二重积分计算习题课81908

1 o DD1 D12 x
2 ( y x2 )dxdy 2 ( x2 y)dxdy
D1
D2
201dx
1
x2
(
y
x2 )dy
201dx
x
0
2
(x2
y)dy.
例3.17——3.18不作要求
小结
一、二重积分在直角坐标系中计算
D
f (x, y)dxdy
b
dx
a
y2 ( x) y1 ( x )
2
dy
2 y y2
x2 y2 dx
D
0
0
二重积分在极坐标下的计算
例6 计算 (x2 y2 )dxdy，其中D由圆x2 y2 2y,
x2 y2 4y, x D 3y 0, y 3x 0所围成的平面区域.
解
x2 y2 2 y r 2sinθ
x2 y2 4 y r 4sin
当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，
通常选择在直角坐标系下计算.
二重积分计算过程
选择坐标系
选择积分次序
化为累次积分
计算累次积分
二重积分在极坐标下的计算
二. 利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分
(1)若D关于y轴对称,则
2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y) f ( x, y)
x
3y 0
θ1
π
6π
y 3x 0 θ2 3
故
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
4sin r 2 rdr
6
2sin
15( 2
3).
二重积分在极坐标下的计算
例7 求广义积分 I e x2 dx.(泊松积分,例3.19）

二重积分的练习题
O3
直角坐标系下的练习题
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}xy^{2}dxdy$
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}(x + y)dxdy$
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}(x - y)dxdy$
极坐标系下的练习题
计算$int_{0}^{frac{pi}{2}}int_{0}^{1}r^{2}costheta dtheta dr$
确定积分区域
拆分积分
逐个积分
极坐标系下的计算方法
将直角坐标转换为极坐标，即$x = rho cos theta, y = rho sin theta$。
将二重积分拆分为两个定积分，即$int int f(rho,theta) dA = int drho int f(rho,theta) dtheta$。
二重积分的几何意义
二重积分表示二维平面上的曲顶柱体的体积。 当f(x,y) > 0时，二重积分表示曲顶柱体的体积，其中f(x,y)是曲顶的函数。 当f(x,y) < 0时，二重积分表示曲顶柱体的体积的负值，即该体积的负值。 当f(x,y) = 0时，二重积分表示曲顶柱体的边界形状的面积。
二重积分的计算方法
二重积分的综合应用
O4
1
2
3
利用二重积分可以计算由平面曲线围成的平面区域的面积。
计算面积
利用二重积分可以计算由曲面围成的三维空间的体积。
计算体积
通过二重积分可以求出平面薄片的重心坐标。
计算平面薄片的重心
在几何中的应用
在物理中的应用
利用二重积分可以计算分布不均匀的物体的质量。 计算质量 通过二重积分可以求出两个质点之间的引力。 计算引力 利用二重积分可以计算空间中电荷分布产生的电场强度。 计算电场强度

x D关于x、y轴对称 y

2I D / 2 I D 4I D / 4 2I D / 2 ( I D 0)
例1
求以xOy面上的圆域 D {( x, y) | x2 y 2 1} 为底， 圆柱面
2 2 抛物面 z 2 x y x2 y 2 1 为侧面 ，
为顶的曲顶柱体的体积。 并在极坐标系下求其二重积分值
z
2
解：如图所示，所求曲顶柱体的体积为
V (2 x y )d
2 2 D
其中积分区域D可表示为
O
x
y D {( x, y ) | 1 x 2 y 1 x 2 , 1 x 1}
由D的对称性及被积函数
f ( x, y) 2 x y
2
2
关于x，y均为偶函数可知 V 4
D a
b
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y )dy
II、 y 型区域（先x后y）
V f ( x, y )dxdy dy
D c d
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y )dx
III、方法与步骤
① 绘出区域D的图形： ② 确定积分限： ③ 计算积分： ④ 利用奇偶性简化运算。

例3 计算二重积分
其中
e
D
x y
d
y
D {( x, y) || x | | y | 1}
1
解： 如图 D D1 D2
x y x y x y e d e d e 因此 d D D1 D2
e dx
x 1 0
0
x 1
与直线 2 x

其中函数 1 ( x )、 2 ( x )在区间 [a , b] 上连续.
y
y 2 ( x)
D
y 1 ( x)
X－型
y
y 2 ( x)
D
y 1 ( x)
x
O
a
b
O
a
b
x
X-型区域的特点: x 常数 的直线与区域D的边界 至多交于两个点.
3
二重积分的计算
用二重积分的几何意义说明其计算法
1
2 ( y )
f ( x , y )dx
二重积分的计算
注 特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x , y )d a dx c D
d b c a
b
d
f ( x , y )dy
如D是上述矩形域, 且f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 则
如果f ( x, y )关于x是奇函数 0, f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy, 如果f ( x, y)关于x是偶函数 D D 2 23 D2为D在右半平面部分.
二重积分的计算
这个性质的几何意义如图: z
z
O
y x
O
y
x 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为偶函数
的曲边梯形.
2 ( x0 )
1 0
z
y 2 ( x)
z f ( x, y)
x [a , b] 有:
A( x )
D
O
a
2 ( x )
＊V ( x , y )f ( x , y )d f d x
b