高三普高数学(理科)第5次月考试题

中学2021届高三第五次月考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日理科数学选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.是虚数单位，假设复数，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】∵复数∴∴应选A，，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，，然后求出，最后求【详解】那么那么应选【点睛】此题主要考察了集合的混合运算，指数不等式以及对数不等式的化简求值，属于根底题，两条直线，，表示两个平面，假如，，那么“〞是“〞的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，，，利用线面垂直的性质定理可得，反之不成立【详解】假如，，，那么必有，充分性成立假如，，，不能保证，也有可能，必要性不成立故“〞是“〞的充分不必要条件应选【点睛】此题主要考察了必要条件，充分条件与充要条件的判断，掌握线面垂直的性质定理是解题的关键，属于根底题。

的首项为，假设，那么的公差为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为，那么，解得，应选B.,那么以下不等式成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用作差法比拟实数大小即得解.详解：-〔〕=，因为，所以所以.故答案为：D.点睛：〔1〕此题主要考察实数大小的比拟，意在考察学生对该知识的掌握程度.(2)比拟实数的大小，常用作差法和作商法，一般假如知道实数是正数，可以利用作商法，否那么常用作差法.6. 以下函数中，最小值为4的是________．①y＝x＋；②y＝sinx＋〔0<x<π〕；③y＝4e x＋e－x；④y＝log3x＋log x3〔0<x<1〕．【答案】③.【解析】试题分析：①y＝x＋无最小值；②y＝sinx＋，当且仅当即等号成立，但这是不可能的；③y＝4e x＋e－x当且仅当即时等号成立；④当0<x<1时y＝log3x＋log x3<0无最小值．考点：根本不等式7.7.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为〔〕A. 8B. 4C. D.【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体的直观图如下图，由三视图特征可知，平面,平面,,面积最小的为侧面，∴应选：C.〔，，〕的部分图象如下图，那么的值分别为〔〕A. 2，0B. 2，C. 2，D. 2，【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案【详解】由函数图象可知：，函数的图象过点，，那么应选【点睛】此题主要考察的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入点坐标求出结果时，不等式恒成立，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由时，恒成立得对任意恒成立，即当时，获得最大值，的取值范围是，应选D.【易错点晴】此题主要考察利用根本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用根本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等〞的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或者积是否为定值〔和定积最大，积定和最小〕；三相等是，最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是屡次用或者时等号能否同时成立〕.10.10.如图，正三棱柱的各条棱长均相等，为的中点，分别是线段和线段上的动点〔含端点〕，且满足.当运动时，以下结论中不正确的选项是〔〕A. 平面平面B. 三棱锥的体积为定值C. 可能为直角三角形D. 平面与平面所成的锐二面角范围为【答案】C【解析】如图，当分别在上运动时，假设满足，那么线段必过正方形的中心，而平面平面平面正确；当分别在上运动时，的面积不变，到平面的间隔不变的棱锥的体积不变，即三棱维的体积为定值，正确；假设为直角三角形，那么必是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时的长大于不可能为直角三角形，错误；当分别为中点时，平面与平面所成的角为，当与重合，与重合时，平面与平面所成的锐二面角最大，为等于平面与平面所成的锐二面角范围为，正确，应选C.11.11.图一是美丽的“勾股树〞，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树〞，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树〞，以此类推，最大的正方形面积为1，那么第代“勾股树〞所有正方形的面积的和为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】最大的正方形面积为1，当n=1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为，选D.，都存在两个不同的正数，使成立，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，设，那么，设，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，故当时，存在两个不同的实数，使成立，即对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立。

天津一中2024届高三年级第五次月考试卷数 学本试卷总分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,52. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511B. 61C. 41D. 96. 在一段时间内，分5次测得某种商品价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（ ）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A283B.323C. 14D. 188. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）的的.A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______．11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______．13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______．14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =， （ⅰ）求a 值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值．17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离．18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． （1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m->-．参考答案一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,5【答案】C 【解析】【分析】先求U A ð，再根据并集运算求解.【详解】由题意可得：{}3,4,5U A =ð，所以()U B A ⋃=ð{}1,0,2,3,4,5-. 故选：C.2. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“22n n ≥”，不能推出3n =，例如2n =，即充分性不成立； 若“3n =”，则29,28n n ==，可得22n n ≥，即必要性成立；综上所述：“22n n ≥”是“3n =”的必要不充分条件. 故选：B.3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式计算a ，利用指数函数单调性判断b ，c 即可得答案.【详解】因为242log 21log 2log 42a ===，e 2111224b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102ππ1c =>=， 所以c a b >>. 故选：D4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断. 【详解】由题意可知：()f x 的定义域为{}|0x x ≠，故B 错误； 当0x >，()f x 先正后负，则有：对于C ：因为2e 1e ,20x x x -<<+>，则e e 0x x --<，可知()220e e x xx f x -+=<-，故C 错误；对于D ：因为e 1x>，则e 10e 1x x +>-，但cos x 的符号周期性变化，故D 错误；故选：A.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9【答案】A 【解析】【分析】由对数运算可知2112n n n a a -+=，分析可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列，利用分组求和以及等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为2111lg lg lg lg 2n n n n n a a a a -+++==，可得2112n n n a a -+=，则21122n n n a a +++=，可得24n na a +=， 可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列， 且数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且122a a =，可得22a =，所以()()()459135792468214145111414S a a a a a a a a a --=++++++++=+=--.故选：A.6. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t【答案】D 【解析】【分析】由散点图判断A ，根据回归直线方程判断B ，求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心点求出m ，令 1.9x =求出 y ，即可判断D.【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A 错误；由经验回归方程ˆ28.111.5yx =-，可知y 与x 具有线性相关关系，故A 错误； 又 1.4 1.6 1.82 2.2 1.85x ++++==，1210733255m my +++++==，又经验回归直线方程ˆ28.111.5yx =-必过样本中心点(),x y ， 则3228.111.5 1.85m+=-⨯，解得5m =，故C 错误； 当 1.9x =时， 28.111.5 1.9 6.25y =-⨯=，所以价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t ，故D 正确． 故选：D ．7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆的直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A.283B.323C. 14D. 18【答案】B 【解析】【分析】由题意可得：圆台的高124O O =，可证CD ⊥平面2O AB ，结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为12,O O ，为如图所示：可知圆台的高124O O ==，因为12,O O CD AB CD ⊥⊥，且121O O AB O =I ，12,O O AB ⊂平面2O AB ， 可知CD ⊥平面2O AB ，所以三棱锥A BCD -的体积为1132824323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件探求出12PF F △的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得2c a =，结合124F F =求,,a b c ，即可得方程.【详解】设双曲线22221x y a b-=半焦距为c ，则12(,0),(,0)F c F c -，由对称性不妨令与l 平行的渐近线为by x a=， 直线l 方程为：()by x c a=-，即0bx ay bc --=， 设12PF F △的内切圆O '与12PF F △三边相切的切点分别为0(,0)A x ，B，C ， 如图所示，的则1212||||||||(||||)PF PF PC CF PB BF -=+-+()()1200022AF AF x c c x x a =-=+--==， 即0x a =，而AO x '⊥轴，圆O '半径为3b ，则(,)3b O a '-， 点O '到直线l3b =，整理得|43|a c c -=， 且c a >，解得2c a =，又因为1224F F c ==，可得2221,2,3a c b c a ===-=，所以双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及()00f >求出a ，由π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的取值，再根据周期确定ω的值，即可得到函数解析式，即可判断A ，根据图象变换结合奇偶性判断B ；根据题意以π23x +为整体，结合正弦函数性质分析判断CD.【详解】因为()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，2=，且0a >，解得a =则()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭， 又因为πππ2sin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ1sin 432ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 结合图象可知ππ5π2π,436k k ω+=+∈Z ，解得28,k k ω=+∈Z ， 且π,024T ω>>，则2ππ2ω>，解得04ω<<，所以0,2k ω==，可知a ω=，故A 正确； 所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 对于选项B ：πππ2sin 22sin 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，故B 正确； 对于选项C ：因为(]0,x m ∈，则πππ2,2333x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦， 由题意可得：π24π3m +≥，解得11π6m ≥，故C 正确； 对于选项D ：因为ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，且sin y x =在π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭内不单调，所以()f x 在区间ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误； 故选：D.【点睛】方法点睛：函数()sin y A x ωϕ=+的解析式的确定： （1）A 由最值确定； （2）ω由周期确定；（3）ϕ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求ϕ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______． 【答案】i - 【解析】【分析】根据题意结合复数的除法运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()21i 1ii 1i 1i 1i --==-++-. 故答案为：i -.11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．【答案】15 【解析】【分析】根据二项式定理可得通项为36216C rr Tx-+=，令3632r -=，运算求解即可.【详解】因为6x ⎛+ ⎝的展开式通项为3662166C C ,0,1,2,,6rr r r r r T x x r --+===⋅⋅⋅， 令3632r -=，解得2r =， 所以3x 项的系数为2615C =. 故答案为：15.12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______． 【答案】1 【解析】【分析】由题意可得：24y x =，设切线方程()21x m y =-+，结合相切可得1m =，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可.【详解】因为抛物线()220y px p =>过点()1,2，则24p =，可得24y x =，显然切线斜率不为0，设切线方程为()2112x m y my m =-+=+-，联立方程2124x my m y x=+-⎧⎨=⎩，消去x 得()244210y my m -+-=，则()21616210m m ∆=--=，解得1m =，可得切线方程为1x y =-，即10x y -+=，又因为圆()()22:40C x a y a -+=>的圆心(),0C a ，半径2r =，则圆心(),0C a 到直线10x y -+=的距离d =，由题意可得：2222+=，解得1a =.故答案为：1.13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______． 【答案】 ①. 0.85##1720 ②. 0.255##51200【解析】【分析】设相应事件，结合全概率公式求此产品为正品概率；并结合独立重复性事件的概率公式求恰有一个是正品的概率.【详解】记任取一件，此产品由甲、乙、丙三个厂商供应分别为事件123,,A A A ，此产品为正品为事件B ， 由题意可知：()()()()()()1231230.2,0.3,0.5,|0.9,|0.9,|0.8P A P A P A P B A P B A P B A ======， 可得()()()()()()()112233|||0.85P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=， 所以此产品为正品的概率为0.85；的这两件产品中恰有一个是正品的概率为()20.8510.850.255⨯⨯-=. 故答案为：0.85；0.255. 14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．【答案】 ①. 2139a b + ②. 14-##0.25-【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算出AH，利用余弦定理求出BC ，即可得到AB BC ⊥，设D 为AB 的中点，则()21PE PF PA PD =+⋅- ，再求出min PD ，即可得解.【详解】依题意()1133AH AB BH AB BM AB AM AB =+=+=+-2133AB AM =+21121213333939AB AC AB AC a b =+⨯=+=+ ；因为2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理BC ===， 所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，则四边形PEBF 为矩形，则PE PF PB +=，设D 为AB 的中点，则()()()PB PD P D E PF P P B DA A PA D +⋅⋅⋅==++()()2221PD DB D PD PD D DB P B =⋅+-=-=- ，当PD AC ⊥时PD取得最小值，且最小值为sin AD BAC ∠=，所以221114PD -≥-=- ， 即()PE PF PA +⋅ 的最小值是14-.故答案为：2139a b + ；14-15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）【答案】2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】把方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，根据函数单调性，分类讨论分别求出最值求解即可.【详解】因为方程0x x a k -+=，即x x a k -=-在区间[]0,2上有解，设函数()22,,x ax x af x x x a x ax x a⎧-≥=-=⎨-+<⎩，则函数()f x 的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点．因为44a -+≤<，所以0222a<-+≤<， 所以函数()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在(),a ∞+上单调递增． 当24a ≤<时，在区间[]0,2上，()2max24a af x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()min 00f x f ==，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤．当42a -+≤<时，因为()()00f f a ==，224a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()242f a =-．令2424a a =-，解得4a =-±，又42a -+≤<，所以2424a a ≥-，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤，综上，实数k 的取值范围为2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，分类讨论得到()f x 的最值，即可求出k 的取值范围.三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =，（ⅰ）求a 的值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值． 【答案】（1）1cos 3A =或cos 0A =（2）（ⅰ）3；【解析】【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解； （2）（ⅰ）由题意可知：1cos 3A =，利用余弦定理分析求解；（ⅱ）由1cos 3A =结合倍角公式求sin2,cos 2A A ，利用正弦定理可得sin C =，结合两角和差公式运算求解.【小问1详解】由题可得()22cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=， 解得1cos 3A =或cos 0A =. 【小问2详解】因为△ABC 为锐角三角形，则1cos 3A =， 由余弦定理可得22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即3a =；因为1cos 3A =，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A ==，可得227sin22sin cos 2cos sin 9A A A A A A ===-=-由正弦定理可得sin sin a c A C =，则sin sin c A C a ==，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7cos 9C ==，所以()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C -=-=. 17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离． 【答案】（1）证明见解析（2（3） 【解析】【分析】（1）首先取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建系，再利用向量法证明即可；（2）求出平面1ABB 的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值； （3）利用空间向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB . 因为120ABC ∠=︒，2AB BC ==，所以AC ==，BO AC ⊥，又因为1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，11////DO AA CC ， 所以DO ⊥平面ABC ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,A ，()1,0,0B ，()11,0,2B，()10,4A，()1C ，()12AB =，()112A B =-，()110,3A C =-.设平面111A B C 的法向量(),,n x y z = ，则1111=0=0n A B n A C ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2030x z z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令y =，得()2n = ， 所以1//n AB ，又1AB ⊄平面111A B C ，所以1AB ⊥平面111A B C ； 【小问2详解】因为()1=AC，()1=2AB ，()1=0,0,2BB，设平面1ABB 的法向量(),,m a b c = ，则11=0=0m AB m BB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2020a c c ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1b =，得()m = ，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，则11sin AC m AC m θ⋅===⋅ ， 所以直线1AC 与平面1ABB. 【小问3详解】因为平面111A B C的法向量为()2n =，()10,0,4AA = ，所以点A 到平面111A B C的距离1n AA d n ⋅===.18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程． 【答案】（1（2）250x y -+= 【解析】【分析】（1）根据题意可得相应坐标，结合长度关系可得249b a =，即可得离心率；（2）设()0000,,0,0D x y x y ，分析可知直线l 的方程为00194x x y y+=，求相应点的坐标，结合面积关系列式求解即可. 【小问1详解】由题意可知：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，(),0B a ，则2ABAF ==，整理得249b a =，所以椭圆的离心率c e a ===. 【小问2详解】 由（1）可知：c =，则13BF a c a =+=+=，解得3,2a c b ===， 可知椭圆方程为22194x y +=，直线:132x y AB +=，设()0000,,0,0D x y x y ，则2200194x y +=，对于直线00194x x y y+=，可知点()00,D x y 在该直线上， 联立方程0022194194x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得00x x y y =⎧⎨=⎩， 可知直线00194x x y y +=与椭圆切于点()00,D x y ，即直线l 的方程为00194x x y y+=， 令0x =，解得04y y =，即040,M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 令0y =，解得09x x =，即090,E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程00132194x yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得()()000000363234323y x x y x y x y ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，即()()()00000000036343363,,,0232323y x y H H x y x y x y ⎛⎫⎛⎫---⎪⎪---⎝⎝'⎭⎭， 可得()()0000000012333323423x y x HH x y MO x y y -'--==-， 且()()0000000000043431121121123332232223DHB BEH BEDx x S S S y y x x y x x x y ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3DHB HH S MO '=可得()()0000000004333112322323x y x y x x y x y ⎛⎫--⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理得20000344120y x y x -+-=，则()()20003441y x y -=+，又因为220194x y +=，即()()222020414161y y y -+=+， 整理得()()()2202204441y y y -=-+， 且002y <<，则()2200441y y -=-，整理得200580y y -=，解得085y =或00y =（舍去）， 代入2200194x y +=，解得095x =-或095x =（舍去）， 所以直线l 的方程为2155x y -+=，即250x y -+=. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =⨯ 底⨯高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 通项公式；（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 【答案】（1）21n a n =+；2nn b =的（2）353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）证明见详解 【解析】【分析】（1）根据题意列式求得132a d =⎧⎨=⎩，即可得数列{}n a 的通项公式；根据n S 与nb 之间的关系分析可知{}n b 为等比数列，即可得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知：212ni i a n n ==+∑，设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解，结合数列{}n c 的单调性分析求解； （3）根据等比数列求和可得()28413kk T =-，分析可知23118424k k kT <≤⨯⨯，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：53251242516a a d a a a d -==⎧⎨+=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以()32121n a n n =+-=+； 又因为22=-n n S b ，若1n =，可得1122b b =-，解得12b =； 若2n ≥，可得1122--=-n n S b ，两式相减得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=；可知数列{}n b 是以首项12b =，公比2q =的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=.【小问2详解】 由（1）可知：()2132122ni i n n a n n =++==+∑，若1nn i i b a λ=<∑，即222nn n λ<+，可得222nn nλ+<， 设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解， 令()()()()2211112131120222n nn n n n n n n n n c c ++++++-++-=-=≤， 当且仅当1n =时，等号成立， 可得1234c c c c =>>>⋅⋅⋅，且45335,232c c ==，则353322λ≤<， 所以实数λ的取值范围为353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】由题意可知：12,2,n n n n b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则2221212222k k k k k c c +-+=+=，则()()3521212212814822241143k k kkk k Tc c c c +--=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+==--，因为*k ∈N ，则0248k≤⨯-，即()064841kk<⨯≤-，可得()213124841k k k T =≤⨯-，则1121111111184112464614n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭≤==-<⎪⨯⎝⎭-∑∑； 又因*k ∈N ，则0414kk<-<，可得()213384841k k k T =>⨯-，则1123111311132418488414n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎝⎭>==-⨯⨯-∑∑；综上所述：12111118846nn k kT =-⨯<<∑. 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． 为（1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m ->-．【答案】（1）1m =（2）（ⅰ）证明见详解；（ⅱ）证明见详解 【解析】【分析】（1）求得，利用导数分析可知()f x 的最小值为1ln m f m -⎛⎫⎪⎝⎭，结合题意列式求解； （2）根据（1）结合导数的几何意义可得01m <<.（ⅰ）求得，结合导数判断原函数单调性结合零点存在性定理分析证明；（ⅱ）由（i ）可得要证()11mmg x m m->-，即证()111mmg xmm->-，先证明()12ln m g x m>，再构造函数()()12ln 0H x x x x x =-+>，利用导数判断出函数的单调性，从而可得出结论.【小问1详解】因为()1emx f x x -=-，则()1e 1mx f x m -'=-，且0m >， 令()0f x ¢>，解得1ln m x m ->；令()0f x '<，解得1ln mx m-<； 可知()f x 在1ln ,m m -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在1ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增， 则()f x 的最小值为1ln ln 0m mf m m -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得1m =. 【小问2详解】由（1）可知：()1emx f x x -=-，()1e 1mx f x m -'=-， 可得()11e1m f -=-，()11e 1m f m -'=-，即切点坐标为()11,e1m --，斜率1e 1m k m -=-，则切线方程为()()()11e1e 11m m y m x ----=--，令0x =，可得()11e m y m -=-，由题意可得：()110em m ->-，且0m >，解得01m <<；（i ）因为()()()1ln 1ln 1e 01mx x x g xf x x m m m-++=-+=-<<， 可知()g x 的定义域为()0,∞+，()2111e 1e mx mx m x g x m mx mx---=-='， 设()()21e10mx h x m x x -=->，则()()211e 0mx h x m mx -=+>'在()0,∞+内恒成立，可知函数()h x 在()0,∞+上递增， 由（1）可知：当1m =时，()1e0x f x x -=-≥，即1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，则3211333322222211e 1111m m h m m m m m m m -⎛⎫ ⎪+----- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-≥+⋅+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得3332222110h m m m m m ---⎛⎫+>⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，又因()01h =-，由零点的存在性定理可得，存在3210,1x m -⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，即1111e mx mx m -=，（*）当()10,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，即()0g x '>，()g x 为增函数， 又因为01m <<，()111e m g m-=-， 设()()11e01x G x x x -=-<<，则()()121e 001x G x x x-'=+><<， 所以函数()G x 在()0,1上递增， 所以()()10G x G <=，即()111e 0m g m-=-<，因为()1e0x x x -≥>，所以1ln x x -≥1-≥2ln x ≥，则()g x mx mx ≥>-所以44440g m m m ⎛⎫>⋅= ⎪⎝⎭，且241m>，当01m <<时，1111e1mx mx m-=>， 所以由()x ϕ的单调性可知11mx >，且111x m>>， 所以当()11,x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间441,m ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 11ee1ln 11e e e 0e m mg m--+⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，且11e <， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 所以函数()g x 恰有两个零点， （ii ）因为1111emx mx m-=，即112ln ln 10m x mx ++-=， 则11ln 12ln 2x m mx +=--+，所以()1111121ln 112ln 2emx x m g x x m m x m m-+=-=++-， 有基本不等式可得()112112ln 22ln 22ln m m mg x x m x m m m m m=++-≥-=， 当且仅当1211x m x =，即11x m=时，取等号，由1111emx mx m-=，由11x m =可得1m =，这与01m <<矛盾，所以11x m ≠，所以()()12ln mg x g x m≥>， 要证()11mmg x m m ->-，即证()111mmg xmm->-，设()()12ln 0H x x x x x=-+>，则()22211110H x x x x ⎛⎫=--=--≤ ⎪⎝⎭'所以函数()H x 在()0,∞+上递减， 所以当01x <<时，()()10H x H >=， 因为01m <<，所以101m m <<，所以1112ln 2ln m m mm m m m m-=>-，又()()12ln m g x g x m≥>，所以()11m m g x m m ->-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

江西省吉安市永丰中学2024年高三下学期5月质量检查数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2．若函数2()xf x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e +∞ B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞3．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020214．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数5．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．346．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-7．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．16008．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( ) A ．324B ．5212C ．5312 D ．56129．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22B ．2C ．4D ．310．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．11．函数()2f x ax =-与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(],e -∞ D ．(2,e ⎤-∞⎦12．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84B ．54C ．42D ．18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

卜人入州八九几市潮王学校南康2021～2021第一学期高三第五次大考数学〔理科〕试卷一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项符合题目要求.)1A x x ，3sin 1B y y x ，那么A B〔〕A.[1,2]B.[1,)C.(,1][1,2]D.[0,1]【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合A 中绝对值不等式的解集，再求的集合B 中函数的值域，最后取它们的交集. 【详解】对于集合A ，1x或者1x ，对于集合B ，由于03sin 14x ，所以02y .所以1,2A B .应选A.【点睛】本小题主要考察集合的交集，考察集合的研究对象，考察绝对值不等式的解法等知识，属于根底题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间〞，即x a 的解是a x a ，x a 的解是x a 或者x a .在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如此题中集合B ，研究对象是函数的值域.32iz i〔i 为虚数单位〕，那么z 的虚部为〔〕32 C. D.32i 【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数z ，然后求得其虚部.【详解】依题意i i13i13i 2ii222z，故虚部为32，所以选B. 【点睛】本小题主要考察复数的除法和乘法运算，考察复数实部和虚部的识别，属于根底题.2018log 2019a 2019log 2018b ，120192018c ，那么,,a b c 的大小关系是〔〕A.ab c B.a c b C.c a b D.c b a【答案】C 【解析】 【分析】 先确定1,,1ca b ，然后将,a b 利用对数的运算，求得11,22ab ，从而得到,,a bc 的大小关系. 【详解】由于02018201920181,log 20181,log 20191c a b ，所以c 为三个数中最大的.由于20182018111log 2019log 2018222a，而20192019111log 2018log 2019222b，故a b .综上所述c a b ，应选C.【点睛】本小题主要考察指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如此题中的“12和1〞作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于1的，有一个是介于12和1之间的，还有一个是小于12的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.540()3xx x f x x ，假设角的终边经过点(3,4)P ，那么[(cos )]f f 的值是〔〕A.1B.3C.4D.9 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角的终边经过的点，求得cos 的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.【详解】由于角的终边经过点3,4P ，故2233cos534，故3cos 3415f f，1133f .应选B.【点睛】本小题主要考察三角函数的定义，考察复合函数求值以及分段函数求值，属于根底题.sin 23cos2,f x x x x R ，那么以下结论不正确的选项是〔〕A.最大值为2B.最小正周期为C.把函数2sin 2y x 的图象向右平移3个单位长度就得到f x的图像D.单调递增区间是5,1212kk，k Z【答案】C 【解析】 【分析】 将函数f x转化为sin A x的形式，然后根据三角函数的图像与性质对选项逐一进展判断，从而得出正确选项.【详解】依题意π2sin 23f x x，所以函数的最大值为2，A 选项正确；函数的最小正周期为2ππ2，故B 选项正确.函数2sin2y x的图象向右平移3个单位长度得到π2π2sin 22sin 233y xxπππ2π22π232k xk ，解得函数的递增区间为5,1212kk，故D 选项正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考察利用辅助角公式化简三角函数解析式为sin A x，考察三角函数的图像与性质，包括最值、最小正周期，单调区间以及图像变换等知识，属于根底题.对于三角函数含有多个正弦、余弦符号的，需要利用辅助角公式、和差角公式、二倍角公式等，将其化简为一个角的形式，这样才可以去研究它的图像与性质.2ymx 与2213y x双曲线有一样的焦点，点00(2,)(0)P y y 在抛物线上，那么点P 到该抛物线的准线的间隔为〔〕 A.1B.2C.3D.4 【答案】D 【解析】 【分析】先求得双曲线的焦点，由此可得抛物线的焦点坐标，进而求得m 的值，根据抛物线的定义求得P 到准线的间隔.【详解】双曲线的右焦点为2,0，故24m ，8m ，故抛物线的准线为2x，点P 的横坐标为2，故P 到准线的间隔为224.应选D.【点睛】本小题主要考察双曲线的几何性质，考察抛物线的方程的求解，考察抛物线的定义，属于根底题. 7.周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,那么小满日影长为() A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺 【答案】B 【解析】设各节气日影长依次成等差数列n a ，n S 是其前n 项和，那么9S =199()2a a =59a ，所以5a ，由题知147a a a =43a ，所以4a ，所以公差54d a a =−1，所以12a =57a d ，应选B ． 8.正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为〔〕A.3B.43C.32D.1【答案】B 【解析】 【分析】画出图像，得到该几何体是由两个四棱锥构成，利用锥体体积公式计算得几何体的体积.【详解】画出图像如以下列图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形，且边长为22112，故底面积为222；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为122133.那么几何体的体积为24233.应选B. 【点睛】本小题考察空间几何体的构造，考察锥体的体积计算，考察数形结合的数学思想方法，属于根底题.22221x y a b 〔0a b 〕的中心点在原点，1F ，2F 分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x 轴，2PF AB ，那么此椭圆的离心率为〔〕A.13B.1225【答案】D 【解析】如下列图,把x =−c 代入椭圆HY 方程：222210x y a b a b .那么22221c y a b ,解得2b ya.取2,b Pc a,又A (0,b ),B (a ,0),F 2(c ,0)，∴222,2ABPF b b b a k k a c cac. ∵PF 2∥AB ,∴22b b aac，化为：b =2c . ∴4c 2=b 2=a 2−c 2,即a 2=5c 2,∴2255c ea . 此题选择D 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c ea； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．22221(0,0)x y a b a b 的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a 的切线，交双曲线右支于点M ，假设1245F MF ，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A.2y x B.3y x C.y x D.2y x【答案】A 【解析】 【分析】作OA⊥1F M 于点A ，21F B F M于点B ，可得2a 2OAF BBMa ，，222F Ma ，12F Bb ，结合双曲线定义可得2ba 从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥1F M 于点A ，21F BF M于点B ，∵1F M 与圆222x y a 相切，1245F MF∴2a 2OAF BBMa ，，222F M a ，12F Bb又点M 在双曲线上， ∴1222222a F M F Ma b a整理，得2b a ，∴2b a∴双曲线的渐近线方程为2yx应选：A【点睛】此题考察了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a ，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.y f x 的定义域为R ，且x f x f x a 其中0a ，a 为常数，假设对任意1212,x x x x ，都有12120x x x x ，那么函数y f x的图象可以是〔〕A.B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】条件12120x x x x 表示函数x为单调递增函数，对x求导后，利用导数大于零，判断出f x为单调递增函数，然后对选项利用对应的函数进展判断，从而得出正确选项.【详解】因为对任意1212,x x x x ，都有12120x x x x ，所以函数x为单调递增函数，即0x f x f x a ，所以fx f x a ，因为0,a x x a ，故f x为单调递增函数，选项A 为指数型函数，不妨设x ye ，满足题意，应选A ．【点睛】本小题主要考察对2121y y x x 的理解，考察导数与单调性的对应关系.2121y y x x 是斜率的公式，根据21210y y x x 或者者21210y y x x 可以判断出函数的单调性，前者为增函数，后者为减函数.这个条件还可以改为21210y y x x ，或者者21210y y x x 同样也是说明单调性的.21()()f x x ax xe e与()x g x e 的图象上存在关于直线yx 对称的点，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.1[,]ee e B.1[1,]e e C.11[,]e e e e D.1[1,]e e【答案】D 【解析】 【分析】e x g x关于yx 对称的函数为ln y x ，将问题转化为f x与ln y x 图像有交点的问题来解决.令ln f x x ，将其变为两个函数，利用导数研究这两个函数的图像，由此求得a 的取值范围. 【详解】e x gx关于yx 对称的函数为ln y x ，所以原问题等价于f x与ln y x 图像有交点，令ln f xx 化简得2ln ax x x ，对于2ln y xx ，221x yx ，故其在12,e 2上递减，在2,e 2上递增，由此画出y ax 和2ln yx x 的图像如以下列图所示.要使2ln axx x有解，直线y ax 的斜率要介于切线OB 的斜率OB k 和直线OA 的斜率OAk 之间.当1ex时，22111ln1e eey，即211,1e eA，所以2111e e 1e eOAk .设2,ln B n n n，12OBk nn，故切线OB的方程为21ln 2yn nnx nn，将原点坐标代入得210ln 20n n n nn，解得1n ，故2111OBk ，所以斜率的取值范围是11,e e，应选D.【点睛】本小题主要考察利用导数研究存在性问题，考察化归与转化的数学思想方法，考察数形结合的数学思想方法，属于中档题.由于题目涉及e x y还有yx 这两个条件，可以想到e x y和ln yx 互为反函数，它们的图像关于y x 对称.由此将问题转化为f x和ln y x 图像有交点的问题来解决.二、填空题：(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．),a b满足26a b a b ，且2,1a b ，那么a 与b的夹角为__________.【答案】23【解析】 【分析】将条件展开后化简，求得a b 的值，利用夹角公式求得两个向量的夹角.【详解】根据26a b a b 得，2226a ab b ，即1a b ，故1cos ,2a b a ba b ，故两个向量的夹角为2π3. 【点睛】本小题主要考察向量的数量积运算，考察向量的夹角公式，考察运算求解才能，属于根底题. 1021年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修.为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额〞是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．某企业员工今年10月份的月工资为15000元，那么应缴纳的个人所得税为______元. 【答案】790 【解析】 【分析】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，可得应缴纳的个人所得税为150005000300010%30003%，计算即可．【详解】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级， 那么应缴纳的个人所得税为150005000300010%30003%70090790元故答案为：790【点睛】此题考察了函数模型的选择与应用，属于根底题． 15.1,0A ，B 是圆F ：222110x x y 〔F 为圆心〕上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，那么动点P 的轨迹方程为__________．【答案】22413x y 【解析】试题分析：由题意作出辅助图，知，所以，故P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，且，所以，故P 的轨迹方程为22413x y 考点：轨迹方程、椭圆定义ABC 沿斜边上的高AD 折成120的二面角，直角边3,6AB AC ，那么下面说法正确的选项是_________．〔1〕平面ABC平面ACD 〔2〕四面体D ABC 6〔3〕二面角A BC D 的正切值是423〔4〕BC 与平面ACD 21 【答案】〔3〕〔4〕 【解析】 【分析】画出图像，由图像判断〔1〕是否正确；计算D ABC 的体积来判断〔2〕是否正确；依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法判断〔3〕，〔4〕是否正确.【详解】画出图像如以下列图所示，由图可知〔1〕的判断显然错误.由于,AD CD ADBD ，故BDC 是二面角C AD B 的平面角且AD 平面BCD ，故60BDC .过B 作BECD 交CD的延长线于E，由于AD BE，故BE是三棱锥B ACD的高.在原图中，363BC ，3623AB AC ADBC,321BD ,622CD ,33sin60122BE BD ，所以111362232626DABCBACDV V AD CD BE ，故〔2〕错误.以D 为坐标原点，,,DA DCDz分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系.13,0,,,0,2,022A B C ,132,,,2,2,022AB AC ，设平面ABC的法向量为,,n x y z，那么132022220n ABxy z n ACx y ，令2x ，那么562,3y z,即562,2,3n.平面BCD 的法向量是2,0,0DA.设二面角A BC D 的平面角为，由图可知为锐角，故3cos17n DA nDA ，那么其正切值为423ACD 的法向量为0,0,1，530,,22BC，设直线BC 和平面ACD 所成的角为，那么530,,2221sin14530,,22，故〔4〕判断正确.综上所述，正确的有〔3〕，〔4〕.【点睛】本小题主要考察折叠问题，考察空间面面垂直的判断，考察锥体体积计算，考察二面角的计算以及线面角的计算，属于中档题.三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕ABC 中，点D 在边BC 上，且0AD AC ，22cos 3DAB，32AB ．〔1〕假设43BC ，求sin C 的值；〔2〕假设2AC，求BC 边上的中线AE 的长．【答案】3〔2〕2.【解析】 【分析】〔1〕利用诱导公式求得sin BAC 的值，然后在ABC 中利用正弦定理求得sin C 的值.〔2〕由sin BAC 的值求得cos BAC 的值.利用1=+2AE AB AC 两边平方后根据向量数量积的运算，求得AE 的长.【详解】(1)22sinsin 90cos 3BACDABDAB由条件得 3433,sin sin 322ABC C C在中，则．〔2〕221sin 3BAC 由∵BAC 为钝角∴1cos 3BAC又2,32ACAB ，222222111=+22cos 4444AE AB AC AB AC AB AC AB ACAB AC A 所以2AE【点睛】本小题主要考察三角函数诱导公式，考察利用正弦定理解三角形，还考察了向量的线性运算以及数量积的运算，属于中档题.n a 中，122,3a a ，其前n 项和n S 满足1121(2,)n nn S S S nn N .〔1〕求证：数列n a 为等差数列，并求na 的通项公式；〔2〕设3n nn b a ，求数列n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕1n a n ；〔2〕333T ()3244n nn 【解析】 【分析】〔1〕根据题干所给的条件得到11nn a a 〔2n ，*n N 〕，且211a a ，可得到数列为等差数列，进而得到通项；〔2〕错位相减求和即可. 【详解】〔1〕由，111n n n n S S S S 〔2n ，*n N 〕，即11nn a a 〔2n ，*n N 〕，且211a a ．∴数列n a 是以12a 为首项，公差为1的等差数列．∴1na n〔2〕由〔Ⅰ〕知13n nb n 它的前n 项和为n T12312341T 23334331313T 2333433132n n n n n n n n n n ，333T 3244nnn .【点睛】这个题目考察的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1nS 做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等. 19.在如下列图的空间几何体中，平面ACD平面ABC ，ACD 与ACB 都是边长为2的等边三角形，2BE ，BE 和平面ABC 所成的角为60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC 的平分线上．〔1〕求证：//DE 平面ABC ；〔2〕求二面角EBC A 的余弦值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2. 【解析】 试题分析：〔1〕AC 的中点O ，连接,BO DO ，根据等边三角形的性质可知DO平面ABC ，作EF平面ABC ，那么//EF DO ，通过计算证明四边形DEFO 是平行四边形，故//DE OF ，由此可得//DE 平面ABC ；〔2〕以O 为坐标原点，,,OA OB OD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，通过平面EBC 和平面ABC 的法向量，计算得二面角的余弦值为13. 试题解析：〔1〕由题意知ABC ACD 、为边长2的等边取AC 的中点O ，连接BO ，那么,BOAC DOAC ，又平面ACD平面ABC ，∴DO平面ABC ，作EF平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成的角为60°，∴060EBF，∵2BE ，∴3EFDO ，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ．∴DE平面,ABC OF 平面ABC ，∴//DE 平面ABC 4分〔2〕建立空间直角坐标系O xyz ，那么0,3,0,1,0,0,0,31,3B CE ，∴， ∴，平面ABC 的一个法向量为．设平面BCE 的法向量，那么，∴，取1z ，∴，∴，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角EBC A 13．．12分考点：空间向量与立体几何.220y px p ，过,0M a 且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点,,2A B AB p〔1〕求a 的取值范围； 〔2〕假设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB 面积的最大值。