2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形课时1 矩 形基础过关1. (2019重庆模拟)下列关于矩形对角线的说法中，正确的是( ) A. 对角线相互垂直B. 面积等于对角线乘积的一半C. 对角线平分一组对角D. 对角线相等2．(2019临沂)如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA .添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A. OM ＝12ACB. MB ＝MOC. BD ⊥ACD. ∠AMB ＝∠CND第2题图3．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 交于点E .若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 30°C. 35°D. 55°第3题图4．(2019贵阳模拟)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交边BC于点E，若ED＝5，EC＝3，则矩形ABCD的周长为()A. 11B. 14C. 22D. 28第4题图5．如图，矩形ABCD中，A(－2，0)，B(2，0)，C(2，2)，将AB绕点A旋转，使点B落在边CD上的点E处，则点E的坐标为()A. (3，2)B. (23，2)C. (1，2)D. (23－2，2)第5题图6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E.已知∠EAD ＝3∠BAE，则∠EAO的度数为()A．22.5°B．67.5°C．45°D．60°第6题图7．(2020原创)如图，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为()A. 10B. 8＋2 5C. 8＋213D. 14第7题图8．(2018遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB、PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为()A. 10B. 12C. 16D. 18第8题图9．(2019徐州)如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若MN＝4，则AC的长为________．第9题图10．(人教八下P55练习2题)如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，△OAB是等边三角形，AB ＝4.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求四边形ABCD的面积．第10题图11．(2019怀化)已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．第11题图12．(2019连云港)如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证：△OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．第12题图能力提升1．(2019台州)如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2 cm，BC＝FG＝8 cm.把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于()A. 14 B.12 C.817 D.815第1题图2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为________．第2题图满分冲关1．(2019眉山模拟)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①CF＝3AF；②AB＝DF；③DF＝22BC；④S四边形CDEF＝52S△ABF.其中正确的结论有()第1题图A．1个B．2个C．3个D．4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确．2．如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝30°，对角线AC，BD交于点O，∠BCD的平分线CE分别交AB，BD于点E，H，连接OE.(1)求∠BOE的度数；(2)若BC＝1，求△BCH的面积；(3)求S△CHO∶S△BHE的值．第2题图课时2菱形(建议时间：40分钟)基础过关1．(2019玉林)菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等2．(2019河北)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°第2题图3．(2019襄阳)如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是()A. 正方形B. 矩形C. 梯形D. 菱形第3题图4．(2019呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A. 2 2B. 2 5C. 4 2D. 2105．(2019宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A. AC⊥BDB. AB＝ADC. AC＝BDD. ∠ABD＝∠CBD第5题图6．(2019赤峰)如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE 的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 5第6题图7．(2019天津)如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于()第7题图A. 5B. 4 3C. 4 5D. 208．(2019永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为()第8题图A. 40B. 24C. 20D. 159．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处，且DC′过点P，折痕为DE，则∠CDE的大小为()A．30°B．40°C．45°D．60°第9题图10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，则AB＝______．第10题图11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，点E为AC上一点，若∠CBE＝20°，则∠AED＝________°.第11题图12．(2019广西北部湾经济区)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知BO ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则AH ＝________．第12题图13．(2019宿迁)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE ＝DF ＝32.(1)求证：四边形AECF 是菱形； (2)求线段EF 的长．第13题图14．(2020原创)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BD、BC于点E、F、G，连接ED、DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，求GC的长．第14题图15．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若EF＝8，AE＝5，求四边形AECF的面积．第15题图16．(2019北京)如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE ＝DF ，连接EF .(1)求证：AC ⊥EF ；(2)延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O .若BD ＝4，tan G ＝12，求AO 的长．第16题图能力提升1．如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E 、F 在BD 上．已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE的值为( ) A. 6＋2B. 6－2C.6－22D.6＋22第1题图2．已知菱形ABCD ，E 、F 是动点，边长为4，BE ＝AF ，∠BAD ＝120°，则下列结论正确的个数为( ) ①△BEC ≌△AFC ；②△ECF 为等边三角形； ③∠AGE ＝∠AFC ；④若AF ＝1，则GF EG ＝14.A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图【错误结论纠正】请将错误结论改正确．满分冲关(2019绵阳模拟)如图，点E 、F 、G 分别在菱形ABCD 的边AB 、BC 、AD 上，2AE ＝BE ，2CF ＝BF ，AG ＝13AD ，已知△EFG 的面积等于1，则菱形ABCD 的面积等于________．题图课时3正方形(建议时间：40分钟)基础过关1．正方形具有而菱形不一定具有的特征有()A. 对角线互相垂直B. 内角和为360°C. 对角线相等D. 对角线平分内角2．(2019河池)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图3．(2019毕节)如图，点E在正方形ABCD边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为()A. 3B. 3C. 5D. 5第3题图4．如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是()A．45°B．30°C．22.5°D．20°第4题图5．(2018梧州)如图，在正方形ABCD中，A，B，C三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)，将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是()A. (－6，2)B. (0，2)C. (2，0)D. (2，2)第5题图6．[人教八下P67第1(3)题改编]如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为()第6题图A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°7．(2019兰州)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝()第7题图A. 12B.22C. 3－1D. 2－18．(2019包头)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，点E ，F 分别在边BC 和CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝60°，则CF 的长是( )A. 3＋14B. 32C. 3－1D. 23第8题图9．(2019菏泽)如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是________．第9题图10．(2019扬州)如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN .若AB ＝7，BE ＝5，则MN ＝________．第10题图11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C 的坐标是________．第11题图12.(数学文化)(2019大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么(a－b)2的值是________．第12题图13．(2019黄冈)如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.第13题图1．(2018天津)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是()A. ABB. DEC. BDD. AF第1题图2．(2019绍兴)正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积()A. 先变大后变小B. 先变小后变大C. 一直变大D. 保持不变第2题图3．(2019乐山模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边BC，CD的延长线上的动点，且CE＝DF，连接AE、BF，交于点G，连接DG，则DG的最小值为________．第3题图(2019威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝10 cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F.E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为y cm2，E点的运动时间为x秒．(1)求证：CE＝EF；(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求△BEF面积的最大值．题图备用图参考答案课时1矩形基础过关1．D2．A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BM＝DN，∴OM＝ON，∴四边形AMCN 是平行四边形．当OM ＝12AC 时，MN ＝AC ，∴四边形AMCN 是矩形，故选A .3．A 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，CD ∥AB ，∴∠DBA ＝∠1＝35°，∴∠CBD ＝55°，由折叠性质可知∠C ′BD ＝∠CBD ＝55°，∴∠2＝∠C ′BD －∠DBA ＝20°.4．C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∵ED ＝5，EC ＝3，∴DC 2＝DE 2－CE 2＝25－9＝16，∴DC ＝4，AB ＝4，∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAE ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴BE ＝AB ＝4，∴矩形ABCD 的周长为2(4＋3＋4)＝22.5．D 【解析】∵矩形ABCD 中，A (－2，0)，B (2，0)，C (2，2)，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝2，∵将AB 绕点A 旋转，使点B 落在边CD 上的点E 处，∴AE ＝AB ＝4，∴DE ＝AE 2－AD 2＝23，∴点E 坐标为(23－2，2)．6．C 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝OB ，∵∠EAD ＝3∠BAE ，∴4∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝22.5°，∵AE ⊥BD ，∴∠ABE ＝90°－∠BAE ＝67.5°，∴∠BAO ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°.7．C 【解析】∵点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OE ∥AB ，∴OE ＝12CD ＝12AB ＝3，点E 为AD 中点，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求得BE ＝213.在Rt △ABC 中，利用勾股定理求得AC ＝10.∴BO ＝OC ＝12AC ＝5.△BOE 的周长为5＋3＋213＝8＋213.8．C 【解析】如解图，作PM ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ，则四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴S △ADC ＝S △ABC ，S △AMP ＝S △AEP ，S △PBE ＝S △PBN ，S △PFD ＝S △PDM ，S △PFC ＝S △PCN ，∴S 矩形DFPM ＝S 矩形BEPN ，∴S △DFP ＝S △PBE ＝12×2×8＝8，∴S 阴影＝8＋8＝16.第8题解图9．16 【解析】∵M 、N 分别为BC 、OC 的中点，∴MN 是△OBC 的中位线，∴OB ＝2MN ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝2OB ＝16.10．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝OB ＝OD ，且AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵AB＝4，在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝8，则BC＝43，∴S四边形ABCD＝4×43＝16 3.11．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF(AAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形.12．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵△ABC平移得到△DEF，∴∠ABC＝∠DEF.∴∠DEF＝∠ACB.即△OEC为等腰三角形；(2)解：如解图，当E为BC中点时，四边形AECD为矩形．理由如下：∵AB＝AC，且E为BC的中点，∴AE ⊥BC ，BE ＝EC ， ∵△ABC 平移得到△DEF ， ∴BE ∥AD ，BE ＝AD ， ∴AD ∥EC ，AD ＝EC ， ∴四边形AECD 为平行四边形， 又∵AE ⊥BC ，∴四边形AECD 为矩形．第12题解图能力提升1．D 【解析】如解图，当B 、E 重合时，α最小，∵在△BMF 和△DMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BMF ＝∠DMC ，∠F ＝∠C ，BF ＝DC ，∴△BMF ≌△DMC (AAS)，∴BM ＝DM ，设FM ＝x ，则DM ＝BM ＝8－x ，在Rt △BFM 中，由勾股定理得22＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝154，∴tan α＝BF FM ＝2154＝815.第1题解图2．210－2 【解析】如解图，∵AE ⊥BE ，∴点E 在以AB 为直径的半圆⊙上，连接CO 交⊙O 于点E ′，∴当点E 落在OC 上时，即点E 在E ′处，线段CE 取得最小值，∵AB ＝4，∴OA ＝OB ＝OE ′＝2.∵BC＝6，∴OC ＝BC 2＋OB 2＝62＋22＝210，则CE ′＝OC －OE ′＝210－2.第2题解图满分冲关1．C 【解析】①∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE BC ＝AF CF ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD ＝12BC ，∴AF CF ＝12，∴CF ＝2AF ，故①错误；②如解图①，过点D 作DM ∥BE 交AC 于点N ，交BC 于点M ，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ，∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DM 垂直平分CF ，∴DF ＝DC ，∴AB ＝DF ，故②正确；③∵BE ⊥AC ，∠BAD ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，而∠BAE ＝∠ADC ＝90°，∴△BAE ∽△ADC ，∴ABAE ＝AD CD ，∴AE ×AD ＝AB ×CD ，∴12BC ×BC ＝AB 2，∴AB 2＝12BC 2，∴AB ＝22BC ，∵AB ＝DF ，∴DF ＝22BC ，故③正确；④如解图②，连接CE ，由△AEF ∽△CBF ，可得EF BF ＝AF CF ＝12，设△AEF 的面积为s ，则△ABF的面积为2s ，△CEF 的面积为2s ，∴△ACE 的面积为3s ，∵E 是AD 的中点，∴△CDE 的面积为3s ，∴四边形CDEF 的面积为5s ，∴S 四边形CDEF ＝52S △ABF ，故④正确．图①图②第1题解图2．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO ，∴∠DCE ＝∠BEC ， ∵CE 平分∠BCD ， ∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°， ∴∠BCE ＝∠BEC ＝45°， ∴BE ＝BC ，∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ， ∴∠BOC ＝60°，∠OBA ＝30°， ∵∠BOC ＝60°，BO ＝CO ， ∴△BOC 是等边三角形， ∴BC ＝BO ＝BE ，且∠OBA ＝30°， ∴∠BOE ＝75°；(2)如解图①，过点H 作FH ⊥BC 于F ， ∵△BOC 是等边三角形， ∴∠FBH ＝60°，FH ⊥BC ， ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF ， ∵∠BCE ＝45°，FH ⊥BC ， ∴CF ＝FH ＝3BF ， ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1， ∴BF ＝3－12， ∴FH ＝3－32，∴S △BCH ＝12×BC ×FH ＝3－34；第2题解图①(3)如解图②，过点C作CN⊥BO于N，∵△BOC是等边三角形，∴∠FBH＝60°，FH⊥BC，∴BH＝2BF，FH＝3BF，∵∠BCE＝45°，FH⊥BC，∴CF＝FH＝3BF，∴BC＝3BF＋BF＝BO＝BE，∴OH＝OB－BH＝3BF－BF，∵∠CBN＝60°，CN⊥BO，∴CN＝32BC＝3＋32BF，∵S△CHO∶S△BHE＝12×OH×CN∶12×BE×BF，∴S△CHO∶S△BHE＝3－32.第2题解图②课时2 菱 形基础过关1．D 【解析】菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，其对角线互相垂直且平分，但不一定相等． 2．D 【解析】根据菱形的性质可知：∠DAB ＝180°－∠D ＝30°，∠1＝12∠DAB ＝15°.3．D4．C 【解析】∵菱形的对角线互相垂直且平分，∴另一条对角线长为2×32－1＝4 2.5．C 【解析】∵四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，当AB ＝AD 或AC ⊥BD 时，均可判定四边形ABCD 是菱形；当AC ＝BD 时，可判定四边形ABCD 是矩形；当∠ABD ＝∠CBD 时，由AD ∥BC 得∠CBD ＝∠ADB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．6．A 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝5，∠COD ＝90°.在Rt △COD 中，OE 是CD 边上的中线，∴OE ＝12CD ＝2.5.7．C 【解析】∵A (2，0)，B (0，1)，∴OA ＝2，OB ＝1，在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝22＋12＝5，∵四边形ABCD 为菱形，∴菱形ABCD 的周长为4AB ＝4 5.8．B 【解析】∵AB ＝AD ，点O 是BD 的中点，∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝∠DAO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ，∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形，∵AB ＝5，BO ＝12BD ＝4，∴AO ＝3，∴AC ＝6，∴四边形ABCD 的面积为12×6×8＝24.9．C 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB .∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形．∵P 为AB 中点，∴∠ADP ＝12∠ADB ＝30°.∵AB ∥CD ，∴∠ADC ＝120°.∴∠CDP ＝90°.由折叠的性质可知，∠CDE ＝∠C ′DE ＝12∠CDP ＝45°.第9题解图10．4 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∠ACD ＝30°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝2∠ACD ＝60°，AB ＝AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝4.11．70 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝100°，∴∠ACD ＝12∠BCD ＝50°，在△BCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCE ＝∠DCE CE ＝CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠CDE ＝∠CBE ＝20°，∴∠AED ＝∠ACD＋∠CDE ＝70°.12.245 【解析】∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×AC ×8＝24，∴AC ＝6，∴OC ＝12AC ＝3，∴BC ＝42＋32＝5.∵BC ·AH ＝OB ·AC ，∴AH ＝245.13．(1)证明：在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∵BE ＝DF ，∴AE ＝CF ，AE ∥CF ， ∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵BE ＝DF ＝32，AB ＝4，∴AE ＝AB －BE ＝52.在Rt △BCE 中，CE 2＝BE 2＋BC 2， ∴CE 2＝(32)2＋22，∴CE ＝52，∴CE ＝AE .∴平行四边形AECF 是菱形；(2)解：如解图，连接AC ，交EF 于点O ， ∵在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝2， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝2 5. ∵AC ·EF ·12＝AE ·BC ，∴25×EF ×12＝52×2，∴EF ＝ 5.第13题解图14．解：(1)四边形EBGD 是菱形． 理由：∵EG 垂直平分BD ， ∴EB ＝ED ，GB ＝GD ， ∴∠EBD ＝∠EDB ， ∵BD 平分∠ABC ， ∵∠EBD ＝∠DBC ， ∴∠EDF ＝∠GBF ， 在△EFD 和△GFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EDF ＝∠GBF DF ＝BF ∠EFD ＝∠GFB， ∴△EFD ≌△GFB (ASA)，∴ED ＝BG ，∴BE ＝ED ＝DG ＝GB ， ∴四边形EBGD 是菱形； (2)如解图，作DH ⊥BC 于H .∵四边形EBGD 为菱形，ED ＝DG ＝2，∠ABC ＝30°，∴∠DGH ＝30°， ∴DH ＝1，GH ＝3， ∵∠C ＝45°， ∴DH ＝CH ＝1， ∴GC ＝GH ＋CH ＝1＋ 3.第14题解图15．(1)证明：∵AB ∥DC ， ∴∠FCO ＝∠EAO . 在△CFO 和△AEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FCO ＝∠EAO OC ＝OA ∠FOC ＝∠EOA， ∴△CFO ≌△AEO (ASA)， ∴OF ＝OE ， 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；(2)解：∵四边形AECF 是菱形，EF ＝8， ∴OE ＝12EF ＝12×8＝4，又∵在Rt △AEO 中，AE ＝5，∴由勾股定理得OA ＝AE 2－OE 2＝52－42＝3， ∴AC ＝2AO ＝2×3＝6，∴S 菱形AECF ＝12EF ·AC ＝12×8×6＝24.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ， ∴∠BAC ＝∠DAC . ∵AB ＝AD ，BE ＝DF ，∴AB －BE ＝AD －DF ，即AE ＝AF . ∴△AEF 是等腰三角形． 又∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴AC ⊥EF ；(2)解：由题意作图如解图， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，OB ＝12BD ＝12×4＝2.∴∠G ＝∠AEG . 由(1)知EF ⊥AC . 又∵BD ⊥AC . ∴EF ∥BD .∴∠AEG ＝∠ABO . ∴∠G ＝∠ABO . ∵tan G ＝12，∴tan ∠ABO ＝AO OB ＝12.∴AO ＝OB ·tan ∠ABO ＝2×12＝1.第16题解图能力提升1．D 【解析】如解图，过点E 作EN ⊥AB 于点N ，连接AC ，∵四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E 、F 在BD 上，∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，∴∠ABD ＝30°，∠EAC ＝15°，∠BAC ＝60°，∠BAE ＝45°，设AN ＝x ，则NE ＝x ，AE ＝2x ，BN ＝NE tan 30°＝3x ，∴AB AE ＝x ＋3x2x＝6＋22.第1题解图2．C 【解析】在菱形ABCD 中，∵AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝60°.∴△BAC 为等边三角形．∴CB ＝CA ，∠CBA ＝∠CAD .又∵BE ＝AF ，∴△BEC ≌△AFC (SAS)．故①正确；由①得．CE ＝CF ，∠BCE ＝∠ACF .∴∠ECF ＝∠BCA ＝60°.∴△ECF 为等边三角形．故②正确；∴∠CFG ＝∠CAE ＝60°.∴∠CGF ＝∠AFC .又∵∠AGE ＝∠CGF ，∴∠AGE ＝∠AFC .故③正确；由③得：△AGE ∽△BEC 由△AGE ∽△BEC 可知：AE BC ＝AG BE ＝EG EC ＝34，∴EG ＝34EC ＝34EF .∴GF EG ＝13.故④错误．满分冲关92 【解析】如解图，在CD 上截取一点H ，使得CH ＝13CD ，连接AC 、BD 相交于点O ，BD 交EF 于点Q ，EG 交AC 于点P ，∵AE AB ＝AG AD ＝13，∴EG ∥BD ，同法可证：FH ∥BD ，∴EG ∥FH ，同法可证：EF ∥GH ，∴四边形EFHG 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥EG ，∴四边形EFHG 是矩形，易证点O 在线段FG 上，四边形EQOP 是矩形，∵S △EFG ＝1，∴S 矩形EQOP＝12，即OP ·OQ ＝12，∵OP ∶OA ＝BE ∶AB ＝2∶3，∴OA ＝32OP ，同法可证OB ＝3OQ ，∴S菱形ABCD＝12·AC ·BD ＝12×3OP ×6OQ ＝9OP ×OQ ＝92.解图课时3正方形基础过关1．C【解析】逐项分析如下：2.C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.∵BE＝CF，∠ABE＝∠BCF，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，∴∠BFC＝∠AEB.∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC＝∠AEB.∴与∠AEB相等的角有3个．3. B【解析】∵EC＝2，EB＝1，∠B＝90°，利用勾股定理可得BC＝3，则正方形ABCD的面积为(3)2＝3.4．C【解析】在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE ＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°.5．B【解析】根据正方形的性质结合题图可知，点D的坐标为(－3，2)，将正方形ABCD向右平移3个单位，根据平移的规律，可得平移后点D的坐标是(0，2)．6．C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°＋15°＝60°.7．D【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝∠DCM＝45°，BC＝CD＝ 2.∴AC＝BD＝2.∴OC ＝1.由折叠的性质知，DE＝CD＝2，CF＝EF，∴BE＝2－2，∠DFC＝90°，∴∠CDM＋∠DCE＝90°.又∠BCE＋∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠CDM.∴△BCE≌△CDM.∴BE＝CM＝2－ 2.∴OM＝OC－CM＝1－(2－2)＝2－1.8．C【解析】如解图，连接EF.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝1，∠ABE＝∠ADF＝90°，又∵AE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌△Rt △ADF (HL)．∴BE ＝DF ，∴EC ＝FC ，设EC ＝FC ＝x ，则BE ＝1－x ，∴AE ＝AF ＝1＋（1－x ）2＝x 2－2x ＋2.∵∠EAF ＝60°，AE ＝AF ，∴△EAF 为等边三角形，∴EF ＝AE ＝AF ＝x 2－2x ＋2.∴EF EC ＝x 2－2x ＋2x＝2，解得x 1＝3－1，x 2＝－3－1(舍去)．∴CF 的长为3－1.第8题解图9．85 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴CD ＝AD ，∠DAE ＝∠DCF ＝45°，BD ⊥AC .∵AE ＝CF , ∴△DAE ≌△DCF (SAS), ∴DE ＝DF ，同理可证：DE ＝BE ，BE ＝BF ，∴四边形BEDF 是菱形，∵AC ＝8，AO ＝OD ，AE ＝2，∴OE ＝2，OD ＝4，∴DE ＝OD 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.∴四边形BEDF 的周长为4DE ＝8 5.第9题解图10.132 【解析】 如解图，连接FC ，则MN ＝12CF ，在Rt △CFG 中，FG ＝5，CG ＝5＋7＝12，∴CF＝52＋122＝13，∴MN ＝132.第10题解图11．(1，－1) 【解析】如解图，连接AC .∵四边形OABC 是正方形，∴点A 、C 关于x 轴对称，∴AC 所在直线为OB 的垂直平分线，即A 、C 的横坐标均为1，根据正方形对角线相等的性质，AC ＝BO ＝2，又∵A 、C 关于x 轴对称，∴A 点纵坐标为1，C 点纵坐标为－1，故C 点坐标(1，－1)，第11题解图12．1 【解析】设大正方形的边长为c ，∵大正方形的面积是13，∴c 2＝13，∴a 2＋b 2＝c 2＝13，∵直角三角形的面积是13－14＝3，又∵直角三角形的面积是12ab ＝3，∴ab ＝6，∴(a －b )2＝a 2＋b 2－2ab ＝13－2×6＝1.13．证明：∵BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，∴∠DGA ＝AFB ＝90°，∠ABF ＋∠F AB ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AB ＋∠DAG ＝90° ，AB ＝AD ， ∴∠DAG ＝∠ABF ，∠DGA ＝∠AFB . 在△DAG 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠AFB ∠DAG ＝∠ABF ，AD ＝AB∴△DAG ≌△ABF (AAS)， ∴AF ＝DG , BF ＝AG ， ∴FG ＝AG －AF ＝BF －DG ， ∴BF －DG ＝FG .能力提升1．D 【解析】如解图，连接CE 交BD 于点P ，则P 即为所求点. ∵四边形ABCD 为正方形，BD 为对角线，∴点A 关于BD 的对称点为C ，AP ＋EP 的最小值为CE . 又∵AD ∥BC ，AE ＝CF ，∴四边形AECF 为平行四边形，∴AF ＝CE , ∴AP ＋EP 的最小值为AF .第1题解图2．D 【解析】如解图，连接DE ，∵在正方形ABCD 中，S △DEC ＝12AD ·CD ＝12S 正方形ABCD ，在矩形ECFG中，S △DEC ＝12EC ·GE ＝12S 矩形ECFG .而点E 从点A 移动到点B 的过程中，△DEC 的面积保持不变，∴矩形ECFG的面积保持不变．第2题解图3．6－25 【解析】如解图，延长AF 交DC 的延长线于点H .∵点E 是CD 的中点，∴CE ＝DE ＝12×4＝2，由勾股定理得AE ＝42＋22＝2 5.∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAF ＝∠EAF .∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠H ，∴∠EAF ＝∠H ，∴EH ＝AE ，∴CH ＝25－2.∵AB ∥CD ，∴△HCF ∽△ABF ，∴CF BF ＝CH BA ，即CF BC －CF ＝CHBA ，∴CF4－CF＝25－24，解得CF ＝6－2 5.第3题解图4.5－1 【解析】在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠ABC ＝∠BCD BE ＝CF，∴△ABE ≌△BCF (SAS)，∴∠BAE ＝∠CBF ，∵∠CBF ＋∠ABF ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°，∴点G在以AB为直径的圆上，如解图，连接OG，当O、G、D在同一直线上时，DG有最小值，∵在正方形ABCD中，AD＝BC＝2，∴AO＝1＝OG，∴OD＝AD2＋AO2＝22＋12＝5，∴DG＝5－1.第4题解图满分冲关(1)证明：如解图，过点E分别作AB、BC的垂线，垂足分别为点G、H，则四边形GBHE为矩形．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC.∵BD是对角线，∴BD所在直线是正方形的对称轴，∴CE＝AE，EG＝EH，∴四边形GBHE为正方形．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠GEH＝90°.∵∠AEG＋∠GEF＝90°，∠FEH＋∠GEF＝90°，∴∠AEG＝∠FEH.∵∠AGE＝∠FHE＝90°，∴△AGE≌△FHE(ASA)，∴AE＝EF，∴CE＝EF；解图(2)解：∵EF ＝EC ，EH ⊥BC ， ∴FH ＝HC .∵△EHB 是等腰直角三角形，BE ＝2x ， ∴EH ＝BH ＝2x ，∴HC ＝10－2x ， ∴FH ＝HC ＝10－2x ， ∴FB ＝10－22x ，∴y ＝12×(10－22x )×2x ＝－2x 2＋52x (0≤x ≤52)；(3)解：∵y ＝－2x 2＋52x ＝－2(x －524)＋254(0≤x ≤52)，a ＝－2＜0，∵x ＝524<52，∴当x ＝524时，y 有最大值，y 的最大值为0－（52）24×（－2）＝254，即△BEF 面积的最大值为254cm 2.。
专题10 图形的性质之选择题参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2019•连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A．B．C．D．【答案】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键．2．（2019•常州）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．3．（2019•苏州）如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（）A．126°B．134°C．136°D．144°【答案】解：如图所示：∵a∥b，∠1＝54°，∴∠1＝∠3＝54°，∴∠2＝180°﹣54°＝126°．故选：A．【点睛】此题主要考查了邻补角的性质以及平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．4．（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（）A．105°B．100°C．75°D．60°【答案】解：由题意知∠E＝45°，∠B＝30°，∵DE∥CB，∴∠BCF＝∠E＝45°，在△CFB中，∠BFC＝180°﹣∠B﹣∠BCF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：A．【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形．5．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10【答案】解：∵2+2＝4，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A错误，∵5+6＜12，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B错误，∵5+2＝7，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C错误，∵6+8＞10，∴6，8，10能组成三角形，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．6．（2019•淮安）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【答案】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选：B．【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．7．（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，∴点D是△ABC重心．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．8．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】解：①若n+2＜n+8≤3n，则，解得，即4≤n＜10，∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；②若n+2＜3n≤n+8，则，解得，即2＜n≤4，∴正整数n有2个：3和4；综上所述，满足条件的n的值有7个，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．（2019•盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（）A．2 B．C．3 D．【答案】解：∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE AC＝1.5．故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．10．（2019•镇江）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3【答案】解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF2，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．∵P A＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH，BJ，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴，∴，∴a，∴BC＝2a，故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC 与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．18m2C．24m2D．m2【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE BC＝6x，∴AD＝CE BE＝6x，AB＝AE+BE＝x+6x x+6，∴梯形ABCD面积S（CD+AB）•CE（x x+6）•（6x）x2+3x+18（x ﹣4）2+24，∴当x＝4时，S最大＝24．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；故选：C．【点睛】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．12．（2019•苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC AC＝2，OB＝OD BD＝8，∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，∴AO'＝AC+O'C＝6，∴AB'10；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．13．（2019•无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【答案】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．14．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵，∴∠CAB∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．6πB．62πC．6πD．62π【答案】解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣62）＝6π，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．16．（2019•苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°【答案】解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠OAD，∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，∴∠ADC∠AOB＝27°；故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC MP；④BP AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠D＝∠MEC＝90°，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴DM AD x，∴CM x，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴CM2＝CN•CP，∴CP x，∴PN＝CP﹣CN x，∴PM x，∴，∴PC MP，故③错误；∵PC x，∴PB＝2x x x，∴，∴PB AB，故④，∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，∴CE＝EG，∵∠CEM＝∠G＝90°，∴FE∥PG，∴CF＝PF，∵∠PMC＝90°，∴CF＝PF＝MF，∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．（2019•无锡）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B 的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【答案】解：连接OA，如图，∵P A是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠P AO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOP＝∠B+∠OAB，∴∠B∠AOP50°＝25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．19．（2019•常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2 B．C．0 D．【答案】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．。
2021中考数学 一轮专题汇编：矩形、菱形一、选择题1. （2020·南通） 下列条件中，能判定□ABCD 是菱形的是 A ．AC ＝BDB ．AB ⊥BCC ．AD ＝BDD ．AC ⊥BD2. （2020·抚顺本溪辽阳）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE ＝CE ，则OE 的长是（ ）A ．2 B．52C ．3D ．43. 如图，在▱ABCD中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BDC . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC4. （2020·牡丹江）如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为（2，23)，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为 （ ）A ．(2,23)--或(23,2)-B ．(2,23)C ．(2,23)-D ．(2,23)--或(2,23)5. （2020湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC ′D ′．若∠D ′AB ＝30°，则菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD 的面积之比是（ ）BOC AyA ．1B ．C ．D ．6. （2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，OH ＝4，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．72B ．24C ．48D ．967. 如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE ＝BF ，将∠AEH ，∠CFG 分别沿边EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116时，则AEEB 为( )A. 53B. 2C. 52 D. 48. （2020·泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：① DN ﹦BM ；②EM ∥FN ；③AE ﹦FC ；④当AO ﹦AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个二、填空题9. 已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是 .AB CDEFOMN10. （2020·菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_______．A BC D QP11. 如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm .12. 如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D ＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．13. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．14. 如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E ＝________度.15. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将∠BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将∠ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；∠∠DEF∠∠ABG ；∠S △ABG ＝32S △FGH ；∠AG ＋DF ＝FG. 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)16. 如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ＝2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C 、D 分别落在边BC 下方的点C ′、D ′处，且点C ′、D ′、B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB ＝t ，那么△EFG 的周长为______________（用含t 的代数式表示）．三、解答题17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∠AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．18. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.19. 已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．20. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm.如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.FQ∠BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)．(1)连接EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；(2)连接EP，设∠EPC的面积为y cm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；(3)若∠EPQ与∠ADC相似，请直接写出t的值．2021中考数学一轮专题汇编：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】根据菱形的定义和判断定理判断．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判断定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．只有D能够判断出四边形ABCD是菱形．故选D．2. 【答案】B【解析】根据菱形对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再结合等腰三角形的性质及判定得出OE ＝CE ＝DE ，从而求出．∵四边形ABCD 是菱形，∴OC ＝21AC ＝4， OD ＝21BD ＝3， AC ⊥DB ．∵OE ＝CE ，∴∠EOC ＝OE ∠DCO ．∵∠DOE ＋∠EOC ＝∠ODC ＋∠ECO ＝90°，∴∠DOE ＝∠ODC ，∴OE ＝DE ，∴OE ＝21DC ．在R t △DOC 中，CD ＝22OC OD ＝5，∴OE ＝21DC ＝52．故选项B正确．3. 【答案】C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．4. 【答案】D【解析】菱形OABC 中，点A 的坐标为（2，23)，所以OA=4，∠A=∠C=60°，分类讨论，①若顺时针旋转，旋转后的图形如图1所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C 对应点的坐标为（-2，-23)；②若逆时针旋转，旋转后的图形如图2所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C 对应点的坐标为（2，23).5. 【答案】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB 的一半，∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD 的面积为AB2．∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD 的面积之比是．故选：B ．【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．6. 【答案】 C【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ， ∵DH ⊥AB ，∴∠BHD ＝90°，∴BD ＝2OH ，∵OH ＝4，∴BD ＝8， ∵OA ＝6，∴AC ＝12，∴菱形ABCD 的面积．故选：C ．7. 【答案】A【解析】如解图，由折叠的对称性可知，∠A ＝∠J ，∠C ＝∠M ，四边形MNJK 和四边形BENF 都是菱形，则BE ＝NE ，AE ＝JE ，∠菱形MNJK 与菱yxA BCO y xABCO图1图2形ABCD 相似，且菱形MNJK 的面积是菱形ABCD 面积的116，∠⎝ ⎛⎭⎪⎫JN AB 2＝116，∠JN AB＝14，设JN ＝a ，EN ＝b ，则AB ＝4a ，∠AB ＝AE ＋EB ＝EJ ＋EN ＝JN ＋EN ＋EN＝JN ＋2EN ＝a ＋2b ，∠a ＋2b ＝4a ，∠a ＝23b ，AE BE ＝a ＋b b ＝53.8. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，所以∠DAN=∠BCM.因为BF ⊥AC ，DE ∥BF ，所以DE ⊥AC ，即∠AND=∠CMB=90°，所以△ADN ≌△CBM ，所以DN=BM ，∠AND=∠CBM ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE=CF 、DE=BF ，所以NE=MF ，即①②③都是正确的，由AE=CF 、AB=CD ，所以BE=DF ，所以四边形AEBF 是平行四边形. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AO=DO ，因为当AO ﹦AD 时，AO=DO=AO ，所以△ADO 是等边三角形，所以∠AND=∠BDE=30°，所以∠BDE=∠ABD=30°，所以DE=BE ，所以四边形DEBF 是菱形，则④也是正确的，因此本题选D ． 二、填空题 9. 【答案】2 [解析]∵菱形两对角线互相垂直且平分，较长对角线的一半为，∴菱形较短对角线的一半为=1.根据菱形面积等于两对角线长乘积的一半得:×2×2=2 .10. 【答案】317【解析】由于已知BC 的长，故可设想在R t △BCQ 中利用勾股定理求解，则需求CQ 的长，这可通过求DQ 的长得到，结合已知条件BP ＝BA ＝5，易知DQ ＝DP ，显然DP 可求，思路沟通．在矩形ABCD 中，∠BAD ＝90º，AB ＝5，AD ＝12，∴BD ＝22AD AB +＝13，又∵BP ＝BA ＝5，∴DP ＝13－5＝8，∠BAP ＝∠BP A ．∵AB ∥DQ ，∴∠BAP ＝∠PQD ，∴∠PQD ＝∠BP A ＝∠DPQ ，∴DQ ＝DP ＝8，∴CQ ＝8－5＝3．在R t △BCQ 中，BC =12，CQ =3，∴BQ ＝22312+＝317．11. 【答案】13【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.解图12. 【答案】(3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG∠BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．解图13. 【答案】105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在∠ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在∠DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.解图14. 【答案】15【解析】如解图，连接AC.∠四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∠AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图15. 【答案】①①①【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故∠正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与∠ABG 不相似，故∠不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故∠正确；∠AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故∠正确．综上，答案是∠∠∠.16. 【答案】．思路如下：如图，等边三角形EFG 的高＝AB ＝t ，计算得边长．三、解答题17. 【答案】 证明：∠DE∠AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，(2分)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOD ＝90°，(4分)∵四边形AODE 是平行四边形，∠AOD ＝90°，∴四边形AODE 是矩形．(5分)18. 【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD ，∴AE ∥DC ，∴∠EBO=∠DCO ，∠BEO=∠CDO ，∵点O 是边BC 的中点，∴BO=CO ，∴∠EBO ≌△DCO (AAS)，∴EO=DO ，∴四边形BECD 是平行四边形.(2)100 [解析]若四边形BECD 为矩形，则BC=DE ，BD ⊥AE ，又AD=BC ，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.19. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，AB=CD ，AD ∥BC ，∵AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE 和△CDF 中，B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDF(AAS)；(2)∵AD ∥BC ，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF 是矩形．20. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S =， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5， ∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ，∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.21. 【答案】(1)在矩形ABCD 中，∠AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∠CD ＝AB ＝6 cm ，AD ＝BC ＝8 cm ，∠BAD ＝∠ADC ＝∠DCB ＝∠B ＝90°， 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝10，∠FQ ∠BC ，∠∠FQC ＝90°，∠四边形CDFQ 是矩形，∠DF ＝QC ，FQ ＝DC ＝6 cm ，由题意知，BE ＝2t ，QC ＝DF ＝t ，∠EQ ＝BC －BE －QC ＝8－3t ，∠四边形EQDF 为平行四边形，∠FD ＝EQ ，即t ＝8－3t ，解得t ＝2；(2)∠∠FQC ＝90°，∠B ＝90°，∠∠FQC ＝∠B ，∠PQ ∠AB ， ∠∠CPQ ∠∠CAB ，∠PQ AB ＝QC BC ，即PQ 6＝t 8，∠PQ ＝34t ，∠S ∠EPC ＝12EC ·PQ ，∠y ＝12·(8－2t )·34t ＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3，即y ＝－34(t －2)2＋3，∠a ＝－34＜0，∠当t ＝2时，y 有最大值，y 的最大值为3；(3)t 的值为2或12857或12839.【解法提示】分两种情况讨论：若E 在FQ 左边，∠当∠EPQ ∠∠ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即34t 6＝8－3t 8，解得t ＝2；∠当∠EPQ ∠∠CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即34t 8＝8－3t 6，解得t ＝12857.若E 在FQ 右边，∠当∠EPQ ∠∠ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即34t 6＝3t －88，解得t ＝4(舍去)；∠当∠EPQ ∠∠CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即34t 8＝3t －86，解得t ＝12839.综上所述，若∠EPQ 与∠ADC 相似，则t 的值为：2或12857或12839.。
2019年全国中考数学真题分类汇编：正多边形、弧长与扇形面积一、选择题1.（2019年山东省青岛市）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．πB．2πC．2πD．4π【考点】切线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、弧长的计算【解答】解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．2.（2019年山东省枣庄市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A ．8﹣πB ．16﹣2πC ．8﹣2πD ．8﹣π【考点】正方形的性质、扇形的面积【解答】解：S 阴＝S △ABD ﹣S 扇形BAE ＝×4×4﹣＝8﹣2π， 故选：C ．3. （2019年云南省）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A.48πB.45πC.36πD.32π【考点】圆锥的全面积【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，∴ ππ82=r ，∴4=r ，圆锥的全面积等于πππππ4832162=+=+=+r rl S S 底侧， 故选A4. (2019年浙江省温州市)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π【考点】弧长公式计算．【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π． 故选：C ．5. （2019年湖北省荆州市）如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在上的点D 处，且l ：l ＝1：3（l 表示的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1：3B ．1：πC ．1：4D ．2：9【考点】圆锥的侧面积【解答】解：连接OD 交OC 于M ．由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，∴∠OAM＝30°，∴∠AOM＝60°，∵且：＝1：3，∴∠AOB＝80°设圆锥的底面半径为r，母线长为l，＝2πr，∴r：i＝2：9．故选：D．6. （2019年西藏）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm【考点】圆锥的侧面积【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA＝OB＝90cm，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OE＝OA＝45cm，∴弧CD的长＝＝30π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝30π，解得r＝15．故选：A．二、填空题1.（2019年重庆市）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【考点】扇形面积公式、菱形的性质【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．2. （2019年山东省滨州市）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．【考点】正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、三角函数【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；则OG＝2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．故答案为：．3. （2019年山东省青岛市）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．【考点】正多边形和圆、圆周角定理【解答】解：连接AD，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠ABC＝∠C＝108°，∴∠ABD＝72°，∴∠F＝∠ABD＝72°，∴∠FAD＝18°，∴∠CDF＝∠DAF＝18°，∴∠BDF＝36°+18°＝54°，故答案为：54．4. （2019年广西贵港市）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______．【考点】圆锥面积公式【解答】解：连接AB ，过O 作OM ⊥AB 于M ，∵∠AOB=120°，OA=OB ，∴∠BAO=30°，AM=， ∴OA=2，∵=2πr ， ∴r=故答案是：5. （2019年广西贺州市）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是度．【考点】圆锥面积公式【解答】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a ＝4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n °，根据题意得2π•1＝，解得n ＝90，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°．故答案为：90．6. （2019年江苏省泰州市）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm ，则该莱洛三角形的周长为 cm ．【考点】扇形弧长公式【解答】∵l=180R n π=1806120⨯π=4π, ∴4π×3=12π. 故答案为：12π.7.（2019年江苏省无锡市）已知圆锥的母线成为5cm ，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为 cm ．【考点】圆锥侧面积【解答】圆锥底面圆的半径r=15π÷5π=3.8. （2019年江苏省扬州市）如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=__15_。
