高数A习题课八

习 题 课 八

一、选择题

1．下列结论正确的是（ ） （A）∫=b a x f dx x f dx d )()(； （B）∫=x a x f dx x f dx

d )()(； （C）； （D）。

∫=′b a x f dx x f )()(c x f dx x f b

a +=′∫)()(2.(),()(),,()()

b

a f x C F x x t f t dt a x

b F x ∈=−<<′′=∫设则 ()0 ()()

()() ()2()

A B f x C f x D f x − [,]3.(),(),,,0(

)a b f x C y f x x a x b y ∈====设则由所围成的图形面积为 b

b a a b

a ().() (B).

() ().() (D).A f x dx f x dx C f x dx ∫∫∫不能确定

4．设在区间上，，],[b a 0)(>x f 0)(<′x f ，0)(>′′x f ， ∫=b a dx x f S )(1，))((2a b b f S −=；)]()([2

3b f a f a b S +−=， 则必有（ ）.

（A）；

321S S S <<（B）；

312S S S <<（C）；

213S S S <<（D）132S S S <<。

5．设∫−++=1

10)1ln()(x dt t x f ，，

1)(−−=x e x g x 则当时，是的（ ）

0→x )(x f )(x g （A）等价无穷小； （B）同阶但非等价无穷小；

（C）低阶无穷小； （D）高阶无穷小。 6．方程x dt t x x

cos 104=++∫在区间) ,0(∞+内（ ）

（A）有且仅有一个实根；（B）有且仅有两个实根；

（C）有无穷个根； （D）无实根。

二、计算题

1．，，求∫=t udu u x 1 ln ∫=2 2ln t udu u y 22 dy x d dy dx 。

2．设，求0sin 1 2=−∫−−dt e x x y t 022=x dx y d 。

3．设，求，⎪⎩⎪⎨⎧≤<−≤≤=2

1 ,210 ,)(2x x x x x f ∫=x dt t f x F 0)()(20≤≤x . 4．求. cos 022x dt t x dx

d 5．)41

241

141(lim 22222n n n n n −++−+−∞→"

6．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∫0

, 0 )()(20x C x x dt t tf x F x

，其中有连续导数，且， )(x f 0)0(=f （1）求使在C )(x F 0=x 连续； （2）求)(x F ′。

三、证明题 1．设在上连续，在内可导，且)(x f ],[b a ),(b a M x f ≤′)(，， 0)(=a f

试证2 )(2

)(a b M dx x f b a −≤∫。 2．设函数在上连续，在内可导，且满足 )(x f ]1 ,0[) 1 ,0( )1( )()1(1

10>=∫−k dx x f xe k f k x

，

证明至少存在一点∈ξ)1 ,0(，使得)()11()(ξξ

−=ξ′f f 。 1203.()[0,1],2()(1),(0,1)1 ()()f x xf f f ξξξξ

=∈′=−∫设在上可导且证明至少存在一点，使

x dx f [,]4.(),(),(,) ()()()()a b b a f x g x C a b f g x dx g f x dx ξξξξξ∈∈=∫∫设证明至少存在一点，使

()()()b x

x a F x g x dx f x dx =⋅∫∫证明： 5.设，试证施瓦茨不等式

连续在],[)( ),(b a x g x f )(Schwarz 。 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∫∫b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222

6．设上连续可导，]1 ,0[)(在x f 1)0()1(=−f f ， 试证。 ∫≥′1

021)(dx x f