和Ｅ：， 分别为一阶 次包层模式径 向和角向电场、磁场分量；由于模式的电场、磁场各 个分量均与模式归一化常量有关，因此根据模式的 电、磁场分布，由上式可求出模式归一化常量Ｃ 。 进而一阶 次包层模式径向和角向电场、磁场分量 即可全部求出。 ２．２芯层模式的矢量场分量分析 纤芯基模在纤芯中的模场分布表示如下 ： Ｅ７＝ｉＥｏ￣Ｊｏ（ｖ，／—１－—ｂｒ／０ ）ｅｘｐ（ｉＯ）・ ｅｘｐ［ｉ（卢ｃｏ 一∞￡）］（１６、 ＝一Ｅｇ］Ｊｏ（ 、 。）ｅｘｐ（ｉ ）‘ ｅｘｐ［ｉ（ｆｌ 一ｔｏｔ）］ 式中，ｂ＝（ｎ２硪． 一ｎ ）／（ｎ 一 ），为归一化传输常
