二次函数根的分布和最值(好)

2°
2
分析：①由 f (−3) ⋅ f (0) < 0 ，即 (14m + 15)( m + 3) < 0 ，得出 −3 < m < − 15 ；
14
②由 ∆ = 0 即16m
2
− 4 ( 2m + 6 ) = 0 得出 m = −1 或 m =
3 ， 2
当 m = −1 时，根 x = −2 ∈ ( −3, 0 ) ，即 m = −1 满足题意； 当 m = 3 时，根 x = 3 ∉ ( −3, 0 ) ，故 m = 3 不满足题意；
2
所以 mx − ( m + 2 ) x + 2 = ( x − 1)( mx − 2 ) ，另一根为 2 ，由1 < 2 < 3 得 2 < m < 2 即为所求； m m 3
2
方程有且只有一根，且这个根在区间 (m, n ) 内，即 ∆ = 0 ，此时由 ∆ = 0 可以求出参数的值，然后再将参数的 值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数. 如：已知方程 x − 4mx + 2m + 6 = 0 有且一根在区间 ( −3, 0 ) 内，求 m 的取值范围.
两根都在 (m, n ) 内
两根有且仅有一根在 (m, n ) 一根在 (m, n ) 内，另一根在 内，另一根在 [m, n] 之外
m n x
( p, q ) 内， m < n < p < q
n
p q
m
x
m
n
x
得出的结论
∆>0 f (m) > 0 f (n) > 0 b m < − <n 2a

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200axbx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

一元二次方程根的分布专题一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x①方程有两个不等正根 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+>-=∆>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<<acx x ，则③方程有两个不等负根：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+>-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x即时应用：(1)若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。

(2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？二、一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。

则一元二次方k1x2x k根的分布①12x x k②12k x x③12x k x图象充要条件2bkaf k2bkaf kf k根的分布④1122k x x k⑤11223k x k x k⑥两根有且仅有一根在12,k k内图象充要条件12122f kf kbk ka123()0()0()0f kf kf k12f k f k或1121()022f kk kbka或2122()022f kk k bkakkk2k1k2k1k3k2k1k即时应用：(1) 若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围.(2) 方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围.二、典型例题例1 若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？例2若方程2(2)40x k x -++=有两负根，求k 的取值范围.例3..若关于x 的方程2(2)210x k x k +-+-=的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围例4.已知关于x 的方程223230x x m -+-=的两根都在［－1，1］上.求实数m 的取值范围.例5.方程mx 2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围拓展提升：已知集合}{2(2)10A x x a x =+-+=，若{}0A x R x ⊆∈>，求a 的取值范围一元二次方程根的分布巩固作业1．对于二次函数x x y 822+-=，下列结论正确的是（ ）Ａ．当2=x 时，y 有最大值8 Ｂ．当2-=x 时，y 有最大值8 Ｃ．当2=x 时，y 有最小值8 Ｄ．当2-=x 时，y 有最小值8-2．二次函数12--=ax x y 在区间[0，3]上有最小值－2，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．4C ．310-D ．23．设函数∈++=a x a ax x x f ,(232)(2R ）的最小值为m （a ），当m （a ）有最大值时a 的值为（ ）A ．34 B ．43 C ．98 D ．89 4．函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[)+∞-,2上递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，0]B ．(]3,-∞-C ．[)0,3-D ．[－2，0]5．设二次函数)1(,0)(,)(2+<-+-=m f m f a x x x f 则若的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．正、负不定，与m 有关 D ．正、负不定，与a 有关6．已知0)53()2(,2221=+++--k k x k x x x 是方程（k 为实数）的两实数根，则2221x x +的最大值为（ ）A ．19B ．18C ．955D ．不存在7．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（ ）A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)8．一元二次方程0)2()1(22=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是9．函数1)(2-+=ax ax x f ，若0)(<x f 在R 上恒成立，则a 的取值范围是 10．函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。

二次函数根的分布二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆>>00040,02121221a c x x a bx x ac b x x ，则例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

【定理2】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆<<00040,02121221a c x x a bx x ac b x x ，则【定理3】0021<<<ac x x ，则例3 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？【定理4】 1)01=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b；2)01<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab。

例4若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理1】⎪⎪⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆≤<k ab k af ac b x x k 20)(04221，则【定理2】⎪⎪⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆<≤k ab k af ac b k x x 20)(04221，则【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 此定理可直接由定理4推出，请自证。