2019_2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式学案新

新教材人教A版2019版数学必修第一册第二章知识点清单目录第二章一元二次函数、方程和不等式2. 1 等式性质与不等式性质2. 2 基本不等式2. 3 二次函数与一元二次方程、不等式第二章一元二次函数、方程和不等式2. 1 等式性质与不等式性质一、不等关系1. 在现实世界和日常生活中，既存在着相等关系，又存在着大量的不等关系，不等关系常用不等式表示.四、比较实数(代数式)的大小1. 比较实数(代数式)大小的方法1. 利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次进行这种转化后，就有可能扩大真实的取值范围. 解决此类问题，可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过一次不等关系的运算求得待求式的取值范围，可以避免错误.2. 利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；(2)借助所给条件整体求解，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解.六、利用不等式性质证明不等式 1. 利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形，变形一要考虑已知不等式与未知不等式在运算结构上的联系，二要考虑变形要等价，三要注意性质适用的前提条件.2. 2 基本不等式一、两个重要不等式1. 已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2√P .2. 已知x ，y 是正数，如果和x+y 等于定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值S 24.3. 运用以上结论求最值要注意下列三个条件： (1)一正：要求各数均为正数； (2)二定：要求和或积为定值；(3)三相等：要保证具备等号成立的条件. 4. 设a>0，b>0，则有21a +1b≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 22(当且仅当a=b 时取等号)，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 三、应用基本不等式求最大(小)值 1. 利用基本不等式求最值的注意事项 (1)一正：各项必须都是正值.若各项都是正数，则可以直接用基本不等式求最大(小)值；若各项都是负数，则可以提取负号，化为正数后用基本不等式求最大(小)值；若有些项是正数，有些项是负数，则不可以用基本不等式求最大(小)值. (2)二定：各项之和或各项之积为定值.利用基本不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，常见的方法技巧如下：①拆(裂项拆项)：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件；②并(分组并项)：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；③配(配式、配系数，凑出定值)：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.(3)三相等：必须验证取等号时条件是否成立，若等号不成立，则不能用基本不等式求最大(小)值.四、利用基本不等式求有附加条件的最大(小)值1. 求含有附加条件的最大(小)值问题，常见的方法是分析条件与结论的运算结构，选用不同的不等式求解：倒数和选用调和平均数、积选用几何平均数、和选用算术平均数、平方和选用平方平均数，并根据调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，利用合适的不等式求解最值.2. 换(常值代换、变量代换)：对条件变形，以进行“1”的代换，从而构造利用基本不等式求最值的形式. 常用于“已知ax+by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求1x +1y 的最小值”和“已知a x +by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求x+y 的最小值”两种类型.五、用基本不等式证明不等式 (1)利用基本不等式证明不等式的关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果. 证明不等式常用的变形技巧有：①拆分、配凑：将所要证明的不等式先拆分成几部分，再利用基本不等式证明.②常值代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“常值”的式子，将“常值”代入后再利用基本不等式证明.(2)多次运用基本不等式时，需要注意两点：一是不等号方向要一致，二是等号要能同时取到.2. 3 二次函数与一元二次方程、不等式一、一元二次不等式的概念1. 一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.2. 一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a，b，c均为常数，且a≠0).二、“三个二次”的关系1. “三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系Δ=b 24ac Δ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 ax2+bx+c=0(a>0) 的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=b2a没有实数根ax2+bx+c>0(a>0) 的解集{x|x<x1，或x>x2} {x|x≠b2a} Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2} ⌀⌀三、含参数的一元二次不等式的解法1. 解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论熟练掌握一元二次不等式的解法是解决此类不等式问题的基础，所以应当熟记形如ax2+bx+c>0(a>0)的不等式在各种情况下的解集的形式. 解含参数的“一元二次不等式”时，一般需对参数进行分类讨论，何时进行讨论，如何分类是解这类题的难点. 根据运算的需要，分以下几种情况：(1)关于不等式类型的讨论. 当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)关于不等式对应方程的根的个数的讨论. 当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系.(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论.四、三个“二次”之间的关系 1. 三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，研究二次函数问题主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来解决.(2)研究一元二次方程和一元二次不等式时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决相关问题.2. 应用三个“二次”之间关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根. 在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.五、一元二次不等式有关的恒(能)成立问题1. 解决有关一元二次不等式的恒(能)成立问题的方法(1)对于一元二次不等式有关的恒(能)成立问题，可借助二次函数的图象求解，必要时可通过分离参数，转化为最大(小)值求解. 一般地，已知范围的是变量，待求范围的是参数.(2)一元二次不等式恒成立问题，可结合二次函数图象从二次项系数与判别式两个方面列不等式求解，恒大于0就是相应的二次函数在给定的范围内的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数在给定的范围内的图象全部在x轴下方.六、不等式的实际应用解一元二次不等式、基本不等式有关的应用题的关键在于构造不等式或函数模型，选择其中起关键作用的未知量作为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系或函数关系，通过解不等式或利用基本不等式求最值得到实际问题的解.。

例题讲评 例3.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
练习：
已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
想一想 : 在上题中,如果没有x 0这个条件, 那么两式的大小关系如何 ?
练习巩固
练习已知 a,b, m都是正数，且a<b,求证：a m a .
bm b
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？zxxk
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
500x 600y 4000
x3x0y
完成课本第39页第1题
y 0 x,y∈N
考虑到实际问题
的意义，还应有
x,y∈N
学习新知
不等式
a-b>0
<=> a > b
基本原 a - b = 0 <=> a = b
理 a - b < 0 <=> a < b
比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：
归纳逻辑过程： 作差 变形 判断符号
b
G
F
A
aHE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么

二次函数与一元二次方程、不等式(15分钟35分)1.不等式组的解集是( )A.{x|-1<x<1}B.{x|1<x≤3}C.{x|-1<x≤0}D.{x|x≥3或x<1}【解题指南】分别求解不等式，然后求其交集.【解析】选C.求解不等式：x2-1<0可得：-1<x<1；求解不等式：x2-3x≥0可得：x≥3或x≤0；据此可得不等式组的解集是{x|-1<x≤0}.【补偿训练】不等式组的解集为( )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}【解析】选C.由x(x+2)>0得x>0或x<-2；由|x|<1得-1<x<1，所以不等式组的解集为{x|0<x<1}.2.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2-x1=15，则a= ( )A. B. C. D.【解析】选A.原不等式等价于(x+2a)(x-4a)<0，a>0，所以不等式的解集为：(-2a，4a)，所以x2-x1=4a-(-2a)=15，解得a=.3.关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是()A.(-∞，-1)∪(3，+∞)B.(-1，3)C.(1，3)D.(-∞，1)∪(3，+∞)【解析】选A.由题意，知a>0，且1是ax-b=0的根，所以a=b>0，所以(ax+b)(x-3)=a(x+1)(x-3)>0，所以x<-1或x>3，因此原不等式的解集为(-∞，-1)∪(3，+∞).4.关于x的不等式63x2-2mx-m2<0的解集为( )A.B.C.∪D.以上答案都不对【解析】选D.原不等式可化为·<0，需对m分三种情况讨论，即不等式的解集与m有关.5.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(-1，0)和(3，0)，则不等式ax2+bx+c<0的解集是_______.【解析】根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞，-1)∪(3，+∞).答案：(-∞，-1)∪(3，+∞)6.若关于x的不等式ax2+3x-1>0的解集是x<x<1，(1)求a的值.(2)求不等式ax2-3x+a2+1>0的解集.【解析】(1)依题意，可知方程ax2+3x-1=0的两个实数根为和1，+1=-，×1=-，解得a=-2.(2)-2x2-3x+5>0，2x2+3x-5<0.因为2x2+3x-5=0有两根为x1=1，x2=-，所以不等式的解集为.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为(-2，1)，则函数y=f(x)的图象为( )【解析】选B.因为不等式的解集为(-2，1)，所以a<0，排除C，D，又与坐标轴交点的横坐标为-2，1，故选B.【补偿训练】若不等式|2x-3|>4与关于x的不等式x2+px+q>0的解集相同，则x2-px+q<0的解集是( )A.B.C.D.【解析】选D.由|2x-3|>4得2x-3>4或2x-3<-4，则x>或x<-.由题意可得则所以x2-px+q<0对应方程x2-px+q=0的两根分别为，-，则x2-px+q<0的解集是.2.在R上定义运算☉：a☉b=ab+2a+b，则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值X围为 ( )A.(0，2)B.(-2，1)C.(-∞，-2)∪(1，+∞)D.(-1，2)【解题指南】先利用☉运算的法则变形，再解不等式.【解析】选B.由a☉b=ab+2a+b，得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2<0，所以-2<x<1.3.设a<-1，则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A. B.{x|x>a}C. D.【解析】选A.因为a<-1，所以a(x-a)·<0⇔(x-a)·>0.又a<-1，所以>a，所以x>或x<a.【补偿训练】不等式x2+ax+4<0的解集不是空集，则实数a的取值X围是( )A.(-∞，-4)∪(4，+∞)B.(-4，4)C.(-∞，-4]∪[4，+∞)D.[-4，4]【解析】选A.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集，即方程x2+ax+4=0有两个不等实数根，所以Δ=a2-4×1×4>0，解得a>4或a<-4.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是( )A.3x+4<0B.x2+mx-1>0C.ax2+4x-7>0D.x2<0【解析】选BD.根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A一定不是，C不一定是，B，D一定是.三、填空题(每小题5分，共10分)5.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A，不等式x2+x-6<0的解集是B，不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B，那么a=_______，b=_______.【解析】由题意，A={x|-1<x<3}，B={x|-3<x<2}，A∩B={x|-1<x<2}，则不等式x2+ax+b<0的解集为{x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知，a=-1，b=-2.答案：-1 -2【补偿训练】对于实数x，当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时，[x]=n，则关于x的不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为_______.【解析】由4[x]2-36[x]+45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时，[x]=n，所以[x]=2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8).答案：[2，8)6.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解，则k的取值X围是_______.【解题指南】把x=1代入到不等式中，得到关于k的不等式，解不等式即可.【解析】x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解，把x=1代入不等式得k2-6k+8≥0，解得k≤2或k≥4.答案：k≤2或k≥4四、解答题7.(10分)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a，b的值.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，b>1且a>0.由根与系数的关系，得解得(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0，即(x-2)(x-c)<0.当c>2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2}；当c=2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为⌀.【补偿训练】已知M是关于x的不等式2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，某某数a 的取值X围，并用a表示出该不等式的解集.【解析】原不等式可化为(2x-a-1)(x+2a-3)<0，由x=0适合不等式得(a+1)(2a-3)>0，所以a<-1或a>.若a<-1，则-2a+3-=(-a+1)>5>0，所以3-2a>，此时不等式的解集是；若a>，由-2a+3-=(-a+1)<-<0，所以3-2a<，此时不等式的解集是.综上，当a<-1时，原不等式的解集为，3-2a；当a>时，原不等式的解集为3-2a，.。

复习课(二) 一元二次函数、方程和不等式考点一 基本不等式利用基本不等式a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)求最值，要抓住“一正，二定，三相等”的条件，三者缺一不可，和为定值积有最大值，积为定值和有最小值．【典例1】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6 (2)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53 C ．2 D.54[解析] (1)因为x ＋3y ＝5xy ，1y ＋3x＝5， 所以3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y＋12y x ＋135 ≥15×2×36＋135＝5. 当且仅当3x y ＝12y x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立，所以3x ＋4y 的最小值是5. (2)由4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，得2·2x ·3y ＋3xy ≤4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，即15xy ≤30，xy ≤2，此时当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y 4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，即x ＝3，y ＝233时取得最大值． 故答案选C.[答案] (1)C (2)C条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．[针对训练]1．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则2x ＋y 的最小值是________．[解析] 解法一：∵x >0，y >0，∴xy ＝12·(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22， ∴2x ＋y ＋6＝(2x ＋y )＋6≤18(2x ＋y )2， ∴(2x ＋y )2－8(2x ＋y )－48≥0，令2x ＋y ＝t ，t >0，则t 2－8t －48≥0，∴(t －12)(t ＋4)≥0，∴t ≥12，即2x ＋y ≥12.解法二：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得 xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0，又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18，∴xy 的最小值为18，∵2x ＋y ＝xy －6，∴2x ＋y 的最小值为12.[答案] 12 2．已知x >1，求函数y ＝x 2－2x ＋22x －2的最小值． [解] ∵x >1，∴y ＝x 2－2x ＋22x －2＝(x －1)2＋12(x －1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1≥12×2 (x －1)·1x －1＝1，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，取“＝”， ∴当x ＝2时，函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有最小值为1. 考点二 一元二次不等式的解法与三个“二次”之间的关系一元二次方程的根就是二次函数的零点，求二次不等式的解一般结合二次函数的图象写出不等式的解．【典例2】 (1)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}(2)若a 为实数，解关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x －2<0.[解析] (1)根据题意x ＝－1和x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，于是 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝04a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝1， 则2x 2＋x －1<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <12. (2)当a ＝0时，不等式化为－2x －2<0，解得{x |x >－1}；当a ≠0时，不等式化为(x ＋1)(ax －2)<0，若a >0，则不等式化为(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a <0， 且－1<2a ，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <2a ； 若a <0，则不等式化为(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0， 当2a＝－1，即a ＝－2时，不等式化为(x ＋1)2>0，解得{x |x ≠－1}； 当a <－2，即2a>－1时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2a 或x <－1； 当－2<a <0，即2a<－1时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <2a 或x >－1. 综上，a ＝0时，不等式的解集为{x |x >－1}，a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <2a ， －2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <2a 或x >－1， a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ≠－1}，a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2a 或x <－1. [答案] (1)A (2)见解析解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．[针对训练]3．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}．(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .[解] (1)由题意，知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <0，41－a＝－261－a ＝－3，解得a ＝3. ∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32. ∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.。