吉林省长春市第五中学高一数学向量的加法课件

JF
K
E
D
C
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
JF
K
E
D
C
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
JF
K
E
D
C
A
B
思考：
向量加法的三角形法则与平行四边形法 则在使用上有什么区别？
1.三角形法则适合任意两个非零向量的求和；而 平行四边形适合不共线的两个向量的求和.
uuur r r
rr
则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
r r uuur uuur uuur
a b AB BC AC
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
情景引入2： 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向
伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同
方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、 F2之间的关系如何？
B
uuur AB
AB uuur
BC
BC uuur
CD
CD uuur
DE
D EuEuAur_____A_0_rE___
新知探究三：
•
和向量ar
r b 的模与向量
ar
r 、b的模
之间存在怎样的关系？
小组讨论：
当向量 ar 、br 不共线时：
rr ab
r b
r a
三角形的两边之和大于第三边
|
2,
|
uuur BC
|
5
uuur uuur uuur
| AC | | AB |2 | BC |2

b
a
B
b
已知两个非零向量a, b
作法：1在平面内任取一点 O
C 2作OA a,OB b 3以OA, OB为邻边作
平行四边形OACB
4连接A C, 则
O
a
A
OC OA OB a b
起点相同，两边平行
OA OB OC 同一起点，对角为和
思考1： 三角形法则与平行四边形法则，它们求 向量和的结果 a b | 与｜a |,| b | 的 关系是什么？
|| a | | b ||| a b || a | | b |
例1：如图,已知 a, b ，求作向量 a b
（1）
b
a
b
（2）
a
（3）
b
a
规定：0 a a 0 a
2、向量加法的平行四边形法则:
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）.
DC
A
B
解：(1) 如图所示，AD表示船速，AB表示水速，
以AD, AB为邻边作平行四边形， 则AC
表示船实际航行的速度 .
(2) 在RtABC中，| AB | 2,| BC | 2 3 D
向量加法运算及其 几何意义
1、向量加法的三角形法则:
a
已知两个非零向量a, b
C 作法：(1) 在平面上任取一点 A
b
(2) 作AB＝a, BC b
A
(3)连接A C, 则向量
B
AC AB BC a b
问题1：两个向量的和向量方向怎么确定？
“首尾”顺次相接
AB BC AC 起点指向终点
交换律: a b b a

(2)平行四边形法则 已知两个不共线向量 a，b，作A→B＝a，A→D＝b，则 A、B、D 三点不共线，以A→B，A→D为邻边作平行四边形 ABCD，则对角 线上的向量A→C＝ a＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平 行四边形法则．
(3)多边形法则 已知 n 个向量，依次把这 n 个向量首尾相连，以第一个向量 的始点为 始点 ，第 n 个向量的终点为 终点 的向量叫做这 n 个向量的和向量． 这个法则叫做向量求和的多边形法则． (4)向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝ b＋a ； ②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋ a＋(b＋c) ．
2．在四边形 ABCD 中，A→B＋A→D＝A→C，则四边形 ABCD 是( )
A．梯形
B．矩形
C．正方形
D．平行四边形
【解析】A→B＋A→D＝A→C符合平行四边形法则，所以四边形ABCຫໍສະໝຸດ 是平行四边形．【答案】D
3．化简：(1)C→D＋B→C＋A→B； (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→G. 解:(1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→G ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋F→G ＝A→C＋C→F＋F→G＝A→F＋F→G＝A→G.
图 2－1－16
解:设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km. 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C.
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km)， 又∵α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小 为 800 2 km，方向为北偏东 80°.

E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
向量的加法运算
运动的合成 AB + BC = AC 力的合成 F1 + F2 = F
F2 A F1 B
C
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
下列命题中, 正确的个数有_________ . (1)若非零向量a与b的方向相同或相反，那么a b的方向 必和a， b之一的方向相同； ( 2)△ABC 中，必有AB BC CA 0; ( 4)若a， b均为非零向量，则a b 与 a b 相等； (5)若向量a， b反向，且 a b , 则a b与a的方向相同 .
平面向量的线性运算
——向量的加法运算
从运动的合成看向量运算
在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海 探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到 上海，那么这两次位移之和是什么？ 位移 AB + BC = AC
C 上海 台北 香港 A B
从力的合成看向量运算
橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点. 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？ F1+F2=F
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ， 这时也必须“首尾相连”.
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向 (2)反向
a
b
A B C
a
b
B C A
AC = a + b
规定： a 0 0a a