同济版大一高数第八章习题课PPT课件

高等数学的学习建议
重视基础知识： 掌握基本概念、 定理和公式， 为后续学习打 下坚实基础。
多做练习：通 过大量练习， 加深对知识点 的理解和记忆纳总结： 及时归纳所学 内容，找出重 点和难点，有 针对性地进行
复习。
培养数学思维： 高等数学不仅 仅是计算和公 式，更重要的 是培养数学思 维和解决问题
平面的判定条件
三个不共线的点 确定一个平面
两条相交直线确 定一个平面
一条直线与这条 直线外一点确定 一个平面
两平面相交，交 线是两平面的公 共线
平面的性质定理
平面内任意两点确定一条直线
平面内任意三点确定一个平面
平面内任意四点确定一个平面
平面内任意五点确定一个平面
04
平面与直线的位置 关系
平行关系
几何法求解平面方程
定义：通过几何 图形和空间位置 关系来求解平面 方程的方法
适用范围：适用 于平面图形比较 简单的情况
步骤：先确定平 面上的两个不共 线的点，然后通 过这两个点确定 平面的法向量， 最后写出平面方 程
注意事项：需要 熟练掌握空间几 何和向量知识
参数法求解平面方程
参数方程的建立 参数的消元过程 参数的求解方法 参数法求解平面方程的步骤
平面方程的 基本形式
多个平面的 交面求解
两个平面的 交线求解
实际应用中 的交面求解
07
总结与展望
本节内容的总结回顾
平面方程的建立与求解方法 平面方程的应用举例 平面方程的分类与性质 平面方程与其他数学概念的联系
下节内容的预习准备
回顾本节内容： 回顾平面及其方 程的相关概念和 知识点，加深对 平面几何的理解。
的方程。
点法：通过已 知平面上的一 个点和该平面 的法向量，确 定一个平面的

T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
f
1 (x
( x0 )
x0 ).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
例8
讨论函数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 , lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
1
但在x 0处有 y (0 x)sin 0 x 0 sin 1
h0
h
三、证明：若 f ( x)为偶函数且 f (0) 存在，则 f (0) 0 .
四、
设函数
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x
0问
k
满足什么条
0 , x 0
件， f ( x)在 x 0处 (1)连续； （2）可导；
（3）导数连续.
五、
设函数
f
(x)
x2
,
x
1
,为了使函数
ax b , x 1
f ( x)在 x 1处连续且可导，a , b应取什么值.

1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x

五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
则有
由勾股定理得
因
得两点间的距离公式:
对两点
与
例4. 求证以
证:
即
为等腰三角形 .
的三角形是等腰三角形 .
为顶点
例5. 在 z 轴上求与两点
等距
解: 设该点为
解得
故所求点为
及
思考:
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.
解: A、B、 C、M 四点共面
展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程
即
内容小结
设
1. 向量运算
加减:
数乘:
点积:
叉积:
混合积:
2. 向量关系:
思考与练习
1. 设
计算
并求
夹角 的正弦与余弦 .
答案:
2. 用向量方法证明正弦定理:
总之:
运算律 :
结合律
分配律
因此
定理1.
设 a 为非零向量 , 则
( 为唯一实数)
, 取 ＝±
且
再证数 的唯一性 .
则
反向时取负号,
则
例1. 设 M 为
解:
三、空间直角坐标系
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
坐标原点
坐标轴
x轴(横轴)
y轴(纵轴)
z 轴(竖轴)
过空间一定点 O ,
备用题
解: 因
1. 设
求向量
在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分
向量. P13(19)