精品资料--湖北省黄冈中学2011届高三最后一次适应性考试(精校完美打印版)

文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题A卷：BABDB BDCAB 选择题B卷：CACBB CDCBC二．填空题：11．±2 12．4913．3π14．12xy=-15．52三．解答题：16．(1)解：()2(sin cos )2sin()224f x x x x π=-=- 2分 ∴函数的最小正周期为2π，值域为{|22}y y -≤≤． 4分(2)解：依题意得：62sin()25πα-=，3sin()45πα-= 6分 ∵344ππα<<，∴042ππα<-<∴4cos()45πα-== 8分 ()2sin 2sin[()]444f πππααα+==-+ 2[sin()cos cos()sin ]44ππππαα=-+- 10分 342(55=+= 12分17．(1)解：由已知有112101345m n C C mn C ⋅==，∴15mn =， 4分又8m n +=，m n <，∴ 35m n =⎧⎨=⎩ 6分 (2)解：小球的编号数之和为4有两种情况：两个2号球或者1号球和3号球各一个 8分则所求概率2113252101345C C C P C +==． 12分18．(1)证明：ABC ∆中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2422cos452=+-⨯︒=2分 ∴222AC BC AB =-，AB AC ⊥，又AB ∥CD ，∴CD ⊥AC由PA ⊥平面ABCDE 得：PA ⊥CD ，∴CD ⊥平面PAC ，4分 ∴平面PCD ⊥平面PAC6分 (2) 解法一：由(1)知，△PAC 是等腰直角三角形取PC 中点F ，连结AF ，则AF ⊥PC又CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥AF故AF ⊥平面PCD 8分过P 作PQ ∥AB 且PQ = AB ，∵AB ∥CD ，∴PQ ∥CD ，因此点Q 在平面PCD 内连结AQ ，则AQ∥PB∴PB 与平面PCD 所成角等于AQ 与平面PCD 所成角连结QF ，则∠AQF 就是AQ 与平面PCD 所成角 10分在△PAB 中，2PB =∴AQ = PB = 2在△PAC 中，AF = 1，∴1sin 2AF AQF AQ ∠== ∴AQ 与平面PCD 所成角为30°，即PB 与平面PCD 所成角为30°． 12分解法二：设点B 到平面PCD 的距离为d ，PB 与平面PCD 所成角为θD E C B A P Q F在三棱锥B －PCD中，2PC =在直角梯形ACDE 中，45EAC ACB ∠=∠=︒，∴cos CD AE EAC =⋅∠=，11222PCD S CD PC ∆=⋅=⨯=8分 在三棱锥P BCD -中，111sin 2sin135222BCD S BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=⨯︒=由B PCD P BCD V V --=得；1133PCD BCD S d S PA ∆∆⋅=⋅，解得：d = 1 10分 ∴1sin 2dPB θ==，30θ=︒即PB 与平面PCD 所成角为30︒．12分 解法二：以AB AC AP 、、为x 、y 、z 轴建立直角坐标系，则 P (0，0)，B，0，0)，C (0，0) 在直角梯形ACDE 中，45EAC ACB ∠=∠=︒，∴cos 2CD AE EAC =⋅∠=∴D(2-，0)8分 2(202)(022)(00)2PB PC CD =-=-=-，，，，，，，，设n = (x ，y ，z )为平面PCD 的一个法向量，则 ()(00()(00)0x y zx y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，即000x y z x -==⎧⇒⎨⎨=⎩=⎪⎩ 10分 不妨取n = (0，1，1)，则1cos 2PB <>==-n ，∴PB 与n 的夹角为120°故PB 与平面PCD 所成角为120°－90°= 30︒12分19．(1)解：由已知(1)n n S m ma =+-，11(1)n n S m ma ++=+-， 两式相减，得：11n n n a ma ma ++=-，即11n n a ma m +=+，所以{}n a 是等比数列．4分 (2)解：当n = 1时，111a m ma =+-，则11a =，从而113b =由(1)知，()1m q f m m ==+，所以111()1nn n n b b f b b ---==+ (n ≥2)6分 ∴11111111n n n n b b b b --=+⇒-=，8分 ∴1{}nb 是首项为3，公差为1的等差数列故13(1)2n n n b =+-=+，12n b n =+10分 ∴1111(2)(3)23n n b b n n n n +⋅==-++++∴12231111111()()()344523n n n T b b b b b b n n +=+++=-+-++-++ 113339n n n =-=++． 12分20．(1)解：由题意，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>> 则24a =，得2a =，1b = ∴椭圆方程为2214x y +=． 4分(2)解：当直线MN ⊥x 轴时，直线MN 的方程为65x =-，代入椭圆方程2214x y +=得 45y =±，∴6464()()5555M N ---，，， 设直线MN 与x 轴交于点P ，且A (－2，0)；得4455AP PN ==， ∴4NAP π∠=，得：2MAN π∠=．6分 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为：65x ky =-， 联立直线MN 和曲线C 的方程可得：226514x ky x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：221264(4)0525k y ky +--=， 8分 设11()M x y ，，22()N x y ，，则122125(4)k y y k +=+，1226425(4)y y k =-+ 10分 则211221212416(2)(2)(1)()0525AM AN x y x y k y y k y y ⋅=++=++++=，， ∴2MAN π∠=． 13分 21．(1)解：2()(4)4(4)(1)f x mx m x mx x '=-++=--．2分 若m > 4，则401m<<， 此时，当4()(1)x m ∈-∞+∞，，时，()0f x '>，当4(1)x m∈，时，()0f x '<． ∴f (x )的单调递增区间为4(]m-∞，和[1)+∞，． 4分 若4m =，则2()4(1)0f x x '=-≥，∴f (x )的单调递增区间为()-∞+∞，．6分 (2)解：当0m <时，24()(4)4()(1)f x mx m x m x x m '=-++=--且41m<， ∴当2≤x ≤3时，有()0f x '<，∴()f x 在[2，3]上单调递减8分 ∴max 2()(2)13m f x f ==+． 10分 ()5g x mx =+在[2，3]上单调递减．min ()(3)35g x g m ==+． 12分由已知max min 27()()(1)(35)4133m f x g x m m -=+-+=--≤ 解得157m -≥，又m < 0，∴1507m -<≤． 综上所述，存在15[0)7m ∈-，使对任意12[23]x x ∈、，，都有12()()1f x g x -≤成立． 14分。

湖北省黄冈中学高三五月适应性考试（B 卷）数 学 试 题（理科）命题：高三数学备课组一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知,a b 为两不相等的实数，集合22{4,1},{41,2}M a a N b b =--=-+-，映射:f M N →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a b +等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知,,αβγ为平面，命题p ：若,βα⊥βγ⊥，则//αγ；命题q ：若α上不共线的三点到β的距离相等，则βα//．对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ） A ．命题“p 且q ”为真 B ．命题“p 或q ⌝”为假 C ．命题“p 或q ”为假 D ．命题“p ⌝”且“q ⌝”为假3．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=（ ）A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9754． 32x ax >+的解集为()4,b ，则实数b 的值为（ ）. A ． 9 B ．18 C ．36 D ．485．已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线y =2某两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，若|x 2-x 1|的最小值为π，则该函数在区间（ ）上是增函数。

A ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭6．函数()23123x x f x x =+++ 与x 轴交点的个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、37．如果关于x 的一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率P= （ ） A ．181 B ．91 C ．61D ．18138．已知{}n a 是等比数列，41,252==a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（ ）A.[)16,12B.[)16,8C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 9．已知a 、b 为非零的不共线的向量，设条件:M ()b a b -⊥；条件:N 对一切R x ∈，不等式b a b a -≥-M 是N 的（ ）Ａ．必要而不充分条件 Ｂ．充分而不必要条件Ｃ．充分而且必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件10. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的离心率为e ，左、右两焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，抛物线C 以F 2为顶点，F 1为焦点,点P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF 2|＋c|PF 1|＝8a 2，则e 的值为 ( ) A. 3 B. 3 C. 2 D. 6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置上.11．若6622106)1(x a x a x a a mx +⋅⋅⋅+++=+，且12663a a a ++⋅⋅⋅+=，则实数m 的值为__________．12．在AOB ∠的边OA 上有1A 、2A 、3A 、4A 四点，OB 边上有1B 、2B 、3B 、4B ,5B 五点，共9个点，连结线段(14,15)i j ≤≤≤≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则共有_______________对.13．如图，O 是半径为1的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别为大圆弧AB 与 AC 的中点，则点E 、F 在该球上的球面距离是______14．已知y x y x z y x y x 42,31)2()2(2222+++=⎩⎨⎧≤+≤-+-则的最大值为15．直线2y x m =+和圆221x y +=交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，那么sin()αβ+是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16． (本小题满分12分)已知向量()()2sin ,cos ,3cos ,2cos m x x n x x ==，定义函数()()()log 10,1a f x m n a a =->≠，求函数()f x 的最小正周期、单调递增区间.17．（本题满分12分）某地区试行高考考试：在高三中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试通过与否互相. 规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试.(Ⅰ) 求该学生考上大学的概率.(Ⅱ) 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望.18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AB//CD ，AB ⊥AD ，AD=CD=2AB=2．侧面PAD ∆为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1） 若M 为PC 上一动点，则M 在何位置时，PC ⊥平面MDB ？并加已证明．（Ⅱ）若G 为PBC ∆的重心，求二面角G —BD —C 大小19．（本小题满分12分）设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0,1}A =，集合{|||B x x a =<，且}x Z ∈，则满足A B ⊆的实数a 可以取的一个值是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 2．已知命题p ：,x R 使1sin 2xx 成立． 则p 为（ ） A ．,x R 使1sin 2x x 成立 B ．,x R 1sin 2x x 均成立 C ．,xR 使1sin 2xx 成立 D ．,x R 1sin 2x x 均成立 3．已知函数2sin y x =的定义域为[a ,b ]，值域为[-2，1]，则b a -的值不可能是 （ ）A ．65πB ．πC ．67πD ．π24．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin4xπ的值介于12-与2之间的概率为( )A ．14B ．13 C ．23 D ．565．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(20,25]B ．(30,32]C ．(28,57]D ．(30,57]6．当实数,x y 满足不等式0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有2ax y +≤成立，则实数a 的取值集合是（ ）A ．(0,1]B ．(,1]-∞C ．(1,1]-D ．(1,2)7．已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示： 在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ； ②平面SBC ⊥平面SAB ；S SA （B ） CS B正视图侧视图③SB ⊥AC ．其中所有正确命题的代号是 （ ） A ．① B ．② C ．①③ D ．①②8．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．C ． (1,3) D．9．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区有 ( )A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个 10．如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧．AB 上且与B A ,不重合．．．的一个动点，且y x +=，若 (0)u x y λλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为（ ）A ．)1,21(B ．)3,1(C ．)2,21(D ．)3,31(二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上的投影等于 ．12．从,,,,a b c d e 这5个元素中取出4个放在四个不同的格子中，且元素b 不能放在第二个格子中，问共有 种不同的放法．（用数学作答）13．若函数()(0xf x a x a a =-->且1)a ≠ 有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 14．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ,如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，（第10题图）也不能否定，现在请你研究：（1）如果2n =，则按照上述规则施行变换后的第8项为 ． （2）如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数．．为 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，ABC ∆的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交 于点E ，BAC ∠的平分线与BC 相交于点D ， 若8EB =，2EC =，则ED =______． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线C 的极坐标方程是)4cos(2πθρ+=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：1413x ty t =-⎧⎨=-+⎩（为参数t ），则直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为______．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本题满分12分）已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和 第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求)2(θf 的值． 18．（本题满分12分）节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km /h )分成六段 [80,85),[85,90),[90,95),[95,100), [100,105),[105,110)后得到如下图的频率分布直方图.(1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(3)若从车速在[80,90)的0．0200．0400．050 0．060 频率 组距车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数ξ的分布列及数学期望.19．（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥11ACC A 底面ABC ，︒=∠601AC A ．（1）求侧棱1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值的大小； （2）已知点D 满足BC BA BD +=，在直线1AA 上是 否存在点P ，使C AB DP 1//平面？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A 、B 两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A 、B 两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A 中取得的倒入B 中，B 中取得的倒入A 中，这样操作进行了n 次后，A 喷雾器中药水的浓度为%n a ，B 喷雾器中药水的浓度为%n b ．（1）证明：n n a b +是一个常数； （2）求n a 与1n a -的关系式； （3）求n a 的表达式．21．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=，若点S 满足OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上．22．（本小题满分14分） 已知1()ln ,()1(0)f x x g x x x=-=-> （1）求()()()F x f x g x =-的极值，并证明：若12,(0,)x x ∈+∞有2121()()'()()f x f x f x x x -≥-； （2）设12,0λλ>，且121λλ+=，120,0x x >>， 证明：11221122()()()f x f x f x x λλλλ+≥+， 若0,0(1,2,,)i i x i n λ>>=，由上述结论猜想一个一般性结论（不需要证明）；（3）证明：若0(1,2,,)i a i n >=，则12121212()n na a a a a a nn a a a a a a n++++++≥湖北省黄冈中学2013届毕业生适应性考试1【解析】a =3时，B ＝{－2，－1，0,1，2}，符合A ⊆B ． 2． 【答案】D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2xx x ∀∈≥R ． 3．【答案】D【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选D 4．【答案】D 【解析】由题意可得644xπππ-≤≤，即213x -≤≤,其区间长度为53，由几何概型公式知所求概率为55326=．5．【答案】C【解析】当输出k ＝2时，应满足211152(21)1115x x +≤⎧⎨++>⎩ ，得28<x ≤57．6．【答案】B【解析】画出可行域，直线2ax y +=恒过定点（0，2），则可行域恒在直线2ax y +=的下方，显然当0a ≤时成立，当0a >时，直线即为122x ya+≤，其在x 轴的截距2201a a≥⇒<≤，综上，可得1a ≤． 7．【答案】A 【解析】：显然有三视图我们易知原几何体为三棱锥侧棱SA 垂直于底面ABC ，底面是个直角三角形AC BC ⊥，从而我们易知只有①是正确的 8．【答案】A 【解析】由于ABE ∆为等腰三角形，可知只需045AEF ∠<即可，即2||||b AF EF a c a<⇒<+，化简得23012e e e --<⇒<<．9．【答案】C【解析】甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22 0C ，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，2210.85(3226)18(26)x ⨯--=≥-，若21x ≤，上式显然不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29． 10．【答案】C【解析】设扇形所在的圆的半径为1，以OB 所在的直线为x 轴，O 为原点建立平面直角坐标系，((0,))3COB πθθ∠=∈，则1(cos ,sin ),(1,0),(,22C B A θθ，由题意可得1cos 12(cos ,sin )(1,0)(,22cos sin 2x x y x y y y θθθθθθ⎧⎧==+⎪⎪⎪⎪=+⇒⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩令()cos f u x y θλθλθ==+=+，(0,)3πθ∈则()f θ在(0,)3πθ∈不是单调函数，从而'()sin 0f θθλθ=-=在(0,)3πθ∈一定有解，即tan θ=在(0,)3πθ∈，即1(,2)2λ∈，经检验此时()f θ此时正好有极大值点． 11．【答案】5-【解析】a 在b 方向上的投影为5cos ,===-a b a b a a b a a b b ． 12．【答案】 96【解析】间接法435496A A -= 13．【答案】1a >【解析】作图分析知当01a <<时只有一个零点，当1a >时有两个零点 14．【答案】（1）1 ；（2）6【解析】（1）如果2n =，按以上变换规则，得到数列：12382,1,4,,1a a a a ====；（2）设对正整数n 按照上述变换，得到数列：1278,,,,a a a a ，∵81a =，则72a =132********21215432112832642181620124510312124816a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎧⎧=⎧=⇒=⇒⎪⎨⎪=⎪⎩⎪=⇒=⇒⎨⎪=⎧⎪⎪=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒⎨⎨⎪=⎩⎩⎪⎪=⇒=⎧⎪=⇒=⇒=⇒⎨⎪=⇒=⎩⎩则n 的所有可能取值为2，3，16，20，21，128，共6个． 15．【答案】4 【解析】ADE ABD BAD ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠ 而ABD EAC ∠=，BAD DAC ∠=∠，所以ADE DAE ∠=∠ 所以EA ED =， 2216ED EA EC EB ==⋅=，所以4ED = 16．【答案】75【解析】把⎩⎨⎧+-=-=t y tx 3141化为普通方程为3410x y ++=，把)4πρθ=+化为直角坐标系中的方程为220x y x y +-+=，∴圆心到直线的距离为110，∴弦长为75=．17．解：（1）由题意可得2=Aπ22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-=函数)321cos(2)(π-=x x f …… ………………………………………………6分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ)2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=…………………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………………12分 18．解(1)系统抽样 …………………………………2分(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于97.5 设图中虚线所对应的车速为x ,则中位数的估计值为0.0150.0250.0450.06(75)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=,解得97.5x =即中位数的估计值为77.5 …………………………………6分 (3)从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为10.015402m =⨯⨯=(辆), 车速在[85,90)的车辆数为20.025404m =⨯⨯=(辆) ∴0,1,2ξ=,xzyO2024261(0)15C C P C ξ===,1124268(1)15C C P C ξ===,0224266(2)15C C P C ξ===, ξ的分布列为ξ 012P115 815 615均值864()01215153E ξ=+⨯+⨯=. …………………………………12分 19．解：（1)∵侧面⊥11ACC A 底面ABC ，作AC O A ⊥1于点O ，∴⊥O A 1平面ABC ．又︒=∠=∠601AC A ABC ，且各棱长都相等，∴1=AO ，31==OB OA ，AC BO ⊥． ………………………………………2分故以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，则)0,1,0(-A ，)0,0,3(B ，)3,0,0(1A ，)0,1,0(C ， ∴)3,1,0(1=AA ，)3,2,3(1=AB ， )0,2,0(=．……4分设平面C AB 1的法向量为)1,,(y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅++=⋅023231y AC n y x AB n解得)1,0,1(-=n．由46223,cos 111==⋅><nAA n AA ． 而侧棱1AA 与平面C AB 1所成角，即是向量1AA 与平面C AB 1的法向量所成锐角的余角， ∴侧棱1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值的大小为46…………………6分（2）∵+=，而()()3,1,0,3,1,0.BA BC =--=- ∴(23,0,0)BD =-又∵)0,0,3(B ，∴点D 的坐标为)0,0,3(-D ．假设存在点P 符合题意，则点P 的坐标可设为),,0(z y P ，∴),,3(z y =． ∵C AB DP 1//平面，)1,0,1(-=n为平面C AB 1的法向量，∴由1AP AA λ=，得0,331=∴⎩⎨⎧==+y y λλ． ……………10分 又⊄DP 平面C AB 1，故存在点P ，使C AB DP 1//平面，其坐标为)3,0,0(，即恰好为1A 点． ………………………12分 20．解：（1）开始时，A 中含有1012%⨯=1.2千克的农药，B 中含有106%⨯=0.6千克的农药，n 次操作后，A 中含有10%0.1n n a a ⨯=千克的农药，B 中含有10%0.1n n b b ⨯=千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而0.10.1 1.20.6,18n n n n a b a b +=+∴+=（常数）． …………………………4分（2）第n 次操作后，A 中10千克的药水中农药的重量具有关系式：119110n n na b a --⨯+⨯=由（1）知1118n n b a --=-，代入化简得14955n n a a -=+ ① …………………………8分 （3）令14()5n n a a λλ-+=+，利用待定系数法可求出λ=—9，所以149(9)5n n a a --=-，可知数列{}9n a -是以19a -为首项，45为公比的等比数列．由①，104949571255555a a =+=⨯+=由等比数列的通项公式知：111412449(9)()()3()5555n n n n a a ---=-==，所以43()95nn a =+． …………………………12分21．解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴=，∴抛物线21:4C y x = …………………………2分 同理由椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,b c a ==∴=．得椭圆222:12y C x +=． …………………………4分（2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．联立方程组24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++=216160,k ∴∆=+>且212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ …………………………5分由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-= 整理得：121212,11x xx x λλ==-- 2212121221212224221241()11k x x x x k k x x x x kλλ+-+-∴+===-+-++-+． …………………………8分 （3）设(,),(,),(,)p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则'(,0),'(,0)p Q P x Q x由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21p Q p Q x x y y +=-；① 2212p p y x +=；②2212Q Q y x +=；③ (11)分由①+②+③得22()()12p Q p Q y y x x +++=∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证． …………………………13分22．解：（1）解：1()ln ,F x x x =--则21'(),xF x x-= 当x ∈（0，1）时'()0F x >，x ∈（1，＋∞）时'()0F x <， ∴()F x 在（0，1）递增，在（1，＋∞）递减，max ()(0)0F x F == …………………………2分∴当0x >时()()f x g x ≤恒成立，即0x >时1ln 1x x≥-恒成立。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作湖北省黄冈中学2016届高三适应性考试数学试题（理科）字号：默认大中小试卷满分150分考试用时120分钟第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合A＝｛x|y＝｝，B＝｛x|x2－2x<0｝，则A∪()＝（）A．[－1， 0] B．[1， 2]C．[0， 1] D．(－∞，1]∪［2，＋∞）答案与解析：D2．已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且∥，则实数m的值等于（）A． B．－2C．0 D．或－2答案与解析：B3．已知复数z满足（1－2i）z＝|1＋2i|·（1－i），则复数z的虚部为（）A．B．C．D．－i答案与解析：C4．将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（）A．在区间上单调递增B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D. 在区间上单调递减答案与解析：A5．已知一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个的全等的等腰梯形，梯形上底、下底分别为2，4，腰长为，则该几何体的体积为（）A． B．28－2πC．28－3πD．答案与解析：C6．已知某产品质量指标服从正态分布 N(200，25)，某用户购买了 10000 件这种产品，记 X 表示 10000 件这种产品中质量指标值大于 210 的产品件数，则随机变量 X 的数学期望 EX＝（）附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P(μ－δ<ξ<μ＋δ)＝68.26%，P（μ－2δ<ξ<μ＋2δ）＝95.44％）A．6826 B．3174C．228 D．456答案与解析：C7．图中x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于（）A．11 B．8.5C．8 D．7答案与解析：C8．设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为（）A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α答案与解析：D9．数列{a n}是等差数列，若 a1＋2，a5＋5，a9＋8 构成公比为 q 的等比数列，则 q＝（）A．－1 B．1C．±1 D．2答案与解析：B10．某同学准备参加学校组织的“社区卫生服务”、“进福利院演出慰问”、“参观伊利工厂”、“游学遗爱湖公园”、“市中心环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成.其中“参观伊利工厂”与“市中心环保宣传”两项活动必须安排在相邻两天，“游学遗爱湖公园”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是（）A．48 B．24C．36 D．64答案与解析：C11. 1＋7＋72＋…＋72016被6除所得的余数为（）A．0 B．1C．2 D．3答案与解析：B12. 已知椭圆E：，过焦点(0，2)的直线l与椭圆交于M，N两点，点A坐标为(0，)，，则直线l斜率为（）A． B．C． D．答案与解析： A第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知实数 x， y 满足，则z＝2x－y的取值范围是__________.13．[－5，7]；14．已知函数 f (x)＝x a的图象过点 (4，2) ，令，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S99＝___________.答案与解析：14. 9；15．双曲线的两条渐近线与圆：(x－3)2＋y2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是_____.答案与解析：15.16．已知函数，若存在实数a，使得函数g(x)＝f(x)－a 有两个零点，则m的取值范围是___________.答案与解析：16.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分 12 分)设ΔABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．平面向量＝(cos A，cos C)，＝ (c，a)，=(2b，0)，且·(－)＝0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b＝1，a＝2，D是边BA上一点且∠B＝∠DCA，求CD．(Ⅰ)，sinB≠0，∴，∴.(Ⅱ)，a＝2，b＝1，，∴∴，∴18．(本小题满分 12 分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；两个变量y与x的回归模型中，分别选择了2个不同模型，模型①：，模型②：，求，，，（精确到0.1）；（Ⅱ）比较两个不同的模型的相关指数R12，R22，指出哪种模型的拟合效果最好，并说明理由.附：回归方程其中，为样本平均数，令z＝，则，，，；答案与解析：解：（Ⅰ）散点图如下图：由表中的数据得：模型二：（Ⅱ）模型1：模型2：<∴模型1的拟合效果较好.19．(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是棱长为2的菱形，∠DAB＝，侧面PAD为等边三角形，PB＝.（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求二面角A－PB－C平面角的余弦值.答案与解析：解：（Ⅰ）证明：取AD中点E，连接PE，BE，∵ΔABD，ΔAPD为等边三角形∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面BPE，∴AD⊥PB（Ⅱ）以E为坐标原点，EA，EB分别为x，y轴，过E作直线垂直于底平面为z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（1，0，0）， D（－1，0，0），C（－2，，0），B（0，，0）， P（0，，）设平面PBC法向量，设平面ABP法向量，∴，，而二面角所成的角为钝角，∴二面角A－PB－C平面角的余弦值为.20．(本小题满分 12 分)已知抛物线x2＝2py (p>0)过点(0，4)，作直线l交抛物线于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点O.（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）若ΔMNP的三个顶点都在抛物线x2＝2py上，且以抛物线的焦点为重心，求ΔMNP面积的最大值．答案与解析：解：（Ⅰ）以AB为直径的圆过原点O，设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0，设直线l方程为y＝kx＋4，联立，∴x2－2pkx－8p＝0，x1＋x2＝2pk，x1x2＝－8p，x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝0p＝2，抛物线方程为x2＝4y；（Ⅱ）设PF交MN于Q，P(2t，t2)，M(2t1，t12)，N(2t2，t22)，则，∴，，，直线MN方程为，∴＝＝，∴，此时21．(本小题满分12分)已知函数在内的最大值为.（Ⅰ）求正实数k的值；（Ⅱ）若对任意的x1，，存在使得，证明：.答案与解析：（Ⅰ），当时，，舍去；当时，，k＝1.（Ⅱ），∴，令，∴∴在(0，)上递减，要证，只需证明，而＝，∴，，x1－x2<0，只需证明，也就是证明，即证，令，，即是要证明时，恒成立，令，，，，令，，单减，而，，恒成立，即，，，在恒成立，.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．(本小题满分 10 分) 选修 4－1 ：几何证明选讲如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.（Ⅰ）求证：FB2＝FA·FD；（Ⅱ）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．答案与解析：解：（Ⅰ）证明：AD平分，，因为四边形FABC内接于圆，∴，，所以，，ΔFAB∽ΔFBD，∴，∴（Ⅱ）若AB是ΔABC外接圆的直径，，，∵BC＝6，∴，∴.23．(本小题满分 10 分) 选修 4－4：坐标系与参数方程直线l的极坐标方程为，曲线C参数方程为(θ为参数)，已知C与l有且只有一个公共点.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）过P点作平行于l的直线交C于A，B两点，且|PA|·|PB|＝3，求点P轨迹的直角坐标方程.答案与解析：解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为，曲线C的参数方程为(θ为参数)，消去参数θ，可得曲线C：x2＋y2＝1，∴a＝±1（Ⅱ）设点P(x0，y0)及过点P的直线为L1：，由直线L1与直线C相交可得：，因为，所以，即：联立由，点P的轨迹的直角坐标方程为：（夹在两直线之间的两段圆弧）.24．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲对于任意实数a(a≠0)和b，不等式恒成立，(Ⅰ)求满足条件的实数x的集合A；（Ⅱ）是否存在x，y，z∈A，使得x＋y＋z＝1，且同时成立．答案与解析：（Ⅰ）由题知，恒成立，故不大于的最小值，，当且仅当时取等号，∴的最小值等于2.∴x的范围即为不等式的解，解不等式得.（Ⅱ）.∴，所以不存在这样的x，y，z满足条件.。