高等数学第八章第八节 向量代数与空间解析几何习题课

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第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3(　则：　且　b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。

8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。

2 2 2
（2）令 f ( x, y ) g ( x, y ) 5 x 5 y 8 xy. 由题意，只需求 f ( x, y ) 在约束条件 75 x y xy 0 下的最大值点. 令 L( x, y , ) 5 x 5 y 8 xy (75 x y xy ) ，则
21.【解】应填1. 22.【解】在点 (0,0,1) 沿方向 0,0 2和点 (0,0,1) 沿方向 0,02 的方向导数最大，其最大 值为 4. 23.【解】
x y z a , x ay 0. a a2 0
24.【解】设经过 l 且垂直于 的平面方程为 1 : A( x 1) By C ( z 1) 0 ，则由条件可 知
n {2,2,3}.
14.【解】应填
1 0, 2 , 3 . 5


2
15.【解】应填 x z 1 y . 设点 M ( x, y, z ) 是旋转曲面上的任一点，设它在直线上的对 应 点 M ( x, y , z ) ， 由 于 M 在 直 线 上 ， 所 以 有 x 1, y z ， 由 题 意 有
z z x y {dx, dy} // , , x y x2 y2 x2 y2 4 1 9 1 16 36 16 36

4
dx dy 即 , 这就是投影曲线应满足的微分方程，解之得 y Cx 9 . x y 4 9
主编：武忠祥
2016 高等数学辅导讲义练习题解答
《高等数学辅导讲义》 练习题解答
第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分在几何上的应用
1.【解】应选（C）. L1 和 L2 的方向向量分别为 s1 {1,2,1} 和 s2 {1,1,2} ，

向量代数的基本定理
02
向量分解定理、向量投影定理、向量共线定理、向量平行定理
等。
空间解析几何的应用
03
平面方程、直线方程、二次曲面等。
学习建议与展望
01
熟练掌握基本概念和定理，多做习题，加深理解。
02
学会运用向量代数解决实际问题，提高分析问题和 解决问题的能力。
03
拓展学习线性代数、微积分等其他数学领域，为进 一步学习其他学科打下基础。
总结词
强化计算能力
详细描述
在解析几何与向量代数中，计算能力是非常重要的，需 要多做练习，提高计算速度和准确性。
进阶习题解析
总结词
理解进阶概念
详细描述
进阶概念包括向量的外积、混合积 、空间中的平面和直线等，理解这 些概念有助于解决更复杂的问题。
总结词
掌握进阶公式
详细描述
进阶公式包括向量的外积公式、混合 积公式等，掌握这些公式能够更高效 地解题。
空间点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点P可以用三维实 数来表示，即(x, y, z)。
3
坐标系的性质
空间直角坐标系具有方向性、正交性和单位性。
向量及其表示
向量定义
向量是一个有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
向量的模
向量的模是指向量的长度或大小，记作|a|，计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
向量的数乘
实数$k$与向量$vec{a}$的数乘满足分配律，即$k(mvec{a}) = (km)vec{a}$，其中 $m$为实数。
向量的数量积和向量积
向量的数量积
向量$vec{a}$和$vec{b}$的数量积定 义为$vec{a} cdot vec{b} = ||vec{a}|| ||vec{b}|| cos theta$，其中$theta$ 为两向量的夹角。