二次根式特殊求值法
一、二次根式具有双重非负性
1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数。 包含双重非负性：a≥0；0≥a
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到。 可以把任意一个非负数或非因
3. 公式a a a
a 20==-<⎧
⎨
⎩
||()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示一个数的平方的算术平方根，a 的范围是一切实数； （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数； （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的。
二、二次根式整数部分、小数部分
确定一个二次根式的整数部分与小数部分，应先判断已知二次根式的取值范围，从而确定其整数部分，然后再确定其小数部分，小数部分=原数－整数部分。
如23<<，是整数部分为22。 总结：
1. 注意使用根式性质进行化简；
2. 化简时要注意被开方数中含有完全平方时开方结果是本身还是相反数，同时更要注意根号外的式子向根号内移动时，整体的正负性。
例题1 把二次根式（x －1）
x
-11
中根号外的因式移到根号内，结果是（ ） A. x -1 B. −x -1 C. −1-x D. 1-x
解析：根据二次根式的性质及二次根式的化简将括号外的数移到括号内时，要考虑正负数带来的影响。
答案：解：∵
x -11
≥0且1－x≠0，∴1－x ＞0，∴x－1＜0， ∴（x －1）x -11=－x
x --11)1(2
=−x -1。故选B 。
点拨：利用二次根式的性质与化简，注意被开方数大于等于0，分母不为0。
例题2 已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为（ ）
A. 0
B. 3
C. 33
D. 9
解析：把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值。 答案：解：∵221227a a +-=9)96(22++-a a =9)3(22+-a ，
∴当（a －3）2
=0，即a=3时代数式221227a a +-的值最小为9即3，故选B 。 点拨：用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握。
双重值非负性的应用
二次根式的定义及化简、非负数的性质、三角形三边关系定理等。需注意的是二次根式的双重非负性a ≥0，a≥0。
例题 下列说法错误的是（ ）
A. x≥1
B. 满足不等式－5＜x ＜5的整数x 共有5个
C. 当1，x ，323--x x 成立
D. 若实数a 、b 满足2)4(-a +|b －2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为10 解析：根据算术平方根和绝对值应不能为负数来进行解答。
答案：A. 若表达式有意义，则x －1≥0且x+1≥0，解得x≥1；故A 正确；B. 满足不
等式－5＜x ＜5的整数x 可取：－2、－1、0、1、2，共五个，故B 正确；C. 根据三角
形三边关系定理可知：3－1＜x ＜3+1，即2＜x ＜423
--x x 成立，需满足的
条件为x －3≥0且x －2＞0，解得x≥3；因此只有在3≤x＜4时，所给的等式才成立；故C 错误；D. 根据非负数的性质，得：a=4，b=2；当2为腰长、4为底长时，2+2=4，不能构成三角形，故此种情况不成立；当4为腰长、2为底长时，4－2＜4＜4+2，能构成三角形，所以这个等腰三角形的周长为：4+4+2=10；故D 正确。因此本题只有C 选项的结论错误，故选C 。
特殊根式化简
利用二次根式的性质进行化简。
例题 实数a 、b 、c 、d 满足：a+b+c+d=1001，ac=bd=4，则：))()()((a d d c c b b a ++++=（ ）
A. 1001
B. 2002
C. 2003
D. 2004
解析：由题意a+b+c+d=1001，ac=bd=4，将式子))()()((a d d c c b b a ++++进行化简，用（a+b+c+d ）和ac 、bd 表示出来，然后再进行计算。
答案：解：因为a c=bd=4，∴abcd=4×4=16， 原式=))()()((a d d c c b b a ++++ =]))()][()([(a d c b d c b a ++++
bccd
1
=c
2
=2（a+b ）（1+b c
）
=2（a+b+c+b
ac
）
=2（a+b+c+d ）
=2×1001=2002，故选B 。
（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. k 、m 、n 为三整数，若135=k 15，450=15m ，180=6n ，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系，正确的是（ ）
A. k ＜m=n
B. m=n ＜k
C. m ＜n ＜k
D. m ＜k ＜n
2. 已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |− 2
)(b a -的结果为（ ）
A. 0
B. －2a
C. 2b
D. －2a －2b
*3. 一个三角形的三边长分别为1，k ，3，则7−813642+-k k −|2k −3|的结果是（ ）
A. －5
B. 1
C. 13
D. 19－4k **4. 若y ＝2x +2)1(+x + 2)1(-x ，则y 的最小值是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
**5. 正整数a 、m 、n 满足242-a = n m -，则这样的a 、m 、n 的取值（ ） A. 有一组 B. 有两组 C. 多于两组
D. 不存在
二、填空题
*6. 对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a※b=b
a b
a -+，那么12※4= 。
*7. 观察下列各式，然后填空：3
121-＝
2132＝31
8
3
