最新人教版九年级数学上册 21.2降次--解一元二次方程(第六课时)

a 5, b 4, c 1
△ b 2 4ac ( 4) 2 4 5 ( 1) 36＞0
则方程有两个不相等的实数根
x
x1
b
b 2 4ac
( 4) 36
46


2a
25
10
46
46
1
1, x2

10
10
5
探究新知
x

2a
2a

x
=
b
b 2 4ac
2a
−+ −
，

=
−− −

一元二次方程的求根公式
探究新知
公式法的概念
由上可知，一元二次方程
ax 2 bx c 0
（a 0）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程
2
等的实数根.
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.
2. 求出 ∆ 的值.
b b 2 4ac
3. (1)当 ∆ >0 时，代入求根公式 :x
2a
写出一元二次方程的根.
（4）x2+17=8x
2
x
8 x 17 0
解：原方程可化为
a 1, b 8, c 17
△ b 2 4ac (8) 2 4 117 4＜0
方程无实数根.
探究新知
方法点拨
（1）当 △ b 4ac＞0时，一元二次方程有两个不

2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】【人教版】【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 (1)【题型2 用配方法解一元二次方程】 (2)【题型3 用公式法解一元二次方程】 (4)【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 (5)【题型5 用指定方法解一元二次方程】 (6)【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 (12)【题型7 用换元法解一元二次方程】 (14)【题型8 配方法的应用】 (17)【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】【例1】（2022•建华区二模）解方程：−13（x ﹣2）2+34=0（开平方法）．【分析】先把方程变形为（x ﹣2）2=94，再两边开方得到x ﹣2＝±32，然后解两个一次方程即可．【解答】解：−13（x ﹣2）2+34=0，−13（x ﹣2）2=−34，（x ﹣2）2=94，x ﹣2＝±32，所以x 1=72，x 2=12．【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x +3）2＝（3x +2）2（开平方法）．【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【变式1-2】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．【分析】直接开方，再解一元一次方程即可．【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，∴2（x+1）＝±3（x﹣2），∴x1＝8，x2=4 5．【变式1-3】（2022春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2=41−a，当1﹣a＞0，即a＜1时，x＝当1﹣a＜0，即a＞1时，无解．来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 用配方法解一元二次方程】【例2】（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：（1）方程整理得：x 2﹣3x =−32，配方得：x 2﹣3x +94=94−32，即（x −32）2=34，开方得：x −32=解得：x 1=32+x 2=32−（2）方程整理得：x 2+b a x =−c a ，配方得：x 2+b a x +b 24a 2=b 24a 2−c a ，即（x +b 2a ）2=b 2−4ac 4a 2，开方得：x +b 2a =解得：x 1=x 2=【变式2-1】（2022秋•松江区期末）用配方法解方程：x 2=4．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x 2=4，∴x 2﹣+5＝4+5，即（x 2＝9，∴x 3或x =−3，∴x 1＝3x 2＝﹣3+【变式2-2】（2022秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x 2﹣8x ﹣7＝0．【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可．【解答】解：4x 2﹣8x ﹣7＝0，4x 2﹣8x ＝7，x 2﹣2x =74，配方得x 2﹣2x +12=74+1，（x ﹣1）2=114，x ﹣1＝x ＝∴x1＝1x2＝1【变式2-3】（2022秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法）【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．【解答】解：∵2x2﹣5x＝﹣1，∴x2−52x=−12，∴x2−52x+2516=−12+2516，即（x−54）2=1716，则x−5 4 =∴x【题型3 用公式法解一元二次方程】【例3】（2022春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a．【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式，再利用公式法进行计算即可解答．【解答】解：2a2﹣3＝﹣4a，整理得：2a2+4a﹣3＝0，∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40，∴a=∴a1a2=【变式3-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．【分析】整理成一般式，先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0，∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4，∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0，∴x=∴x1x2=【变式3-2】（2022秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣﹣3＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，∴x=∴x1=x2=【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．【分析】方程利用公式法求出解即可．【解答】解：方程2x2﹣7x+6＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝6，∵Δ＝49﹣48＝1＞0，∴x=7±1 4，则x1＝2，x2＝1.5．转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4 用因式分解法解一元二次方程】【例4】（2022秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（2﹣3x）＝0，∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，解得x1＝3，x2=2 3．【变式4-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【分析】利用提取公因式（4﹣3x），将左边因式分解，再进一步求解即可．【解答】解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0，∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0，则4﹣3x＝0或5﹣3x＝0，解得x1=43，x2=53．【变式4-2】（2022秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，可得4﹣x＝0或3x+2＝0，解得：x1＝4，x2=−2 3．【变式4-3】（2022秋•简阳市月考）用因式分解法解方程：x2+0【分析】利用因式分解法把方程化为x=0或x+=0，然后解一次方程即可．【解答】解：（x x+0，x=0或x+=0，所以x1=x2=【题型5 用指定方法解一元二次方程】【例5】（2022秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：（1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x2＝8x+9（配方法）；（3）2y2+7y+3＝0（公式法）；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）．【分析】（1）移项，然后开平方即可求解；（2）首先移项，然后配方，利用直接开平方法即可求解；（3）利用公式法即可求解；（4）移项，然后利用因式分解法即可求解．【解答】解：（1）（x+1）2＝144，则x+1＝12或x+1＝﹣12，解得：x1＝﹣13，x2＝11；（2）移项，得：x2﹣8x＝9，配方，得x2﹣8x+16＝25，则（x﹣4）2＝25，即x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5，解得：x1＝9，x2＝﹣1；（3）a＝2，b＝7，c＝3，△＝49﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0．则x=−7±54，则x1＝﹣3，x2=−1 2；（4）原式即3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，因式分解得：（x﹣2）【3（x﹣2）﹣x】＝0，即（x﹣2）（2x﹣6）＝0，则x﹣2＝0或2x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝3．【变式5-1】（2022秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程：（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解）（3）x2+5x+1＝0（用公式法解）（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法）【分析】（1）先提取公因式（x﹣2）因式分解，再求解即可；（2）先利用完全平方公式配方，然后开平方求解即可；（3）写出a、b、c的值，然后利用求根公式法求解；（4）直接开平方求解即可．【解答】解：（1）因式分解得，（x﹣2）（x+1）＝0，由此得，x﹣2＝0，x+1＝0，所以，x1＝2，x2＝﹣1；（2）配方得，x2﹣4x+4﹣4+3＝0，即（x﹣2）2＝1，所以，x﹣2＝±1，所以，x1＝3，x2＝1；（3）a＝1，b＝5，c＝1，Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×1＝25﹣1＝24，xx1x2=（4）开平方得，x﹣4＝±（5﹣2x），所以，x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5，解得x1＝3，x2＝1．【变式5-2】（2022秋•简阳市月考）解下列方程（1）（2x﹣1）2＝7（直接开平方法）（2）2x2﹣7x﹣4＝0（用配方法）（3）2x2﹣10x＝3（公式法）（4）（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2（因式分解法）（5）x2+=26（用换元法解）（6）（2x2+1）2﹣2x2﹣3＝0（用换元法解）【分析】（1）用直接开平方法求解就可以了；（2）先将常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后配方为完全平方公式后直接用开平方法求解就可以；（3）先化为一般形式，然后确定a、b、c的值，最后代入求根公式求解就可以了；（4）先移项，然后用平方差公式分解因式就可以求出结论；（5a，将原方程变形为a2﹣a＝30，再解一个关于a的一元二次方程求解；（6）将原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，再设2x2+1＝a，就可以变为a2﹣a﹣2＝0，最后可以运用因式分解法求解．【解答】解：（1）开平方，得2x﹣1＝∴x1x2（2）移项，得2x2﹣7x＝4，化二次项的系数为1，得x2−72x＝2，配方，得x2−72x+4916=2+4916，（x−74）2=8116开平方，得x−74=±94，∴x1＝4，x2=−1 2；（3）移项，得2x2﹣10x﹣3＝0，∴a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，∴△＝100+24＝124＞0，∴x∴x1x2=（4）移项，得（3x﹣4）2﹣（3﹣4x）2＝0分解因式，得（3x﹣4+3﹣4x）（3x﹣4﹣3+4x）＝0，∴﹣x﹣1＝0或7x﹣7＝0，∴x1＝﹣1，x2＝1；（5）原方程变形为：x2+30，a，将原方程变形为：a2﹣a＝30，移项，得a2﹣a﹣30＝0，因式分解，得（a+5）（a﹣6）＝0，∴a+5＝0或a﹣6＝0，∴a1＝﹣5（舍去），a2＝6，6，解得：x＝经检验，x＝（6）原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，设2x2+1＝a，则原方程变为：a2﹣a﹣2＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝2，当a＝﹣1时，2x2+1＝﹣1，Δ＜0，原方程无解，当a＝2时，2x2+1＝2，解得：x＝【变式5-3】（2022秋•恩阳区月考）解方程：①x2+x+=0（因式分解法）②5x2+2x﹣1＝0（公式法）③y 2+6y +2＝0（配方法）④9（x ﹣2）2＝121（x +1）2（直接开平方法）⑤x 1x 2−2x 2x 1=1（换元法）⑥（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0（适当方法）【分析】①根据方程特点，采用因式分解法解答．②根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得．③可以先移项，然后利用配方法解答．④利用直接开平方法解答；⑤移项整理，利用换元法求得未知数的解即可．⑥利用换元法解答．【解答】解：①x 2+x +0，（x x +0，∴x +=0或x +=0，∴x 1=x 2=②5x 2+2x ﹣1＝0，a ＝5，b ＝2，c ＝﹣1，Δ＝b 2﹣4ac ＝4+20＝24，x所以x 1=x 2③y 2+6y +2＝0，y 2+6y ＝﹣2，y 2+6y +9＝﹣2+9，即（y +3）2＝7，∴y +3∴y 1＝﹣3+y 2＝﹣3④9（x ﹣2）2＝121（x +1）2，3（x ﹣2）＝±11（x +1），∴3（x ﹣2）＝11（x +1）或3（x ﹣2）＝﹣11（x +1），∴x 1=−178，x 2=−514；⑤x 1x 2−2x 2x 1=1，x 1x 2−2x 2x 1−1＝0，设y =x 1x 2，则原方程为y −2y −1＝0，y 2﹣y ﹣2＝0，解得：y ＝﹣1，或y ＝2，当y ＝﹣1，x 1x 2=−1，此方程无解；当y ＝2，x 1x 2=2，解得：x 1＝1，x 2=−12，经检验，x 1＝1，x 2=−12是原分式方程的解，所以原方程的解为x 1＝1，x 2=−12．⑥（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0，设y ＝x 2﹣x ，则原方程为y 2﹣5y +6＝0，解得：y ＝3，或y ＝2，当y ＝3，x 2﹣x ＝3，x 1=x 2=当y ＝2，x 2﹣x ＝2，解得：x 3＝2，x 4＝﹣1；所以原方程的解为x 1x 2x 3＝2，x 4＝﹣1．【题型6 用适当的方法解一元二次方程】【例6】（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x +4）2﹣5（x +4）＝0；（2）x 2﹣2x ﹣15＝0．【分析】（1）等式左边可提取公因式（x +4），转化为（x +4）（x ﹣1）＝0求解；（2）根据十字相乘法可将方程变形为（x +3）（x ﹣5）＝0，由此可得同解方程x +3＝0或x ﹣5＝0，据此求解．【解答】解：（1）（x +4）2﹣5（x +4）＝0，将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0，即x+4＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1．（2）x2﹣2x﹣15＝0，将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0，则x+3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝﹣3，x2＝5．【变式6-1】（2022春•大观区校级期中）用适当的方法解方程（1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．【分析】（1）利用公式法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，x所以x1=x2=（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．（x+1）（x+1﹣3）＝0，x+1＝0或x+1﹣3＝0，所以x1＝﹣1，x2＝2．【变式6-2】（2022春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣x﹣6＝0；（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2．【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣6＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，则x ﹣3＝0或x +2＝0，解得x 1＝3，x 2＝﹣2；（2）∵4（x ﹣1）2＝9（x ﹣5）2，∴4（x ﹣1）2﹣9（x ﹣5）2＝0，∴[2（x ﹣1）+3（x ﹣5）][2（x ﹣1）﹣3（x ﹣5）]＝0，则2（x ﹣1）+3（x ﹣5）＝0或2（x ﹣1）﹣3（x ﹣5）＝0，解得x 1＝13，x 2=175．【变式6-3】（2022春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程．（1）2x （x ﹣1）＝3（x ﹣1）；（2）12x 2﹣5＝0．【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程移项得：2x （x ﹣1）﹣3（x ﹣1）＝0，分解因式得：（x ﹣1）（2x ﹣3）＝0，所以x ﹣1＝0或2x ﹣3＝0，解得：x 1＝1，x 2=32；（2）方程整理得：x 2＝10，配方得：x 2+8＝18，即（x 2＝18，开方得：x =解得：x 1=x 2＝﹣【题型7 用换元法解一元二次方程】【例7】（2022秋•安居区期末）为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0，我们可以将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解此方程得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2﹣1＝1，所以x =±当y ＝4时，x 2﹣1＝4，所以x =±所以原方程的根为x 1=x 2=x 3x 4=以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，解此方程得：a1＝a2＝2，当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；（2）x4+x2﹣12＝0，设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣4，当y＝3时，x2＝3，解得：x=±当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是x1=x2=【变式7-1】（2021春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1=x2=x3＝2，x4＝﹣2．以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；（2）已知实数a满足（a2+2﹣3a2＝2的值．【分析】（1）先设y＝x2+3x，则原方程变形为2y2﹣3y﹣2＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2=−1 2，再把y＝2和−12分别代入y＝x2+3x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；（2）设y ＝a 2y 2﹣3y ﹣10＝0，运用因式分解法解得y 1＝﹣2，y 2＝5，再把y ＝5代y ＝a 2得到a 2+5，即可求得a 2＝52的值．【解答】解：（1）设y ＝x 2+3x ，则2y 2﹣3y ﹣2＝0，则（y ﹣2）（2y +1）＝0，解得y 1＝2，y 2=−12，当x 2+3x ＝2，即x 2+3x ﹣2＝0时，解得x =当x 2+3x =−12，即x 2+3x +12=0时，解得x =综上所述，原方程的解为x 1=x 2x 3x 4=（2）（a 2+2﹣3a 2＝a 22﹣3（a 2﹣10＝0，设y ＝a 2+y 2﹣3y ﹣10＝0，则（y +2）（y ﹣5）＝0，解得y 1＝﹣2，y 2＝5，当y ＝﹣2时，则a 2+=−2，无意义，舍去；当y ＝5时，则a 2+5，得到a 2＝5∴2=53﹣故2的值为3﹣【变式7-2】（2022秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知（x +y ﹣3）（x +y +4）＝﹣10，求x +y 的值．解：设t ＝x +y ，则原方程变形为（t ﹣3）（t +4）＝﹣10，即t 2+t ﹣2＝0∴（t +2）（t ﹣1）＝0得t 1＝﹣2，t 2＝1∴x +y ＝﹣2或x +y ＝1已知（x 2+y 2﹣4）（x 2+y 2+2）＝7，求x 2+y 2的值．【分析】根据举例进行解答即可．【解答】解：设t ＝x 2+y 2＞0∴（t ﹣4）（t +2）＝7t 2﹣2t ﹣15＝0，解得：t 1＝5，t 2＝﹣3（舍去）∴x 2+y 2＝5．【变式7-3】（2022秋•甘井子区月考）【例】解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0．解：设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0．解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得x ＝5．所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5．上述解法称为“整体换元法”．（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x ﹣5）2﹣（2x ﹣5）﹣2＝0；（2）已知x 2﹣xy ﹣y 2＝0，求x y 的值．【分析】（1）先设y ＝2x ﹣5，则原方程变形为y 2﹣y ﹣2＝0，运用因式分解法解得y 1＝2，y 2＝﹣1，再把y ＝2和﹣1分别代y ＝2x ﹣5得到关于x 的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；（2）x 2﹣xy ﹣y 2＝0，方程两边同时除以y 2，可得x 2−xy−y 2y 2=0，设x y =m ，方程可化为m 2﹣m ﹣1＝0，类似（1）的减法可得x y 的值．【解答】解：（1）设y ＝2x ﹣5，则原方程变形为y 2﹣y ﹣2＝0，解得y 1＝2，y 2＝﹣1，当y ＝2时，即2x ﹣5＝2，解得x ＝3.5；当y ＝﹣1时，2x ﹣5＝﹣1，解得x ＝2．所以原方程的解为x 1＝3.5，x 2＝2；（2）x 2﹣xy ﹣y 2＝0，方程两边同时除以y 2，得x 2−xy−y 2y 2=0，设x y =m ，方程可化为m 2﹣m ﹣1＝0，解得m 1m 2∴x y 的值为【题型8 配方法的应用】【例8】（2022秋•饶平县期末）已知a ，b ，c 满足a 2+2b ＝7，b 2﹣2c ＝﹣1，c 2﹣6a ＝﹣17，则a +b ﹣c 的值为（ ）A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．故选：A．【变式8-1】（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（ ）A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8【分析】将多项式a2+ab﹣b2进行变形，利用配方法可得（b+3）2﹣5，再根据偶次方的非负数性质解答即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴a2+ab﹣b2＝（b+2）2+b（a﹣b）＝b2+4b+4+2b＝b2+6b+4＝（b+3）2﹣5，∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．故选：A．【变式8-2】（2022春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝+则a+b+c的值是 ．【分析】先将条件配方成)2)2)2=0，根据完全平方式的非负性求出a、b和c的值即可．【解答】解：∵a+b+c+3＝++∴+++1=0，即)2)2)2=0，1＝0=0=0，解得a＝1，b＝5，c＝3．∴a+b+c＝1+5+3＝9．故答案为：9．【变式8-3】（2022春•临湘市期中）阅读材料例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据上面的方法解决下列问题：（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法后可得结论；（2）将多项式重新分组，改写成（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得结论．【解答】解：（1）∵m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9，∴当m＝2时，m2﹣4m﹣5有最小值，最小值是﹣9．故答案为：﹣9；（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，最小值是5．故答案为：5．。

自学检测
（2）移项，得：2x2＋6x＝－2
二次项系数化为1，得：x2＋3x＝－1
配方x2＋3x＋（ 3 ）2＝－1＋（ 3 ）2
2
2
+（x＋
3 2
5 ）2＝ 4
由此可得x＋
3 2
＝± 5
2
，即x1＝2 5
－3 2
，x2＝－2 5
－3 2
（3）去括号，整理得：x2＋4x－1＝0 移项，得x2＋4x＝1 配方，得（x＋2）2＝5 x＋2＝± 5 ，即x1＝ 5 －2，x2＝－ 5 －2
x＋3＝±5 （降次）
即 x＋3＝5 或 x＋3＝ －5 解一次方程，得： x1＝ 2 ，x2＝ －
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的 是为了降次，把一元二次方程转化为两个一 元一次方程．
自学指导
自学自2：学解2下：列解方下程列：方程：
((13))((4313xx))2234－＋xx22－＋11＝611x＝65＋x；5＋1；61(＝26)(＝942.()9x4.－(x－1)21－)2－9＝9＝0；0；
2
自学指导
自学1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为 16 m2，场地的长和宽分别是多少？
设场地的宽为x m，则长为 （x＋6） m，根据矩形面积 为自16学m12：，要得使到一方块程矩x形（场x＋地6）的＝长16比，宽整多理6得m到，x并2＋且6x－16＝0． 探究面：积怎为样16解m方2，程场x2＋地6的x－长1和6宽＝分0？别是多少？
× ×8×6
2
P
C
Q
B
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即：x2－14x＋24＝0 （x－7）2＝25 x－7＝±5 ∴x1＝12，x2＝2