第4章平行四边形4.1 多边形（1）重点提示：（1）利用对角线可以将四边形分割成两个三角形，从而将四边形的问题转化为三角形解决. （2）四边形的内角和等于360°，外角和等于360°.【夯实基础巩固】A．70° B．90°C．110°D．140°3．在四边形ABCD中，若∠A与∠C之和等于四边形外角和的一半，∠B比∠D大15°，5．如图所示，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，∠ADC，∠DCB的平分线相交于点O，的度数为50°．7．如图所示，∠A=60°，∠B=80°，则∠1+∠2=140度．8．如图所示，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，那么∠EDF=105度．9．如图所示：AB∥CD，∠B=61°，∠C=35°．求∠1和∠A的度数．∵AB∥CD，∴∠1=∠B=61°．∴∠BDC=180°﹣∠1=119°.∵∠C=35°，∴∠A=360°﹣∠B﹣∠BDC﹣∠C=360°﹣61°﹣119°﹣35°=145°．10．一个四边形的周长是46，已知第一条边长是a，第二条边长比第一条边长的三倍还少5，第三条边长等于第一、第二条边长的和．（1）写出表示第四条边长的式子.（2）当a=7还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？（1）56﹣8a（2）当a=7时不是四边形.理由如下：∵此时第四条边56﹣8a=0，∴只剩下三条边，三条边长分别为a=7，3a﹣5=16，4a﹣5=23. ∵7+16=23，∴图形是线段．∴当a=7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．【能力提升培优】12．如图所示，在四边形ABCD中，点F，E分别在边AB，BC上，将△BFE沿FE翻折，喷水池面积和为106π（结果保留π）．15．如图所示，在四边形ABCD中，∠C=72°，∠D=81°．若沿EF折叠四边形，使点A，B 分别落在四边形内部的点A′，B′处，则∠1+∠2=54°．16．如图所示，已知O是四边形ABCD内一点，OB=OC=OD，∠BCD=∠BAD=75°，则∠ADO+∠ABO=135°．17．如图所示，四边形ABCD的内角∠BAD，∠CDA的平分线交于点E，∠ABC，∠BCD 的平分线交于点F．（1）若∠F=80，则∠ABC+∠BCD=，∠E=.（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由.（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F，你所添加的条件是．（1）200°100°（2）∠E+∠F=180°．理由如下：∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，又∵四边形ABCD的内角∠BAD，∠CDA的平分线交于点E，∠ABC，∠BCD的平分线交于点F，∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°.∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°.∴∠E+∠F=360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°.（3）AB∥CD．18．如图所示，在四边形ABCD中，点F为∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线的交点，设∠A=α，∠D=β.（1）如图1所示，若α+β＞180°，试用α，β表示∠F.（2）如图2所示，若α+β＜180°，请在图中画出∠F，并用α，β表示∠F.（3）一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值，如不一定，指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．【中考实战演练】19．若四边形的四个内角之比是1：2：3：4．则它的最大内角是144°．20．【安徽】在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（D）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【开放应用探究】21．已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC=（用含x，y的代数式表示）.（2）如图1所示，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE 与BF 的位置关系，并说明理由．（3）如图2所示，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x，y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x，y满足什么条件时，∠DFB不存在．②当x=y 时，DC ∥BF ，此时∠DFB 不存在．4.1 多边形（2）重点提示：（1）n 边形的内角和等于(n －2)×180°，外角和等于180°.（2）从n 边形的一个顶点出发可以作(n －3)条对角线，将多边形分成（n －2）个三角形. 【夯实基础巩固】4．如图所示，在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，5．如图所示，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，6．某正n边形的一个内角为108°，则n=5．7．如图所示是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360°．8．从一个多边形的一个顶点出发，一共可作10条对角线，则这个多边形的内角和是1980度．9．已知一个多边形的内角和与外角和共为2520°，求这个多边形的边数．设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°+360°=2520°.解得n=14．∴这个多边形的边数为14．10．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A=135°，延长CD，AE交于点F，且∠DEF=105°，∠F=45°，∠C=60°．（1）求∠B的度数.（2）AB与CD之间是否存在某种关系，说出你的理由．（1）∵∠DEF=105°，∴∠DEA=75°．∵∠EDC=∠F+∠DEF，∴∠EDC=45°+105°=150°．由多边形的内角和公式可知∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠DEA=540°，∴∠B=120°.（2）∵∠B=120°，∠C=60°，∴∠B+∠C=180°．∴AB∥CD．【能力提升培优】12．机器人在一平面上从点A处出发开始运动，规定“向前走1m再向左转60°”为1次运还需( )个五边形.14．如图所示，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠1=20°，则∠2=52°．15．一机器人以0.5m/s的速度在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所需时间为144s．16．如图1所示，圆上均匀分布着11个点A1，A2，A3，…，A11．从A1起每隔k个点顺次连结，当再次与点A1连结时，我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1≤k≤8（k为正整数）．例如，图2是“2阶正十一角星”，那么∠A1+∠A2+…+∠A11=1260°；当∠A1+∠A2+…+∠A11=900°时，k=2或7．17．如果一个多边形的各边都相邻，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图所示为一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：在，请说明理由．18．如图所示，在六边形ABCDEF 中，CD ∥AF ，∠CDE ＝∠BAF ，AB ⊥BC ，∠C ＝120°，∠E ＝80°，试求∠F 的度数．FEDC BA连结AD ，在四边形ABCD 中，∠BAD ＋∠ADC ＋∠B ＋∠C ＝360°. ∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°. 又∵∠C ＝120°，∴∠BAD ＋∠ADC ＝150°. ∵CD ∥AF ，∴∠CDA ＝∠DAF .又∵∠CDE ＝∠BAF ，∴∠EDA ＝∠BAD .在四边形ADEF 中，∠DAF ＋∠EDA ＋∠F ＋∠E ＝360°， ∴∠F ＋∠E ＝360°-(∠ADC ＋∠BAD )＝210°. 又∵∠E ＝80°，∴∠F ＝130°.【中考实战演练】36 度．【开放应用探究】21．观察图1~4，回答下列问题.（1）如图1所示，猜想：∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠A 2+∠B 2+∠C 2= 度，并说明你猜想的理由．（2）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠A 2+∠B 2+∠C 2； 图2称为2环四边形，它的内角和为∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠D 1+∠A 2+∠B 2+∠C 2+∠D 2； 图3称为2环5五边形，它的内角和为∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠D 1+∠E 1++∠A 2+∠B 2+∠C 2+∠D 2+∠E 2 ……请你猜一猜，2环n 边形的内角和为 度（直接写出结论）．（1）360°理由如下：连结B1B2，则∠A2+∠C1=∠B1B2A2+∠B2B1C1，∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=∠A1+∠B1+∠B1B2A2+∠B2B1C1+∠B2+∠C2=360°.（2）360（n﹣2）4.2 平行四边形及其性质（1）重点提示：（1）平行四边形的定义：有两组对边平行的四边形叫做平行四边形.（2）平行四边形的性质：平行四边形的对角相等、对边相等.【夯实基础巩固】1．已知□ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是(C).A．100°B．160°C．80°D．60°2．如图所示，在□ABCD中，AC＝3 cm，若△ABC的周长为8 cm，则□ABCD的周长为(B)A．5 cm B．10 cm C．16 cm D．11 cm5．如图所示，□ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的6．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是120度．7．如图所示，用平行四边形纸条沿对边AB，CD边上的点E，F所在的直线折成V字形图案，已知图中∠1=68°，∠2的度数为44°．8．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，O （0，0），A （1，﹣2），B （3，1），则C 点坐标为 （2，3） ．9．如图所示，在□ABCD 中，BE=DF ．求证：AE=CF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC.∴∠ADE=∠CBF. ∵BE=DF ，∴DE=BF.∴△ADE ≌△CBF （SAS ）.∴AE=CF ．10．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE=AD ，点F 在AD 上，AF=AB ， 求证：△AEF ≌△DFC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD 且AB ∥CD. ∴AF=CD ，∠EAF=∠ADC.又∵AF=AB ，∴AF=CD ，AE=DF.在△AEF 和△DFC 中，∵,,,AF DC EAF ADC AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△DFC ．【能力提升培优】11．如图所示，以□ABCD 的边CD 为斜边向内作等腰直角△CDE ，使AD=DE=CE ，12．如图所示，在□ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在AB上，连结EF，CF，则下列结论：①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；BE：EC=1：2，则∠BCD的度数为120°．15．如图所示，在□ABCD中，AB=8cm，AD=5cm，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC 的平分线交CD于点F，则线段EF的长2cm．16．如图所示，在□ABCD中，M，N分别是边CD，BC的中点，AM=2，AN=4，且∠MAN=60°，则AB的长是．317．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边作□CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G.连结BG，DE.(1)∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由.(2)求证：△BCG≌△DCE.(1)∠ACB＝∠GCD.理由如下：∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ACB=∠ABC.∵CG∥AB，∴∠GCD=∠ABC. ∴∠ACB=∠GCD.(2)∵四边形CDFE是平行四边形，∴EF∥CD.∴∠ACB＝∠GEC，∠EGC＝∠GCD.∵∠ACB＝∠GCD，∴∠GEC＝∠EGC.∴EC＝GC.∵∠GCD＝∠ACB，∴∠GCB＝∠ECD.∵BC＝DC，∴△BCG≌△DCE.18．如图所示，在□ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连结EF交BD于O．（1）求证：BO=DO.（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB. ∴∠ODF=∠OBE.在△ODF与△OBE中，∵,,,ODF OBEDOF BOE DF BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩【中考实战演练】19．【河南】如图所示，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若20．【湖北】在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为55°或35°．【开放应用探究】21．如图所示，已知在□ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE，AB于点M，N．（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长.（2）求证：AB=CF+DM．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠BAE=∠DEA. ∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠DEA.MGNFEDCBA∴DE=AD.∵DF ⊥BC ，∴DF ⊥AD ，∵M 为AG 中点，∴AG=2DM=4，（2）过点A 作AD 的垂线交DN 的延长线于点H ，则△DAH ≌△DFC ，∴AH=FC ，DH=DC. ∵DF ⊥AD ，∴AH ∥DF.∴∠HAM=∠DGM.∵∠AMH=∠DMG ，∠DMG=∠DGM ，∴∠HAM=∠HMA. ∴AH=MH.∴MH=CF.∴AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM ．4.2 平行四边形及其性质（2）重点提示：(1)夹在两条平行线之间的平行线段相等.(2)夹在两条平行线之间的垂线段相等，这个垂线段的长度为两条平行线之间的距离，利用两平行线之间的距离处处相等可实现等积变形. 【夯实基础巩固】1．如图所示，在□ABCD 中，若∠A ＝45°，AD ＝6，则AB 与CD 之间的距离为 ( B ). A ． 6 B ． 3 C ． 2 D ．32．如图所示，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若AE ＝4，AF ＝6，□ABCD 的周长为40，则□ABCD 的面积为 ( D ) A ．24B ．36C ．40D ．483．如图所示，M 是□ABCD 的一边AD 上的任意一点，若△CMB 的面积为S ，△CDM 的H5．如图所示，已知AB∥CD，OA，OC分别平分∠BAC和∠ACD，OE⊥AC于点E，且6．如图所示，E是直线CD上的一点．已知ABCD的面积为52cm，则△ABE的面积为26cm2．7．已知□ABCD中，AB=4，BC=8，∠D=60°，则S□ABCD=．8．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E，F在边AD上，且AE＝DF，连结BE，CA，CE，CF，图中与△CDF面积相等的三角形共有__2__个．9．如图所示，在□ABCD中，点E是DC边上一点，连结AE，BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．（1）求证：AE⊥BE.（2）若AE=3，BE=2，求□ABCD的面积．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵BE，AE分别平分∠ABC和∠BAD，∴∠ABE+∠BAE=90°.∴∠AEB=90°，即AE⊥BE.（2）∵AE⊥BE，∴S△ABE=AE×BE÷2=3.∴□ABCD的面积=2S△ABE=6．【能力提升培优】10．如图所示，直线a∥b∥c，且a，b之间的距离为1，△ABC和△CDE是两块全等的直角三角形纸板，其中∠ABC=∠CDE=90°，∠BAC=∠DCE=30°，它们的顶点都在平行线上，11．如图所示，P为□ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线交平行四边形的边于12．在面积为60的□ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，3，如果△ABC的面积为6，那么△BCD的面积为9．14．如图所示，AB=BC，D在∠ABC外角平分线上，且CD⊥BC，△ABD的面积为12cm2，则△BCD的面积为12cm2．15．如图所示，在□ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAD，且AB=AE，连结DE并延长与AB的延长线交于点F，连结CF，若AB=2cm，则△CEF面积是cm16．如图所示，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，连结DE，求△DEC的面积．17．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作DE ∥CM，交AC的延长线于点F，交BM的延长线于点E．（1）求证：△ADF≌△BCM.（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC.∵AC∥BM，∴∠AFD=∠E.又∵CM∥DE，∴∠BMC=∠E.∴∠BMC=∠AFD.同理∠FAD=∠MBC.∴△ADF≌△BCM．【中考实战演练】18．【嵊州】若E是□ABCD内任意一点，且□ABCD的面积是6，则阴影部分面积是3．19．如图所示，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，【开放应用探究】20．如图1所示，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上.（1）写出图1中面积相等的各对三角形：.（2）如图1所示，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有△PAB 与△ABC的面积相等.（3）如图2所示，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．（1）△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BOP（2）∵m∥n，∴点C，P到直线n间的距离是相等的.∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等.∴总有△PAB与△ABC的面积相等.（3）如图所示，连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连结EM，线段EM所在的直线即为所求的直线．4.2 平行四边形及其性质（3）重点提示：（1）平行四边形的对角线互相平分.（2）平行四边形的对角线可以将平行四边形分割成全等三角形，将四边形的问题转化为三角形解决.【夯实基础巩固】2．在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是6．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=20，△AOB的周长为15，则CD=5．7．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD 于E，BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则□ABCD的面积是32 ．8．如图所示，在□ABCD中，点C在x轴上，点A为（2，3），AC交OB于点D，□ABCO 的面积为18，则点D的坐标为（4，1.5）．9．如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN.求证：BM∥DN.∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AM＝CN，∴OA－AM＝OC－CN，即OM＝ON.在△BOM和△DON中，∵,,,OM ONAOB COD OB OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BOM≌△DON.∴∠MBO＝∠NDO.∴BM∥DN.10．如图所示，O为□ABCD的对角线AC的中点，过点O的一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．（1）请直接写出有组全等三角形.（2）求证：∠EAM=∠NCF．（1）4（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠OAM=∠OCN.在△OAM和△OCN中，∵,,,OAM OCNOA OCAOM CON∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△OAM≌△OCN（ASA）.∴AM=CN，OM=ON.∴EM=FN.在△AEM和△CFN中，∵,,,AE CFAM CNEM FN=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AEM≌△CFN（SSS）.∴∠EAM=∠NCF．【能力提升培优】11．如图所示，□ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则12．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=6，AD=4，则13．如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC所在直线翻折180°到其原来所在直线的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′14．如图所示，直线EF经过□ABCD的对角线的交点，若AE=3cm，四边形AEFB的面积cm．为15cm2，则CF=3cm，四边形EDCF的面积为15215．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE的最小值是3．16．如图所示，在□ABCD中，对角线AC=8，BD=6，若∠DOC=45°，则S□ABCD的面积为．17．如图所示，已知点A （﹣4，2），B （﹣1，﹣2），□ABCD 的对角线交于坐标原点O ． （1）请直接写出点C ，D 的坐标.（2）线段AB 经过什么样的变换可以得到线段CD. （3）直接写出□ABCD 的面积．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 关于O 中心对称. ∵A （﹣4，2），B （﹣1，﹣2）， ∴C （4，﹣2），D （1，2）.（2）线段AB 绕点O 旋转180°（或向右平移5个单位），可以得到线段CD. （3）2018．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，P 为线段BC 上一点（除端点外），连结PO 并延长交AD 于点Q ，延长BC 到点E ，使CE=BC ，连结DE ． （1）求证：BP=DQ.（2）已知AB=5，AC=6，若CD=12BE ，求△BDE 的周长．∴△BDE 的周长=BD+BE+DE=8+10+6=24．【中考实战演练】 19．【绥化】如图所示，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，且∠ADC=60°，AB=12BC ，连结OE ．给出下列结论：①∠CAD=30°；②S □ABCD =AB •AC ；③OB=AB ；④OE=1BC ，其中正确的结论个数有（ C ）20．如图所示，□ABCD的周长是36，且AB：BC=5：4，对角线AC，BD相交于点O，且BD⊥AD，则BD=，AC=． 6【开放应用探究】21．如图所示，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连结DG，B′G. 求证：(1)∠1＝∠2.(2)DG＝B′G.（1）∵在□ABCD中，AB∥CD，∴∠2＝∠FEC.由折叠的性质得∠1＝∠FEC，∴∠1＝∠2.(2)由(1)知∠1＝∠2，∴EG＝GF.∵AB∥CD，∴∠DEG＝∠EGF.由折叠的性质得EC′∥FB′，BF＝B′F，∴∠B′FG＝∠EGF.∴∠B′FG＝∠DEG.∵DE＝BF，∴DE＝B′F.∴△DEG≌△B′FG.∴DG＝B′G.4.3 中心对称重点提示：（1）将一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.（2）对称中心平分连结两个对称点的线段.（3）在直角坐标系中，点（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y）.【夯实基础巩固】1．下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（D）BB3．下列说法中错误的是（ ）4．如图所示，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O，过点O 的直线分别交边AD ，5．如图所示，将两张完全相同的正方形透明纸片完全重合地叠放在一起，中心是点O ，按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕点O 逆时针旋转15°，所得重叠部分的图形（）6．在等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、正五边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有 2 个．7．如图所示是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是 3 ．8．如图所示是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB ′的长为 4 ．9．用六根一样长的小棒搭成如图所示的图形，试移动AC，BC这两根小棒，使六根小棒成为中心对称图形.若移动AC，DE这两根，能不能也达到要求呢？（画出图形）能，图略10．如图所示分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形.（1）请问其中是中心对称图形的是.（2）依此类推，36角星（填“是”或“不是”）中心对称图形．（3）你怎样判断一个n角星是否是中心对称图形呢？谈谈你的见解．（1）六角星、八角星（2）是（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形．【能力提升培优】11．如图所示，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，给出下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等.其中正确的结论个数有（D）.12．如图所示，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E 点的坐标是（A）13．如图所示，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ A ）①②③②①14．如图所示，平面直角坐标系中，□OABC 的顶点A 坐标为（6，0），C 点坐标为（2，2），若直线y=mx+2平分□OABC 的周长，则m 的值为 ．1415．如图所示，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P 1．使得点P 1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P 2，使得点P 2与点P 1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P 3，使得点P 3与点P 2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P 4，使得点P 4与点P 3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P 5，使得点P 5与点P 4关于点B 成中心对称……照此规律重复下去，则点P 2015的坐标为 （﹣2，0） ．16．如图所示，在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，已知AC=4，BC=6，（1）画出△BCD 关于点D 的中心对称图形.（2）根据图形说明线段CD 的长度的取值范围．（1）如图所示，△ADE 就是所作的图形．（2）由（1）知，△ADE ≌△BDC ，则CD=DE ，AE=BC ，∴AE ﹣AC ＜2CD ＜AE+AC ，即BC ﹣AC ＜2CD ＜BC+AC.∴2＜2CD ＜10，解得1＜CD ＜5．17．如图所示，正方形ABCD 于正方形A 1B 1C 1D 1关于某点中心对称，已知A ，D 1，D 三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B ，C ，B 1，C 1的坐标．（1）对称中心的坐标是（0，2.5）．（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4﹣2=2.∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2）.∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1）.∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3）.综上可知，顶点B，C，B1，C 1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．【中考实战演练】18．【甘孜州】下列图形中，是中心对称图形的为（B）B19．在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【开放应用探究】20．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由.（2）现有如图所示的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．如图所示，□ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，经过点O与对边相交的任何一条线段都以O为中点（如图所示中线段PQ），因此点O是各条线段的公共重心，也是□ABCD的重心．（2）把模板分成两个矩形，连结各自的中心.把模板重新分成两个矩形，得到连结各自中心的第二条线段，指出重心．4.4 平行四边形的判定定理（1）重点提示：（1）根据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.【夯实基础巩固】1．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是从点A出发以3cm/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的5．如图所示，由9个全等的等边三角形拼成一个几何图案，这个图案中共有平行四边形6．如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连结DE，EF，FB，则图中共有4个平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，DE∥AB交BC于点E．若AD=5cm，BC=12cm，则CD的长是7cm．8．如图所示，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为添加的条件可以是∠F=∠CDE(答案不唯一)．9．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，C，D. （2）证明四边形ABCD是平行四边形．略10．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF ∥BE．求证：四边形ABCD为平行四边形．∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC.∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC.∴∠AEB=∠DFC.在△AEB和△CFD中，∵,,,DCF EABAE CFDFC AEB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB≌△CFD（ASA）.∴AB=CD.∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．【能力提升培优】11．如图所示，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造A．（3，1）B．（12．如图所示，在□ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（C）13．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，给出下列结论：①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是④四边形ACEB的面积是16．14．如图所示，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF ∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=8．15．如图所示，六边ABCDEF中，AB∥＝ED，AF∥＝CD，BC∥＝FE，对角线FD⊥BD．若FD=24cm，BD=18cm，则六边形ABCDEF的面积是4322cm．16．在平面直角坐标系中，直线y=kx+x+1过一定点A，坐标系中有点B（2，0）和点C，要使以A，O，B，C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为（﹣2，1），（2，﹣1）或（2，1）．17．如图所示，将□ABCD的AD边延长至点E，使DE=12AD，连结CE，F是BC边的中点，连结FD．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形.（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长．18．如图所示，将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结BE．（1）求证：四边形BCED′是平行四边形.（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．（1）∵将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E.∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′.∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA.∴∠DAD′=∠DED′.∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥＝DC，∴CE∥＝D′B，∴四边形BCED′是平行四边形.（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBA.∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°.∵∠DAE=∠BAE，∴∠EAB+∠EBA=90°.∴∠AEB=90°.【中考实战演练】19．【泉州】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别是AB，BC的中点，F在20．在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，4），（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有3个．【开放应用探究】21．如图所示，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF，BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明.（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由.（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．4.4 平行四边形的判定定理（2）重点提示：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形.（2）平行四边形至少有四种判定方法，解题时要根据条件灵活选择方法，并注意判定与性质的区别和联系.【夯实基础巩固】1．如图所示，在四边形ABCD中，E是BC边上的一点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，且DE=EF，AB=EF．再添加一个条件，你认为下面四个条件中能使四边形ABCD 是平行四边形的是（D）2．如图所示，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠5．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E，F在直线AC上（不同于A，C），当E，F的位置满足AE=CF的条件时，四边形DEBF是平行四边形．6．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连结BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：BD∥FC使得四边形BDFC为平行四边形．7．如图所示，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE=CF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AB=CD．则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是互相平分．8．如图所示，□ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）四边形AECF是平行四边形．（2）AE=CF（1）连结AC交BD于O，易得OA=OC，OE=OF∴四边形AECF 是平行四边形．（2）∵四边形AECF 是平行四边形，∴AE=CF.9．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，且DE=BF ，过E ，F 两点作直线，分别与CD ，AB 的延长线相交于点M ，N ，连结CE ，AF ． 求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形. （2）△MEC ≌△NFA ．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥=BC. 又∵DE=BF ，∴AE=CF.∴四边形AFCE 是平行四边形. （2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠MCB=∠NAD ，CD ∥AB.∴∠M=∠N.∵四边形AFCE 是平行四边形，∴EC=AF ，∠ECF=∠EAF. ∴∠MCE=∠NAF.∴△MEC ≌△NFA （AAS ）．10．如图1所示，在□ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF 过点O ，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，GH 过点O ，与AB ，CD 分别相交于点G ，H ，连结EG ，FG ，FH ，EH ． （1）求证：四边形EGFH 是平行四边形.（2）如图2所示，若EF ∥AB ，GH ∥BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD 除外）．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC. ∴∠EAO=∠FCO.在△OAE 与△OCF 中，∵,,,EAO FCO AOE COF OA OC∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△OAE ≌△OCF.∴OE=OF.同理OG=OH.∴四边形EGFH 是平行四边形. （2）与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形有□GBCH ，□ABFE ，□EFCD ，□EGFH.【能力提升培优】11．已知四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，如果只给出条件“AB ∥CD ”，那么可以判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）①再加上条件“BC=AD ”，则四边形ABCD 一定是平行四边形;②再加上条件“∠BAD=∠BCD ”，则四边形ABCD 一定是平行四边形; ③再加上条件“AO=CO ”，则四边形ABCD 一定是平行四边形;①BE=DF ；②BE ∥DF ；③AB=DE ；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤S △ADE =S △ABE ；13．若以A （﹣0.5，0），B （2，O ），C （0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在第 三 象限．14．如图所示，在□ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，OB ，CD ，OD 的中点．有下列结论：①AD=BC ，②△DHG ≌△BFE ，③BF=HO ，④AO=BO ，⑤四边形HFEG 是平行四边形，其中正确结论的序号是 ①②③⑤ ．15．如图所示，□ABCD 的对角线交于点O ，直线EF 过点O 且EF ∥AD ，直线GH 过点O 且GH ∥AB ，则在图中，能用图中的已知的字母表示的平行四边形，共有 18 个． 16．如图所示，四边形ABCD 中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E 是边CD 的中点，连结BE 并延长与AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：四边形BDFC 是平行四边形.（2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．（1）∵∠A=∠ABC=90°，∴BC ∥AD.∴∠CBE=∠DFE.在△BEC 与△FED 中，∵,,,CBEDFEBEC FEDCEDE ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩。
